capítulo 6
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capítulo 6


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\u3bb2 = 1. De fato, P (x, y, 0) = (x, y, 0).
Exemplo 6.1.12 Seja V o espac¸o vetorial real das func¸o\u2dces cont´\u131nuas f , definidas em
(a, b), que possuem derivadas cont´\u131nuas de todas as ordens, que denotamos por C\u221e((a, b)).
Considere o operador linear D sobre V definido da seguinte forma: D(f) = f \u2032. Os
autovetores do operador D sa\u2dco todas as func¸o\u2dces cont´\u131nuas na\u2dco nulas f satisfazendo a
equac¸a\u2dco da forma: f \u2032 = \u3bb f para algum \u3bb \u2208 IR. Assim, os autovetores sa\u2dco as func¸o\u2dces
f(x) = c exp(\u3bbx), onde c \u2208 IR e´ uma constante na\u2dco nula, associados aos autovalores
\u3bb \u2208 IR. Note que para \u3bb = 0, os autovetores associados sa\u2dco as func¸o\u2dces constantes na\u2dco
nulas, isto e´, f(x) = c, para c \u2208 IR na\u2dco nula.
Petronio Pulino 375
Exemplo 6.1.13 Considere o espac¸o vetorial real IR3 munido do produto interno usual
\u3008 · , · \u3009 e o subespac¸o S = [(1,\u22121, 2)]. Seja P o operador linear sobre IR3 onde
w = P (u), para u \u2208 IR3, e´ a projec¸a\u2dco ortogonal do elemento u sobre o subespac¸o S.
Vamos determinar os autovalores e autovetores de P .
Fazendo v =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1\u22121
2
\uf8f9\uf8fa\uf8fb , temos que w = P (u) = \u3b1\u2217 v \u2208 S com
\u3b1\u2217 =
\u3008 u , v \u3009
\u3008 v , v \u3009 =
vt u
vt v
Assim, temos que w pode ser escrito da seguinte forma:
w = P (u) =
vt u
vt v
v =
v vt
vt v
u
Considerando o IR3 com a base cano\u2c6nica \u3b2, temos que
[P ]\u3b2\u3b2 =
v vt
vt v
=
1
6
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 \u22121 2
\u22121 1 \u22122
2 \u22122 4
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
Sabemos que, para todo z \u2208 S temos P (z) = z. Portanto, \u3bb1 = 1 e´ um autovalor
de P com v1 = (1,\u22121, 2) o autovetor associado. Logo, o subespac¸o S e´ o subespac¸o
associado ao autovalor \u3bb1 = 1.
O complemento ortogonal, S\u22a5 , do subespac¸o S em IR3 e´ o hiperplano dado por:
S\u22a5 = H = { u \u2208 IR3 / \u3008 u , v \u3009 = 0 }
Note que S\u22a5 e´ um plano em IR3 dado pela equac¸a\u2dco x \u2212 y + 2z = 0. Temos tambe´m
que, P (u) = (0, 0, 0) para todo u \u2208 S\u22a5. Observamos tambe´m que Ker(P ) = S\u22a5.
Desse modo, como P (u) = 0u para todo u \u2208 S\u22a5, podemos concluir que \u3bb2 = 0 e´
um autovalor de P e S\u22a5 e´ o subespac¸o associado ao autovalor \u3bb2. Assim, quaisquer
dois vetores v2 e v3 linearmente independentes em S
\u22a5 sa\u2dco autovetores associados ao
autovalor \u3bb2 = 0.
Finalmente, escolhemos v2 = (1, 1, 0) e v3 = (0, 2, 1) como sendo os autovetores do
operador P associados ao autovalor \u3bb2 = 0.
376 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exemplo 6.1.14 Considere o espac¸o vetorial real IR3 munido do produto interno usual
\u3008 · , · \u3009 e o subespac¸o S = [(1,\u22121, 2)]. Seja R o operador linear sobre IR3 onde
w = R(u), para u \u2208 IR3, e´ a reflexa\u2dco do elemento u em torno do subespac¸o S\u22a5.
Vamos determinar os autovalores e autovetores de R.
Do Exemplo 6.1.13, sabemos que o operador P de projec¸a\u2dco ortogonal sobre o subespac¸o
S e´ dado por:
P (u) =
vt u
vt v
v =
v vt
vt v
u para todo u \u2208 IR3
Desse modo, o operador T de projec¸a\u2dco ortogonal sobre o subespac¸o S\u22a5 e´ dado por:
T (u) = u \u2212 P (u) = u \u2212 v
t u
vt v
v =
(
I \u2212 v v
t
vt v
)
u
Temos que o operador R de reflexa\u2dco em torno do subespac¸o S\u22a5 e´ dado por:
R(u) = T (u) \u2212 P (u) = u \u2212 2P (u) = =
(
I \u2212 2 v v
t
vt v
)
u
Desse modo, temos que R(u) = u para todo u \u2208 S\u22a5, concluindo que \u3bb1 = 1 e´
um autovalor de R e S\u22a5 e´ o subespac¸o associado ao autovalor \u3bb1. Assim, quaisquer
dois vetores v1 e v2 linearmente independentes em S
\u22a5 sa\u2dco autovetores associados ao
autovalor \u3bb1 = 1.
Portanto, podemos escolher v1 = (1, 1, 0) e v2 = (0, 2, 1) como sendo os autovetores
de R associados ao autovalor \u3bb1 = 1.
Sabemos que, para todo w \u2208 S temos R(w) = \u2212w. Portanto, \u3bb2 = \u22121 e´ um
autovalor de R com v3 = (1,\u22121, 2) o autovetor associado. Logo, o subespac¸o S e´ o
subespac¸o associado ao autovalor \u3bb2 = \u22121.
Note que podemos generalizar os dois u´ltimos exemplos para o caso em que S = [v],
com v \u2208 IRn na\u2dco\u2013nulo.
Petronio Pulino 377
Exerc´\u131cios
Exerc´\u131cio 6.1 Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF , T um operador linear
sobre V , v um autovetor de T associado a um autovalor \u3bb e \u3b1 um escalar na\u2dco\u2013nulo.
Mostre que \u3b1\u3bb e´ um autovalor do operador linear \u3b1T com v o autovetor associado.
Exerc´\u131cio 6.2 Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF e T um operador linear
sobre V . Mostre que \u3bb = 0 e´ um autovalor de T se, e somente se, T na\u2dco e´ um
operador injetor.
Exerc´\u131cio 6.3 Sejam V um espac¸o vetorial real e T um operador linear sobre V tal
que T 2 = T , isto e´, T (T (v)) = T (v) para todo v \u2208 V (operador idempotente).
Mostre que os autovalores de T sa\u2dco \u3bb1 = 0 e \u3bb2 = 1.
Exerc´\u131cio 6.4 Sejam V um espac¸o vetorial real e T um operador linear sobre V tal
que T 2 = IV , isto e´, T (T (v)) = v para todo v \u2208 V (operador auto\u2013reflexivo).
Mostre que os autovalores de T sa\u2dco \u3bb1 = 1 e \u3bb2 = \u22121.
Exerc´\u131cio 6.5 Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF , T um operador linear
sobre V e \u3bb e´ um autovalor de T com v o autovetor associado. Mostre que a\u3bb + b
e´ um autovalor do operador aT + bIV , para a, b \u2208 IF , com v o autovetor associado.
Exerc´\u131cio 6.6 Determine o operador linear T sobre o IR2 satisfazendo as seguintes
propriedades simultaneamente:
(a) \u3bb1 = 1 e´ um autovalor de T com os autovetores associados do tipo v1 = (y , \u2212y)
para y \u2208 IR na\u2dco\u2013nulo.
(b) \u3bb2 = 3 e´ um autovalor de T com os autovetores associados do tipo v2 = (0 , y)
para y \u2208 IR na\u2dco nulo.
Exerc´\u131cio 6.7 Considere o espac¸o vetorial IR4 munido do produto interno usual e W
o subespac¸o vetorial gerado pelos elementos w1 = (1,\u22121, 0, 1) e w2 = (\u22121, 0, 1, 1).
Sejam P o operador de projec¸a\u2dco ortogonal sobre o subespac¸o W e R o operador de
reflexa\u2dco sobre o subespac¸o W . Pede\u2013se:
(a) Determine os autovalores e os autovetores do operador P .
(b) Determine os autovalores e os autovetores do operador R.
378 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exerc´\u131cio 6.8 Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF , T um operador linear
sobre V e v um autovetor de T associado a um autovalor \u3bb. Mostre que v e´ um
autovetor do operador T n associado ao autovalor \u3bbn para qualquer n \u2208 IN .
Exerc´\u131cio 6.9 Sejam V um espac¸o vetorial real e T um operador linear sobre V de
modo que existe um nu´mero inteiro n tal que T n = 0, isto e´, T n(v) = 0V para todo
v \u2208 V (operador nilpotente). Mostre que o u´nico autovalor de T e´ \u3bb = 0.
Exerc´\u131cio 6.10 Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF , T um isomorfismo de
V e v um autovetor de T associado a um autovalor \u3bb. Mostre que v e´ um autovetor
do isomorfismo inverso T\u22121 associado ao autovalor
1
\u3bb
.
Exerc´\u131cio 6.11 Seja T um operador linear sobre o espac¸o vetorial real IMn(IR) definido
por: T (A) = At. Mostre que os autovalores de T sa\u2dco \u3bb1 = 1 e \u3bb2 = \u22121,
descrevendo os subespac¸os associados a cada um dos autovalores.
Exerc´\u131cio 6.12 Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF , T um operador linear
sobre V e \u3bb um autovalor de T . Mostre que o subconjunto definido por:
V\u3bb = { v \u2208 V / T (v) = \u3bbv }
e´ um subespac¸o vetorial de V .
Exerc´\u131cio 6.13 Sejam V um espac¸o vetorial complexo e T um operador linear sobre
V tal que T 2 = \u2212IV , isto e´, T (T (v)) = \u2212v para todo v \u2208 V . Mostre que T e´ um
automorfismo de V e que os autovalores de T sa\u2dco \u3bb1 = i e \u3bb2 = \u2212i.
Exerc´\u131cio 6.14 Considere o espac¸o vetorial real IR4 e o operador T sobre o IR4
definido da seguinte forma: T (x, y, z, t) = (\u2212y , x , \u2212t , z). Mostre que T satisfaz
T 2(v) = \u2212v para todo v = (x, y, z, t) \u2208 IR4. Determine a matriz [T ]\u3b2\u3b2 , onde \u3b2 e´ a
base cano\u2c6nica de IR4. O operador linear T possui autovalores e autovetores ?
Exerc´\u131cio 6.15 Considere o espac¸o vetorial complexo C4 e o operador T sobre o C4
definido da seguinte forma: T (x, y, z, t) = (\u2212t , z , \u2212y , x). Mostre que T satisfaz
T 2(v) = \u2212v para todo v = (x, y, z, t) \u2208 C4. Determine a matriz [T ]\u3b2\u3b2 , onde \u3b2
e´ a base cano\u2c6nica de C4, como espac¸o vetorial complexo. O operador linear T possui
autovalores