capítulo 4
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capítulo 4


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e o operac¸a\u2dco de derivac¸a\u2dco D
sobre P3(IR), isto e´, D(p(x)) = p\u2032(x) para p(x) \u2208 P3(IR). Podemos verificar facilmente
que D e´ um operador nilpotente.
Petronio Pulino 253
4.7 Transformac¸a\u2dco Inversa
Definic¸a\u2dco 4.7.1 Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre o corpo IF e T : V \u2212\u2192 W
uma transformac¸a\u2dco linear. A aplicac¸a\u2dco L : Im(T ) \u2282 W \u2212\u2192 V e´ denominada inversa
a esquerda da transformac¸a\u2dco linear T se
(L \u25e6 T )(u) = u ; \u2200 u \u2208 V ,
isto e´, L \u25e6 T e´ a transformac¸a\u2dco identidade em V .
A transformac¸a\u2dco R : Im(T ) \u2282 W \u2212\u2192 V e´ denominada inversa a direita de T se
(T \u25e6R)(w) = w ; \u2200 w \u2208 Im(T ) ,
isto e´, T \u25e6R e´ a transformac¸a\u2dco identidade em Im(T ).
Teorema 4.7.1 Considere os espac¸os vetoriais V e W de dimensa\u2dco finita sobre o
corpo IF . Seja T : V \u2212\u2192 W uma transformac¸a\u2dco linear que possui inversa a esquerda
L. Enta\u2dco, L e´ tambe´m inversa a direita de T . Ale´m disso, L e´ u´nica.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Primeiramente devemos observar que, pela Definic¸a\u2dco 4.7.1, tanto a
inversa a esquerda quanto a inversa a direita esta\u2dco definidas em Im(T ) \u2282 W .
Vamos mostrar que L e´ u´nica. Suponhamos que T possui duas inversas a esquerda
L1 e L2, isto e´, para todo u \u2208 V tem\u2013se que
(L1 \u25e6 T )(u) = u e (L2 \u25e6 T )(u) = u .
Temos que L1(w) = u e L2(w) = u para w \u2208 Im(T ). Desse modo,
L1(w) \u2212 L2(w) = 0V =\u21d2 ( L1 \u2212 L2 )(w) = 0V ; w \u2208 Im(T ) .
Logo, L1 = L2, o que prova a unicidade de L.
Agora vamos mostrar que L e´ tambe´m a inversa a direita de T . Seja w \u2208 Im(T ).
Assim, basta mostrar que (T \u25e6 L)(w) = w.
Como w \u2208 Im(T ), temos que w = T (u) para algum u \u2208 V . Como L e´ a inversa a
esquerda de T , tem\u2013se que
u = L(T (u)) = L(w) =\u21d2 T (u) = T (L(w)) .
Portanto, T (L(w)) = (T \u25e6 L)(w) = w, uma vez que w = T (u). Assim, provamos que
L e´ a inversa a direita de T , o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
254 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exemplo 4.7.1 Considere a transformac¸a\u2dco linear T : IR \u2212\u2192 IR2 definida por:
T (x) = (x, 2x) .
Primeiramente vamos observar que o subespac¸o Im(T ) = [(1, 2)]. Logo, todo elemento
(x, y) \u2208 Im(T ) e´ da forma (x, 2x). Ale´m disso, a transformac¸a\u2dco linear T e´ injetora.
Temos que a inversa a esquerda L : Im(T ) \u2282 IR2 \u2212\u2192 IR e´ definida por:
L(x, y) =
x
3
+
y
3
.
Assim, temos que (L \u25e6 T )(x) = x para todo x \u2208 IR.
A inversa a direita R : Im(T ) \u2282 IR2 \u2212\u2192 IR e´ definida por:
R(x, y) =
x
3
+
y
3
.
Assim, temos que (T \u25e6R)(x, y) = (x, y) para todo (x, y) \u2208 Im(T ) \u2282 IR2.
Desse modo, apresentamos um excelente exemplo para o Teorema 4.7.1, mostrando que a
existe\u2c6ncia e unicidade da inversa a esquerda implica na existe\u2c6ncia e unicidade da inversa
a direita e que sa\u2dco iguais.
Exemplo 4.7.2 Considere a transformac¸a\u2dco linear T : IR2 \u2212\u2192 IR definida por:
T (x, y) = x + y .
Primeiramente vamos observar que a transformac¸a\u2dco linear T na\u2dco e´ injetora, pois
Ker(T ) = { (x, y) \u2208 IR2 / x = \u2212y } .
Logo, dim(Ker(T ) ) = 1, o que implica na Im(T ) = IR, pelo Teorema do nu´cleo e da
imagem.
A transformac¸a\u2dco T na\u2dco possui inversa a esquerda, entretanto, podemos apresentar
va´rios exemplos de inversa a direita. Desse modo, podemos tomar como exemplos de
inversa a direita R : Im(T ) = IR \u2212\u2192 IR2 as seguintes transformac¸o\u2dces:
R(x) =
(x
2
,
x
2
)
e R(x) =
(
2x
3
,
x
3
)
.
Assim, temos que (T \u25e6R)(x) = x para todo x \u2208 Im(T ) = IR.
Desse modo, apresentamos um exemplo onde a na\u2dco existe\u2c6ncia da inversa a esquerda
implica na na\u2dco unicidade da inversa a direita.
Petronio Pulino 255
Exemplo 4.7.3 Considere a transformac¸a\u2dco linear TA : IR
2 \u2212\u2192 IR2 definida por:
TA(x, y) = (x+ y, 2x+ y) ,
associada a` matriz A =
[
1 1
2 1
]
.
Primeiramente vamos observar que a transformac¸a\u2dco linear TA e´ injetora. Ale´m disso,
pelo Teorema do nu´cleo e da imagem, podemos concluir que Im(TA) = IR
2. Logo, T e´
um isomorfismo.
Temos que a inversa a esquerda L : Im(TA) \u2212\u2192 IR2 e´ a transformac¸a\u2dco linear
L(x, y) = (\u2212x+ y, 2x\u2212 y)
associada a` matriz A\u22121 =
[
\u22121 1
2 \u22121
]
.
Assim, temos que (L \u25e6 T )(x, y) = (T \u25e6 L)(x, y) = (x, y) para todo (x, y) \u2208 IR2.
Exemplo 4.7.4 Considere a transformac¸a\u2dco linear T : IR2 \u2212\u2192 IR3 definida por:
T (x, y) = (x+ y, y \u2212 x, x+ 3y) .
Note que a transformac¸a\u2dco linear T e´ injetora e que o subespac¸o Im(T ) tem como
uma base o conjunto { (1,\u22121, 1), (1, 1, 3) }.
Temos que a inversa a esquerda L : Im(T ) \u2282 IR3 \u2212\u2192 IR2 e´ definida por:
L(x, y, z) =
(\u22123x\u2212 3y + 2z
2
,
x+ y
2
)
.
Assim, temos que (L \u25e6T )(x, y) = (x, y) para todo (x, y) \u2208 IR2. Ale´m disso, temos que
(T \u25e6 L)(x, y, z) = (x, y, z) para todo (x, y, z) \u2208 Im(T ).
Desse modo, desenvolvemos dois exemplos como ilustrac¸a\u2dco do Teorema 4.7.2, sobre a
existe\u2c6ncia da inversa a esquerda, que vamos apresentar a seguir.
256 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Teorema 4.7.2 Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre o corpo IF e T uma
transformac¸a\u2dco linear de V em W . Enta\u2dco, T possui inversa a esquerda se, e somente
se, T e´ injetora.
Demonstrac¸a\u2dco
(=\u21d2) Seja L : Im(T ) \u2212\u2192 V a inversa a esquerda de T . Sejam u, v \u2208 V com
T (u) = T (v). Assim, temos que
u = L(T (u)) = L(T (v)) = v
Logo, T e´ injetora.
(\u21d0=) Por hipo´tese temos T injetora. Seja w \u2208 Im(T ), isto e´, w = T (u) para um
u´nico u \u2208 V . Assim, definimos a transformac¸a\u2dco L : Im(T ) \u2212\u2192 V da seguinte forma
L(w) = u tal que T (u) = w. Logo, L e´ a inversa a esquerda de T , o que completa
a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Definic¸a\u2dco 4.7.2 Seja T : V \u2212\u2192 W uma transformac¸a\u2dco linear injetora. A u´nica
transformac¸a\u2dco inversa a esquerda de T , que tambe´m e´ a transformac¸a\u2dco inversa a direita,
e´ denotada por T\u22121. Dizemos que a transformac¸a\u2dco T e´ invert´\u131vel, e chamamos a
transformac¸a\u2dco T\u22121 : Im(T ) \u2282 W \u2212\u2192 V de transformac¸a\u2dco inversa de T .
Teorema 4.7.3 Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre o corpo IF e T : V \u2212\u2192 W
um isomorfismo. Enta\u2dco, T\u22121 : W \u2212\u2192 V e´ uma transformac¸a\u2dco linear.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Sejam w1, w2 \u2208 W e \u3bb \u2208 IF . Queremos mostrar que
T\u22121(\u3bbw1 + w2) = \u3bbT
\u22121(w1) + T
\u22121(w2) .
Sejam u1 = T
\u22121(w1) e u2 = T
\u22121(w2) , isto e´, u1 e u2 sa\u2dco os u´nicos elementos em
V tais que T (u1) = w1 e T (u2) = w2.
Como T e´ uma transformac¸a\u2dco linear, temos que
T (\u3bbu1 + u2) = \u3bbT (u1) + T (u2) = \u3bbw1 + w2 .
Desse modo, \u3bbu1 + u2 e´ o u´nico elemento em V que e´ levado pela transformac¸a\u2dco
linear T no elemento \u3bbw1 + w2 em W . Portanto
T\u22121(\u3bbw1 + w2) = \u3bbu1 + u2 = \u3bbT
\u22121(w1) + T
\u22121(w2) ,
provando que T\u22121 e´ uma transformac¸a\u2dco linear. \ufffd
Petronio Pulino 257
Proposic¸a\u2dco 4.7.1 Sejam V e W espac¸os vetoriais de dimensa\u2dco finitas sobre o corpo
F e T um isomorfismo de V em W . Enta\u2dco, T\u22121 : W \u2212\u2192 V e´ tambe´m um
isomorfismo.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Pelo Teorema 4.7.3, sabemos que T\u22121 e´ uma transformac¸a\u2dco linear.
Assim, temos devemos mostrar que T\u22121 e´ bijetora.
Sejam w1, w2 \u2208 W tais que T\u22121(w1) = T\u22121(w2) = v. Desse modo, temos T (v) = w1
e T (v) = w2. Logo, w1 = w2 , pois T e´ uma aplicac¸a\u2dco. Portanto, T
\u22121 e´ injetora.
Para mostrar que T\u22121 e´ sobrejetora basta observar que Ker(T\u22121) = { 0W } , pois T\u22121
e´ injetora, e aplicar o Teorema do nu´cleo e da imagem,
dim(Ker(T\u22121) ) + dim( Im(T\u22121) ) = dim(W ) ,
obtendo que dim( Im(T\u22121) ) = dim(W ) = dim(V ), pois V e W sa\u2dco isomorfos.
Assim, Im(T\u22121) = V , o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Sejam V e U espac¸os vetoriais de dimensa\u2dco finita sobre o corpo IF . Podemos observar
que V e´ isomorfo a V , pois o operador identidade IV e´ um isomorfismo de V em V .
Ale´m disso, se V e´ isomorfo a U por meio de um isomorfismo T , enta\u2dco U e´ isomorfo
a V por meio do isomorfismo inverso T\u22121.
Exemplo 4.7.5 Considere V , U e W espac¸os vetoriais de dimensa\u2dco finita sobre
o corpo IF . Sejam T : V \u2212\u2192 U um isomorfismo, isto e´, V e´ isomorfo a U , e
P : U \u2212\u2192 W um isomorfismo,