capítulo 2
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capítulo 2


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A e B sa\u2dco matrizes quadradas de mesma ordem tais que
AB = BA = I ,
dizemos que B e´ a inversa de A e escrevemos B = A\u22121. De modo ana´logo, temos
que a matriz A e´ a inversa da matriz B e podemos escrever A = B\u22121. Uma matriz
que possui inversa dizemos que e´ invert´\u131vel. Caso contra´rio, dizemos que a matriz e´
na\u2dco\u2013invert´\u131vel.
Exemplo 2.3.1 As matrizes A e B dadas por:
A =
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0
1 2 3
1 3 3
1 2 4
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb e B =
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0
6 \u22122 \u22123
\u22121 1 0
\u22121 0 1
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb
satisfazem AB = BA = I. Logo, uma e´ a inversa da outra.
Teorema 2.3.1 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem com inversas A\u22121
e B\u22121, respectivamente. Enta\u2dco, (AB)\u22121 = B\u22121A\u22121.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Por definic¸a\u2dco, temos que
(AB)\u22121 (AB) = (AB) (AB)\u22121 = I .
Desse modo, podemos escrever
(B\u22121A\u22121) (AB) = B\u22121(A\u22121A)B = B\u22121IB = B\u22121B = I .
Por outro lado, temos que
(AB) (B\u22121A\u22121) = A(BB\u22121)A\u22121 = AIA\u22121 = AA\u22121 = I .
Portanto, provamos que (AB)\u22121 = B\u22121A\u22121. \ufffd
Teorema 2.3.2 Seja A uma matriz quadrada com inversa A\u22121. Enta\u2dco,
(A\u22121)t = (At)\u22121 .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Sabemos que AA\u22121 = I e A\u22121A = I. Assim, calculando suas
transpostas, obtemos
(AA\u22121)t = (A\u22121)tAt = I e (A\u22121A)t = At(A\u22121)t = I .
Desse modo, temos que (A\u22121)t = (At)\u22121, o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
60 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Teorema 2.3.3 Sejam A , B e C matrizes quadradas tais que
AB = I e CA = I .
Enta\u2dco, B = C = A\u22121 e´ a u´nica inversa da matriz A.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Como CA = I e AB = I, temos que
(CA)B = C(AB) =\u21d2 B = C .
Portanto, pela Definic¸a\u2dco 2.3.1, temos que B = C = A\u22121. Assim, mostramos que a
inversa da matriz A e´ u´nica. \ufffd
Exemplo 2.3.2 Dada a matriz
A =
[
2 3
3 4
]
.
Determine a matriz A\u22121 , se poss´\u131vel.
Sabendo que a inversa da matriz A e´ u´nica, caso exista, vamos representar a matriz
A\u22121 da seguinte forma:
A\u22121 =
[
a b
c d
]
para em seguida utilizar o fato que AA\u22121 = I2 , isto e´,[
2 3
3 4
][
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Assim, temos que obter a soluc¸a\u2dco de dois sistemas lineares\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
2a + 3c = 1
3a + 4c = 0
e
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
2b + 3d = 0
3b + 4d = 1
que sa\u2dco equivalentes aos seguintes sistemas lineares, respectivamente,\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
6a + 9c = 3
c = 3
e
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
6b + 9d = 0
d = \u22122
que possuem soluc¸a\u2dco u´nica. Portanto, obtemos
A\u22121 =
[
\u22124 3
3 \u22122
]
,
mostrando tambe´m a sua unicidade.
Petronio Pulino 61
Exerc´\u131cios
Exerc´\u131cio 2.63 Dada a matriz
A =
[
1 3
2 8
]
.
Determine a matriz A\u22121 .
Exerc´\u131cio 2.64 Considere a matriz real A dada por:
A =
[
a b
c d
]
com ad \u2212 bc 6= 0 .
Mostre que
A\u22121 =
1
ad \u2212 bc
[
d \u2212b
\u2212c a
]
.
Exerc´\u131cio 2.65 Sejam A ,B e C matrizes quadradas de mesma ordem com inversas
A\u22121 , B\u22121 e C\u22121 , respectivamente. Mostre que (ABC)\u22121 = C\u22121B\u22121A\u22121.
Exerc´\u131cio 2.66 Seja A uma matriz quadrada com inversa A\u22121 . Mostre que
(\u3bbA)\u22121 =
1
\u3bb
A\u22121
para qualquer escalar \u3bb na\u2dco\u2013nulo.
Exerc´\u131cio 2.67 Seja D = diag(a11, · · · , ann) uma matriz diagonal, de ordem n, com
os elementos aii 6= 0 para i = 1, · · · , n. Mostre que
D\u22121 = diag
(
1
a11
, · · · ,
1
ann
)
Exerc´\u131cio 2.68 Determine a inversa da matriz A definida por:
A =
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Exerc´\u131cio 2.69 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e B com inversa
B\u22121. Mostre que tr(B\u22121AB) = tr(A).
62 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exerc´\u131cio 2.70 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB e´ uma
matriz invert´\u131vel. Mostre que as matrizes A e B sa\u2dco invert´\u131veis.
Exerc´\u131cio 2.71 Sejam A e B matrizes quadradas na\u2dco\u2013nulas, de ordem n, tais que
AB = 0n. Mostre que as matrizes A e B sa\u2dco na\u2dco\u2013invert´\u131veis.
Exerc´\u131cio 2.72 Seja A uma matriz quadrada complexa com inversa A\u22121 . Mostre que
(A )\u22121 = (A\u22121) .
Exerc´\u131cio 2.73 Seja A uma matriz de ordem n tal que A4 = 04. Mostre que
(I4 \u2212 A)
\u22121 = I4 + A + A
2 + A3 .
onde I4 \u2208 IM4(IR) e´ a matriz identidade e 04 \u2208 IM4(IR) e´ a matriz nula.
Exerc´\u131cio 2.74 Seja A uma matriz nilpotente de ordem n. Mostre que a matriz
(In \u2212 A) e´ invert´\u131vel, exibindo sua matriz inversa.
Exerc´\u131cio 2.75 Sejam A e B matrizes de ordem n. Mostre que
(a) Se AB = In , enta\u2dco BA = In.
(b) Se BA = In , enta\u2dco AB = In.
Exerc´\u131cio 2.76 Determine a matriz A\u22121, se poss´\u131vel, da matriz A dada por:
A =
[
cos(\u3b8) sin(\u3b8)
\u2212 sin(\u3b8) cos(\u3b8)
]
para \u3b8 \u2208 IR .
Exerc´\u131cio 2.77 Seja X uma matriz coluna de ordem n × 1 tal que X tX = 1. A
matriz H, de ordem n, definida por:
H = In \u2212 2XX
t
e´ denominada matriz de Householder. Mostre que
(a) H e´ uma matriz sime´trica.
(b) H tH = In.
(c) H\u22121 = H t.
De\u2c6 um exemplo de uma matriz de Householder de ordem 3.
Petronio Pulino 63
2.4 Matrizes em Blocos
Definic¸a\u2dco 2.4.1 Dizemos que uma matriz A \u2208 IMm×n(IR) e´ uma matriz em blocos
quando podemos particionar linhas e colunas da seguinte forma:
A =
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0
A11 · · · A1r
...
...
Aq1 · · · Aqr
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb ,
onde cada matriz A\u3b1\u3b2 e´ de ordem m\u3b1 × n\u3b2, com
m1 + · · · + mq = m e n1 + · · · + nr = n .
Exemplo 2.4.1 Considere a matriz em blocos A \u2208 IM3×5(IR) definida na forma:
A =
[
A11 A12 A13
A21 A22 A23
]
,
onde as matrizes A\u3b1\u3b2 sa\u2dco dadas por:
A11 =
[
1 2
0 2
]
, A12 =
[
0 3
1 2
]
, A13 =
[
1
\u22123
]
A21 =
[
3 1
]
, A22 =
[
2 4
]
, A23 =
[
\u22128
]
com m1 = 2, m2 = 1, n1 = 2, n2 = 2 e n3 = 1. Assim, temos que
m1 + m2 = 3 e n1 + n2 + n3 = 5 .
Portanto, a matriz A \u2208 IM3×5(IR) e´ dada por:
A =
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0
1 2 0 3 1
0 2 1 2 \u22123
3 1 2 4 \u22128
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb .
Finalmente, e´ importante observar que podemos particionar a matriz A em blocos de
diversas maneiras.
64 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exemplo 2.4.2 Considere a matriz em blocos A \u2208 IM4(IR) definida na forma:
A =
[
A11 A12
A21 A22
]
,
onde as matrizes A\u3b1\u3b2 sa\u2dco dadas por:
A11 =
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0
1 2 0
3 0 1
2 4 0
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb , A12 =
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0
1
2
0
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb , A21 = [2 1 4] , A22 = [5]
com m1 = 3, m2 = 1, n1 = 3 e n2 = 1 . Assim, temos que
m1 + m2 = 4 e n1 + n2 = 4 .
Portanto, a matriz A \u2208 IM4(IR) e´ dada por:
A =
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 2 0 1
3 0 1 2
2 4 0 0
2 1 4 5
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Exemplo 2.4.3 Considere a matriz em blocos A \u2208 IM4(IR) definida na forma:
A =
[
A11 A12
A21 A22
]
,
onde as matrizes A\u3b1\u3b2 sa\u2dco dadas por:
A11 =
[
1 1
1 2
]
, A12 =
[
0 0
0 0
]
, A21 =
[
0 0
0 0
]
, A22 =
[
2 5
1 3
]
com m1 = 2, m2 = 2, n1 = 2 e n2 = 2 . Assim, temos que
m1 + m2 = 4 e n1 + n2 = 4 .
Portanto, a matriz A \u2208 IM4(IR) e´ dada por:
A =
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 0 0
1 2 0 0
0 0 2 5
0 0 1 3
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Petronio Pulino 65
Definic¸a\u2dco 2.4.2 Dizemos que uma matriz A e´ uma matriz quadrada em blocos se
(a) A e´ uma matriz quadrada.
(b) Os blocos formam uma matriz quadrada.
(c) O blocos diagonais sa\u2dco matrizes quadradas.
Definic¸a\u2dco 2.4.3 Dizemos que uma matriz quadrada em blocos D \u2208 IMn(IR) e´ uma
matriz diagonal em blocos se os blocos na\u2dco diagonais sa\u2dco matrizes nulas. Denotamos
a matriz diagonal em blocos da seguinte forma:
D =
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
D11
D22
. . .
Drr
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
onde cada matriz D\u3b1\u3b1 e´ de ordem n\u3b1 × n\u3b1, com n1 + · · · + nr = n.
Em geral, representamos a matriz diagonal em bloco D da forma:
D = D11 \u2295 D22 \u2295 · · · \u2295 Drr = \u2295
r\u2211
i=1
Dii ,
que tambe´m e´ denominada soma direta das matrizes D11 , · · · , Drr.
Exemplo 2.4.4 A matriz do Exemplo 2.4.3 e´ uma matriz diagonal em blocos.
Definic¸a\u2dco 2.4.4 Dizemos que uma matriz quadrada em blocos L \u2208 IMn(IR) e´ uma
matriz triangular inferior em blocos se os blocos acima da diagonal principal sa\u2dco
matrizes nulas.
Exemplo 2.4.5 A matriz