capítulo 8
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capítulo 8


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acima da seguinte forma:
Rx \u2212 Qt b =
[
R\u302x
0r×1
]
\u2212
\uf8eb\uf8ed[Q\u302t b
0r×1
]
+
\uf8ee\uf8f00n×1
Q\u2dct b
\uf8f9\uf8fb\uf8f6\uf8f8 = [R\u302x \u2212 Q\u302t b
0r×1
]
+
\uf8ee\uf8f00n×1
Q\u2dct b
\uf8f9\uf8fb ,
onde os elementos do membro direito sa\u2dco ortogonais em IRm.
Desse modo, pela Fo´rmula de Pita´goras, podemos escrever \u2016Rx \u2212 Qt b \u20162 da forma:
\u2016Rx \u2212 Qt b \u201622 =
\u2225\u2225\u2225\u2225\u2225R\u302x \u2212 Q\u302t b0r×1
\u2225\u2225\u2225\u2225\u2225
2
2
+
\u2225\u2225\u2225\u2225\u2225\u2225
0n×1
Q\u2dct b
\u2225\u2225\u2225\u2225\u2225\u2225
2
2
,
que de forma simplificado, obtemos
\u2016Rx \u2212 Qtb \u201622 = \u2016 R\u302x \u2212 Q\u302t b \u201622 + \u2016 Q\u2dct b \u201622 .
Finalmente, voltando ao problema original, temos que
\u2016Ax\u2217 \u2212 b \u20162 = min{ \u2016Ax\u2212 b \u20162 ; x \u2208 IRn }
= min{ \u2016 R\u302x \u2212 Q\u302t b \u20162 + \u2016 Q\u2dct b \u20162 ; x \u2208 IRn }
= min{ \u2016 R\u302x \u2212 Q\u302t b \u20162 ; x \u2208 IRn } + \u2016 Q\u2dct b \u20162
(8.173)
Podemos observar facilmente que o ponto de m\u131´nimo x\u2217 \u2208 IRn e´ tal que
\u2016 R\u302x\u2217 \u2212 Q\u302t b \u20162 = 0 \u21d0\u21d2 R\u302x\u2217 \u2212 Q\u302t b = 0IRn \u21d0\u21d2 R\u302x\u2217 = Q\u302t b .
Petronio Pulino 639
Portanto, a soluc¸a\u2dco de quadrados m\u131´nimos x\u2217 \u2208 IRn e´ a u´nica soluc¸a\u2dco do sistema linear
triangular superior
R\u302x = Q\u302t b ,
sabendo que R\u302 e´ uma matriz invert´\u131vel, pois posto(A) = n.
E´ importante observar que o elemento r\u2217 = b \u2212 Ax\u2217 e´ a projec¸a\u2dco ortogonal do elemento
b sobre o subespac¸o R(A)\u22a5 = N (At), e o elemento z\u2217 = Ax\u2217 e´ a projec¸a\u2dco ortogonal
do elemento b no subespac¸o R(A), que e´ a melhor aproximac¸a\u2dco do elemento b no
subespac¸o R(A). Desse modo, dizemos que o elemento r\u2217 e´ o vetor de res´\u131duo da
melhor aproximac¸a\u2dco, e que \u2016 r\u2217 \u20162 e´ o res´\u131duo dessa aproximac¸a\u2dco. Sendo assim, da
equac¸a\u2dco (8.173), podemos concluir que
\u2016 b \u2212 Ax\u2217 \u20162 = \u2016 r\u2217 \u20162 = \u2016 Q\u2dct b \u20162 ,
lembrando a segunda igualdade e´ va´lida somente em norma, na\u2dco significando a igualdade
dos elementos envolvidos.
640 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exerc´\u131cios
Exerc´\u131cio 8.117 Sejam a matriz A \u2208 IM4×2(IR) e o elemento b \u2208 IR4 dados por:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0
1 1
1 0
1 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb e b =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
0
2
\u22121
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
(a) Determine uma base ortogonal para o subespac¸o R(A).
(b) Determine a projec¸a\u2dco ortogonal do elemento b sobre o subespac¸o N (At).
Exerc´\u131cio 8.118 Sejam A \u2208 IMn(IR) uma matriz invert´\u131vel e b \u2208 IRn. Descreva como
podemos obter a soluc¸a\u2dco do sistema linear Ax = b atrave´s da fatorac¸a\u2dco A = QR.
Mostre que K2(R) = K2(A). O que podemos concluir ?
Exerc´\u131cio 8.119 Encontre a fatorac¸a\u2dco QR da matriz
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1 1 00 1 1
1 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
atrave´s do Processo de Ortogonalizac¸a\u2dco de Gram\u2013Schmidt.
Exerc´\u131cio 8.120 Considere a matriz A \u2208 IM3×5(IR) e o elemento b \u2208 IR5 dados por:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1 0 \u22121 1 20 1 1 \u22121 2
1 2 \u22121 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fb e b =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
0
1
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Encontre a projec¸a\u2dco ortogonal do elemento b no subespac¸o N (A), utilizando o Me´todo
de Gram\u2013Schmidt Modificado. Fac¸a a implementac¸a\u2dco computacional em uma linguagem
de sua prefere\u2c6ncia. Apresente uma pequena introduc¸a\u2dco teo´rica justificando a resoluc¸a\u2dco do
problema.
Petronio Pulino 641
Exerc´\u131cio 8.121 Considere a matriz A \u2208 IM4×2(IR) dada por:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0
1 1
1 0
1 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
(a) Determine uma base ortonormal para o subespac¸o R(A).
(b) Determine uma base ortonormal para o subespac¸o N (At).
(c) Determine a fatorac¸a\u2dco A = QR, onde Q \u2208 IM4(IR) e R \u2208 IM4×2(IR), descritas
da seguinte forma:
Q =
[
Q\u302 Q\u2dc
]
e R =
[
R\u302
02
]
,
onde Q\u302 , Q\u2dc \u2208 IM4×2(IR) sa\u2dco matrizes ortogonais, R\u302 \u2208 IM2(IR) e´ uma matriz tri-
angular superior com os elementos da diagonal principal positivos e 02 \u2208 IM2(IR)
e´ a matriz nula.
(d) De\u2c6 uma interpretac¸a\u2dco para a matriz R\u302.
Exerc´\u131cio 8.122 Considere a matriz A \u2208 IM4×3(IR) dada por:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
1 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Determine a fatorac¸a\u2dco A = QR, atrave´s do Processo de Gram\u2013Schmidt, onde a matriz
Q \u2208 IM4×3(IR) e´ uma matriz ortogonal e R \u2208 IM3(IR) e´ uma matriz triangular superior
com os elementos da diagonal principal positivos.
Exerc´\u131cio 8.123 Considere a matriz A \u2208 IM2×4(IR) e o elemento b \u2208 IR4 dados por:
A =
[
1 1 1 1
0 1 0 1
]
e b =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
0
2
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
Determine a projec¸a\u2dco ortogonal do elemento b sobre o subespac¸o N (A) e a respectiva
matriz de projec¸a\u2dco ortogonal, utilizando a fatorac¸a\u2dco At = Q\u302R\u302.
642 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exerc´\u131cio 8.124 Considere a matriz A \u2208 IM2×4(IR) dada por:
A =
[
1 1 1 1
0 1 0 1
]
.
Determine a matriz de Reflexa\u2dco sobre R(At), utilizando a fatorac¸a\u2dco At = Q\u302R\u302.
Exerc´\u131cio 8.125 Considere a matriz A \u2208 IM4×3(IR) dada por:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 2
0 2
2 \u22121
2 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
(a) Determine a decomposic¸a\u2dco A = QR, atrave´s do Processo de Gram\u2013Schmidt, onde
Q \u2208 IM4×3(IR) e´ uma matriz ortogonal e R \u2208 IM3(IR) e´ uma matriz triangular
superior com os elementos da diagonal principal positivos.
(b) Determine a matriz de projec¸a\u2dco ortogonal sobre o subespac¸o R(A).
(c) Determine a pseudo\u2013inversa da matriz A.
(d) Determine a projec¸a\u2dco ortogonal do elemento b \u2208 IR4 dado por:
b =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
1
1
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
no subespac¸o R(A).
Exerc´\u131cio 8.126 Sejam A \u2208 IMm×n(IR), com m > n e posto(A) = n, e a fatorac¸a\u2dco
A = QR, com Q \u2208 IMm×n(IR) uma matriz ortogonal e R \u2208 IMn(IR) uma matriz
triangular superior com os elementos da diagonal principal positivos. Pede\u2013se:
(a) Mostre que R(A) = R(Q).
(b) Mostre que N (At) = N (Qt).
(c) Mostre que R(At) = R(Qt) = IRn.
(d) Mostre que N (A) = N (Q) = { 0IRn }.
Petronio Pulino 643
Exerc´\u131cio 8.127 Considere a matriz A \u2208 IM4×3(IR) dada por:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 1
0 0 1
1 \u22121 1
1 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
(a) Determine a decomposic¸a\u2dco A = QR, atrave´s do Processo de Gram\u2013Schmidt, onde
Q \u2208 IM4×3(IR) e´ uma matriz ortogonal e R \u2208 IM3(IR) e´ uma matriz triangular
superior com os elementos da diagonal principal positivos.
(b) Determine a matriz de projec¸a\u2dco ortogonal sobre o subespac¸o R(A).
(c) Determine a pseudo\u2013inversa da matriz A.
(d) Determine a projec¸a\u2dco ortogonal do elemento b \u2208 IR4 dado por:
b =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
1
1
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
no subespac¸o R(A).
Exerc´\u131cio 8.128 Sejam A \u2208 IMm×n(IR), com m > n e posto(A) = n, b \u2208 IRm e a
fatorac¸a\u2dco A = QR, com Q \u2208 IMm×n(IR) uma matriz ortogonal e R \u2208 IMn(IR) uma
matriz triangular superior com os elementos da diagonal principal positivos. Pede\u2013se:
(a) Mostre que a soluc¸a\u2dco de quadrados m\u131´nimos x\u2217 \u2208 IRn, para o sistema linear
Ax = b, e´ a u´nica soluc¸a\u2dco do sistema triangular superior Rx = Qtb.
(b) Mostre que A\u2020 = R\u22121Qt e´ a pseudo\u2013inversa da matriz A.
(c) Mostre que P = QQt e´ a matriz de projec¸a\u2dco ortogonal sobre R(A).
644 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o\u2dces: Notas de Aula
Exerc´\u131cio 8.129 Considere a matriz A \u2208 IM4×3(IR) dada por:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 2
0 2
2 \u22121
2 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
(a) Determine a decomposic¸a\u2dco A = QR, atrave´s do Processo de Gram\u2013Schmidt, onde
Q \u2208 IM4×3(IR) e´ uma matriz ortogonal e R \u2208 IM3(IR) e´ uma matriz triangular
superior com os elementos da diagonal principal positivos.
(b) Determine a matriz de projec¸a\u2dco ortogonal sobre o subespac¸o R(A).
(c) Determine a pseudo\u2013inversa da matriz A.
(d) Determine a projec¸a\u2dco ortogonal do elemento b \u2208 IR4 dado por:
b =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
1
1
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
no subespac¸o R(A).
Exerc´\u131cio 8.130 Considere a matriz A \u2208 IM4×3(IR) dada por:
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 1
0 0 1
1 \u22121 1
1 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
(a) Determine a decomposic¸a\u2dco A = QR, atrave´s do Processo de Gram\u2013Schmidt, onde
Q \u2208 IM4×3(IR) e´ uma matriz ortogonal e R \u2208 IM3(IR) e´ uma matriz triangular
superior com os elementos da diagonal principal positivos.
(b) Determine a matriz de projec¸a\u2dco ortogonal sobre o subespac¸o R(A).
(c) Determine a pseudo\u2013inversa da matriz A.
Petronio Pulino 645
(d) Determine a projec¸a\u2dco ortogonal do elemento b \u2208 IR4 dado por:
b =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
1
1
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
no subespac¸o R(A).
Exerc´\u131cio 8.131 Sejam A \u2208 IMn(IR) na\u2dco singular e