capítulo 4
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capítulo 4


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. 711
Bibliografia 735
iv CONTEU´DO
c©Petronio Pulino, 2011 DMA \u2013 IMECC \u2013 UNICAMP
4
Transformac¸o\u2dces Lineares
Conteu´do
4.1 Transformac¸o\u2dces do Plano no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.2 Transformac¸a\u2dco Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.3 Nu´cleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4.4 Posto e Nulidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.5 Espac¸os Vetoriais Isomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.6 A´lgebra das Transformac¸o\u2dces Lineares . . . . . . . . . . . . . . 249
4.7 Transformac¸a\u2dco Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.8 Representac¸a\u2dco Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
219
220 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
4.1 Transformac¸o\u2dces do Plano no Plano
Exemplo 4.1.1 Considere o espac¸o vetorial real IR2, e um escalar \u3bb \u2208 IR fixo. A
transformac¸a\u2dco
T : IR2 \u2212\u2192 IR2
(x, y) \u2212\u2192 T (x, y) = \u3bb (x, y)
e´ uma contrac¸a\u2dco para |\u3bb | < 1. Quando |\u3bb | > 1, dizemos que T e´ uma expansa\u2dco.
Exemplo 4.1.2 Considere o espac¸o vetorial real IR2. A transformac¸a\u2dco
T : IR2 \u2212\u2192 IR2
(x, y) \u2212\u2192 T (x, y) = (x, \u2212y)
e´ a reflexa\u2dco em torno do eixo\u2013ox.
Exemplo 4.1.3 Considere o espac¸o vetorial real IR2. A transformac¸a\u2dco
T : IR2 \u2212\u2192 IR2
(x, y) \u2212\u2192 T (x, y) = (\u2212x, \u2212y)
e´ a reflexa\u2dco em torno da origem.
Exemplo 4.1.4 Considere o espac¸o vetorial real IR2. Dado um elemento (a, b) \u2208 IR2,
a transformac¸a\u2dco
T : IR2 \u2212\u2192 IR2
(x, y) \u2212\u2192 T (x, y) = (x , y) + (a , b)
e´ uma translac¸a\u2dco.
Exemplo 4.1.5 Considere o espac¸o vetorial real IR2. A transformac¸a\u2dco
T : IR2 \u2212\u2192 IR2
(x, y) \u2212\u2192 T (x, y) = ( x cos(\u3b8) \u2212 y sin(\u3b8) , x sin(\u3b8) + y cos(\u3b8) )
e´ uma rotac¸a\u2dco de um a\u2c6ngulo \u3b8 no sentido anti\u2013hora´rio.
Petronio Pulino 221
4.2 Transformac¸a\u2dco Linear
Definic¸a\u2dco 4.2.1 Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre o corpo IF e T uma aplicac¸a\u2dco
de V em W . Dizemos que T e´ uma Transformac¸a\u2dco Linear se possui as seguintes
propriedades:
(a) T (u + v) = T (u) + T (v) para todo u , v \u2208 V .
(b) T (\u3bbu) = \u3bbT (u) para todo u \u2208 V , \u3bb \u2208 IF .
Das duas propriedades de transformac¸a\u2dco linear, obtemos facilmente que
T (au + bv) = a T (u) + b T (v)
para todo u, v \u2208 V e todos escalares a, b \u2208 IF . Por induc¸a\u2dco, obtemos uma relac¸a\u2dco
mais geral
T
(
n\u2211
j=1
\u3b1j uj
)
=
n\u2211
j=1
\u3b1j T (uj)
para quaisquer elementos u1, · · · , un \u2208 V e quaisquer escalares \u3b1j, · · · , \u3b1n \u2208 IF .
Finalmente, fazendo \u3bb = 0 na propriedade (b), tem\u2013se T (0V ) = 0W .
Exemplo 4.2.1 Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF . Vamos definir a seguinte
transformac¸a\u2dco linear T (v) = v para todo v \u2208 V , que e´ a transformac¸a\u2dco identidade,
denotada por IV .
Exemplo 4.2.2 Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF . Vamos definir a seguinte
transformac¸a\u2dco linear T (v) = 0V para todo v \u2208 V , que e´ a transformac¸a\u2dco nula.
Exemplo 4.2.3 Dado um elemento c = (c1, · · · , cn) \u2208 IRn fixo, porem arbitra´rio,
vamos definir a seguinte transformac¸a\u2dco linear
T : IRn \u2212\u2192 IR
x \u2212\u2192 T (x) =
n\u2211
j=1
cj xj
A transformac¸a\u2dco linear T e´ o produto escalar entre o elemento x e o elemento c.
222 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exemplo 4.2.4 Seja V um espac¸o vetorial real. Considerando um escalar \u3bb \u2208 IR fixo,
porem arbitra´rio, definimos a seguinte transformac¸a\u2dco linear
T : V \u2212\u2192 V
v \u2212\u2192 T (v) = \u3bb v
A transformac¸a\u2dco linear T e´ uma contrac¸a\u2dco para |\u3bb | < 1. Quando |\u3bb | > 1,
dizemos que a transformac¸a\u2dco linear T e´ uma expansa\u2dco.
Exemplo 4.2.5 Considerando os espac¸os vetoriais reais C([a, b]) e C1([a, b]), definimos
a seguinte transformac¸a\u2dco linear
T : C1([a, b]) \u2212\u2192 C([a, b])
f \u2212\u2192 T (f) = f \u2032
com T (f)(x) = f \u2032(x) ; x \u2208 [a, b].
Exemplo 4.2.6 Considerando os espac¸os vetoriais reais C([a, b]) e C1([a, b]), definimos
a seguinte transformac¸a\u2dco linear
T : C([a, b]) \u2212\u2192 C1([a, b])
f \u2212\u2192 g = T (f)
com g(x) = T (f)(x) =
\u222b x
a
f(t)dt ; x \u2208 [a, b].
Exemplo 4.2.7 Considere os espac¸os vetoriais reais IRm e IRn. Dada uma matriz
A = [aij ] \u2208 IMm×n(IR), definimos a transformac¸a\u2dco linear associada a matriz A da
seguinte forma:
TA : IR
n \u2212\u2192 IRm
x \u2212\u2192 y = TA(x)
onde
yi =
n\u2211
j=1
aij xj para i = 1, · · · , m
e´ a i\u2013e´sima componente do elemento y = (y1, · · · , ym).
Petronio Pulino 223
Teorema 4.2.1 Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre o corpo IF , com dim(V ) igual
a n, \u3b2 = { v1 , · · · , vn } uma base ordenada para V e w1 , · · · , wn elementos
arbitra´rios de W . Enta\u2dco, existe uma u´nica transformac¸a\u2dco linear T : V \u2212\u2192 W tal que
T (vj) = wj para j = 1, · · · , n .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Inicialmente vamos mostrar que existe pelo menos uma transformac¸a\u2dco
linear T com T (vj) = wj. Dado um elemento u \u2208 V , sabemos que u e´ escrito de
modo u´nico como:
u =
n\u2211
i=1
ci vi .
Para este elemento u, vamos definir uma aplicac¸a\u2dco T : V \u2212\u2192 W da forma:
T (u) =
n\u2211
i=1
ciwi .
Temos que T e´ uma transformac¸a\u2dco bem definida. Pela definic¸a\u2dco, fica evidente que
T (vi) = wi. Para mostrar que T e´ uma transformac¸a\u2dco linear, sejam \u3bb \u2208 IF e um
elemento v \u2208 V escrito de modo u´nico como:
v =
n\u2211
i=1
bi vi .
Assim, temos que
T (u + \u3bbv) =
n\u2211
i=1
( ci + \u3bbbi )wi =
n\u2211
i=1
ciwi + \u3bb
n\u2211
i=1
biwi = T (u) + \u3bbT (v) .
mostrando que a aplicac¸a\u2dco T e´ linear.
Finalmente vamos mostrar a unicidade da transformac¸a\u2dco linear T . Para isso, supomos
que existe uma outra transformac¸a\u2dco linear P : V \u2212\u2192 W tal que
P (vj) = wj para j = 1, · · · , n .
Desse modo, temos que
P (u) = P
(
n\u2211
i=1
ci vi
)
=
n\u2211
i=1
ci P (vi) =
n\u2211
i=1
ciwi .
Logo, P e´ exatamente a regra da transformac¸a\u2dco linear T definida acima. Portanto,
provamos a unicidade da transformac¸a\u2dco linear T , o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
224 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exemplo 4.2.8 A aplicac¸a\u2dco T : IR2 \u2212\u2192 P2(IR) tal que
T (1, 0) = 1 \u2212 x e T (0, 1) = 1 \u2212 x2
define uma transformac¸a\u2dco linear de IR2 em P2(IR).
Estamos considerando o espac¸o vetorial IR2 com a base cano\u2c6nica
\u3b2 = { (1, 0), (0, 1) } .
Assim, dado um elemento (a, b) \u2208 IR2, podemos representa\u2013lo de modo u´nico como:
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) .
Desse modo, temos que
T (a, b) = aT (1, 0) + bT (0, 1) = a(1 \u2212 x) + b(1 \u2212 x2) .
Portanto, obtemos explicitamente a transformac¸a\u2dco linear T
T (a, b) = (a + b) \u2212 ax \u2212 bx2 para todo (a, b) \u2208 IR2 .
Exemplo 4.2.9 A aplicac¸a\u2dco T : IR2 \u2212\u2192 P3(IR) tal que
T (1, 1) = x e T (\u22121, 1) = x \u2212 x3
define uma transformac¸a\u2dco linear de IR2 em P3(IR).
Estamos considerando o espac¸o vetorial IR2 com a base ordenada
\u3b3 = { (1, 1), (\u22121, 1) } .
Assim, dado um elemento (a, b) \u2208 IR2, podemos representa\u2013lo de modo u´nico como:
(a, b) =
a+ b
2
(1, 1) +
b\u2212 a
2
(\u22121, 1) .
Desse modo, para todo (a, b) \u2208 IR2, temos que
T (a, b) =
a+ b
2
T (1, 1) +
b\u2212 a
2
T (\u22121, 1) = a+ b
2
x +
b\u2212 a
2
(x \u2212 x3) .
obtendo explicitamente a transformac¸a\u2dco linear T , dada por:
T (a, b) = bx +
a\u2212 b
2
x3 .
Petronio Pulino 225
Exerc´\u131cios
Exerc´\u131cio 4.1 Determine a transformac¸a\u2dco linear T do plano no plano que representa
uma rotac¸a\u2dco anti\u2013hora´ria de
pi
4
seguida por uma dilatac¸a\u2dco de
\u221a
2 .
Exerc´\u131cio 4.2 Considere a transformac¸a\u2dco linear T : IR2 \u2212\u2192 IR2 definida por:
T (x, y) = (x,\u2212y) .
Seja K um tria\u2c6ngulo de ve´rtices A = (\u22121, 4), B = (3, 1) e C = (2, 6). Fac¸a a
representac¸a\u2dco gra´fica da imagem de K pela transformac¸a\u2dco T .
Exerc´\u131cio 4.3 Considere a transformac¸a\u2dco linear T : IR2 \u2212\u2192 IR2 associada a matriz
A =
[
2 1
1 2
]
.
Considere o c´\u131rculo S = { (x, y) \u2208 IR2 / x2 + y2 = 1 }. Fac¸a a representac¸a\u2dco gra´fica
da imagem do c´\u131rculo S pela transformac¸a\u2dco linear T .
Exerc´\u131cio 4.4 Considere a transformac¸a\u2dco