capítulo 4
72 pág.

capítulo 4


DisciplinaÁlgebra Linear I21.434 materiais306.586 seguidores
Pré-visualização13 páginas
provamos que
Ker(T ) \u2229 Im(T ) = { 0V } .
Finalmente, vamos mostrar que V = Ker(T ) + Im(T ). Dado um elemento v \u2208 V ,
vamos mostrar que v = u + w com u \u2208 Ker(T ) e w \u2208 Im(T ).
Tomando w = T (v) \u2208 Im(T ) e u = v \u2212 w. Vamos mostrar que u \u2208 Ker(T ). De
fato, fazendo
T (u) = T (v \u2212 w) = T (v) \u2212 T (w) = T (v) \u2212 T 2(v) = T (v) \u2212 T (v) = 0V .
Logo, temos que u = ( v \u2212 T (v) ) \u2208 Ker(T ), o que completa a nossa prova.
264 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exemplo 4.7.15 Considere T : IR2 \u2212\u2192 P1(IR) a transformac¸a\u2dco linear tal que
T (1, 1) = 1 \u2212 x e T (1,\u22121) = 1 + 3x .
Mostre que T e´ um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Determine explicitamente a
expressa\u2dco do isomorfismo inverso T\u22121(a0 + a1x).
Vamos mostrar que T e´ um isomorfismo mostrando que { (1, 1) , (1,\u22121) } e´ uma base
de IR2, e que { 1\u2212 x , 1 + 3x } e´ uma base de P1(IR).
Dessa forma teremos que T leva base em base, demonstrando que T e´ um isomorfismo.
Como IR2 e P1(IR) tem dimensa\u2dco 2, basta mostrar que esses dois conjuntos sa\u2dco
linearmente independente, pois cada um deles tem 2 elementos.
Inicialmente, vamos mostrar que o conjunto
\u3b3 = { (1, 1) , (1,\u22121) }
e´ linearmente independente. Para isso, consideramos a equac¸a\u2dco
a(1, 1) + b(1,\u22121) = 0
que resulta no sistema linear homoge\u2c6neo\uf8f1\uf8f2\uf8f3 a + b = 0a \u2212 b = 0
com matriz [
1 1
1 \u22121
]
que possui determinante na\u2dco\u2013nulo. Logo invert´\u131vel. Assim, o sistema linear homoge\u2c6neo
possui somente a soluc¸a\u2dco trivial a = 0 e b = 0, mostrando que os elementos do
conjunto \u3b3 sa\u2dco linearmente independentes.
Para com conjunto \u3b1 = { 1\u2212 x , 1 + 3x } procedemos da mesma maneira. A equac¸a\u2dco
a(1 \u2212 x) + b(1 + 3x) = 0
da origem ao sistema homoge\u2c6neo\uf8f1\uf8f2\uf8f3 a + b = 0\u2212a + 3b = 0
Petronio Pulino 265
com matriz [
1 1
\u22121 3
]
que possui determinante na\u2dco\u2013nulo. Logo invert´\u131vel. Assim, o sistema homoge\u2c6neo possui
somente a soluc¸a\u2dco trivial a = 0 e b = 0, mostrando que os elementos do conjunto
\u3b1 sa\u2dco linearmente independentes. Portanto, mostramos que a transformac¸a\u2dco linear T e´
um isomorfismo.
Vamos agora determinar o isomorfismo inverso. Ja´ sabemos que
T\u22121(1\u2212 x) = (1, 1) e T\u22121(1 + 3x) = (1,\u22121) .
Inicialmente, vamos escrever um polino\u2c6mio gene´rico p(x) = a0 + a1x na base
\u3b1 = { 1\u2212 x , 1 + 3x } ,
isto e´,
p(x) = a0 + a1x = m(1\u2212 x) + n(1 + 3x) .
Assim, podemos escrever o isomorfismo inverso T\u22121 da seguinte maneira:
T\u22121(a0 + a1x) = T
\u22121(m(1\u2212 x) + n(1 + 3x))
= mT\u22121(1\u2212 x) + nT\u22121(1 + 3x)
= m(1, 1) + n(1,\u22121) = (m+ n , m\u2212 n)
Como
m(1\u2212 x) + n(1 + 3x) = (m+ n) + (\u2212m+ 3n)x ,
obtemos o sistema linear \uf8f1\uf8f2\uf8f3 m + n = a0\u2212m + 3n = a1
que possui uma u´nica soluc¸a\u2dco
m =
3a0 \u2212 a1
4
e n =
a0 + a1
4
.
Desse modo, obtemos
m + n = a0 e m \u2212 n = a0 \u2212 a1
2
,
e podemos concluir
T\u22121(a0 + a1x) =
(
a0 ,
a0 \u2212 a1
2
)
.
266 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exemplo 4.7.16 Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF e T um operador
linear sobre V . Enta\u2dco, T e´ um operador idempotente se, e somente se, I \u2212 T e´ um
operador idempotente.
Inicialmente fazendo uso da hipo´tese T 2 = T , obtemos
( I \u2212 T )2 = I \u2212 2T + T 2 = I \u2212 T
Logo, I \u2212 T e´ um operador idempotente.
Finalmente, fazendo uso da hipo´tese que I \u2212 T e´ um operador idempotente, obtemos
I \u2212 T = ( I \u2212 T )2 = I \u2212 2T + T 2
Logo, T 2 = T , isto e´, T e´ um operador idempotente, o que completa a nossa prova.
Uma aplicac¸a\u2dco direta dos resultados do Exemplo 4.7.14 e do Exemplo 4.7.16, sera´ feita
quando da apresentac¸a\u2dco de projec¸a\u2dco ortogonal em subespac¸o de dimensa\u2dco finita, que
vamos estudar com todo detalhe na sec¸a\u2dco 5.15.
Petronio Pulino 267
Exerc´\u131cios
Exerc´\u131cio 4.34 Determine o operador linear T : IR2 \u2212\u2192 IR2 que representa a reflexa\u2dco
em torno da reta y = \u2212x, utilizando conceitos de geometria anal´\u131tica. Mostre que T e´
um operador auto\u2013reflexivo.
Exerc´\u131cio 4.35 Determine o operador linear P : IR3 \u2212\u2192 IR3 que representa a projec¸a\u2dco
no plano S = { (x, y, z) \u2208 IR3 / x + y + z = 0 }, utilizando conceitos de geometria
anal´\u131tica. Mostre que P e´ um operador idempotente.
Exerc´\u131cio 4.36 Seja T \u2208 L(IR2) tal que T (1, 0) = (2, 1) e T (0, 1) = (1, 4).
(a) Determine T (2, 4).
(b) Determine o elemento (x, y) \u2208 IR2 tal que T (x, y) = (2, 3).
(c) Mostre que T e´ um automorfismo de IR2.
Exerc´\u131cio 4.37 Seja T \u2208 L(IR3) tal que
T (1, 0, 0) = (1, 1, 1) , T (0, 1, 0) = (1, 0, 1) e T (0, 1, 2) = (0, 0, 4) .
T e´ um automorfismo de IR3 ? Em caso afirmativo, determine o automorfismo inverso.
Exerc´\u131cio 4.38 Dado o elemento q(x) = 3 + x \u2208 P1(IR). Considere o operador linear
T sobre P2(IR) definido por: T (p)(x) = q(x)p\u2032(x) + 2p(x) e a transformac¸a\u2dco linear
P : P2(IR) \u2212\u2192 IR3 definida por: P (a + bx + cx2) = (a + b, c, a \u2212 b). Determine a
transformac¸a\u2dco linear P \u25e6 T e verifique se e´ um isomorfismo de P2(IR) em IR3.
Exerc´\u131cio 4.39 Considere a transformac¸a\u2dco linear T : IR2 \u2212\u2192 IR3 definida por:
T (x, y) = (2x , x\u2212 y , y)
e a transformac¸a\u2dco linear P : IR3 \u2212\u2192 IR2 definida por:
P (x, y, z) = (y \u2212 z , z \u2212 x) .
(a) Determine a transformac¸a\u2dco linear P \u25e6T e uma base para o subespac¸o Ker(P \u25e6T ).
(b) Determine a transformac¸a\u2dco linear T \u25e6P e uma base para o subespac¸o Im(T \u25e6P ).
(c) Verifique se T \u25e6 P e´ um automorfismo de IR3. Em caso afirmativo, determine o
automorfismo inverso.
268 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
4.8 Representac¸a\u2dco Matricial
Sejam V e W espac¸os vetoriais de dimensa\u2dco finita sobre o corpo IF . Vamos considerar
\u3b2 = { v1 , · · · , vn } uma base ordenada para V e \u3b3 = { w1 , · · · , wm } uma base
ordenada para W . Seja T : V \u2212\u2192 W uma transformac¸a\u2dco linear, pelo Teorema 4.2.1,
sabemos que T fica bem determinada pelo seu efeito sobre os elementos da base \u3b2 de
V . Assim, cada elemento T (vj) \u2208 W pode ser escrito de modo u´nico da forma:
T (vj) =
m\u2211
i=1
tij wi para j = 1, · · · , n ,
onde os escalares t1j , · · · , tmj \u2208 IF sa\u2dco as coordenadas do elemento T (vj) com relac¸a\u2dco
a` base ordenada \u3b3 de W . Desse modo, a transformac¸a\u2dco linear T fica bem determinada
pela matriz m × n cuja j\u2013e´sima coluna sa\u2dco as coordenadas do elemento T (vj) com
relac¸a\u2dco a` base ordenada \u3b3 de W . Vamos denotar essa matriz por [T ]\u3b2\u3b3 = [tij] , que e´ a
representac¸a\u2dco matricial da transformac¸a\u2dco linear T com relac¸a\u2dco a` base ordenada \u3b2 de
V e a base ordenada \u3b3 de W .
Teorema 4.8.1 Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre o corpo IF , \u3b2 uma base
ordenada para V , \u3b3 uma base ordenada para W e T uma transformac¸a\u2dco linear de V
em W . Enta\u2dco, para todo v \u2208 V temos que
[T (v)]\u3b3 = [T ]
\u3b2
\u3b3 [v]\u3b2 .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Considere o elemento v \u2208 V , que e´ escrito de modo u´nico na forma:
v =
n\u2211
j=1
cj vj .
Assim, temos que
T (v) =
n\u2211
j=1
cj T (vj) =
n\u2211
j=1
cj
m\u2211
i=1
tij wi =
m\u2211
i=1
(
n\u2211
j=1
tij cj
)
wi ,
onde
n\u2211
j=1
tij cj
e´ a i\u2013e´sima coordenada do elemento T (v) \u2208 W com relac¸a\u2dco a base ordenada \u3b3, que
e´ o produto da i\u2013e´sima linha da matriz [T ]\u3b2\u3b3 pelo vetor coordenada [v]\u3b2 do elemento
v \u2208 V com relac¸a\u2dco a base ordenada \u3b2. Portanto, mostramos que
[T (v)]\u3b3 = [T ]
\u3b2
\u3b3 [v]\u3b2 ,
o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Petronio Pulino 269
Teorema 4.8.2 Sejam V e W espac¸os vetoriais de dimensa\u2dco finita sobre o corpo IF ,
\u3b2 uma base ordenada para V , \u3b3 uma base ordenada para W , T e P transformac¸o\u2dces
lineares de V em W . Enta\u2dco,
(a) [T + P ]\u3b2\u3b3 = [T ]
\u3b2
\u3b3 + [P ]
\u3b2
\u3b3 .
(b) [\u3bbT ]\u3b2\u3b3 = \u3bb [T ]
\u3b2
\u3b3 para todo \u3bb \u2208 IF .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Sejam \u3b2 = { v1 , · · · , vn } e \u3b3 = {w1 , · · · , wm } bases ordenadas
para V e W , respectivamente.
Pelo Teorema 4.8.1, sabemos que existem escalares aij e bij , para i = 1, · · · , n e
j = 1, · · · , m , tais que
T (vj) =
m\u2211
i=1
aij wi e P (vj) =
m\u2211
i=1
bij wi
para j = 1, · · · , n. Assim, [T ]\u3b2\u3b3 = A = [aij] e [P ]\u3b2\u3b3 = B = [bij].