Amostragem I
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Amostragem I


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estimado), e pode ser visto na tabela a seguir para amostragem sem 
reposição: 
 
Parâmetro Coeficiente de Variação (CV) do estimador 
m 
2
2S 
mm
s
nN
nNCV xx
-
== 
T 2
2
 22
2
2T\u2c6
T\u2c6 n
S 
N
nN
n N
S 
N
nNN
T
CV
m
-
=
m
-
=
s
= 
P 
Pn 
Q 
N
nN
Pn 
Q P 
1N
nN
P
CV 2
P\u2c6
P\u2c6
-
»
-
-
=
s
= 
 
 
 
AMOSTRAGEM I 
 
 
 
33 
Ignorando os fatores de correção, a variância relativa (CV2) dos estimadores é: 
 
 
2
2
2
\u2c6
2
2
2
2
 
 
m
m
n
SCV
n
CV
n
SCV
T
X
»
=»
 
No caso da proporção, sabemos que 
 Q P 
1N
NS2
-
= e P=m , então, 2
2
2
P\u2c6 n
S
nP
QCV
m
»» 
 
 Estas expressões aproximadas podem ser utilizadas em amostragem sem reposição 
quando a proporção de unidades da população incluidas na amostra é menor que 5%. 
 
 Fixando o valor de CV, temos que o erro relativo máximo a ser esperado é: 
 
z
e
ez
r
r
=
=
x
x
CV 
CV 
 
 Por outro lado, 
 2222
2
2 CVSSCV m
m
=Þ= 
 
n
CV
N
nN
n
CV
N
nNCV
x
2
2
22
2 )(
_
-
=
-
=
m
m 
 Então: 
 
2 22
2 2
2 2 2
r 
2 2
2
2
r
2
z 1z e 
CV z = 
z
e = CV 
N
n - 
CV
N
e
CVz
CVN
Nn
n
N
r +
=
+
 
onde 
m
=
SCV para estimar m e T e 
P
QCV = para estimar P. 
 No caso geral em que a população é grande em relação a qualquer tamanho de 
amostra que possa ser considerado, o cálculo de n é mais simples, porque, sendo 
n
CVCVCVCV PTx
2
2
\u2c6
2
\u2c6
2 === temos: 
 
n
zer
22
2 CV = 
O tamanho da amostra para populações infinitas é: 
 2
22
0
CV 
re
zn = 
então, n para populações finitas fica: 
 
0
0
n + N
n Nn = 
 
AMOSTRAGEM I 
 
 
 
34 
 O valor de z determina a probabilidade do resultado amostral ter um erro relativo 
não maior que re . A fórmula obtida para n é aplicável em amostragem aleatória simples, 
seja a característica estimada a média, o total, a proporção. 
 
Exemplo 2.4: 
 Queremos estimar um dos parâmetros antes estudados (média, total ou proporções) 
com um erro não maior que 4% do valor verdadeiro desse parâmetro, com uma confiança 
de 99% e sabemos que CV = 0,5. Utilizando Z = 2,54, o tamanho de amostra necessária é: 
 ( ) ( )
( )
1008
04,0
0,5 54,2n 2
22
0 == 
 Agora, se estivemos satisfeitos com er = 8% em vez de 4%, n fica: 
 ( ) ( )
( )
252
08,0
0,5 54,2n 2
22
0 == 
uma amostra 
4
1 do tamanho da amostra anterior. 
 
 
2.9. CONSIDERAÇÕES GERAIS NA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES 
 
ESTIMAÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS COM A MESMA AMOSTRA: 
 
 É importante mencionar que, geralmente, queremos estimar várias características 
(variáveis) com a mesma amostra, e o tamanho de amostra necessário para atingir uma 
determinada precisão numa variável pode ser diferente do tamanho de amostra 
necessário para atingir a mesma precisão para outras variáveis. Este problema 
geralmente é resolvido tomando um tamanho de amostra suficientemente grande para 
estimar as variáveis principais com a precisão desejada. Para as variáveis de importância 
secundária aceitamos a precisão que for obtida. 
 Algumas das variáveis secundárias serão estimadas com maior precisão que a 
desejada e outras com menor. 
 Qualquer que seja o caso, os resultados da amostra devem ser interpretados de 
acordo com a precisão realmente obtida para cada variável. 
 
 
ESTIMATIVAS CONFIÁVEIS DE S2 E CV2: 
 
 O coeficiente de variação CV, sendo geralmente desconhecido, pode ser estimado 
a partir da amostra. Sendo x estimador não viciado de m e, sendo s2 estimador não 
viciado de S2, podemos utilizar ambos para obter 
 ,2
22
x
sCV =
Ù
 estimador de CV2 
 
2Ù
CV é consistente, embora viciado. Para amostras grandes o vicío pode ser 
desconsiderado. 
 Podemos nos formular a seguinte questão: qual o tamanho de amostra a ser 
considerado suficientemente grande para os estimadores da variância, coeficiente de 
AMOSTRAGEM I 
 
 
 
35 
variação, etc, serem considerados confiáveis, quando estimados a partir de uma amostra? 
A resposta a esta questão é diferente para diferentes problemas. Sabemos que: 
a) A variância estimada a partir da amostra varia de uma amostra para outra; 
b) A variância estimada também tem um erro padrão quando consideradas todas as 
amostras possíveis, o mesmo acontecendo com a média e o coeficiente de variação; 
c) O coeficiente de variação fornece uma medida da precisão relativa da estimação feita 
apartir de uma amostra particular. 
 Cochran afirma que, com base em longas experiências, considera-se que a 
estimativa de um desvio padrão é suficientemente confiável se seu coeficiente de variação 
é não superior a 10 ou 15%. 
 
O TAMANHO DA AMOSTRA PARA ESTIMAR P: 
 
 Sabemos que o coeficiente de variação de P\u2c6 é 
nP
QCVP\u2c6 @ ignorando o fator de 
correção. Para amostras de tamanho n = 1 temos: 
 
P 0 0,001 0,005 0,01 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 
Q P ¥ 31,6 14,1 9,9 4,4 3,0 2,0 1,5 1,2 1,0 0,8 0,7 0,5 0,3 
 
 Quer dizer, para tamanho fixo de amostra, o CV do estimador da proporção na 
classe C diminui gradualmente à medida que a verdadeira porcentagem em C aumenta. O 
coeficiente é alto quando P é menor que 0,05. 
Se P = 0,01 e queremos reduzir o CV do estimador para 0,1 (ou 10%) devemos ter: 
9900n 
01,0
99,0
1,0
1
P
Q
CV
1n === 
 Podemos deduzir, então, que a amostragem aleatória simples, ou qualquer método 
de amostragem adaptado a propósitos gerais é um método muito caro para estimar o 
número total de unidades de tipo escasso (raro) na população. 
 Em comparação, se P = 0,5, 100=n 
50,0
50,0
1,0
1n = para ter o mesmo 
coeficiente de variação de 0,1. 
 
 
2.10 REGRAS PRÁTICAS SOBRE O TAMANHO DA AMOSTRA 
 
 Para se obter uma boa estimação do erro padrão da média ou do total, existem 
algumas regras práticas, sugeridas na literatura: 
 a) Se formos selecionar uma amostra aleatória simples de uma população que se 
aproxima bastante de uma distribuição normal, 50 observações são suficientes para 
estimar um parâmetro. 
 b) No caso de selecionar amostras de populações não normais e a população não 
tiver valores extremamente grandes ou extremamente pequenos, uma amostra de n = 100 
será suficiente para fornecer uma estimação confiável do desvio padrão. Por outro lado, 
para populações com valores muito extremos (em proporção maior que o esperado pela 
distribuição normal), serão necessários tamanhos de amostra maiores para obter 
estimações confiáveis. Nestes casos, pode ser mais apropriado utilizar outros métodos de 
amostragem ao invés de aleatória simples. 
AMOSTRAGEM I 
 
 
 
36 
 
 c) Para estimar a proporção: 
 c.1) Se ,P\u2c6 a proporção amostral, estiver entre 30 e 70% e, se o tamanho de 
amostra no qual está baseada a porcentagem é de 60 ou mais, então o coeficiente de 
variação do erro padrão estimado é menor que 10%. 
 c.2) Independente do valor de P\u2c6 , se ambos, Q\u2c6n e P\u2c6n forem maiores que 35, 
também o coeficiente de variação mencionado é menor que 10%. 
As regras c.1 e c.2 são válidas para qualquer que seja a distribuição da população e para 
amostragem aleatória simples, sempre que a unidade observada seja a mesma unidade de 
amostragem. 
 
Exemplo 2.5: 
 Suponhamos que queremos estimar a proporção de famílias em cada uma das 
faixas de renda seguintes, e se têm os resultados de uma amostra aleatória de 200 famílias 
de uma população de 2000. 
Renda (s.m.) ( )P\u2c6n Amostra % 
1) Menos de 1 68 34 
2) 1 a 1,99 72 36 
3) 2 a 2,99 40 20 
4) 3 e mais 20 10 
Total 200 100 
 Para estimar a proporção de famílias da
Thaynan
Thaynan fez um comentário
Oi poderia me enviar esse arquivo?
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