Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Anotac¸o˜es sobre integrac¸a˜o Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡ 1 Suma´rio 1 Integrac¸a˜o 5 1.1 Manipulac¸o˜es ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Integrais ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 ∫ axdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Integrais que representam func¸o˜es trigonome´tricas inversas . . . . . . . . . 6 1.3.1 ∫ 1 a2 + x2 dx = 1 a arctg( u a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 ∫ 1√ 1− x2dx = arcsen(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 ∫ −1√ 1− z2dz = arccos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.4 ∫ 1 z √ z2 − 1dz = arcsec(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.5 ∫ 1√ 1 + x2 dx = arcsenh(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es trigonome´tricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 ∫ arcsen(x)dx = xarcsen(x) + √ 1− x2 . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 ∫ arccos(x)dx = xarccos(x)− √ 1− x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3 ∫ arctg(x) = xarctg(x)− 1 2 ln(1 + x2). . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.4 ∫ arccotg(x) = xarccotg(x) + 1 2 ln(1 + x2). . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Integrac¸a˜o por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.1 Mu´ltiplas integrac¸o˜es por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.2 ∫ xn.sen(x)dx = n∑ k=0 k! ( n k ) x(n−k)(−1)k+1cos(x− kpi 2 ) . . . . . . . 15 1.5.3 ∫ xn.cos(x)dx = n∑ k=0 k! ( n k ) x(n−k)(−1)ksen(x− kpi 2 ). . . . . . . . . 15 1.5.4 ∫ xn.eaxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 SUMA´RIO 3 1.5.5 ∫ xexdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.6 ∫ e √ xdx = 2 √ x.e √ x − 2e √ x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.7 Integrac¸a˜o envolvendo ln x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.8 Integrac¸a˜o por partes de func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . 21 1.6 Alguma integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7 Te´cnica da func¸a˜o indeterminada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8 Regra do trape´zio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.9 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.9.1 Integrais envolvendo logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.9.2 Integrais envolvendo func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . 27 1.9.3 Integral da composic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.10 Integrac¸a˜o e a´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.10.1 A´rea do c´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.11 Integrais de func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.11.1 ∫ tg(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.11.2 ∫ sen(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.11.3 ∫ cos(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.11.4 ∫ sec2(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.11.5 ∫ sec2(x)tg(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.11.6 ∫ cotgn(x)cossec2(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.11.7 ∫ cotg(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.11.8 ∫ cossec2(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.11.9 ∫ sec(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.11.10 ∫ cossec(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.12 Integrais e recorreˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.12.1 ∫ sennxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.12.2 ∫ cosnxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.12.3 ∫ tgn(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 SUMA´RIO 4 1.12.4 ∫ cotgn(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.12.5 ∫ secn(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.12.6 ∫ cossecn(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.13 Integrac¸a˜o e nu´meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.13.1 ∫ eaxcos(bx)dx e ∫ eaxsen(bx)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.14 Integrais de poteˆncias de seno e cosseno por meio de complexos . . . . . . 37 1.15 Integrac¸a˜o de func¸o˜es perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.16 Integrais do tipo ∫ ( p(x) g(x) )′dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.17 Integrac¸a˜o mu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.18 Te´cnica de integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Cap´ıtulo 1 Integrac¸a˜o 1.1 Manipulac¸o˜es ba´sicas b Propriedade 1 (Soma nos limites).∫ b a f(x)dx = ∫ b+p a+p f(x− p)dx. Pode ser demonstrada por mudanc¸a de varia´vel na integral. Tome y = x − p, temos dy = dx e com x = b+ p fica y = b, com x = a+ p fica y = a, escrevemos∫ b a f(x)dx = ∫ b a f(y)dy. Como a varia´vel de integrac¸a˜o e´ muda temos a mesma integral. b Propriedade 2 (Produto por −1.).∫ b a f(x)dx = ∫ −a −b f(−x)dx Sendo a func¸a˜o f(x) integra´vel no intervalo [a, b]. Demonstrac¸a˜o por mudanc¸a de varia´vel: Tome y = −x, com isso temos que quando x = −a ,y = a e quando x = −b, y = b e temos ainda dy dx = −1, dx = −dy, ficamos enta˜o com a integral∫ b a f(x)dx = − ∫ a b f(y)dy. Que por definic¸a˜o e´ verdadeira. 5 CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 6 b Propriedade 3 (Troca de ordem em integrais). E´ uma propriedade que e´ corola´rio do produto por −1 nos limites e da mudanc¸a de varia´vel por soma nos limites. Vejamos, temos ∫ b a f(x)dx = ∫ −a −b f(−x)dx somando a+ b aos limites ficamos com∫ b a f(x)dx = ∫ −a+a+b −b+a+b f(a+ b− x)dx = ∫ b a f(a+ b− x)dx. b Propriedade 4. Seja t 6= 0 enta˜o∫ b a f(x)dx = 1 t ∫ bt at f( x t )dx. ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos y = tx, da´ı dy dx = t ∫ b a f(x)dx = 1 t 1 t ∫ bt at f( x t )dx. 1.2 Integrais ba´sicas 1.2.1 ∫ axdx Se a > 0, podemos escrever ax = eln a x = ex ln a, da´ı tem-se∫ axdx = ∫ ex ln adx = ex ln a ln a = ax ln a . 1.3 Integrais que representam func¸o˜es trigonome´tricas inversas 1.3.1 ∫ 1 a2 + x2 dx = 1 a arctg( u a ) b Propriedade 5. ∫ du a2 + u2 = 1 a arctg( u a ) CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 7 ê Demonstrac¸a˜o. Vamos calcular a derivada de 1 a arctg( u a ). Tomando y = 1 a arctg( u a ), segue que ay = arctg( u a ) e tg(ay) = u a , podemos tomar um triaˆngulo com cateto oposto ao aˆngulo de valor ay com medida valendo u e adjacente com medida valendo a, como na imagem Figura 1.1: Triaˆngulo retaˆngulo Assim temos por teorema de Pita´goras a2 + u2 = h2 , h = √ a2 + u2 e cos(ay) = a√ a2 + u2 , logo cos2(ay) = a2 a2 + u2 e 1 cos2(ay) = a2 + u2 a2 = sec2(ay), voltando a tangente, temos tg(ay) = u a derivando ambos lados em u segue que ay′.sec2(ay) = 1 a ,y′sec2(ay) = 1 a2 substituindo a expressa˜o da secante segue finalmente que y′. a2 + u2 a2 = 1 a2 , logo y′ = 1 a2 + u2 Z Exemplo 1. Calcule ∫ x2 1 + x2 dx.∫ x2 1 + x2 dx = ∫ x2 + 1− 1 1 + x2 dx = ∫ 1− 1 1 + x2 dx = x− arctgx+ c. CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 8 Z Exemplo 2. Calcule a integral∫ 2 (x2 + 1)2 dx. Escrevemos 2 (x2 + 1)2 = 1− x2 (x2 + 1)2 + x2 + 1 (x2 + 1)2 = 1− x2 (x2 + 1)2 + 1 x2 + 1 , trabalhamos agora na primeira frac¸a˜o 1− x2 (x2 + 1)2 = x2 + 1− 2x2 (x2 + 1)2 = x′(x2 + 1)− 2x.x (x2 + 1)2 = x′(x2 + 1)− (x2 + 1)′x (x2 + 1)2 = d dx ( x x2 + 1 ) , pois ca´ımos na derivada do quociente( f(x) g(x) )′ = f ′(x).g(x)− f(x).g′(x) g(x)2 . Por isso temos que 2 (x2 + 1)2 = d dx ( x x2 + 1 ) + 1 x2 + 1 , que integrando implica em∫ 2 (x2 + 1)2 dx = ∫ d dx ( x x2 + 1 ) dx+ 1 x2 + 1 dx = x x2 + 1 + arctg(x) + c. 1.3.2 ∫ 1√ 1− x2dx = arcsen(x). Z Exemplo 3. Mostrar que∫ 1√ 1− x2dx = arcsen(x). Vamos mostrar que (arcsen(x))′ = 1√ 1− x2 . seja y = arcsen(x) temos seny = x deri- vando y′.cosy = 1, y′ = 1 cosy = 1√ 1− x2 (fazer figura depois.) arcsen(x) esta´ definido com |z| ≤ 1 , com esses valores vale∫ z 0 1√ 1− x2dx = arcsen(z)− arcsen(0) = arcsen(z). CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 9 Z Exemplo 4. Calcule a integral ∫ 1√ 28− 12x− x2dx. Iremos aplica a te´cnica de completar quadrados, temos 28 − 12x − x2 e queremos escrever da forma b− (x+ a)2 para algum a e b . Temos que 28− 12x− x2 = 28− [12x+ x2] = 28− [(x+ 6)2 − 62] = = 28 + 36− (x+ 6)2 = 64− (x+ 6)2 = 82 − (x+ 6)2 = 82 [ 1− ( x+ 6 8 )2] , substituindo na integral fica com ∫ 1√ 28− 12x− x2dx = 1 8 ∫ 1√ 1− (x+6 8 )2dx, da´ı podemos tomar y = x+ 6 8 logo dy dx = 1 8 ⇒ 8dy = dx a integral fica como 8 8 ∫ 1√ 1− ydy = arcsen(y) + c = arcsen ( x+ 6 8 ) + c. 1.3.3 ∫ −1√ 1− z2dz = arccos(x) b Propriedade 6. Vale ∫ −1√ 1− z2dz = arc cos(x) poisD[arccos(x)] = −1√ 1− z2 , como a func¸a˜o e´ definida para valores |x| ≤ 1, vale∫ 1 x −1√ 1− z2dz = arccos(1)− arccos(x) = −arccos(x). Z Exemplo 5. Calcular a integral ∫ 1 1 2 −1√ 1− z2dz.Vale ∫ 1 1 2 −1√ 1− z2dz = −arccos( 1 2 ) = −pi 3 . CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 10 1.3.4 ∫ 1 z √ z2 − 1dz = arcsec(z). Z Exemplo 6. Vale ∫ 1 z √ z2 − 1dz = arcsec(z) pois Darcsec(z) = 1 z √ z2 − 1, apli- cando limites de integrac¸a˜o ∫ x 1 1 z √ z2 − 1dz = arcsec(x). 1.3.5 ∫ 1√ 1 + x2 dx = arcsenh(x). Z Exemplo 7. Mostrar que∫ 1√ 1 + x2 dx = arcsenh(x). Para isso temos que mostrar que (arcsenh(x))′ = 1√ 1 + x2 seja y = arcsen(x) enta˜o senh(y) = x derivando temos y′.cosh(y) = 1 logo y′ = 1 cosh(y) pela relac¸a˜o cosh2(y) − senh2(y) = 1 temos cosh(y) = √ 1 + x2 logo vale (arcsenh(x))′ = 1√ 1 + x2 . Z Exemplo 8. Calcular a integral∫ 1 0 1 x2 + x+ 1 dx. Escrevemos x2 + x+ 1 da forma (x+ a)2 + b2 temos x2 + x+ 1 = (x+ 1 2 )2 + ( √ 3 2 )2 ∫ 1 0 1 x2 + x+ 1 dx = ∫ 1 0 1 (x+ 1 2 )2 + ( √ 3 2 )2 dx = = 2√ 3 arctg 2√ 3 (x+ 1/2) ∣∣∣∣1 0 = 2√ 3 arctg 2√ 3 ( 3 2 )− 2√ 3 arctg 2√ 3 ( 1 2 ) = usando valores da acrtg = 2√ 3 pi 3 − 2√ 3 pi 6 = pi 3 √ 3 . CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 11 Z Exemplo 9. Calcular ∫ 1 0 1 1 + x3 dx. Primeiro fatoramos x3 + 1 = (x + 1)(1 − x + x2)(que pode ser feito por Briot-Ruffini ou divisa˜o de polinoˆmios por exemplo.) depois escrevemos como frac¸a˜o parcial 1 1 + x3 = 1 3(x+ 1) + 1 2(1− x+ x2) − 2x− 1 6(1− x+ x2) escrevemos agora (1− x+ x2) da forma (x+ a)2 + b2 na segunda frac¸a˜o 1 1 + x3 = 1 3(x+ 1) + 1 2(x− 1 2 )2 + ( √ 3 2 )2 − 2x− 1 6(1− x+ x2) integrando obtemos 1 3 ln(x+ 1) + 1√ 3 arctg 2√ 3 (x− 1/2)− 1 6 ln((1− x+ x2)) aplicando o intervalo temos 1 3 ln(x+ 1) + 1√ 3 arctg 2√ 3 (x− 1/2)− 1 6 ln((1− x+ x2)) ∣∣∣∣1 0 = = 1 3 ln(2) + 1√ 3 arctg 1√ 3 − 1√ 3 arctg −1√ 3 = 1 3 ln(2) + pi 3 √ 3 = 1 3 ln(2) + √ 3pi 9 Z Exemplo 10. Calcular a integral∫ 1 0 x 1− x+ x2dx Temos x 1− x+ x2 = 1 2 2x− 1 + 1 1− x+ x2 = 1 2 ( 2x− 1 1− x+ x2 + 1 1− x+ x2 ) temos que 1− x+ x2 = (x− 1 2 )2 + (√ 3 2 )2 logo a integral fica 1 2 ( ln(1− x+ x2) + 2√ 3 arctg 2√ 3 (x− 1 2 ) ) aplicando os limites temos o resultado pi 3 √ 3 . CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 12 Z Exemplo 11. Calcular ∫ (tgx)2dx. Temos que (tgx)2 = sen2x cos2x mas da identidade sen2x+cos2x = 1 temos sen2x = 1−cos2x, substituindo temos (tgx)2 = 1− cos2x cos2x = 1 cos2x − 1, enta˜o temos que calcular a integral∫ 1 cos2x − 1dx = ∫ 1 cos2x dx− x lembrando que (tgx)′ = ( senx cosx )′ = cosx.cosx+ senx.senx cos2x = 1 cos2x pela regra da derivada do quociente, logo, como (tgx)′ = 1 cos2x enta˜o ∫ 1 cos2x dx = tgx, finalmente calculamos a integral ∫ 1 cos2x dx− x = tgx− x+ c = ∫ (tgx)2dx. 1.4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es trigonome´tricas inversas 1.4.1 ∫ arcsen(x)dx = xarcsen(x) + √ 1− x2 b Propriedade 7. Vale que ∫ arcsen(x)dx = xarcsen(x) + √ 1− x2 pois derivando temos arcsen(x) + x√ 1− x2 + −2x 2 √ 1− x2 = arcsen(x). 1.4.2 ∫ arccos(x)dx = xarccos(x)− √ 1− x2 b Propriedade 8. Vale que ∫ arccos(x)dx = xarccos(x) − √ 1− x2 pois derivando temos arccos(x)− x√ 1− x2 + 2x 2 √ 1− x2 = arccos(x). CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 13 1.4.3 ∫ arctg(x) = xarctg(x)− 1 2 ln(1 + x2). b Propriedade 9. Vale que ∫ arctg(x) = xarctg(x)− 1 2 ln(1 + x2), pois derivando arctg(x) + x x2 + 1 − 2x 2x(1 + x2) = arctg(x). 1.4.4 ∫ arccotg(x) = xarccotg(x) + 1 2 ln(1 + x2). b Propriedade 10. Vale que ∫ arctg(x) = xarctg(x)− 1 2 ln(1 + x2), pois derivando arccotg(x)− x x2 + 1 + 2x 2x(1 + x2) = arccotg(x). 1.5 Integrac¸a˜o por partes Deduc¸a˜o da fo´rmula de integrac¸a˜o por partes D[g(x).f(x)] = [Dg(x)]f(x) + g(x).[Df(x)] tomando a integral indefinida de ambos lados∫ D[g(x).f(x)] = ∫ [Dg(x)]f(x) + ∫ g(x).[Df(x)] pelo teorema fundamental do Ca´lculo g(x).f(x) = ∫ [Dg(x)]f(x) + ∫ g(x).[Df(x)] de onde segue ∫ g(x).D[f(x)]dx = g(x).f(x)− ∫ [Dg(x)]f(x)dx. 1.5.1 Mu´ltiplas integrac¸o˜es por partes F Teorema 1 (Mu´ltipla integrac¸a˜o por partes).∫ g(x).Df(x) = n∑ k=0 (Dkg(x))(−1)kD−kf(x) + (−1)n+1 ∫ [Dn+1g(x)].[D−nf(x)] CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 14 ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n, para n = 0 temos ∫ g(x).Df(x) = 0∑ k=0 (Dkg(x))(−1)kD−kf(x)− ∫ [Dg(x)].[f(x)] = g(x))f(x)− ∫ [Dg(x)].[f(x)]. considerando por hipo´tese a validade para n∫ g(x).Df(x) = n∑ k=0 (Dkg(x))(−1)kD−kf(x) + (−1)n+1 ∫ [Dn+1g(x)].[D−nf(x)] vamos demonstrar para n+ 1∫ g(x).Df(x) = n+1∑ k=0 (Dkg(x))(−1)kD−kf(x) + (−1)n+2 ∫ [Dn+2g(x)].[D−n−1f(x)] calculando a integral ∫ [Dn+1g(x)].[D−nf(x)] por partes, tomando h(x) = Dn+1g(x) logo Dh(x) = Dn+2g(x)e Dp(x) = [D−nf(x)] implica p(x) = [D−n−1f(x)] de onde segue∫ [Dn+1g(x)].[D−nf(x)] = Dn+1g(x)[D−(n+1)f(x)]− ∫ Dn+2g(x)D−n−1f(x) substituindo essa expressa˜o na hipo´tese∫ g(x).Df(x) = n∑ k=0 (Dkg(x))(−1)kD−kf(x) + (−1)n+1Dn+1g(x)[D−(n+1)f(x)]+ (−1)n+2 ∫ Dn+2g(x)D−n−1f(x) = = n+1∑ k=0 (Dkg(x))(−1)kD−kf(x) + (−1)n+2 ∫ Dn+2g(x)D−n−1f(x) . Enta˜o temos a fo´rmula para integrac¸a˜opor partes∫ g(x).Df(x) = n∑ k=0 (Dkg(x))(−1)kD−kf(x) + (−1)n+1 ∫ [Dn+1g(x)].[D−nf(x)] se g(x) e´ de grau n temos Dn+1g(x) = 0 logo a fo´rmula se reduz $ Corola´rio 1. ∫ g(x).Df(x) = n∑ k=0 (Dkg(x))(−1)kD−kf(x). CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 15 $ Corola´rio 2. Se g(x) = xn, temos∫ xn.Df(x) = n∑ k=0 (Dkxn)(−1)kD−kf(x), podemos escrever usando o coeficiente binomial Dkxn = k! ( n k ) x(n−k), logo ∫ xn.Df(x) = n∑ k=0 k! ( n k ) x(n−k)(−1)kD−kf(x) 1.5.2 ∫ xn.sen(x)dx = n∑ k=0 k! ( n k ) x(n−k)(−1)k+1cos(x− kpi 2 ) Z Exemplo 12. Tomando Df(x) = senx tem-se f(x) = −cosx, logo D−k = −cos(x− kpi 2 ) a integral fica como ∫ xn.sen(x)dx = n∑ k=0 k! ( n k ) x(n−k)(−1)k+1cos(x− kpi 2 ). 1.5.3 ∫ xn.cos(x)dx = n∑ k=0 k! ( n k ) x(n−k)(−1)ksen(x− kpi 2 ). Z Exemplo 13. TomandoDf(x) = cosx tem-se f(x) = senx, logoD−k = sen(x−kpi 2 ) a integral fica como ∫ xn.cos(x)dx = n∑ k=0 k! ( n k ) x(n−k)(−1)ksen(x− kpi 2 ). Z Exemplo 14. Achar a expressa˜o para∫ xp(b+ ax)ndx sendo p um nu´mero natural. Df(x) = (b+ ax)n logo f(x) = (b+ ax)n+1 a(n+ 1) D−k (b+ ax)n+1 a(n+ 1) = a−k−1(n)(−k−1,1)(b+ ax)n+k+1 = a−(k+1)(n)(−(k+1),1)(b+ ax)n+k+1 CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 16 ∫ xp(b+ ax)n = ∫ xpD (b+ ax)n+1 a(n+ 1) = p∑ k=0 Dkxp(−1)kD−k (b+ ax) n+1 a(n+ 1) = = p∑ k=0 p(k,1)xp−k(−1)ka−(k+1)(n)(−(k+1),1)(b+ ax)n+k+1. Um caso especial que aparece quando queremos achar fo´rmula fechada para alguns so- mato´rios e´ a integral∫ 1 0 xp(1 + ax)ndx = p∑ k=0 p(k,1)xp−k(−1)ka−(k+1)(n)(−(k+1),1)(1 + ax)n+k+1 ∣∣∣∣1 0 Z Exemplo 15. Para calcular ∫ g(x).eax, tomamos f(x) = eax a , sendo g(x) de grau n temos D−kf(x) = eax ak+1 pois Dkf(x) = eaxak a logo ∫ g(x).eax = n∑ k=0 (Dkg(x))(−1)k e ax ak+1 1.5.4 ∫ xn.eaxdx. $ Corola´rio 3. Se g(x) = xn, temos ∫ xn.eaxdx = n∑ k=0 Dk[xn](−1)k.eax a(k+1) mas como Dkxn = n(k,1)xn−k escrevemos∫ xn.eaxdx = n∑ k=0 n(k,1)x(n−k)(−1)k.eax a(k+1) ∫ xn.eaxdx = n∑ k=0 k!n(k,1)x(n−k)(−1)k.eax k!a(k+1) = n∑ k=0 k! ( n k ) x(n−k)(−1)k.eax a(k+1) logo ∫ xn.eaxdx = n∑ k=0 k! ( n k ) x(n−k)(−1)k.eax a(k+1) . Podemos demonstrar por derivac¸a˜o tambe´m que∫ xn.eaxdx = n∑ k=0 n(k,1)x(n−k)(−1)k.eax a(k+1) CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 17 derivando a soma pela regra do produto e simplificando o fator a n∑ k=0 n(k,1)(n− k)x(n−k−1)(−1)k.eax a(k+1) + n∑ k=0 n(k,1)x(n−k)(−1)k.eax a(k) = o limite superior da primeira soma em n e´ nulo, somamos +1 aos limites e abrimos em 0 a segunda soma n∑ k=1 −n (k,1)x(n−k)(−1)k.eax a(k+1) + n∑ k=1 n(k,1)x(n−k)(−1)k.eax a(k) + xneax = = xneax. 1.5.5 ∫ xexdx Z Exemplo 16. Calcular ∫ xexdx. ∫ x.eaxdx = 1∑ k=0 k! ( 1 k ) x(1−k)(−1)k.eax a(k+1) = x.eax a − e ax a2 . Tomando a = 1. ∫ x.exdx = x.ex − ex. 1.5.6 ∫ e √ xdx = 2 √ x.e √ x − 2e √ x. Z Exemplo 17. Calcular ∫ e √ xdx. Tomando y = √ x tem-se 2ydy = dx logo ∫ e √ xdx = ∫ 2yeydx = 2 √ x.e √ x − 2e √ x. Z Exemplo 18. Se a = −p∫ xn.e(−p)xdx = n∑ k=0 n(k,1)x(n−k)(−1)k.e(−p)x (−p)(k+1) = = − n∑ k=0 n(k,1)x(n−k)(−1)k.e(−p)x (−1)k(p)(k+1) = − n∑ k=0 n(k,1)x(n−k).e(−p)x (p)(k+1) CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 18 assim ∫ xn.e(−p)xdx = −e(−p)x n∑ k=0 n(k,1)x(n−k) (p)(k+1) Agora se p > 0 e tomarmos a integral ∞∫ 0 xn.e(−p)xdx, temos ∫ ∞ 0 xn.e(−p)xdx = − 1 epx n∑ k=0 n(k,1)x(n−k) (p)(k+1) ∣∣∣∣∞ 0 informalmente temos que no limite infinito o termo epx vai crescer mais que toda poteˆncia, anulando o termo aplicado com o limite infinito, restando apenas o termo∫ ∞ 0 xn.e(−p)xdx = 1 ep0 n∑ k=0 n(k,1)0(n−k) (p)(k+1) = pois ep0 = 1 = n−1∑ k=0 n(k,1)0(n−k) (p)(k+1) + n(n,1)0(n−n) (p)(n+1) = n! p(n+1) pois n(n,1) = n! e os termos dentro do somato´rio acima se anulam, pois todos tem fato 0k com k > 0. Logo ∫ ∞ 0 xn.e(−p)xdx = n! p(n+1) Z Exemplo 19. Calcule ∫ ∞ 0 xn ex − 1dx sabemos que ∞∑ p=1 e−px = 1 ex − 1 implicando ∫ ∞ 0 xn ex − 1dx = ∫ ∞ 0 ∞∑ p=1 e−pxxndx = comutando o somato´rio com a integral temos = ∞∑ p=1 ∫ ∞ 0 e−pxxndx pelo resultado anterior temos ∫ ∞ 0 e−pxxndx = n! p(n+1) CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 19 logo ∞∑ p=1 ∫ ∞ 0 e−pxxndx = ∞∑ p=1 n! p(n+1) ∫ ∞ 0 xn ex − 1dx = n! ∞∑ p=1 1 p(n+1) = n!.ζ(n+ 1) ∫ ∞ 0 xn ex − 1dx = n!.ζ(n+ 1) z Observac¸a˜o 1. Para calcular a integral∫ ∞ 0 e−pxxndx na˜o precisamos saber a primitiva de e−pxxn, podemos demonstrar por induc¸a˜o que∫ ∞ 0 e−pxxndx = n! pn+1 ê Demonstrac¸a˜o. Para n = 0 temos ∫ ∞ 0 e−pxx0dx = ∫ ∞ 0 e−pxdx = −e −px p ∣∣∣∣∞ 0 = 1 p = 0! p1 vamos por hipo´tese considerar a validade para n∫ ∞ 0 e−pxxndx = n! pn+1 e provar para n+ 1 ∫ ∞ 0 e−pxxn+1dx = (n+ 1)! pn+2 vamos calcular a integral usando integrac¸a˜o por partes1, tomando g(x) = xn+1 temos g′(x) = (n + 1)xn, tomando f ′(x) = e−px temos f(x) = −e −px p , ficamos enta˜o com a integral ∫ ∞ 0 e−pxxn+1dx = −xn+1.e −px p ∣∣∣∣∞ k=0 − ∫ ∞ 0 −e −px p (n+ 1)xndx = = n+ 1 p ∫ ∞ 0 e−pxxndx = n+ 1 p n! pn+1 = (n+ 1)! p(n+2) 1 ∫ g(x).f ′(x)dx = g(x).f(x)− ∫ g′(x)f(x)dx CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 20 Podemos tambe´m proceder da seguinte maneira para chegar ao resultado ∫ ∞ 0 e−pxxndx = n! pn+1 Primeiro calculamos a integral ∫ ∞ 0 e−pxdx = e−px −p ∣∣∣∣∞ 0 = 1 p temos enta˜o ∫ ∞ 0 e−pxdx = 1 p derivando n vezes em relac¸a˜o p temos de ambos lados temos∫ ∞ 0 Dne−pxdx = ∫ ∞ 0 (−1)n(x)ne−pxdx = (−1)nn! 1 pn+1 cancelando os termos (−1)n ficamos com∫ ∞ 0 (x)ne−pxdx = n! pn+1 1.5.7 Integrac¸a˜o envolvendo lnx. Z Exemplo 20. ∫ lnxdx podemos integrar por partes, tomando g′(x) = 1 e f(x) = lnx temos g(x) = x e f ′(x) = 1 x logo ∫ lnxdx = xlnx− ∫ x x dx = xlnx− x. Z Exemplo 21. Calcular ∫ xp lnxdx. Tomamos g(x) = lnx, g′(x) = 1 x e f ′(x) = xp logo f(x) = xp+1 p+ 1 a integral fica ∫ xp lnxdx = xp+1 p+ 1 lnx− 1 p+ 1 ∫ xp = xp+1 p+ 1 lnx− x p+1 (p+ 1)2 se p 6= −1, se p = −1 temos ∫ 1 x lnxdx CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 21 , fazemos a substituic¸a˜o y = ln x, da´ı dy = 1 x dx a integral fica ∫ ydy = y2 2 = (lnx)2 2 . b Propriedade 11. ∫ f ′(x) f(x) dx = ln(f(x)). ê Demonstrac¸a˜o. D[ln f(x)] = f ′(x) f(x) . 1.5.8 Integrac¸a˜o por partes de func¸o˜es trigonome´tricas Z Exemplo 22. Calcular a integral∫ cos(lnx)dx. Tomamos g′(x) = 1 logo g(x) = x e f(x) = cos(lnx) da´ı f ′(x) = −sen lnx x , da´ı a integral fica ∫ cos(lnx)dx = xcos(lnx) + ∫ sen lnxdx aplicamos integrac¸a˜o por partes a segunda integral g′(x) = 1 , g(x) = x e f(x) = sen(lnx) , f ′(x) = cos lnx x ∫ sen lnx = xsen(lnx)− ∫ cos lnx substituindo na primeira temos∫ cos(lnx)dx = xsen(lnx) + xcos(lnx) 2 de onde tiramos tambe´m∫ sen lnxdx = xsen(lnx)− xcos(lnx) 2 , Z Exemplo 23. Usando a identidade cosax cosbx = cos(a+ b)x+ cos(a− b)x 2 CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 22 ∫ cosax cosbx = ∫ cos(a+ b)x+ ∫ cos(a− b)x 2 = sen(a+ b)x 2(a+ b) + sen(a− b)x 2(a− b) se a = b temos cos2ax = cos(2a)x+ 1 2 , ∫ cos2ax = ∫ (cos(2a)x+ 1) 2 = sen(2a)x 4(a) + x 2 . Temos os dois casos ∫ cosax cosbx = sen(a+ b)x 2(a+b) + sen(a− b)x 2(a− b)∫ cos2ax = sen(2a)x 4(a) + x 2 . Para a integral de sena.senb podemos usar a identidade cos(a− b)x− cos(a+ b)x 2 = senax senbx integrando∫ senax senbx = ∫ cos(a− b)x− ∫ cos(a+ b)x 2 = sen(a− b)x 2(a− b) − sen(a+ b)x 2(a+ b) se a = b a identidade fica 1− cos(2a)x 2 = sen2ax integrando ∫ sen2axdx = ∫ 1− cos(2a)x 2 dx = x 2 − sen(2a)x 4(a) . Temos os casos ∫ sen2axdx = x 2 − sen(2a)x 4(a)∫ senax senbx = sen(a− b)x 2(a− b) − sen(a+ b)x 2(a+ b) . Podemos calcular a integral ∫ cosax.senbx tambe´m, usando a identidade cosax.senbx = sen(a+ b)x− sen(a− b)x 2 , ∫ cosax.senbx = ∫ sen(a+ b)x− sen(a− b)x 2 = = cos(a− b)x 2(a− b) − cos(a+ b)x 2(a+ b) CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 23 se a = b temos ∫ cosax.senax = −cos(2a)x 4(a) . Essas identidades sa˜o importantes, por exemplo no estudo de se´ries de Fourier onde po- demos usar propriedade de ortogonalidade das func¸o˜es seno e cosseno por integral. $ Corola´rio 4 (Relac¸o˜es de ortogonalidade).∫ L −L cos npix L sen mpix L dx = cos pi L (n−m)x 2(a− b) − cos pi L (n+m)x 2(a+ b) ∣∣∣∣L −L = 0 pois cos e´ par, os termos se anulam se n = m∫ L −L cos npix L sen npix L dx = −cos(2 npix L )x 4(a) ∣∣∣∣L −L = −cos2npix 4(a) + cos2npix 4(a) = 0 enta˜o em qualquer caso o resultado e´ zero. ∫ L −L cos npix L cos mpix L dx = sen pi L (n+m)x 2(a+ b) + sen pi L (n−m)x 2(a− b) ∣∣∣∣L −L = 0 quando n 6= m inteiros, pois aparecem mu´ltiplos inteiros de pi onde sen e´ zero. Se n = m∫ L −L cos2 npix L x = sen(2npix L )x 4(a) + x 2 ∣∣∣∣L −L = L pois o termo com sen se anula. ∫ L −L sen2 npix L xdx = x 2 − sen 2npix L 4(a) ∣∣∣∣L −L = L∫ L −L sen npix L sen mpix L = sen pi L (n−m)x 2(a− b) − sen pi L (n+m)x 2(a+ b) ∣∣∣∣L −L = 0. Z Exemplo 24. Calcular ∫ x2cosnxdx. Usando a fo´rmula ∫ g(x).Df(x)dx = n∑ k=0 Dkg(x).(−1)kD−kf(x) temos ∫ x2cosnxdx = ∫ x2D senx n dx = 2∑ k=0 Dkx2.(−1)kD−k sennx n = = x2 sennx n + 2x.(−1)D−1 sennx n + 2.D−2 sennx n = x2 sennx n + 2x cosnx n2 − 2.sennx n3 CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 24 1.6 Alguma integrais definidas 1.7 Te´cnica da func¸a˜o indeterminada Z Exemplo 25. Calcular ∫ e x2 2 (x2 + 1)dx. Supondo uma func¸a˜o da forma f(x)e x2 2 derivando temos f ′(x)e x2 2 + f(x)xe x2 2 = e x2 2 (x2 + 1) logo f ′(x) + f(x)x = x2 + 1 a func¸a˜o deve ser de grau 1 com coeficiente de x 1 ,f(x) = x+ b, substituindo temos 1 + (x+ b)x = 1 + x2 + bx = x2 + 1 de onde tiramos b = 0 logo ∫ e x2 2 (x2 + 1)dx = xe x2 2 . Z Exemplo 26. Calcular ∫ e x2 2 (ax2 + bx+ c)dx. Supondo soluc¸a˜o do tipo f(x).e x2 2 com f(x) polinomial f ′(x)e x2 2 + f(x).xe x2 2 = (ax2 + bx+ c)e x2 2 f ′(x) + f(x)x = (ax2 + bx+ c) f(x) sendo de grau 1 tomamos enta˜o f(x) = tx+ u t+ (tx+ u)x = t+ tx2 + ux = ax2 + bx+ c logo temos que ter a = t = c e u = b, logo∫ e x2 2 (ax2 + bx+ a)dx = e x2 2 (ax+ b). CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 25 Z Exemplo 27. Calcular ∫ ex (x− 1)2 (x+ 1)2 dx. Vamos usar o me´todo sa func¸a˜o indeterminada, supondo soluc¸a˜o do tipo ex f(x) g(x) derivando temos ex g(x)2 ( f ′(x).g(x)− g′(x)f(x) + f(x)g(x) ) = ex (x− 1)2 (x+ 1)2 tomando g(x) = x+ 1 temos que ter f ′(x).(x+ 1)− f(x) + f(x)(x+ 1) = (x− 1)2 = x2 − 2x+ 1 tomando f(x) = x+ b segue x+ 1− x− b+ (x+ b)(x+ 1) = 1− b+ x2 + bx+ x+ b = x2 + (b+ 1)x+ 1 = x2 − 2x+ 1 logo b = −3 e ∫ ex (x− 1)2 (x+ 1)2 dx = ex x− 3 x+ 1 . Z Exemplo 28. Calcular ∫ ex 3 x2dx. Supondo uma primitiva da forma g(x)ex 3 temos 3x2g(x)ex 3 + g′(x)ex 3 = ex 3 x2 assim 3x2g(x) + g′(x) = x2 enta˜o g(x) = 1 3 o resultado e´ ∫ ex 3 x2dx = ex 3 3 . Z Exemplo 29. Calcule a integral∫ xex (x+ 1)2 dx. Iremos testar uma func¸a˜o do tipo ex f(x) h(x) = g(x), mas a regra da derivada do quociente implica aparecer um termo do tipo h(x)2 no denominador, enta˜o tomamos h(x) = CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 26 (1 + x) para que o resultado gere (1 + x)2 no denominador. Vamos tentar descobrir f(x) . Substituindo , derivando e comparando temos g′(x) = ex f ′(x)(x+ 1)− f(x)(x+ 1)′ (x+ 1)2 +ex (x+ 1)f(x) (x+ 1)2 = ex f ′(x)(x+ 1) + xf(x) (x+ 1)2 = ex x (x+ 1)2 , comparando os termos, devemos ter f ′(x)(x+1)+xf(x) = x, por isso podemos tomar f(x) = 1 e achamos nossa resposta∫ xex (x+ 1)2 dx = ex (x+ 1) , se derivamos g(x) = ex (x+ 1) verificamos que realmente e´ a integral indefinida pois g′(x) = ex(1′(x+ 1)− 1.(x+ 1)′) (x+ 1) + ex(x+ 1) (x+ 1)2 = exx (x+ 1)2 , como quer´ıamos . 1.8 Regra do trape´zio ∫ b a f(x)dx = b− a n [ f(a) + f(b) 2 + n−1∑ k=1 f(a+ k( b− a n )) ] onde o intervalo [a, b] e´ dividido em n subintervalos onde teremos n+ 1 pontos. 1.9 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o Z Exemplo 30. ∫ e f(x) g(x) f ′(x)g(x)− g′(x)f(x) [g(x)]2 = e f(x) g(x) . 1.9.1 Integrais envolvendo logaritmos b Propriedade 12. ∫ f ′(x) f(x) = lnf(x) pois Dlnf(x) = f ′(x) f(x) . CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 27 Z Exemplo 31. ∫ 2x+ 1 x2 + x+ 1 = ln(x2 + x+ 1).∫ 1 0 2x+ 1 x2 + x+ 1 = ln(x2 + x+ 1) ∣∣∣∣1 0 = ln(3). Z Exemplo 32. Calcular ∫ 1 0 1 x2 + 1 dx. Temos diretamente∫ 1 0 1 x2 + 1 dx = arctgx ∣∣∣∣1 0 = arctg(1)− arctg(0) = pi 4 . Z Exemplo 33. Calcular a integral∫ x x2 − 4dx. Temos que ∫ x x2 − 4dx = 1 2 ∫ 2x x2 − 4dx = 1 2 ln(x2 − 4) + c. Z Exemplo 34. Calcular ∫ x x2 + 1 dx. Temos que (x2 + 1)′ = 2x, da´ı 1 2 ∫ 2x x2 + 1 dx = 1 2 ln(x2 + 1) + c. 1.9.2 Integrais envolvendo func¸o˜es trigonome´tricas Z Exemplo 35. Calcule∫ cos(ax+ b)(msen(ax+ b) + c)tdx, m, a 6= 0. Tomando y = msen(ax+ b) + c temos dy dx = amcos(ax+ b), logo a integral fica como ∫ (y)t am dy = yt+1 am(t+ 1) = (msen(ax+ b) + c)t+1 am(t+ 1) . CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 28 1.9.3 Integral da composic¸a˜o b Propriedade 13 (Integral da composic¸a˜o).∫ g′(x)f ′(g(x))dx = f(g(x)). Pois [f(g(x))]′ = g′(x)f ′(g(x)). Podemos tomar y = g(x) da´ı dy = g′(x)dx, enta˜o∫ f ′(y)dy = f(y) = f(g(x)). Z Exemplo 36. Calcular ∫ exsen(ex)dx. Tomando y = ex temos dy = exdx, logo a integral fica∫ sen(y)dy = −cosy = −cos(ex). 1.10 Integrac¸a˜o e a´reas 1.10.1 A´rea do c´ırculo Podemos calcular a a´rea do c´ırculo de maneira simples usando integral. Dada a equac¸a˜o da circunfereˆncia de raio r com centro na origem x2 + y2 = r2, tem-se que a sua parte superior e´ dada por y = √ r2 − x2, a integral 2 ∫ r −r √ r2 − x2dx da´ enta˜o a a´rea do c´ırculo. Tomando x = rcosz tem-se dx = −rsenzdx, com x = r ,z = 0 e com x = −r , z = pi, logo a integral fica −2r ∫ 0 pi √ r2 − r2cos2z senz dz = 2r2 ∫ pi 0 √ 1− cos2z︸ ︷︷ ︸ =sen2z senz dz = 2r2 ∫ pi 0 sen2z dz = usando que sen2z = 1− cos2z 2 , segue = r2 ∫ pi 0 1−cos2z dz = r2(pi−1 2 ∫ pi 0 cos2z d2z) = r2(pi−1 2 sen2z ∣∣∣∣pi 0 ) = r2(pi−1 2 sen2pi︸ ︷︷ ︸ =0 + 1 2 sen0︸︷︷︸ =0 ) = pir2. Da´ı segue que a a´rea do c´ırculo de raio e´ r e´ pir2. CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 29 1.11 Integrais de func¸o˜es trigonome´tricas 1.11.1 ∫ tg(x)dx b Propriedade 14. ∫ tg(x) = − ln(cos(x)). ê Demonstrac¸a˜o. Vale D ln(cos(x)) = −sen(x) cos(x) . Z Exemplo 37. Calcule a integral∫ tg(x)tg(2x)tg(3x)dx. Usamosa identidade tg(a+ b) = tg(a) + tg(b) 1− tg(a)tg(b) usamos a identidade com a = x e b = 2x, da´ı temos tg(3x) = tg(x) + tg(2x) 1− tg(x)tg(2x) ⇒ tg(3x)(1− tg(x)tg(2x)) = tg(x)tg(2x) isolando tg(x)tg(2x)tg(3x) temos tg(3x)tg(2x)tg(x) = tg(3x)− tg(2x)− tg(x) Agora podemos calcular a integral∫ tg(x)tg(2x)tg(3x)dx = −1 3 ln(cos(3x)) + 1 2 ln(cos(2x)) + ln(cos(x)). Em geral podemos calcular a integral∫ tg((a+ b)x)tg(ax)tg(bx)dx. Usando a identidade tg((a + b)x) tg(ax) tg(bx) = tg(x(a + b)) − tg(ax) − tg(bx) calculamos a integral∫ tg((a+ b)x)tg(ax)tg(bx)dx = −1 a+ b ln(cos((a+ b)x)) + 1 a ln(cos(ax)) + 1 b ln(cos(bx)) b Propriedade 15. Vale tambe´m que ∫ tg(x)dx = ln(sec(x)). ê Demonstrac¸a˜o. Pois D ln(sec(x)) = sec(x)tg(x) sec(x) = tg(x). CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 30 1.11.2 ∫ sen(x)dx b Propriedade 16. ∫ sen(x)dx = −cos(x) ê Demonstrac¸a˜o. Pois −Dcos(x) = −(−sen(x)) = sen(x). 1.11.3 ∫ cos(x)dx b Propriedade 17. ∫ cos(x)dx = sen(x). ê Demonstrac¸a˜o. Pois Dsen(x) = cos(x). 1.11.4 ∫ sec2(x)dx b Propriedade 18. Vale ∫ sec2(x)dx = tg(x). ê Demonstrac¸a˜o. Segue da identidade D[tg(x)] = sec2(x). 1.11.5 ∫ sec2(x)tg(x)dx b Propriedade 19. Vale ∫ sec2(x)tgn(x)dx = tgn+1(x) n+ 1 . ê Demonstrac¸a˜o. Segue da identidade D[tgn+1(x)] = (n+ 1)tgn(x).sec2(x). 1.11.6 ∫ cotgn(x)cossec2(x)dx b Propriedade 20. ∫ cotgn(x)cossec2(x)dx = −cotgn+1(x) n+ 1 . êDemonstrac¸a˜o. A propriedade vale poisD[cotgn+1(x)] = −(n+1)cossec2(x).cotgn(x)). 1.11.7 ∫ cotg(x)dx. b Propriedade 21. ∫ cotg(x)dx = ln(sen(x)). ê Demonstrac¸a˜o. A identidade vale pois D[ln(sen(x))] = cos(x) sen(x) . CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 31 1.11.8 ∫ cossec2(x)dx b Propriedade 22. ∫ cossec2(x)dx = −cotg(x). ê Demonstrac¸a˜o. Pois −Dcotg(x) = cossec2(x). Z Exemplo 38. Calcular a integral ∫ 1 1− cos(x)dx. Usamos que 1− cos(x) = 2sen2(x 2 ), da´ı ca´ımos na integral ∫ 1 2sen2(x 2 ) dx = ∫ cossec2(x 2 ) 2 dx = −cotg(x 2 ) + c 1.11.9 ∫ sec(x)dx b Propriedade 23. ∫ sec(x)dx = ln(sec(x) + tg(x)). êDemonstrac¸a˜o. PoisD ln(sec(x)+tg(x)) = sec(x).tg(x) + sec2(x) sec(x) + tg(x) = sec(x)(tg(x) + sec(x)) sec(x) + tg(x) = sec(x). 1.11.10 ∫ cossec(x)dx b Propriedade 24. ∫ cossec(x)dx = − ln(cossec(x) + cotg(x)). êDemonstrac¸a˜o. Pois−D ln(cossec(x)+cotg(x)) = cotg(x)cossec(x) + cossec 2(x) cossec(x) + cotg(x) = cossec(x)(cotg(x) + cossec(x) cossec(x) + cotg(x) = cossec(x). Z Exemplo 39. Calcule ∫ √ 1 + cos(x)dx. Temos a identidade cos(2x) + 1 2 = cos2(x), da´ı 2cos2( x 2 ) = cos(x) + 1. Da´ı a integral fica como √ 2 ∫ cos( x 2 )dx = 2 √ 2sen( x 2 ). CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 32 1.12 Integrais e recorreˆncias 1.12.1 ∫ sennxdx. b Propriedade 25. Vale a recorreˆncia∫ senn+2xdx = − cosx n+ 2 senn+1x+ n+ 1 n+ 2 ∫ sennxdx. ê Demonstrac¸a˜o. Vamos aplicar integrac¸a˜o por partes, tomando g(x) = senn+1x e f ′(x) = senx enta˜o g′(x) = (n + 1)cosx.sennx. e f(x) = −cosx, enta˜o a integral fica como ∫ senn+2xdx = −cosx.senn+1x+ (n+ 1) ∫ cos2xsennxdx usando a identidade trigonome´trica cos2x = 1− sen2x tem-se∫ senn+2xdx = −cosx.senn+1x+ (n+ 1) ∫ sennxdx− (n+ 1) ∫ senn+2xdx e da´ı ∫ senn+2xdx = −cosx n+ 2 .senn+1x+ (n+ 1) n+ 2 ∫ sennxdx. $ Corola´rio 5. Com isso podemos deduzir2 ∫ sen2n(x)dx = ( 2n n ) 4n ( x− cosx n−1∑ p=0 sen2p+1(x) (2p+ 1) 4p( 2p p )) ∫ sen2n+1(x)dx = −cosx.4n (2n+ 1) ( 2n n )(1 + n−1∑ p=0 sen(2p+2)(x) ( 2p p ) (2p+ 1) (2p+ 2)4p ) . 1.12.2 ∫ cosnxdx. b Propriedade 26. Vale a recorreˆncia∫ cosn+2xdx = senx.cosn+1 n+ 2 + n+ 1 n+ 2 ∫ cosn(x)dx. 2Deduc¸a˜o feita no texto sobre recorreˆncias. CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 33 ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos g(x) = cosn+1(x) e f ′(x) = cos(x) enta˜o g′(x) = −(n+ 1)sen(x).cosn(x) e f(x) = sen(x), logo∫ cosn+2(x)dx = sen(x).cosn+1(x) + (n+ 1) ∫ sen2(x).cosn(x)dx usando sen2(x) = 1− cos2(x) tem-se∫ cosn+2(x)dx = sen(x).cosn+1(x) + (n+ 1) ∫ .cosn(x)dx− (n+ 1) ∫ .cosn+2(x)dx da´ı ∫ cosn+2(x)dx = sen(x) n+ 2 .cosn+1(x) + (n+ 1) n+ 2 ∫ cosn(x)dx. $ Corola´rio 6. Podemos com essa recorreˆncia deduzir∫ cos2n(x)dx = ( 2n n ) 4n ( x+ senx n−1∑ p=0 cos2p+1(x)4p (2p+ 1) ( 2p p )) ∫ cos2n+1(x)dx = sen(x).4n (2n+ 1) ( 2n n )(1 + n−1∑ p=0 cos(2p+2)(x) ( 2p p ) (2p+ 1) (2p+ 2)4p ) . $ Corola´rio 7. Generalizando para seno e cosseno∫ [g(x)]2ndx = ( 2n n ) 4n ( x+ [ ∫ g(x)dx] n−1∑ p=0 [g(x)]2p+1(x)4p (2p+ 1) ( 2p p ) ) ou de maneira equivalente∫ [g(x)]2ndx = ( 2n n ) 4n ( x− [Dg(x)dx] n−1∑ p=0 [g(x)]2p+1(x)4p (2p+ 1) ( 2p p ) ) ∫ [g(x)]2n+1dx = [−Dg(x)].4n (2n+ 1) ( 2n n )(1 + n−1∑ p=0 [g(x)](2p+2) ( 2p p ) (2p+ 1) (2p+ 2)4p ) . ∫ [g(x)]2n+1dx = [ ∫ g(x)dx].4n (2n+ 1) ( 2n n ) (1 + n−1∑ p=0 [g(x)](2p+2) ( 2p p ) (2p+ 1) (2p+ 2)4p ) . 1.12.3 ∫ tgn(x)dx b Propriedade 27. Vale a recorreˆncia∫ tgn+2(x)dx = tgn+1(x) n+ 1 − ∫ tgn(x)dx. CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 34 ê Demonstrac¸a˜o. ∫ tgn+2(x)dx = ∫ tgn(x)tg2(x)dx = da identidade tg2(x) = sec2(x)− 1, tem-se = ∫ tgn(x)sec2(x)− ∫ tgn(x)dx = tgn+1(x) n+ 1 − ∫ tgn(x)dx logo ∫ tgn+2(x)dx = tgn+1(x) n+ 1 − ∫ tgn(x)dx. $ Corola´rio 8. Da recorreˆncia tem-se os corola´rios ∫ tg2ndx = (−1)n ( x+ n−1∑ p=0 tg2p+1(x)(−1)p+1 (2p+ 1) ) ∫ tg2n+1(x)dx = (−1)n ( − ln(cosx) + n−1∑ p=0 tg2p+2(x)(−1)p+1 2p+ 2 ) . 1.12.4 ∫ cotgn(x)dx b Propriedade 28. Vale a recorreˆncia∫ cotgn+2(x)dx = −cotgn+1(x) n+ 1 − ∫ cotgn(x)dx. ê Demonstrac¸a˜o. Escrevemos∫ cotgn+2(x)dx = ∫ cotgn(x)cotg2(x)dx = usando a identidade trigonome´trica cot2(x) = cossec2(x)− 1 segue = ∫ cotgn(x)cossec2(x)dx︸ ︷︷ ︸ − cotgn+1 n+1 − ∫ cotgn(x)dx da´ı ∫ cotgn+2(x)dx = − ∫ cotgn(x)dx− cotg n+1(x) n+ 1 . CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 35 $ Corola´rio 9. Como corola´rio das recorreˆncias tem-se∫ cotg2n(x)dx = (−1)n ( x− n−1∑ p=0 cotg2p+1(x)(−1)p+1 (2p+ 1) ) . ∫ cotg2n+1(x)dx = (−1)n ( ln(sen(x))− n−1∑ p=0 cotg2p+2(x)(−1)p+1 (2p+ 2) ) . 1.12.5 ∫ secn(x)dx. b Propriedade 29.∫ secn+2(x)dx = secn(x)tg(x) n+ 1 + n n+ 1 ∫ secn(x)dx. ê Demonstrac¸a˜o. ∫ secn+2(x)dx = ∫ secn(x)sec2(x)dx tomando g′(x) = sec2(x) e f(x) = secn(x) enta˜o g(x) = tg(x) e f ′(x) = ntg(x)secn(x)∫ secn+2(x)dx = secn(x)tg(x)− n ∫ tg2(x)secn(x) = usando a identidade trigonome´trica tg2(x) = sec2(x)− 1 temos = secn(x)tg(x)− n ∫ secn+2(x) + n ∫ secn(x) da´ı ∫ secn+2(x)dx = secn(x)tg(x) n+ 1 + n n+ 1 ∫ secn(x)dx. $ Corola´rio 10. ∫ sec2n(x)dx = tg(x)4n 2n ( 2n n ) (1 + n−1∑ p=1 sec2p(x) ( 2p p ) 4p ) . ∫ sec2n+1(x)dx = ( 2n n ) 4n ( ln(sec(x) + tg(x)) + tg(x) n−1∑ p=0 4psec2p+1x (2p+ 1) ( 2p p )). CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 36 1.12.6 ∫ cossecn(x)dx. b Propriedade 30. Vale a recorreˆncia∫ cossecn+2(x)dx = −cotg(x).cossecn(x) n+ 1 + n n+ 1 ∫ cossecn(x)dx. ê Demonstrac¸a˜o.∫ cossecn+2(x)dx = ∫ cossecn(x)cossec2(x)dx tomando f(x) = cossecn(x) e g′(x) = cossec2(x) enta˜o f ′(x) = −n.cotg(x)cossecn(x) e g(x) = −cotg(x)∫ cossecn+2(x)dx = −cossecn(x)cotg(x)− n ∫ cotg2(x).cossecn(x)dx = usando a identidade cotg2(x) = cossec2(x)− 1 segue = −cossecn(x)cotg(x)− n ∫ cossecn+2(x)dx+ n ∫ cossecn(x)dxda´ı ∫ cossecn+2(x)dx = −cossecn(x)cotg(x) n+ 1 + n n+ 1 ∫ cossecn(x)dx. $ Corola´rio 11.∫ cossec2n(x)dx = −cotg(x)4n 2n ( 2n n ) (1 + n−1∑ p=1 cossec2p(x) ( 2p p ) 4p ) ∫ cossec2n+1(x)dx = − ( 2n n ) 4n ( ln(cossec(x) + cotg(x)) + cotg(x) n−1∑ p=0 cossec2p+1(x)4p (2p+ 1) ( 2p p ) ). 1.13 Integrac¸a˜o e nu´meros complexos 1.13.1 ∫ eaxcos(bx)dx e ∫ eaxsen(bx)dx b Propriedade 31. Valem as identidades∫ eaxcos(bx)dx = eax a2 + b2 (acos(bx) + bsen(bx))∫ eaxsen(bx)dx = eax a2 + b2 (asen(bx)− bcos(bx)). CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 37 ê Demonstrac¸a˜o. Considere a integral∫ eaxebixdx = ∫ ex(a+bi)dx = ex(a+bi) a+ bi = multiplicando pelo conjugado = ex(a+bi)(a− bi) a2 + b2 = eax(cos(bx) + isen(bx))(a− bi) a2 + b2 = separando a parte real da complexa eax(acos(bx) + bsen(bx)) a2 + b2 +i eax(asen(bx)− bcos(bx)) a2 + b2 = ∫ eaxcos(bx)dx+i ∫ eaxsen(bx)dx igualando as partes segue∫ eaxcos(bx)dx = eax a2 + b2 (acos(bx) + bsen(bx))∫ eaxsen(bx)dx = eax a2 + b2 (asen(bx)− bcos(bx)). 1.14 Integrais de poteˆncias de seno e cosseno por meio de complexos Z Exemplo 40. Outra maneira (eix + e−ix)n = n∑ k=0 ( n k ) ekixeix(−n+k) = n∑ k=0 ( n k ) ekixeix(−n+k) = n∑ k=0 ( n k ) eix(2k−n) pore´m eix + e−ix = 2cos(x), de onde segue 2n.cosn(x) = n∑ k=0 ( n k ) eix(2k−n) como o resultado deve ser real a soma na parte complexa deve ser nula, enta˜o vale n∑ k=0 ( n k ) sen(x(2k − n)) = 0. e cosn(x) = 1 2n n∑ k=0 ( n k ) cos((n− 2k)x). CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 38 $ Corola´rio 12. Podemos integrar e derivar facilmente cosn(x) Dcosn(x) = 1 2n n∑ k=0 ( n k ) D[cos((n− 2k)x)] = − 1 2n n∑ k=0 ( n k ) (n− 2k)[sen((n− 2k)x)] Dncosn(x) = 1 2n n∑ k=0 ( n k ) (n− 2k)[sen((2k − n)x)] aplicando a integral segue∫ cosn(x)dx = 1 2n n∑ k=0 ( n k )∫ [cos((n−2k)x)]dx = 1 2n n∑ k=0 ( n k ) [ 1 (n− 2k)sen((n−2k)x)]dx ∫ cosn(x)dx = 1 2n n∑ k=0 ( n k ) [ 1 (n− 2k)sen((n− 2k)x)]dx. Z Exemplo 41. Sabemos que eix − e−ix = 2isen(x) , elevamos a poteˆncia n (eix − e−ix)n = n∑ k=0 ( n k ) eixkeix(−n+k)(−1)n+k = (2i)nsenn(x) (2i)nsenn(x) = n∑ k=0 ( n k ) eix(−n+2k)(−1)n+k separamos o caso par do ı´mpar, para 2n temos (4n)(−1)nsen2n(x) = 2n∑ k=0 ( 2n k ) eix(−2n+2k)(−1)2n+k = 2n∑ k=0 ( 2n k ) eix(−2n+2k)(−1)k = nesse caso a parte complexa deve ser nula e a soma deve ser o valor da parte real da´ı sen2n(x) = 1 4n 2n∑ k=0 ( 2n k ) cos[(2n− 2k)(x)](−1)n+k e 2n∑ k=0 ( 2n k ) sen[(2n− 2k)(x)](−1)k = 0. CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 39 Tomando agora o caso n ı´mpar, tem-se (2)2n+1(−1)n.isen2n+1(x) = 2n+1∑ k=0 ( 2n+ 1 k ) eix(−2n−1+2k)(−1)k+1 agora a parte real deve ser nula e a parte complexa fornece a soma sen2n+1(x) = 1 (2)2n+1 2n+1∑ k=0 ( 2n+ 1 k ) sen[(2n+ 1− 2k)x](−1)k+n e 2n+1∑ k=0 ( 2n+ 1 k ) cos[(2n+ 1− 2k)x](−1)k = 0. Enta˜o valem as expresso˜es sen2n+1(x) = 1 (2)2n+1 2n+1∑ k=0 ( 2n+ 1 k ) sen[(2n+ 1− 2k)x](−1)k+n sen2n(x) = 1 4n 2n∑ k=0 ( 2n k ) cos[(2n− 2k)(x)](−1)n+k. $ Corola´rio 13. Podemos derivar e integrar as expresso˜es chegando em∫ sen2n(x)dx = 1 4n 2n∑ k=0 ( 2n k ) 1 (2n− 2k)sen[(2n− 2k)(x)](−1) n+k Dsen2n(x) = 1 4n 2n∑ k=0 ( 2n k ) (2n− 2k)sen[(2k − 2n)(x)](−1)n+k Dsen2n+1(x) = 1 (2)2n+1 2n+1∑ k=0 ( 2n+ 1 k ) (2n+ 1− k)cos[(2n+ 1− 2k)x](−1)k+n ∫ sen2n+1(x)dx = − 1 (2)2n+1 2n+1∑ k=0 ( 2n+ 1 k ) 1 (2n+ 1− 2k)cos[(2n+ 1− 2k)x](−1) k+n CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 40 1.15 Integrac¸a˜o de func¸o˜es perio´dicas b Propriedade 32. Se f e´ uma func¸a˜o per´ıodica de per´ıodo P e integra´vel enta˜o fa(t) = t+a∫ t−a f(s)ds e´ tambe´m per´ıodica de per´ıodo P . ê Demonstrac¸a˜o. fa(t+ P ) = t+a∫ t−a f(s)ds = t+P+a∫ t+P−a f(s)ds = t+a∫ t−a f(s+ p)ds = t+a∫ t−a f(s+ p)ds = fa(t) . b Propriedade 33. Se f e´ perio´dica com per´ıodo P e integra´vel sobre [0, P ] enta˜o∫ P 0 f(x)dx = ∫ b+P b f(x)dx, ∀b fixo . ê Demonstrac¸a˜o. Escrevemos ∫ b+P b f(x)dx = ∫ P b f(x)dx+ ∫ b+P P f(x)dx = ∫ P b f(x)dx+ ∫ b 0 f(x+ P )dx = = ∫ b 0 f(x)dx+ ∫ P b f(x)dx = ∫ P 0 f(x)dx . $ Corola´rio 14. Disso segue que se a e b sa˜o reais arbitra´rios, enta˜o ∫ a+P a f(x)dx = ∫ P 0 f(x)dx = ∫ b+P b f(x)dx, isto e´ ∫ a+P a f(x)dx = ∫ b+P b f(x)dx. 1.16 Integrais do tipo ∫ ( p(x) g(x) )′dx Sabemos que a integral ∫ ( p(x) g(x) )′dx = p(x) g(x) e pela regra da derivada do quociente ( p(x) g(x) )′ = p′(x)g(x)− p(x)g′(x) g(x)2 enta˜o ∫ p′(x)g(x)− p(x)g′(x) g(x)2 dx = p(x) g(x) . CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 41 Z Exemplo 42. Calcular a integral∫ 5x4 + 4x5 (x5 + x+ 1)2 dx. Escrevemos o numerador como 5x4 + 4x5 = 5x4 + 4x5 + (x5 + x + 1) − (x5 + x + 1) = 5x5 + 5x4 + x+ 1− (x5 + x+ 1) = −((x5 + x+ 1)− (5x4 + 1)(x+ 1)) enta˜o basta tomar p(x) = (x+ 1) e o resultado da integral e´ x+ 1 x5 + x+ 1 . 1.17 Integrac¸a˜o mu´ltipla b Propriedade 34 (Invertendo a ordem). Vale que∫ n a ∫ x a f(x, y)dydx = ∫ n a ∫ n y f(x, y)dxdy. ê Demonstrac¸a˜o. Definimos g(x, y) = f(x, y) para y ≤ x e g(x, y) = 0 se y > x, da´ı ∫ n a ∫ x a f(x, y)dydx = ∫ n a ∫ n a g(x, y)dydx = ∫ n a ∫ n a g(x, y)dxdy = = ∫ n a ( ∫ y a g(x, y)︸ ︷︷ ︸ 0 dx+ ∫ n y g(x, y)dx)dy = ∫ n a ∫ n y g(x, y)dxdy . Em somato´rios temos propriedade semelhante n∑ k=1 k∑ j=1 a(k, j) = n∑ j=1 n∑ k=j a(k, j). 1.18 Te´cnica de integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais Z Exemplo 43. Calcular a integral∫ x+ 1 x2(x2 + 1) dx. Escrevemos x+ 1 x2(x2 + 1) = x2 + 1 x2(x2 + 1) + x− x2 x2(x2 + 1) = 1 x2 + x(1− x) x2(x2 + 1) = = 1 x2 + (1− x) x(x2 + 1) = 1 x2 + 1 x(x2 + 1) − x x(x2 + 1) = CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 42 = 1 x2 + 1 x(x2 + 1) − 1 (x2 + 1) resta enta˜o escrever 1 x(x2 + 1) por meio de frac¸o˜es parciais. 1 x(x2 + 1) = a x + bx x2 + 1 = ax2 + a+ bx2 x(x2 + 1) comparando os coeficientes (a+ b)x2 + a = 1 temos a = 1, b = −1, por isso 1 x(x2 + 1) = 1 x − x x2 + 1 logo temos a representac¸a˜o por frac¸o˜es parciais x+ 1 x2(x2 + 1) = 1 x2 + 1 x − 1 x2 + 1 − x (x2 + 1) que sabemos integrar∫ x+ 1 x2(x2 + 1) dx = −1 x + ln(x)− arctg(x)− 1 2 ∫ 2x (x2 + 1) dx = = −1 x + ln(x)− arctg(x)− 1 2 ln(x2 + 1).
Compartilhar