capítulo 6
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capítulo 6


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e autovetores ?
Petronio Pulino 379
6.2 Autovalor e Autovetor de uma Matriz
Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita sobre um corpo IF , digamos que
dim(V ) = n, e T um operador linear sobre V . O problema de encontrar os autovalores
do operador T sera´ resolvido atrave´s do ca´lculo de determinantes. Queremos encontrar
escalares \u3bb \u2208 IF de modo que a equac¸a\u2dco T (v) = \u3bb v tenha soluc¸a\u2dco v \u2208 V , na\u2dco nula.
A equac¸a\u2dco T (v) = \u3bb v pode ser escrita na forma: (T \u2212 \u3bb IV ) (v) = 0V .
A equac¸a\u2dco acima tera´ soluc¸a\u2dco v na\u2dco nula se, e somente se, Ker(T \u2212 \u3bb IV ) 6= { 0V }.
Assim, se A = [T ]\u3b2\u3b2 e´ a representac¸a\u2dco matricial do operador T , com relac¸a\u2dco a alguma
base ordenada de V , enta\u2dco a matriz A\u2212 \u3bb In e´ a representac¸a\u2dco matricial para o operador
T \u2212 \u3bb IV . Desse modo, a matriz A \u2212 \u3bb In deve ser singular, isto e´, det(A \u2212 \u3bb In ) = 0.
Portanto, \u3bb \u2208 IF e´ um autovalor do operador T se, e somente se, satisfaz a equac¸a\u2dco
det(A \u2212 \u3bb In ) = 0 .
Desse modo, dada uma matriz A de ordem n sobre um corpo IF , vamos definir um
autovalor de A como sendo um autovalor do operador linear TA sobre IF
n associado
a` matriz A, isto e´, A = [TA]
\u3b2
\u3b2 , onde \u3b2 e´ a base cano\u2c6nica de IF
n. Portanto, os
autovetores da matriz A, associados ao autovalor \u3bb, sa\u2dco soluc¸o\u2dces na\u2dco nulas da equac¸a\u2dco
TA(v) = \u3bb v, representadas como matriz coluna. Assim, se u = (x1, · · · , xn) \u2208 IF n e´
um autovetor de TA associado ao autovalor \u3bb \u2208 IF , isto e´, TA(u) = \u3bbu, temos que
AX = \u3bbX , onde X =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0x1...
xn
\uf8f9\uf8fa\uf8fb \u2208 IMn×1(IF ) ,
isto e´, (\u3bb , X) e´ um autopar da matriz A. Note que [u]\u3b2 = X.
Definic¸a\u2dco 6.2.1 Seja A uma matriz de ordem n sobre um corpo IF . Um autovalor
da matriz A e´ um escalar \u3bb \u2208 IF tal que a matriz (A \u2212 \u3bb In) seja singular.
Equivalentemente, \u3bb e´ um autovalor de A se, e somente se, det(A \u2212 \u3bb In ) = 0.
Evidentemente, os autovalores de A sa\u2dco exatamente os escalares \u3bb \u2208 IF que sa\u2dco ra´\u131zes
do polino\u2c6mio p(\u3bb) = det(A \u2212 \u3bb In ). O polino\u2c6mio p(\u3bb) e´ denominado polino\u2c6mio
caracter´\u131stico da matriz A, que e´ um polino\u2c6mio de grau n.
Definic¸a\u2dco 6.2.2 Sejam A, B \u2208 IMn(IF ). Dizemos que a matriz B e´ similar ou
semelhante a matriz A, se existe uma matriz invert´\u131vel P \u2208 IMn(IF ) de maneira que
B = P\u22121AP .
380 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Note que matrizes similares possuem a seguinte propriedade:
det(B) = det(P\u22121AP ) = det(P\u22121) det(A) det(P ) = det(A) .
Esta propriedade nos leva ao seguinte resultado, que e´ muito importante no estudo de
autovalores.
Teorema 6.2.1 Matrizes similares possuem o mesmo polino\u2c6mio caracter´\u131stico.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Considerando que a matriz B e´ similar a` matriz A, isto e´, existe
uma matriz P invert´\u131vel tal que B = P\u22121AP . Consideramos inicialmente o polino\u2c6mio
caracter´\u131stico da matriz B, obtemos
p(\u3bb) = det(B \u2212 \u3bb In )
= det(P\u22121AP \u2212 \u3bbP\u22121 P )
= det(P\u22121(A \u2212 \u3bb In )P )
= det(P\u22121) det(A \u2212 \u3bb In ) det(P )
= det(A \u2212 \u3bb In ) ,
o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
O Teorema 6.2.1 nos permite definir o polino\u2c6mio caracter´\u131stico do operador linear T como
sendo o polino\u2c6mio caracter´\u131stico da matriz A = [T ]\u3b2\u3b2 , que e´ a representac¸a\u2dco matricial do
operador T em relac¸a\u2dco a qualquer base ordenada \u3b2 de V . Para isso, vamos precisar
do seguinte resultado.
Teorema 6.2.2 Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita sobre o corpo IF , T
um operador linear sobre V , \u3b2 e \u3b1 bases ordenadas de V . Enta\u2dco,
[T ]\u3b2\u3b2 = [I]
\u3b1
\u3b2 [T ]
\u3b1
\u3b1 [I]
\u3b2
\u3b1 .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Seja P = [I]\u3b2\u3b1 a matriz mudanc¸a da base \u3b2 para a base \u3b1, e
lembrando que [I]\u3b1\u3b2 = P
\u22121. Inicialmente, vamos calcular
[T (u)]\u3b1 = [T ]
\u3b1
\u3b1 [u]\u3b1 = [T ]
\u3b1
\u3b1 [I]
\u3b2
\u3b1 [u]\u3b2 para todo u \u2208 V .
Assim, podemos escrever [T (u)]\u3b2 da seguinte forma:
[T (u)]\u3b2 = [I]
\u3b1
\u3b2 [T (u)]\u3b1 = [I]
\u3b1
\u3b2 [T ]
\u3b1
\u3b1 [I]
\u3b2
\u3b1 [u]\u3b2 =\u21d2 [T ]\u3b2\u3b2 = [I]\u3b1\u3b2 [T ]\u3b1\u3b1 [I]\u3b2\u3b1 .
Portanto, mostramos que [T ]\u3b2\u3b2 = P
\u22121 [T ]\u3b1\u3b1 P , isto e´, as matrizes [T ]
\u3b2
\u3b2 e [T ]
\u3b1
\u3b1 sa\u2dco
similares, o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Petronio Pulino 381
Corola´rio 6.2.1 Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita sobre o corpo IF , T
um operador linear sobre V , \u3b2 e \u3b1 bases ordenadas de V . Enta\u2dco,
det( [T ]\u3b1\u3b1 ) = det( [T ]
\u3b2
\u3b2 ) .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 A prova e´ feita utilizando o resultado do Teorema 6.2.2. \ufffd
Definic¸a\u2dco 6.2.3 Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita sobre o corpo IF , T
um operador linear sobre V e \u3b2 uma base ordenada de V . Definimos o determinante
do operador T da seguinte forma: det(T ) = det( [T ]\u3b2\u3b2 ).
Teorema 6.2.3 Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita sobre o corpo IF e T
um operador linear sobre V . Enta\u2dco, T e´ invert´\u131vel se, e somente se, det(T ) 6= 0.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 A prova segue da definic¸a\u2dco de determinante e do Corola´rio 4.8.2. \ufffd
Exemplo 6.2.1 Considere o espac¸o vetorial P2(IR) e o operador T sobre P2(IR)
definido por: T (p(x)) = p(x) + xp\u2032(x). Considerando a base cano\u2c6nica \u3b2 = { 1, x, x2 },
temos que
[T ]\u3b2\u3b2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f01 0 00 2 0
0 0 3
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
Assim, det(T ) = det( [T ]\u3b2\u3b2 ) = 6. Logo, o operador T e´ invert´\u131vel, pois det(T ) 6= 0.
Podemos observar facilmente que o determinante de um operador linear, assim definido,
fica bem estabelecido devido ao Corola´rio 6.2.1.
Definic¸a\u2dco 6.2.4 Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita sobre o corpo IF e
T um operador linear sobre V . Definimos o polino\u2c6mio caracter´\u131stico do operador
T como sendo o polino\u2c6mio caracter´\u131stico da matriz [T ]\u3b2\u3b2 em relac¸a\u2dco a qualquer base
ordenada \u3b2 de V .
Considerando o Exemplo 6.2.1, temos que o polino\u2c6mio caracter´\u131stico do operador T e´
dado por:
p(\u3bb) = det(A \u2212 \u3bb I ) = (1 \u2212 \u3bb)(2 \u2212 \u3bb)(3 \u2212 \u3bb) ,
com A = [T ]\u3b2\u3b2 , onde \u3b2 e´ a base cano\u2c6nica de P2(IR).
382 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Proposic¸a\u2dco 6.2.1 Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita sobre o corpo IF ,
digamos dim(v) = n, e T um operador linear sobre V . Enta\u2dco, os autovalores do
operador linear T sa\u2dco os escalares \u3bb \u2208 IF que sa\u2dco ra´\u131zes do polino\u2c6mio caracter´\u131stico
da matriz A = [T ]\u3b2\u3b2 em relac¸a\u2dco a qualquer base ordenada \u3b2 de V .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Por definic¸a\u2dco, um escalar \u3bb \u2208 IF e´ um autovalor do operador T , se
a equac¸a\u2dco T (v) = \u3bb v tem soluc¸a\u2dco na\u2dco nula. A equac¸a\u2dco T (v) = \u3bb v pode ser escrita
na forma: (T \u2212 \u3bb IV ) (v) = 0V .
Assim, a equac¸a\u2dco acima tera´ soluc¸a\u2dco na\u2dco nula se, e somente se, Ker(T \u2212 \u3bb IV ) 6= { 0V }.
Desse modo, se A = [T ]\u3b2\u3b2 e´ a representac¸a\u2dco matricial do operador linear T , com relac¸a\u2dco
a alguma base ordenada \u3b2 de V , enta\u2dco A \u2212 \u3bb In e´ a matriz do operador T \u2212 \u3bb IV .
Desse modo, a matriz A \u2212 \u3bb In deve ser singular, isto e´, det(A \u2212 \u3bb In ) = 0.
Portanto, um escalar \u3bb \u2208 IF e´ um autovalor do operador T se, e somente se, satisfaz
a equac¸a\u2dco det(A \u2212 \u3bb In ) = 0 , o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Finalmente, para determinar os autovetores do operador T associados ao autovalor \u3bb,
temos que encontrar os elementos na\u2dco\u2013nulos do nu´cleo do operador T \u2212 \u3bb IV , isto e´,
temos que encontrar as soluc¸o\u2dces na\u2dco nulas da equac¸a\u2dco T (v) = \u3bb v.
De uma maneira geral, podemos simplificar os ca´lculos para determinar os autovetores do
operador T associados ao autovalor \u3bb, fazendo a seguinte observac¸a\u2dco.
Considerando que u \u2208 V e´ um autovetor do operador linear T associado ao autovalor
\u3bb, isto e´, T (u) = \u3bbu, obtemos
[T (u)]\u3b2 = \u3bb [u]\u3b2 =\u21d2 [T ]\u3b2\u3b2 [u]\u3b2 = \u3bb [u]\u3b2 .
Portanto, podemos observar facilmente que [u]\u3b2 = X , onde X \u2208 IMn×1(IF ) e´ um
autovetor da matriz A = [T ]\u3b2\u3b2 associado ao autovalor \u3bb.
Sabemos que os autovalores do operador T sa\u2dco os escalares \u3bb \u2208 IF que sa\u2dco ra´\u131zes do
polino\u2c6mio caracter´\u131stico da matriz A = [T ]\u3b2\u3b2 em relac¸a\u2dco a qualquer base ordenada \u3b2 de
V . Desse modo, podemos tambe´m simplificar os ca´lculos para encontrar os autovalores
de T , escolhendo a base cano\u2c6nica de V para determinar a representac¸a\u2dco