capítulo 4
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capítulo 4


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\uf8f9\uf8fa\uf8fb onde \u3b2 = { x\u2212 x2 + x3, 1 + x+ x2 } .
(a) Determine [p(x)]\u3b2 sabendo que [T (p(x))]\u3b3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f035
4
\uf8f9\uf8fa\uf8fb.
(b) Se \u3b3 = { x+ 2, p1(x), p2(x) }, determine 3p1(x) + 3p2(x).
Exerc´\u131cio 4.46 Mostre que a transformac¸a\u2dco linear T : P2(IR) \u2212\u2192 IR3 definida por:
T (p(x)) = (p(\u22121), p(0), p(1)) e´ bijetora. Determine a matriz [T ]\u3b3\u3b2 , onde \u3b3 e´ a base
cano\u2c6nica de P2(IR) e \u3b2 e´ a base cano\u2c6nica de IR3.
Exerc´\u131cio 4.47 Mostre que o operador linear T sobre IR3 definido por:
T (x, y, z) = (x\u2212 y, 2y, y + z)
e´ invert´\u131vel e determine o isomorfismo inverso T\u22121, utilizando a matriz [T ]\u3b2\u3b2 , onde \u3b2
e´ a base cano\u2c6nica do IR3.
Exerc´\u131cio 4.48 Considere o operador linear T sobre IR2 definido por:
T (x, y) = (x\u2212 2y, \u22122x+ y) .
(a) Determine a matriz [T ]\u3b2\u3b2 , onde \u3b2 = { (1, 1), (1,\u22121) }.
(b) Determine o isomorfismo inverso T\u22121.
Exerc´\u131cio 4.49 Considere a matriz A \u2208 IM3×2(IR) e P \u2208 IM3(IR) uma matriz
invert´\u131vel dadas por:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8f01 02 1
1 \u22121
\uf8f9\uf8fa\uf8fb e P =
\uf8ee\uf8ef\uf8f01 0 10 1 1
1 1 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
Verifique que posto(PA) = posto(A).
Exerc´\u131cio 4.50 Sejam A \u2208 IMm×n(IR), P \u2208 IMm(IR) e Q \u2208 IMn(IR) matrizes
invert´\u131veis. Mostre que posto(PAQ) = posto(A).
282 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exerc´\u131cio 4.51 Sejam A \u2208 IMm×n(IR) e H \u2208 IMm(IR) uma matriz elementar de
linha. Mostre que posto(HA) = posto(A). Sugesta\u2dco: fac¸a uso do Teorema 2.7.4.
Exerc´\u131cio 4.52 Sejam A \u2208 IMm×n(IR) e K \u2208 IMn(IR) uma matriz elementar de
coluna. Mostre que posto(AK) = posto(A). Sugesta\u2dco: fac¸a uso do Teorema 2.7.5.
Exerc´\u131cio 4.53 Considere a transformac¸a\u2dco linear T : IR2 \u2212\u2192 IR3 tal que
[T ]\u3b2\u3b3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1 \u221210 1
\u22122 3
\uf8f9\uf8fa\uf8fb ,
onde \u3b2 e´ a base cano\u2c6nica de IR2 e \u3b3 = { (1, 0, 1), (\u22121, 0, 1), (0, 1, 0) }.
(a) Determine T (1, 0) e T (0, 1).
(b) Determine uma base para Im(T ).
(c) A transformac¸a\u2dco T e´ injetora ?
Exerc´\u131cio 4.54 Seja T : IR2 \u2212\u2192 IR2 o operador linear definido por:
T (x, y) = (3x \u2212 2y , \u22122x + 3y) .
(a) Determine uma base para cada um dos seguintes subespac¸os:
U1 = { (x, y) \u2208 IR2 / T (x, y) = 5(x, y) }
U2 = { (x, y) \u2208 IR2 / T (x, y) = (x, y) }
(b) Mostre que o conjunto \u3b2 = \u3b21 \u222a \u3b22 , onde \u3b21 e´ uma base para U1 e \u3b22 e´ uma
base para U2 , e´ uma base para IR
2 e determine [T ]\u3b2\u3b2.
Exerc´\u131cio 4.55 Sejam T um operador linear sobre IR4, \u3b3 = { v1, v2, v3, v4 } uma
base ordenada para o espac¸o vetorial real IR4 e o subespac¸o S = [v1, v2, v3].
(a) Sabendo que T (v) = v para todo v \u2208 S e T (v4) = v1 + v3 , determine [T ]\u3b3\u3b3 .
(b) Sabendo que
[I]\u3b2\u3b3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
onde \u3b2 = { e1, e2, e3, e4 } e´ a base cano\u2c6nica de IR4, determine [T (e1)]\u3b3 .
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