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e´,
P (a + bx + cx2) = (a + b , c , a\u2212 b) = (0, 0, 0) ,
obtemos o seguinte sistema linear homoge\u2c6neo\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a + b = 0
c = 0
a \u2212 c = 0 ,
que possui somente a soluc¸a\u2dco trivial a = b = c = 0. Logo, Ker(P ) = { 0P2(IR) }.
Portanto, temos que P e´ um isomorfismo de P2(IR) em IR3.
Vamos determinar o isomorfismo inverso. Dado um elemento (a, b, c) \u2208 IR3 tal que
P\u22121(a, b, c) = d1 + d2x + d3x
2 ,
temos que
P (d1 + d2x + d3x
2) = (a, b, c) =\u21d2 ( d1 + d2 , d3 , d1 \u2212 d2 ) = (a, b, c) .
Assim, obtemos o seguinte sistema linear\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
d1 + d2 = a
d3 = b
d1 \u2212 d2 = c ,
que possui somente a soluc¸a\u2dco
d1 =
a + c
2
, d2 =
a\u2212 c
2
e d3 = b .
Portanto, obtemos
P\u22121(a, b, c) =
(
a + c
2
)
+
(
a\u2212 c
2
)
x + bx2 ,
o que completa a resoluc¸a\u2dco da questa\u2dco.
74 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Questa\u2dco 4.
(a) Sabemos que dim(V ) = n e que Im(T ) = Ker(T ).
Assim, podemos afirmar que dim( Im(T ) ) = dim( Ker(T ) ) = m.
Pelo Teorema do Nu´cleo e da Imagem, temos que
dim( Im(T ) ) + dim( Ker(T ) ) = dim(V ) .
Portanto, temos que n = 2m. Logo, podemos concluir que n e´ par e que m =
n
2
.
(b) Considerando V = IR4, temos que dim( Im(T ) ) = dim( Ker(T ) ) = 2.
Tomando a base cano\u2c6nica \u3b2 = { e1, e2, e3, e4 } para IR4, vamos definir um operador
linear T sobre IR4, com as propriedades acima, da seguinte forma:
T (e1) = (0, 0, 0, 0) = 0IR4
T (e2) = (0, 0, 0, 0) = 0IR4
T (e3) = (1, 0, 0, 0) = e1
T (e4) = (0, 1, 0, 0) = e2 .
Podemos observar facilmente que { e1, e2 } e´ uma base para o subespac¸o Ker(T ) e
tambe´m para o subespac¸o Im(T ). Logo, temos que
dim( Ker(T ) ) = dim( Im(T ) ) = 2 e Ker(T ) = Im(T ) .
Portanto, o operador linear T , definido acima, possui as propriedades desejadas. Podemos
verificar facilmente que
T (x, y, z, t) = (z, t, 0, 0) para todo (x, y, z, t) \u2208 IR4 .
Petronio Pulino 75
B.1.3 Terceira Prova
Questa\u2dco 1.
Seja w \u2208 T (E\u3bb), isto e´, existe um elemento v \u2208 E\u3bb tal que w = T (v). Como
v \u2208 E\u3bb, temos que w = T (v) = \u3bbv. Logo, w = \u3bbv.
Aplicando o operador T no elemento w, obtemos T (w) = \u3bbT (v).
Como w = T (v), temos que T (w) = \u3bbw. Assim, podemos concluir que w \u2208 E\u3bb.
Portanto, provamos que T (E\u3bb) \u2282 E\u3bb.
76 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Questa\u2dco 2.
(a) Temos somente um autovalor \u3bb associado ao autovetor v. Podemos observar
que o autovalor \u3bb e´ unicamente determinado pelo operador T e pelo autovetor v. De
fato, considere que \u3bb e \u3bb\u2032 sa\u2dco autovalores do operador T associados ao autovetor v,
isto e´,
T (v) = \u3bb v e T (v) = \u3bb\u2032 v .
Assim, temos que
\u3bb v \u2212 \u3bb\u2032 v = 0V =\u21d2 ( \u3bb \u2212 \u3bb\u2032 ) v = 0V =\u21d2 ( \u3bb \u2212 \u3bb\u2032 ) = 0 =\u21d2 \u3bb = \u3bb\u2032 ,
pois v 6= 0V .
(b) Sim. De fato, se \u3bb = 0 e´ um autovalor de T e v um autovetor associado, temos
que v \u2208 Ker(T ), pois T (v) = \u3bb v = 0V . Logo, como v 6= 0V , Ker(T ) 6= { 0V }.
Portanto, T na\u2dco e´ um operador injetor.
Reciprocamente, se T na\u2dco e´ um operador injetor, sabemos que Ker(T ) 6= { 0V }.
Logo, os elementos na\u2dco nulos v \u2208 Ker(T ) sa\u2dco autovetores do operador T associados
ao autovalor \u3bb = 0, pois T (v) = 0V = \u3bb v.
(c) Seja { v1 , · · · , vn\u22121 } uma base para o subespac¸o V\u3bb1 , desde que dim(V\u3bb1) = n\u2212 1.
Sabemos que cada elemento vj e´ um autovetor de T associado ao autovalor \u3bb1, pois
T (vj) = \u3bb1 vj para j = 1 , · · · , (n\u2212 1) .
Assim, temos (n \u2212 1) autovetores T linearmente independentes. Tomando vn o
autovetor de T associado ao autovalor \u3bb2, temos que o conjunto { v1 , · · · , vn\u22121 , vn }
tambe´m e´ linearmente independente, pois o autovetor vn 6\u2208 V\u3bb1 .
Desse modo, temos uma base ordenada \u3b3 = { v1 , · · · , vn\u22121 , vn } de autovetores de T
para o espac¸o vetorial V . Assim, sabemos que [T ]\u3b3\u3b3 = diag(\u3bb1, \u3bb1, · · ·\u3bb1, \u3bb2). Logo,
T e´ um operador diagonaliza´vel.
Petronio Pulino 77
Questa\u2dco 3.
(a) Com relac¸a\u2dco a` base cano\u2c6nica \u3b2 = { (1, 0) , (0, 1) } de IR2, temos que
[T ]\u3b2\u3b2 =
[
5 \u22126
1 0
]
.
Sabemos que o polino\u2c6mio caracter´\u131stico do operador T e´ o polino\u2c6mio caracter´\u131stico da
matriz A = [T ]\u3b2\u3b2 que e´ dado por:
p(\u3bb) = det( A \u2212 \u3bb I ) = \u2212\u3bb(5 \u2212 \u3bb) + 6 = \u3bb2 \u2212 5\u3bb + 6 .
Portanto, \u3bb1 = 2 e \u3bb2 = 3 sa\u2dco os autovalores do operador T .
Vamos determinar os autovetores de T associados ao autovalor \u3bb1 = 2. Desse modo,
temos que encontrar os elementos na\u2dco nulos do nu´cleo do operador T \u2212 \u3bb1 I.
Assim, obtemos o seguinte sistema linear homoge\u2c6neo{
3x \u2212 6y = 0
x \u2212 2y = 0 \u21d0\u21d2 x \u2212 2y = 0
que possui como soluc¸a\u2dco x = 2y para y \u2208 IR na\u2dco nulo.
Desse modo, os autovetores do operator T associados ao autovalor \u3bb1 = 2 sa\u2dco do tipo
v = (2y, y) para y \u2208 IR na\u2dco nulo. Assim, podemos escolher v1 = (2, 1) o autovetor
de T associado ao autovalor \u3bb1 = 2.
De modo ana´logo, para determinar os autovetores de T associados ao autovalor \u3bb2 = 3,
temos que encontrar os elementos na\u2dco nulos do nu´cleo do operador T \u2212 \u3bb2 I.
Assim, obtemos o seguinte sistema linear homoge\u2c6neo{
2x \u2212 6y = 0
x \u2212 3y = 0 \u21d0\u21d2 x \u2212 3y = 0
que possui como soluc¸a\u2dco x = 3y para y \u2208 IR na\u2dco nulo.
Desse modo, os autovetores do operator T associados ao autovalor \u3bb2 = 3 sa\u2dco do tipo
v = (3y, y) para y \u2208 IR na\u2dco nulo. Assim, podemos escolher v2 = (3, 1) o autovetor
de T associado ao autovalor \u3bb2 = 3.
78 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
(b) Do item (a), podemos observar facilmente que
V\u3bb1 = [(2, 1)] e V\u3bb2 = [(3, 1)]
sa\u2dco os autoespac¸os do operador T associados aos autovalores \u3bb1 = 2 e \u3bb2 = 3,
respectivamente.
(c) Do item (a), podemos concluir que T e´ um operador diagonaliza´vel. Logo, a matriz
A = [T ]\u3b2\u3b2 e´ uma matriz diagonaliza´vel.
Ale´m disso, sabemos que os autovetores da matriz A sa\u2dco
X1 = [v1]\u3b2 =
[
2
1
]
e X2 = [v2]\u3b2 =
[
3
1
]
associados aos autovalores \u3bb1 = 2 e \u3bb2 = 3, respectivamente.
Temos que a matriz A e´ similar a matriz diagonal \u39b = diag(2, 3), onde a matriz
invert´\u131vel P que realiza a transformac¸a\u2dco de similaridade e´ dada por:
P =
[
2 3
1 1
]
e P\u22121 =
[
\u22121 3
1 \u22122
]
.
Desse modo, temos que A = P \u39b P\u22121. Logo, sabemos que A8 = P \u39b8 P\u22121 e que a
matriz do operador T 8 com relac¸a\u2dco a` base cano\u2c6nica \u3b2 e´ dada por [T 8]\u3b2\u3b2 = A
8.
Temos que a matriz A8 e´ obtida da seguinte forma:
A8 =
[
2 3
1 1
][
28 0
0 38
][
\u22121 3
1 \u22122
]
=
[
2 3
1 1
][
256 0
0 6561
][
\u22121 3
1 \u22122
]
=
[
19171 \u221237830
6305 \u221212354
]
Finalmente, temos que
[T 8(u)]\u3b2 = [T
8]\u3b2\u3b2[u]\u3b2 para u = (x, y) \u2208 IR2 .
Portanto, a expressa\u2dco expl´\u131cita do operador linear T 8 e´ dada por:
T 8(x, y) = ( 19171x \u2212 37830y , 6305x \u2212 12354y ) para (x, y) \u2208 IR2 .
Petronio Pulino 79
Questa\u2dco 4.
Da condic¸a\u2dco (a), sabemos que
Ker(T ) = { (x, y, z, t) \u2208 IR4 / x + y \u2212 z + t = 0 e z \u2212 t = 0 } .
Podemos verificar facilmente que { (\u22121, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 1) } e´ uma base para Ker(T ).
Desse modo, podemos concluir que \u3bb1 = 0 e´ um autovalor de T com multiplicidade
alge´brica igual a 2 e multiplicidade geome´trica tambe´m igual a 2, pois V\u3bb = Ker(T )
e dim( Ker(T ) ) = 2. Assim, podemos escolher v1 = (\u22121, 1, 0, 0) e v2 = (0, 0, 1, 1)
os autovetores de T associados aos autovalores \u3bb1 = 0 e \u3bb2 = 0.
Da condic¸a\u2dco (b), sabemos que v3 = (0, 0, 1, 0) e´ um autovetor do operador T associado
ao autovalor \u3bb3 = 2. De fato, T (v3) = \u3bb3v3 , isto e´, T (0, 0, 1, 0) = 2(0, 0, 1, 0).
Podemos observar que o conjunto { v1 , v2 , v3 } e´ linearmente independente em IR4.
Assim, estamos precisando de mais um elemento v4 \u2208 IR4 para autovetor do operador
T de modo que \u3b3 = { v1 , v2 , v3 , v4 } seja uma base de autovetores para IR4.
Da condic¸a\u2dco (c), sabemos que o elemento (0, 1, 0, 0) \u2208 Im(T ). Assim, podemos escolher
v4 = (0, 1, 0, 0) como um autovetor do operador T associado ao autovalor \u3bb4 = \u22123.
Portanto, temos que
v1 = (\u22121, 1, 0, 0) , v2 = (0, 0, 1, 1) , v3 = (0,