capítulo 6
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capítulo 6


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Petronio Pulino 405
O polino\u2c6mio caracter´\u131stico da matriz A = [TA]
\u3b2
\u3b2 e´ dado por:
p(\u3bb) = det(A \u2212 \u3bb I ) = (2 \u2212 \u3bb)2 \u2212 1 = \u3bb2 \u2212 4\u3bb + 3 .
Portanto, os autovalores do operador TA sa\u2dco \u3bb1 = 3 e \u3bb2 = 1.
Para determinar os autovetores associados ao autovalor \u3bb1 = 3, temos que encontrar os
elementos na\u2dco\u2013nulos do nu´cleo do operador (TA \u2212 3I). Desse modo, temos que obter a
soluc¸a\u2dco do seguinte sistema linear\uf8ee\uf8f02 1
1 2
\uf8f9\uf8fb\uf8ee\uf8f0x
y
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f03x
3 y
\uf8f9\uf8fb \u21d0\u21d2 \u2212x + y = 0 .
Portanto, os autovetores associados a \u3bb1 = 3 sa\u2dco do tipo v1 = (x, x), com x 6= 0.
Desse modo, podemos escolher v1 = (1, 1) o autovetor associado ao autovalor \u3bb1 = 3,
do operador linear TA.
De modo ana´logo, para determinar os autovetores associados ao autovalor \u3bb2 = 1, temos
que encontrar os elementos na\u2dco\u2013nulos do nu´cleo do operador (TA \u2212 I). Desse modo,
temos que obter a soluc¸a\u2dco do seguinte sistema linear\uf8ee\uf8f02 1
1 2
\uf8f9\uf8fb\uf8ee\uf8f0x
y
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0x
y
\uf8f9\uf8fb \u21d0\u21d2 x + y = 0 .
Portanto, os autovetores associados ao autovalor \u3bb2 = 1 sa\u2dco do tipo v2 = (x,\u2212x),
para x \u2208 IR na\u2dco nulo. Assim, podemos escolher v2 = (1,\u22121) o autovetor associado ao
autovalor \u3bb2 = 1, do operador linear TA.
Desse modo, temos que os autovetores da matriz A sa\u2dco dados por:
X1 =
[
1
1
]
e X2 =
[
1
\u22121
]
associados aos autovalores \u3bb1 = 3 e \u3bb2 = 1, respectivamente. Note que os autovetores
X1 e X2 sa\u2dco ortogonais.
406 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Na sec¸a\u2dco 6.7 vamos provar o resultado abaixo, que e´ muito importante na teoria de
autovalores e autovetores, e nas suas aplicac¸o\u2dces, que e´ a caracterizac¸a\u2dco de uma matriz
positiva\u2013definida.
Teorema 6.4.5 Seja A \u2208 IMn(C) uma matriz Hermitiana. Enta\u2dco, A e´ uma matriz
positiva\u2013definida se, e somente se, seus autovalores sa\u2dco todos positivos.
Corola´rio 6.4.5 Seja A \u2208 IMn(IR) uma matriz sime´trica. Enta\u2dco, A e´ uma matriz
positiva\u2013definida se, e somente se, seus autovalores sa\u2dco todos positivos.
Exemplo 6.4.4 Fazendo uso do Corola´rio 6.4.5, podemos verificar que a matriz sime´trica
do Exemplo 6.4.1 na\u2dco e´ positiva\u2013definida, pois seus autovalores sa\u2dco \u3bb1 = 3 e \u3bb2 = \u22121.
Definic¸a\u2dco 6.4.3 Dizemos que U \u2208 IMn(C) e´ uma matriz unita´ria se U\u2217U = I.
Assim, temos que UU\u2217 = I. Desse modo, tem\u2013se que U\u22121 = U\u2217.
Teorema 6.4.6 Seja Q \u2208 IMn(IR) uma matriz ortogonal. Enta\u2dco, det(Q) = ±1 .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 A prova segue da utilizac¸a\u2dco da definic¸a\u2dco de matriz ortogonal e das
propriedades de determinante de uma matriz. Como Q e´ ortogonal, tem\u2013se que
det(QtQ) = det(I) = 1 .
Desse modo, obtemos
det(QtQ) = det(Qt) det(Q) = ( det(Q) )2 = 1 .
Portanto, mostramos que det(Q) = ±1. \ufffd
Teorema 6.4.7 Seja Q \u2208 IMn(IR) ortogonal. Enta\u2dco, para todos x, y \u2208 IRn temos que
1. \u3008Qx , Q y \u3009 = \u3008 x , y \u3009 .
2. \u2016Qx \u20162 = \u2016x \u20162 .
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 A prova do primeiro item segue do Teorema 6.4.1 e da definic¸a\u2dco de
matriz ortogonal. De fato,
\u3008Qx , Q y \u3009 = \u3008 x , QtQy \u3009 = \u3008 x , y \u3009 .
A prova do segundo item segue de imediato do primeiro item a da definic¸a\u2dco de norma
Euclidiana, o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Petronio Pulino 407
Teorema 6.4.8 Sejam U \u2208 IMn(C) unita´ria e \u3bb um autovalor. Enta\u2dco, |\u3bb | = 1.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Considere o espac¸o vetorial complexo Cn munido do produto interno
usual \u3008 · , · \u3009 . Seja T o operador linear sobre Cn associado a matriz U , isto e´,
TU(v) = Uv para v \u2208 Cn, na forma de matriz coluna. Como U = [TU ]\u3b2\u3b2 , onde \u3b2 e´ a
base cano\u2c6nica do Cn, temos que um autovalor de U e´ um autovalor do operador TU .
Como A = [TU ]
\u3b2
\u3b2 e´ unita´ria, temos que o operador TU e´ unita´rio.
Assim, tomando \u3bb um autovalor de TU e v o autovetor associado, isto e´, TU(v) = \u3bbv,
obtemos
|\u3bb | \u3008 v , v \u3009 = \u3bb\u3bb\u3008 v , v \u3009 = \u3008TU(v) , TU(v) \u3009 = \u3008Uv , Uv \u3009 = \u3008 v , v \u3009 .
Portanto, temos que ( 1 \u2212 |\u3bb | )\u3008 v , v \u3009 = 0. Como v \u2208 Cn e´ na\u2dco\u2013nulo, obtemos
|\u3bb | = 1, o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Corola´rio 6.4.6 Sejam Q \u2208 IMn(IR) ortogonal e \u3bb um autovalor. Enta\u2dco, |\u3bb | = 1.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 A prova segue do Teorema 6.4.8, considerando que a matriz ortogonal
e´ um caso particular de uma matriz unita´ria. \ufffd
Exemplo 6.4.5 A matriz Q \u2208 IM2(IR) que representa uma rotac¸a\u2dco de um a\u2c6ngulo \u3b8
no sentido anti\u2013hora´rio
Q =
[
cos(\u3b8) \u2212 sin(\u3b8)
sin(\u3b8) cos(\u3b8)
]
e´ uma matriz ortogonal. Determine os autovalores da matriz Q, em func¸a\u2dco do a\u2c6ngulo \u3b8.
Podemos verificar facilmente que o polino\u2c6mio caracter´\u131stico da matriz Q e´ dado por:
p(\u3bb) = \u3bb2 \u2212 2 cos(\u3b8)\u3bb + 1 .
Portanto, os autovalores da matriz Q, em func¸a\u2dco do a\u2c6ngulo \u3b8, sa\u2dco dados por:
\u3bb(\u3b8) = cos(\u3b8) ±
\u221a
cos2(\u3b8) \u2212 1 = cos(\u3b8) ±
(\u221a
| cos2(\u3b8) \u2212 1 |
)
i .
Note que |\u3bb(\u3b8) | = 1, para todo \u3b8 \u2208 IR.
408 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Definic¸a\u2dco 6.4.4 As matrizes A, B \u2208 IMn(IR) sa\u2dco ortogonalmente similares se
existe uma matriz ortogonal Q \u2208 IMn(IR) tal que B = QtAQ.
Exemplo 6.4.6 A matriz U \u2208 IM2(C) dada por:
U =
\u221a
2
2
[
1 i
i 1
]
.
e´ uma matriz unita´ria.
Definic¸a\u2dco 6.4.5 As matrizes A, B \u2208 IMn(C) sa\u2dco unita´riamente similares se existe
uma matriz unita´ria U \u2208 IMn(C) tal que B = U\u2217AU .
Teorema 6.4.9 Seja U \u2208 IMn(C) e´ uma matriz unita´ria. Enta\u2dco, | det(U) | = 1.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 A prova pode ficar a cargo do leitor. \ufffd
Teorema 6.4.10 Seja U \u2208 IMn(C) uma matriz unita´ria. Enta\u2dco, autovetores associados
a autovalores distintos sa\u2dco ortogonais.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Sejam \u3bb1 e \u3bb2 autovalores distintos de U com v1 e v2 os
autovetores associados, respectivamente. Tomando a hipo´tese que U e´ uma matriz
unita´ria, temos que
\u3bb1\u3bb2\u3008 v1 , v2 \u3009 = \u3008\u3bb1v1 , \u3bb2v2 \u3009 = \u3008Uv1 , Uv2 \u3009 = \u3008 v1 , v2 \u3009 .
Desse modo, obtemos a equac¸a\u2dco
(1 \u2212 \u3bb1\u3bb2)\u3008 v1 , v2 \u3009 = 0 .
Como os autovalores \u3bb1 e \u3bb2 sa\u2dco distintos, temos que 1 \u2212 \u3bb1\u3bb2 6= 0.
Portanto, obtemos
\u3008 v1 , v2 \u3009 = 0 ,
mostrando que v1 e v2 sa\u2dco ortogonais, o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Petronio Pulino 409
Exemplo 6.4.7 Considere a matriz unita´ria U \u2208 IM2(C) dada por:
U =
\u221a
2
2
[
1 i
i 1
]
.
Determine os autovalores e autovetores da matriz U .
O polino\u2c6mio caracter´\u131stico da matriz U e´ dado por: p(\u3bb) = \u3bb2 \u2212 2\u3bb + 2. Assim, os
autovalores da matriz U sa\u2dco dados por:
\u3bb1 =
\u221a
2
2
+
\u221a
2
2
i e \u3bb2 =
\u221a
2
2
\u2212
\u221a
2
2
i .
Temos que os autovetores associados aos autovalores \u3bb1 e \u3bb2 sa\u2dco dados por:
v1 =
\u221a
2
2
[
1
1
]
e v2 =
\u221a
2
2
[
\u22121
1
]
,
respectivamente.
Recordamos que A \u2208 IMn(IR) e´ uma matriz idempotente se A2 = A, isto e´,
A(Ax) = Ax
para todo x \u2208 IRn, representado na forma de matriz coluna.
Teorema 6.4.11 Seja A \u2208 IMn(IR) uma matriz idempotente. Enta\u2dco, seus autovalores
sa\u2dco \u3bb1 = 1 e \u3bb2 = 0.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Tomando \u3bb um autovalor de A e v o autovetor associado, isto e´,
Av = \u3bbv, temos que
A(Av) = A(\u3bbv) \u21d0\u21d2 \u3bbv = \u3bb2v \u21d0\u21d2 \u3bb(1 \u2212 \u3bb)v = 0 .
Como v e´ na\u2dco\u2013nulo, obtemos a equac¸a\u2dco
\u3bb(1 \u2212 \u3bb) = 0 ,
que tem como soluc¸o\u2dces \u3bb1 = 1 e \u3bb2 = 0, o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Recordamos que A \u2208 IMn(IR) e´ uma matriz auto\u2013reflexiva se A2 = I, isto e´,
A(Ax) = x
para todo x \u2208 IRn, representado na forma de matriz coluna.
410 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Teorema 6.4.12 Seja A \u2208 IMn(IR) uma matriz auto\u2013reflexiva. Enta\u2dco, seus autovalores
sa\u2dco \u3bb1 = 1 e \u3bb2 = \u22121.
Demonstrac¸a\u2dco \u2013 Tomando \u3bb um autovalor de A e v o autovetor associado, isto e´,
Av = \u3bbv, temos que
A(Av) = A(\u3bbv) \u21d0\u21d2 v = \u3bb2v \u21d0\u21d2 (1 \u2212 \u3bb2)v = 0 .
Como v e´ na\u2dco\u2013nulo, obtemos a equac¸a\u2dco
1 \u2212 \u3bb2 = 0 ,
que tem como soluc¸o\u2dces \u3bb1 = 1 e \u3bb2 = \u22121, o que completa a demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Exemplo 6.4.8 Considere a matriz auto\u2013reflexiva A \u2208 IM2(IR) dada por:
A =
[
0 1
1 0
]
.
Determine os autovalores da matriz A.
O polino\u2c6mio caracter´\u131stico da matriz A e´ dado por:
p(\u3bb) = \u3bb2 \u2212 1 ,
que possui como ra´\u131zes \u3bb1 = 1 e \u3bb2 = \u22121, que