capítulo 4
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capítulo 4


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independente.
Portanto, Ker(T ) = { 0V }, isto e´, T e´ um operador injetor. Utilizando o Teorema do
nu´cleo e da imagem, obtemos dim(Im(T )) = dim(V ). Logo, Im(T ) = V , isto e´, T e´
um operador sobrejetor. Portanto, T e´ um automorfismo de V .
276 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exemplo 4.8.13 Sejam T um operador linear sobre IR4, \u3b3 = { v1, v2, v3, v4 } uma
base ordenada para o espac¸o vetorial real IR4 e o subespac¸o S = [v1, v2, v3].
(a) Sabendo que T (v) = v para todo v \u2208 S e T (v4) = v1 + v3 , determine [T ]\u3b3\u3b3 .
(b) Sabendo que
[I]\u3b2\u3b3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
onde \u3b2 = { e1, e2, e3, e4 } e´ a base cano\u2c6nica de IR4, determine [T (e1)]\u3b3 .
Sabendo que T (v) = v para todo v \u2208 S e que T (v4) = v1 + v3 , obtemos
T (v1) = v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3 + 0v4
T (v2) = v2 = 0v1 + 1v2 + 0v3 + 0v4
T (v3) = v3 = 0v1 + 0v2 + 1v3 + 0v4
T (v4) = v1 + v3 = 1v1 + 0v2 + 1v3 + 0v4
Portanto, temos que
[T ]\u3b3\u3b3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Conhecemos as matrizes [I]\u3b2\u3b3 e [T ]
\u3b3
\u3b3 , para encontrar [T (e1)]\u3b3 , vamos determinar
inicialmente [e1]\u3b3 da seguinte forma:
[e1]\u3b3 = [I]
\u3b2
\u3b3 [e1]\u3b2 \u21d0\u21d2 [e1]\u3b3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
0
0
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
0
0
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Finalmente, calculamos
[T (e1)]\u3b3 = [T ]
\u3b3
\u3b3 [e1]\u3b3 \u21d0\u21d2 [T (e1)]\u3b3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
0
0
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
0
1
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
o que completa a resoluc¸a\u2dco.
Petronio Pulino 277
Exemplo 4.8.14 Considere o operador linear T : P3(IR) \u2212\u2192 P3(IR) definido por:
T (p(x)) = p(x) + (1 + x)p\u2032(x) .
Verifique se T e´ um automorfismo de P3(IR), e determine a matriz [T ]\u3b2\u3b2 , onde \u3b2 e´ a
base cano\u2c6nica de P3(IR).
Vamos verificar se o operador T e´ um automorfismo de P3(IR). Para isso, devemos
determinar o subespac¸o Ker(T ), isto e´,
Ker(T ) = { p(x) \u2208 P3(IR) / T (p(x)) = 0P3(IR) } .
Tomando um elemento gene´rico p(x) = a + bx + cx2 + dx3, vamos impor a condic¸a\u2dco
que p(x) \u2208 Ker(T ), isto e´,
T (p(x)) = ( a + bx + cx2 + dx3 ) + ( 1 + x )( b + 2cx + 3dx2 ) = 0P3(IR)
= ( a + b ) + ( 2b + 2c )x + ( 3c + 3d )x2 + 4dx3 = 0P3(IR)
o que nos leva a um sistema linear homoge\u2c6neo que possui somente a soluc¸a\u2dco trivial
a = b = c = d = 0 .
Assim, mostramos que Ker(T ) = { 0P3(IR) }, isto e´, T e´ um operador injetor.
Pelo Teorema do nu´cleo e da imagem, sabemos que Im(T ) = P3(IR), isto e´, T e´ um
operador sobrejetor. Portanto, mostramos que T e´ um automorfismo de P3(IR).
Finalmente, vamos determinar a representac¸a\u2dco matricial do operador T com relac¸a\u2dco a`
base cano\u2c6nica \u3b2 = { 1, x, x2, x3 } de P3(IR). Para isso, vamos calcular
T (1) = 1
T (x) = 1 + 2x
T (x2) = 2x + 3x2
T (x3) = 3x2 + 4x3
Desse modo, obtemos
[T ]\u3b2\u3b2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 0 0
0 2 2 0
0 0 3 3
0 0 0 4
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
o que completa a resoluc¸a\u2dco.
278 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exemplo 4.8.15 Considere uma matriz A \u2208 IMm×n(IR). Definimos a transformac¸a\u2dco
linear TA de IR
n em IRm associada a` matriz A = [aij ] da seguinte forma:
y = TA(x) para todo x = (x1, · · · , xn) \u2208 IRn ,
onde a i\u2013e´sima componente do elemento y = (y1, · · · , ym) \u2208 IRm e´ dada por:
yi =
n\u2211
j=1
aij xj ; i = 1, · · · , m .
Podemos verificar que a matriz [TA]
\u3b2
\u3b3 = A, onde \u3b2 e´ a base cano\u2c6nica do IR
n e \u3b3 e´ a
base cano\u2c6nica do IRm. Assim, [TA(x)]\u3b3 = [TA]
\u3b2
\u3b3 [x]\u3b2 = A[x]\u3b2 para todo x \u2208 IRn.
Definic¸a\u2dco 4.8.1 Sejam A \u2208 IMm×n(IR) e a transformac¸a\u2dco linear TA de IRn em IRm,
associada a` matriz A. Definimos o posto da matriz A, que denotamos por posto(A),
como sendo a dimensa\u2dco da imagem de TA, isto e´, posto(A) = dim( Im(TA) ).
Exemplo 4.8.16 Sejam A \u2208 IMm×n(IR) e a transformac¸a\u2dco linear TA de IRn em
IRm associada a` matriz A. Podemos verificar facilmente que o posto(A) e´ igual ao
nu´mero de colunas de A que sa\u2dco linearmente independentes em IRm, tendo em vista que
a Im(TA) e´ o subespac¸o gerado pelas colunas da matriz A. Sendo assim, denotando a
matriz A = [v1 · · · vj · · · vn], onde vj \u2208 IRm e´ a j\u2013e´sima coluna de A, temos que todo
elemento y \u2208 Im(TA) e´ escrito como:
y =
n\u2211
j=1
cj vj .
Exemplo 4.8.17 Considere a matriz A \u2208 IM3×4(IR) dada por:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1 3 4 1\u22121 5 2 1
3 1 6 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
Determine a transformac¸a\u2dco linear TA associada a` matriz A e o posto(A).
Exemplo 4.8.18 Considere a matriz A \u2208 IM4×3(IR) dada por:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 3 4
\u22121 5 2
3 1 6
1 1 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Determine a transformac¸a\u2dco linear TA associada a` matriz A e o posto(A).
Petronio Pulino 279
Na sec¸a\u2dco 8.10 apresentamos um estudo mais detalhado sobre os resultados envolvendo o
posto de A, mostrando que a Definic¸a\u2dco 2.6.3 e a Definic¸a\u2dco 4.8.1 sa\u2dco compat´\u131veis. A
seguir apresentamos alguns resultados importantes sobre o posto de uma matriz.
Teorema 4.8.4 Sejam A \u2208 IMm×n(IR), TA : IRn \u2212\u2192 IRm a transformac¸a\u2dco linear
associada a` matriz A, Q \u2208 IMn(IR) uma matriz invert´\u131vel, TQ : IRn \u2212\u2192 IRn a
transformac¸a\u2dco linear associada a` matriz Q, e TAQ : IR
n \u2212\u2192 IRm a transformac¸a\u2dco linear
associada a` matriz AQ. Enta\u2dco,
Im(TAQ) = Im(TA \u25e6 TQ) = Im(TA) .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Como Q e´ uma matriz invert´\u131vel, do Teorema 3.7.2, provamos que
Im(TQ) = IR
n, isto e´, todo elemento y \u2208 IRn pode ser escrito como y = TQ(x) para
algum x \u2208 IRn. Ale´m disso, do Teorema 2.9.7, temos que Ker(TQ) = { 0IRn }. Portanto,
mostramos que TQ e´ bijetora. Desse modo, temos que todo elemento z \u2208 Im(TAQ) e´
representado da forma:
z = TAQ(x) = (TA \u25e6 TQ)(x) = TA(TQ(x)) = TA(y) ,
onde y = TQ(x), para algum x \u2208 IRn, o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Corola´rio 4.8.3 Sejam A \u2208 IMm×n(IR) e Q \u2208 IMn(IR) uma matriz invert´\u131vel. Enta\u2dco,
posto(AQ) = posto(A) .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 A prova segue imediata da Definic¸a\u2dco 4.8.1 e do Teorema 4.8.4. \ufffd
Exemplo 4.8.19 Considere a matriz A \u2208 IM4×3(IR) e Q \u2208 IM3(IR) uma matriz
invert´\u131vel dadas por:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 3 4
\u22121 5 2
3 1 6
1 1 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb e Q =
\uf8ee\uf8ef\uf8f01 0 10 1 1
1 1 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
(a) Determine as transformac¸o\u2dces lineares TA , TQ e TAQ.
(b) Verifique que posto(AQ) = posto(A).
Teorema 4.8.5 Sejam A \u2208 IMm×n(IR) e P \u2208 IMm(IR) uma matriz invert´\u131vel. Enta\u2dco,
posto(PA) = posto(A) .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 A prova pode ficar a cargo do leitor. \ufffd
280 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exerc´\u131cios
Exerc´\u131cio 4.40 Considere a transformac¸a\u2dco linear T : IR3 \u2212\u2192 IR2 definida por:
T (x, y, z) = (x \u2212 y + z , \u2212x + 2z) .
Determine [T ]\u3b3\u3b2 , onde \u3b3 e´ a base cano\u2c6nica de IR
3 e \u3b2 e´ a base cano\u2c6nica de IR2.
Exerc´\u131cio 4.41 Considere o operador linear T sobre IR3 definida por:
T (x, y, z) = (x \u2212 y + z , x + y + 2z , x + 2y + z) .
Determine [T ]\u3b2\u3b2 , onde \u3b2 e´ a base cano\u2c6nica de IR
3.
Exerc´\u131cio 4.42 Considere o operador linear T sobre IR2 definido por:
T (x, y) = (x + 2y , 2x + 4y) .
Determine [T ]\u3b2\u3b2 , [T ]
\u3b2
\u3b1 , [T ]
\u3b1
\u3b2 e [T ]
\u3b3
\u3b1 , onde as base \u3b2 , \u3b1 e \u3b3 sa\u2dco dadas por:
\u3b2 = { (1, 0) , (0, 1) } , \u3b1 = { (1,\u22121) , (0, 1) } e \u3b3 = { (1,\u22121) , (1, 1) } .
Exerc´\u131cio 4.43 Considere o operador linear T sobre IR3 definido por:
T (x, y, z) = ( x+ 2y + z , 2x\u2212 y , 2y + z ) .
Determine as matrizes [T ]\u3b2\u3b2 , [T ]
\u3b3
\u3b2 e [T ]
\u3b2
\u3b3 , onde as bases \u3b2 e \u3b3 sa\u2dco dadas por:
\u3b2 = { (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) } e \u3b3 = { (1, 0, 1) , (0, 1, 1) , (0, 0, 1) } .
Exerc´\u131cio 4.44 Considere a transformac¸a\u2dco linear T : IR3 \u2212\u2192 IR2 definida por:
T (x, y, z) = (x + y \u2212 z , 2x \u2212 y + 2z) .
Determine a matriz [T ]\u3b3\u3b2 , onde as bases \u3b2 e \u3b3 sa\u2dco dadas por:
\u3b3 = { (1, 0, 1) , (0, 1, 1) , (1, 1, 0) } e \u3b2 = { (1,\u22121) , (0, 1) } .
Petronio Pulino 281
Exerc´\u131cio 4.45 Seja U um subespac¸o de P3(IR). Considere a transformac¸a\u2dco linear
T : U \u2212\u2192 P2(IR) dada por: T (p(x)) = p\u2032(x) + (x + 1)p(0). Seja
[T ]\u3b2\u3b3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f01 12 1
1