capítulo 5
94 pág.

capítulo 5


DisciplinaÁlgebra Linear I21.433 materiais306.576 seguidores
Pré-visualização18 páginas
sa\u2dco os coeficientes de Fourier da func¸a\u2dco f com relac¸a\u2dco ao conjunto ortogonal \u3b3.
316 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
5.7 Processo de Gram\u2013Schmidt
Teorema 5.7.1 Considere V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF munido do produto
interno \u3008 · , · \u3009 . Sejam v1 , v2 , · · · , vn , · · · uma sequ¨e\u2c6ncia finita ou infinita de elementos
de V e Sk = [ v1 , · · · , vk ] o subespac¸o gerado pelos k primeiros elementos. Enta\u2dco,
existe uma sequ¨e\u2c6ncia correspondente de elementos q1 , q2 , · · · , qn , · · · em V a qual
possui as seguintes propriedades:
(a) O elemento qk e´ ortogonal a todo elemento do subespac¸o [ q1 , · · · , qk\u22121 ] .
(b) O subespac¸o Sk = [ v1 , · · · , vk ] e´ igual ao subespac¸o Wk = [ q1 , · · · , qk ] .
(c) A sequ¨e\u2c6ncia q1 , q2 , · · · , qn , · · · e´ u´nica, a menos de uma constante multiplicativa,
isto e´, se existir uma outra sequ¨e\u2c6ncia q\u20321 , q
\u2032
2 , · · · , q\u2032n , · · · , de elementos de V
satisfazendo as propriedades (a) e (b), enta\u2dco existem escalares ck \u2208 IF tais que
q\u2032k = ck qk para k = 1, 2, · · · , n, · · · .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Vamos construir os elementos q1 , q2 , · · · , qn , · · · por um processo
de induc¸a\u2dco sobre k. Inicialmente, escolhemos q1 = v1. Agora vamos assumir que ja´
constru´\u131mos os elementos q1 , · · · , qr tais que (a) e (b) sa\u2dco satisfeitas quando k = r.
Desse modo, definimos o elemento qr+1 pela equac¸a\u2dco
qr+1 = vr+1 \u2212
r\u2211
i=1
\u3b1i qi ,
onde os escalares \u3b1i \u2208 IF sa\u2dco escolhidos de modo conveniente. Para j \u2264 r, calculamos
\u3008 qr+1 , qj \u3009 = \u3008 vr+1 , qj \u3009 \u2212
r\u2211
i=1
\u3b1i \u3008 qi , qj \u3009 = \u3008 vr+1 , qj \u3009 \u2212 \u3b1j \u3008 qj , qj \u3009 ,
pois \u3008 qi , qj \u3009 = 0 para i 6= j.
Se qj 6= 0V , constru´\u131mos qr+1 ortogonal a qj escolhendo
\u3b1j =
\u3008 vr+1 , qj \u3009
\u3008 qj , qj \u3009 .
Caso qj = 0V , temos que qr+1 e´ ortogonal a qj para qualquer escolha de \u3b1j . Assim,
escolhemos \u3b1j = 0. Desse modo, o elemento qr+1 fica bem definido e e´ ortogonal
aos elementos q1 , · · · , qr . Portanto, o elemento qr+1 e´ ortogonal a todo elemento do
subespac¸o [ q1 , · · · , qr ]. Portanto, provamos a propriedade (a) quando k = r + 1.
Petronio Pulino 317
Para provar a propriedade (b), para k = r + 1, devemos mostrar que
Sr+1 = [ v1 , · · · , vr+1 ] = Wr+1 = [ q1 , · · · , qr+1 ]
tomando por hipo´tese que
Sr = [ v1 , · · · , vr ] = Wr = [ q1 , · · · , qr ] .
Os elementos q1 , · · · , qr pertencem ao subespac¸o Sr e tambe´m ao subespac¸o Sr+1.
Sabemos que o novo elemento qr+1 e´ escrito da seguinte forma:
qr+1 = vr+1 \u2212
r\u2211
i=1
\u3b1i qi .
Assim, o elemento qr+1 e´ escrito como a diferenc¸a de dois elementos que pertencem ao
subespac¸o Sr+1. Desse modo, o elemento qr+1 \u2208 Sr+1 . Logo, provamos que
[ q1 , · · · , qr+1 ] \u2286 [ v1 , · · · , vr+1 ] .
De modo ana´logo, temos que o elemento vr+1 e´ escrito como:
vr+1 = qr+1 +
r\u2211
i=1
\u3b1i qi .
Assim, o elemento vr+1 e´ escrito como a soma de dois elementos que pertencem ao
subespac¸o Wr+1. Desse modo, o elemento vr+1 \u2208 Wr+1 . Logo, provamos que
[ v1 , · · · , vr+1 ] \u2286 [ q1 , · · · , qr+1 ] .
Portanto, provamos a propriedade (b) quanto k = r + 1.
Finalmente, vamos provar a propriedade (c) por um processo de induc¸a\u2dco sobre k. Para
k = 1, o resultado segue trivialmente. Vamos assumir que a propriedade (c) e´ va´lida
para k = r e considerar o elemento q\u2032r+1 . Pela propriedade (b), temos que o elemento
q\u2032r+1 \u2208 Wr+1 . Assim, podemos escrever
q\u2032r+1 =
r+1\u2211
i=1
ci qi = wr + cr+1 qr+1 ,
onde o elemento wr \u2208 Wr. Agora, basta provar que wr = 0V . Pela propriedade (a),
sabemos que os elementos q\u2032r+1 e cr+1 qr+1 sa\u2dco ortogonais ao elemento wr. Desse
modo, obtemos
\u3008 q\u2032r+1 , wr \u3009 = \u3008wr , wr \u3009 + \u3008 cr+1 qr+1 , wr \u3009 =\u21d2 \u3008wr , wr \u3009 = 0 .
Logo, wr = 0V , o que completa a demonstrac¸a\u2dco do processo de ortogonalizac¸a\u2dco. \ufffd
318 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Do processo de ortogonalizac¸a\u2dco, sabemos que o elemento qr+1 e´ escrito da forma:
qr+1 = vr+1 \u2212
r\u2211
i=1
\u3b1i qi .
Desse modo, considerando que qr+1 = 0V para algum r, obtemos que o elemento vr+1 e´
uma combinac¸a\u2dco linear dos elementos q1 , · · · , qr , e tambe´m dos elementos v1 , · · · , vr .
Logo, os elementos v1 , · · · , vr , vr+1 sa\u2dco linearmente dependentes em V .
Portanto, se os elementos v1 , · · · , vk sa\u2dco linearmente independentes, enta\u2dco os elementos
q1 , · · · , qk sa\u2dco na\u2dco\u2013nulos. Assim, o processo de ortogonalizac¸a\u2dco de Gram\u2013Schmidt
pode ser descrito da seguinte forma:
q1 = v1 e qr+1 = vr+1 \u2212
r\u2211
i=1
\u3008 vr+1 , qi \u3009
\u3008 qi , qi \u3009 qi
para r = 1, · · · , k \u2212 1.
Exemplo 5.7.1 Considere o espac¸o vetorial real IR2 munido do produto interno usual
e \u3b3 = { (2, 1), (1, 1) } uma base ordenada do IR2. Obter a partir de \u3b3 uma base
ordenada ortogonal para IR2 com relac¸a\u2dco ao produto interno usual.
Vamos utilizar o processo de ortogonalizac¸a\u2dco de Gram\u2013Schmidt. Inicialmente, escolhemos
q1 = v1 = (2, 1) .
Em seguida, constru´\u131mos o elemento q2 da seguinte forma:
q2 = v2 \u2212 \u3b112 q1 ,
ortogonal ao subespac¸o W1 = [q1]. Assim, temos que
\u3b112 =
\u3008 v2 , q1 \u3009
\u3008 q1 , q1 \u3009 =
3
5
,
obtendo
q2 = (1, 1) \u2212 3
5
(2, 1) =
(
\u22121
5
,
2
5
)
.
Assim, fazendo uso da propriedade (c) do Teorema 5.7.1, obtemos
\u3b2 =
{
(2, 1) ,
(
\u22121
5
,
2
5
)}
ou \u3b2 = { (2, 1) , (\u22121, 2) }
uma base ortogonal para IR2.
Petronio Pulino 319
Teorema 5.7.2 Todo espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita munido de um produto interno
possui uma base ortonormal.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Sejam V um espac¸o vetorial munido de um produto interno \u3008 · , · \u3009
e \u3b2 = { v1 , · · · , vn } uma base ordenada para V . A partir da base ordenada \u3b2, vamos
obter uma base ortogonal, atrave´s do processo de ortogonalizac¸a\u2dco de Gram\u2013Schmidt.
Em primeiro lugar, seja q1 = v1. Note que o subespac¸o S1 = [v1] e´ igual ao subespac¸o
W1 = [q1]. Agora vamos construir um vetor q2 que seja ortogonal ao subespac¸o W1 e
que o subespac¸o S2 = [v1 , v2] seja igual ao subespac¸o W2 = [q1 , q2]. Enta\u2dco,
q2 = v2 \u2212 \u3b112 q1 =\u21d2 \u3b112 = \u3008 v2 , q1 \u3009\u2016 q1 \u201622
Como v1 e v2 sa\u2dco linearmente independentes, temos que q2 6= 0V .
Agora vamos construir um vetor q3 que seja ortogonal ao subespac¸o W2 e que o
subespac¸o S3 = [ v1 , v2 , v3 ] seja igual ao subespac¸o W3 = [ q1 , q2 , q3 ]. Enta\u2dco,
q3 = v3 \u2212 \u3b113 q1 \u2212 \u3b123 q2 =\u21d2 \u3b113 = \u3008 v3 , q1 \u3009\u2016 q1 \u201622
e \u3b123 =
\u3008 v3 , q2 \u3009
\u2016 q2 \u201622
Como v1 , v2 , v3 sa\u2dco linearmente independente, temos que q3 6= 0V .
Repetindo o processo para j = 2, · · ·n, temos que
qj = vj \u2212
j\u22121\u2211
i=1
\u3b1ij qi =\u21d2 \u3b1ij = \u3008 vj , qi \u3009\u2016 qi \u201622
para i = 1, · · · , j \u2212 1 .
Como v1 , · · · , vj sa\u2dco linearmente independentes, temos que qj 6= 0V . Ale´m disso,
temos que o subespac¸o Sj = [ v1 , · · · , vj ] e´ igual ao subespac¸o Wj = [ q1 , · · · , qj ].
Assim, obtemos uma base ortogonal { q1 , · · · , qn }. Finalmente, fazendo
q\u2217j =
qj
\u2016 qj \u20162 para j = 1, · · · , n
obtemos uma base ortonormal \u3b2\u2217 = { q\u22171 , · · · , q\u2217n }, o que completa a prova. \ufffd
320 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exemplo 5.7.2 Considere o espac¸o vetorial P3(IR) munido do produto interno
\u3008 p , q \u3009 =
\u222b 1
\u22121
p(x)q(x)dx .
Obter a partir da base \u3b2 = { 1, x, x2, x3 } uma base ortogonal \u3b3 = {P0, · · · , P3 }.
Utilizando o processo de ortogonalizac¸a\u2dco de Gram\u2013Schmidt, obtemos
P0(x) = 1 , P1(x) = x , P2(x) = x
2 \u2212 1
3
e P3(x) = x
3 \u2212 3
5
x .
Os polino\u2c6mios P0, · · · , P3 sa\u2dco denominados polino\u2c6mios ortogonais de Legendre.
Esta denominac¸a\u2dco e´ em homenagem ao matema´tico Frances A. M. Legendre (1752\u20131833)
que encontrou tais polino\u2c6mios em seus estudos sobre a Teoria do Potencial.
Exemplo 5.7.3 Considere o espac¸o vetorial P3(IR) munido do produto interno
\u3008 p , q \u3009 =
\u222b
\u221e
0
exp(\u2212x)p(x)q(x)dx .
Obter a partir da base \u3b2 = { 1, x, x2, x3 } uma base ortogonal \u3b3 = {L0, · · · , L3 }.
Utilizando o processo de ortogonalizac¸a\u2dco de Gram\u2013Schmidt,