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técnicas de integração

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Anotac¸o˜es sobre integrac¸a˜o
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Integrac¸a˜o 5
1.1 Manipulac¸o˜es ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Integrais ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1
∫
axdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Integrais que representam func¸o˜es trigonome´tricas inversas . . . . . . . . . 6
1.3.1
∫
1
a2 + x2
dx =
1
a
arctg(
u
a
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2
∫
1√
1− x2dx = arcsen(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3
∫ −1√
1− z2dz = arccos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4
∫
1
z
√
z2 − 1dz = arcsec(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.5
∫
1√
1 + x2
dx = arcsenh(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es trigonome´tricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1
∫
arcsen(x)dx = xarcsen(x) +
√
1− x2 . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2
∫
arccos(x)dx = xarccos(x)−
√
1− x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3
∫
arctg(x) = xarctg(x)− 1
2
ln(1 + x2). . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.4
∫
arccotg(x) = xarccotg(x) +
1
2
ln(1 + x2). . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Integrac¸a˜o por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Mu´ltiplas integrac¸o˜es por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2
∫
xn.sen(x)dx =
n∑
k=0
k!
(
n
k
)
x(n−k)(−1)k+1cos(x− kpi
2
) . . . . . . . 15
1.5.3
∫
xn.cos(x)dx =
n∑
k=0
k!
(
n
k
)
x(n−k)(−1)ksen(x− kpi
2
). . . . . . . . . 15
1.5.4
∫
xn.eaxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2
SUMA´RIO 3
1.5.5
∫
xexdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.6
∫
e
√
xdx = 2
√
x.e
√
x − 2e
√
x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.7 Integrac¸a˜o envolvendo ln x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.8 Integrac¸a˜o por partes de func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . 21
1.6 Alguma integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Te´cnica da func¸a˜o indeterminada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Regra do trape´zio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.1 Integrais envolvendo logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.2 Integrais envolvendo func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . 27
1.9.3 Integral da composic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10 Integrac¸a˜o e a´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10.1 A´rea do c´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.11 Integrais de func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11.1
∫
tg(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11.2
∫
sen(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.11.3
∫
cos(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.11.4
∫
sec2(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.11.5
∫
sec2(x)tg(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.11.6
∫
cotgn(x)cossec2(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.11.7
∫
cotg(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.11.8
∫
cossec2(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.11.9
∫
sec(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.11.10
∫
cossec(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.12 Integrais e recorreˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.12.1
∫
sennxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.12.2
∫
cosnxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.12.3
∫
tgn(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
SUMA´RIO 4
1.12.4
∫
cotgn(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.12.5
∫
secn(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.12.6
∫
cossecn(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.13 Integrac¸a˜o e nu´meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.13.1
∫
eaxcos(bx)dx e
∫
eaxsen(bx)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.14 Integrais de poteˆncias de seno e cosseno por meio de complexos . . . . . . 37
1.15 Integrac¸a˜o de func¸o˜es perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.16 Integrais do tipo
∫
(
p(x)
g(x)
)′dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.17 Integrac¸a˜o mu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.18 Te´cnica de integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Cap´ıtulo 1
Integrac¸a˜o
1.1 Manipulac¸o˜es ba´sicas
b Propriedade 1 (Soma nos limites).∫ b
a
f(x)dx =
∫ b+p
a+p
f(x− p)dx.
Pode ser demonstrada por mudanc¸a de varia´vel na integral. Tome y = x − p, temos
dy = dx e com x = b+ p fica y = b, com x = a+ p fica y = a, escrevemos∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
f(y)dy.
Como a varia´vel de integrac¸a˜o e´ muda temos a mesma integral.
b Propriedade 2 (Produto por −1.).∫ b
a
f(x)dx =
∫ −a
−b
f(−x)dx
Sendo a func¸a˜o f(x) integra´vel no intervalo [a, b]. Demonstrac¸a˜o por mudanc¸a de varia´vel:
Tome y = −x, com isso temos que quando x = −a ,y = a e quando x = −b, y = b e
temos ainda
dy
dx
= −1, dx = −dy, ficamos enta˜o com a integral∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(y)dy.
Que por definic¸a˜o e´ verdadeira.
5
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 6
b Propriedade 3 (Troca de ordem em integrais). E´ uma propriedade que e´ corola´rio
do produto por −1 nos limites e da mudanc¸a de varia´vel por soma nos limites. Vejamos,
temos ∫ b
a
f(x)dx =
∫ −a
−b
f(−x)dx
somando a+ b aos limites ficamos com∫ b
a
f(x)dx =
∫ −a+a+b
−b+a+b
f(a+ b− x)dx =
∫ b
a
f(a+ b− x)dx.
b Propriedade 4. Seja t 6= 0 enta˜o∫ b
a
f(x)dx =
1
t
∫ bt
at
f(
x
t
)dx.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos y = tx, da´ı
dy
dx
= t
∫ b
a
f(x)dx =
1
t
1
t
∫ bt
at
f(
x
t
)dx.
1.2 Integrais ba´sicas
1.2.1
∫
axdx
Se a > 0, podemos escrever ax = eln a
x
= ex ln a, da´ı tem-se∫
axdx =
∫
ex ln adx =
ex ln a
ln a
=
ax
ln a
.
1.3 Integrais que representam func¸o˜es trigonome´tricas
inversas
1.3.1
∫
1
a2 + x2
dx =
1
a
arctg(
u
a
)
b Propriedade 5. ∫
du
a2 + u2
=
1
a
arctg(
u
a
)
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 7
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos calcular a derivada de
1
a
arctg(
u
a
). Tomando
y =
1
a
arctg(
u
a
),
segue que ay = arctg(
u
a
) e tg(ay) =
u
a
, podemos tomar um triaˆngulo com cateto oposto
ao aˆngulo de valor ay com medida valendo u e adjacente com medida valendo a, como na
imagem
Figura 1.1: Triaˆngulo retaˆngulo
Assim temos por teorema de Pita´goras a2 + u2 = h2 , h =
√
a2 + u2 e
cos(ay) =
a√
a2 + u2
,
logo cos2(ay) =
a2
a2 + u2
e
1
cos2(ay)
=
a2 + u2
a2
= sec2(ay), voltando a tangente, temos
tg(ay) =
u
a
derivando ambos lados em u segue que ay′.sec2(ay) =
1
a
,y′sec2(ay) =
1
a2
substituindo a expressa˜o da secante segue finalmente que
y′.
a2 + u2
a2
=
1
a2
,
logo y′ =
1
a2 + u2
Z Exemplo 1. Calcule ∫
x2
1 + x2
dx.∫
x2
1 + x2
dx =
∫
x2 + 1− 1
1 + x2
dx =
∫
1− 1
1 + x2
dx = x− arctgx+ c.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 8
Z Exemplo 2. Calcule a integral∫
2
(x2 + 1)2
dx.
Escrevemos
2
(x2 + 1)2
=
1− x2
(x2 + 1)2
+
x2 + 1
(x2 + 1)2
=
1− x2
(x2 + 1)2
+
1
x2 + 1
,
trabalhamos agora na primeira frac¸a˜o
1− x2
(x2 + 1)2
=
x2 + 1− 2x2
(x2 + 1)2
=
x′(x2 + 1)− 2x.x
(x2 + 1)2
=
x′(x2 + 1)− (x2 + 1)′x
(x2 + 1)2
=
d
dx
(
x
x2 + 1
)
,
pois ca´ımos na derivada do quociente(
f(x)
g(x)
)′
=
f ′(x).g(x)− f(x).g′(x)
g(x)2
.
Por isso temos que
2
(x2 + 1)2
=
d
dx
(
x
x2 + 1
)
+
1
x2 + 1
,
que integrando implica em∫
2
(x2 + 1)2
dx =
∫
d
dx
(
x
x2 + 1
)
dx+
1
x2 + 1
dx =
x
x2 + 1
+ arctg(x) + c.
1.3.2
∫
1√
1− x2dx = arcsen(x).
Z Exemplo 3. Mostrar que∫
1√
1− x2dx = arcsen(x).
Vamos mostrar que (arcsen(x))′ =
1√
1− x2 . seja y = arcsen(x) temos seny = x deri-
vando y′.cosy = 1, y′ =
1
cosy
=
1√
1− x2 (fazer figura depois.)
arcsen(x) esta´ definido com |z| ≤ 1 , com esses valores vale∫ z
0
1√
1− x2dx = arcsen(z)− arcsen(0) = arcsen(z).
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 9
Z Exemplo 4. Calcule a integral
∫
1√
28− 12x− x2dx.
Iremos aplica a te´cnica de completar quadrados, temos 28 − 12x − x2 e queremos
escrever da forma b− (x+ a)2 para algum a e b . Temos que
28− 12x− x2 = 28− [12x+ x2] = 28− [(x+ 6)2 − 62] =
= 28 + 36− (x+ 6)2 = 64− (x+ 6)2 = 82 − (x+ 6)2 = 82
[
1−
(
x+ 6
8
)2]
,
substituindo na integral fica com
∫
1√
28− 12x− x2dx =
1
8
∫
1√
1− (x+6
8
)2dx,
da´ı podemos tomar y =
x+ 6
8
logo
dy
dx
=
1
8
⇒ 8dy = dx a integral fica como
8
8
∫
1√
1− ydy = arcsen(y) + c = arcsen
(
x+ 6
8
)
+ c.
1.3.3
∫ −1√
1− z2dz = arccos(x)
b Propriedade 6. Vale
∫ −1√
1− z2dz = arc cos(x) poisD[arccos(x)] =
−1√
1− z2 , como
a func¸a˜o e´ definida para valores |x| ≤ 1, vale∫ 1
x
−1√
1− z2dz = arccos(1)− arccos(x) = −arccos(x).
Z Exemplo 5. Calcular a integral
∫ 1
1
2
−1√
1− z2dz.Vale
∫ 1
1
2
−1√
1− z2dz = −arccos(
1
2
) =
−pi
3
.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 10
1.3.4
∫
1
z
√
z2 − 1dz = arcsec(z).
Z Exemplo 6. Vale
∫
1
z
√
z2 − 1dz = arcsec(z) pois Darcsec(z) =
1
z
√
z2 − 1, apli-
cando limites de integrac¸a˜o ∫ x
1
1
z
√
z2 − 1dz = arcsec(x).
1.3.5
∫
1√
1 + x2
dx = arcsenh(x).
Z Exemplo 7. Mostrar que∫
1√
1 + x2
dx = arcsenh(x).
Para isso temos que mostrar que (arcsenh(x))′ =
1√
1 + x2
seja y = arcsen(x) enta˜o
senh(y) = x derivando temos y′.cosh(y) = 1 logo y′ =
1
cosh(y)
pela relac¸a˜o cosh2(y) −
senh2(y) = 1 temos cosh(y) =
√
1 + x2 logo vale
(arcsenh(x))′ =
1√
1 + x2
.
Z Exemplo 8. Calcular a integral∫ 1
0
1
x2 + x+ 1
dx.
Escrevemos x2 + x+ 1 da forma (x+ a)2 + b2 temos x2 + x+ 1 = (x+
1
2
)2 + (
√
3
2
)2
∫ 1
0
1
x2 + x+ 1
dx =
∫ 1
0
1
(x+ 1
2
)2 + (
√
3
2
)2
dx =
=
2√
3
arctg
2√
3
(x+ 1/2)
∣∣∣∣1
0
=
2√
3
arctg
2√
3
(
3
2
)− 2√
3
arctg
2√
3
(
1
2
) =
usando valores da acrtg
=
2√
3
pi
3
− 2√
3
pi
6
=
pi
3
√
3
.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 11
Z Exemplo 9. Calcular ∫ 1
0
1
1 + x3
dx.
Primeiro fatoramos x3 + 1 = (x + 1)(1 − x + x2)(que pode ser feito por Briot-Ruffini ou
divisa˜o de polinoˆmios por exemplo.) depois escrevemos como frac¸a˜o parcial
1
1 + x3
=
1
3(x+ 1)
+
1
2(1− x+ x2) −
2x− 1
6(1− x+ x2)
escrevemos agora (1− x+ x2) da forma (x+ a)2 + b2 na segunda frac¸a˜o
1
1 + x3
=
1
3(x+ 1)
+
1
2(x− 1
2
)2 + (
√
3
2
)2
− 2x− 1
6(1− x+ x2)
integrando obtemos
1
3
ln(x+ 1) +
1√
3
arctg
2√
3
(x− 1/2)− 1
6
ln((1− x+ x2))
aplicando o intervalo temos
1
3
ln(x+ 1) +
1√
3
arctg
2√
3
(x− 1/2)− 1
6
ln((1− x+ x2))
∣∣∣∣1
0
=
=
1
3
ln(2) +
1√
3
arctg
1√
3
− 1√
3
arctg
−1√
3
=
1
3
ln(2) +
pi
3
√
3
=
1
3
ln(2) +
√
3pi
9
Z Exemplo 10. Calcular a integral∫ 1
0
x
1− x+ x2dx
Temos
x
1− x+ x2 =
1
2
2x− 1 + 1
1− x+ x2 =
1
2
(
2x− 1
1− x+ x2 +
1
1− x+ x2
)
temos que 1− x+ x2 = (x− 1
2
)2 +
(√
3
2
)2
logo a integral fica
1
2
(
ln(1− x+ x2) + 2√
3
arctg
2√
3
(x− 1
2
)
)
aplicando os limites temos o resultado
pi
3
√
3
.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 12
Z Exemplo 11. Calcular ∫
(tgx)2dx.
Temos que (tgx)2 =
sen2x
cos2x
mas da identidade sen2x+cos2x = 1 temos sen2x = 1−cos2x,
substituindo temos (tgx)2 =
1− cos2x
cos2x
=
1
cos2x
− 1, enta˜o temos que calcular a integral∫
1
cos2x
− 1dx =
∫
1
cos2x
dx− x
lembrando que (tgx)′ = (
senx
cosx
)′ =
cosx.cosx+ senx.senx
cos2x
=
1
cos2x
pela regra da derivada
do quociente, logo, como (tgx)′ =
1
cos2x
enta˜o
∫
1
cos2x
dx = tgx, finalmente calculamos
a integral ∫
1
cos2x
dx− x = tgx− x+ c =
∫
(tgx)2dx.
1.4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es trigonome´tricas inversas
1.4.1
∫
arcsen(x)dx = xarcsen(x) +
√
1− x2
b Propriedade 7. Vale que
∫
arcsen(x)dx = xarcsen(x) +
√
1− x2 pois derivando
temos
arcsen(x) +
x√
1− x2 +
−2x
2
√
1− x2 = arcsen(x).
1.4.2
∫
arccos(x)dx = xarccos(x)−
√
1− x2
b Propriedade 8. Vale que
∫
arccos(x)dx = xarccos(x) −
√
1− x2 pois derivando
temos
arccos(x)− x√
1− x2 +
2x
2
√
1− x2 = arccos(x).
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 13
1.4.3
∫
arctg(x) = xarctg(x)− 1
2
ln(1 + x2).
b Propriedade 9. Vale que
∫
arctg(x) = xarctg(x)− 1
2
ln(1 + x2), pois derivando
arctg(x) +
x
x2 + 1
− 2x
2x(1 + x2)
= arctg(x).
1.4.4
∫
arccotg(x) = xarccotg(x) +
1
2
ln(1 + x2).
b Propriedade 10. Vale que
∫
arctg(x) = xarctg(x)− 1
2
ln(1 + x2), pois derivando
arccotg(x)− x
x2 + 1
+
2x
2x(1 + x2)
= arccotg(x).
1.5 Integrac¸a˜o por partes
Deduc¸a˜o da fo´rmula de integrac¸a˜o por partes
D[g(x).f(x)] = [Dg(x)]f(x) + g(x).[Df(x)]
tomando a integral indefinida de ambos lados∫
D[g(x).f(x)] =
∫
[Dg(x)]f(x) +
∫
g(x).[Df(x)]
pelo teorema fundamental do Ca´lculo
g(x).f(x) =
∫
[Dg(x)]f(x) +
∫
g(x).[Df(x)]
de onde segue
∫
g(x).D[f(x)]dx = g(x).f(x)−
∫
[Dg(x)]f(x)dx.
1.5.1 Mu´ltiplas integrac¸o˜es por partes
F Teorema 1 (Mu´ltipla integrac¸a˜o por partes).∫
g(x).Df(x) =
n∑
k=0
(Dkg(x))(−1)kD−kf(x) + (−1)n+1
∫
[Dn+1g(x)].[D−nf(x)]
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 14
ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n, para n = 0 temos
∫
g(x).Df(x) =
0∑
k=0
(Dkg(x))(−1)kD−kf(x)−
∫
[Dg(x)].[f(x)] = g(x))f(x)−
∫
[Dg(x)].[f(x)].
considerando por hipo´tese a validade para n∫
g(x).Df(x) =
n∑
k=0
(Dkg(x))(−1)kD−kf(x) + (−1)n+1
∫
[Dn+1g(x)].[D−nf(x)]
vamos demonstrar para n+ 1∫
g(x).Df(x) =
n+1∑
k=0
(Dkg(x))(−1)kD−kf(x) + (−1)n+2
∫
[Dn+2g(x)].[D−n−1f(x)]
calculando a integral ∫
[Dn+1g(x)].[D−nf(x)]
por partes, tomando h(x) = Dn+1g(x) logo Dh(x) = Dn+2g(x)e Dp(x) = [D−nf(x)]
implica p(x) = [D−n−1f(x)] de onde segue∫
[Dn+1g(x)].[D−nf(x)] = Dn+1g(x)[D−(n+1)f(x)]−
∫
Dn+2g(x)D−n−1f(x)
substituindo essa expressa˜o na hipo´tese∫
g(x).Df(x) =
n∑
k=0
(Dkg(x))(−1)kD−kf(x) + (−1)n+1Dn+1g(x)[D−(n+1)f(x)]+
(−1)n+2
∫
Dn+2g(x)D−n−1f(x) =
=
n+1∑
k=0
(Dkg(x))(−1)kD−kf(x) + (−1)n+2
∫
Dn+2g(x)D−n−1f(x) .
Enta˜o temos a fo´rmula para integrac¸a˜opor partes∫
g(x).Df(x) =
n∑
k=0
(Dkg(x))(−1)kD−kf(x) + (−1)n+1
∫
[Dn+1g(x)].[D−nf(x)]
se g(x) e´ de grau n temos Dn+1g(x) = 0 logo a fo´rmula se reduz
$ Corola´rio 1. ∫
g(x).Df(x) =
n∑
k=0
(Dkg(x))(−1)kD−kf(x).
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 15
$ Corola´rio 2. Se g(x) = xn, temos∫
xn.Df(x) =
n∑
k=0
(Dkxn)(−1)kD−kf(x),
podemos escrever usando o coeficiente binomial
Dkxn = k!
(
n
k
)
x(n−k),
logo ∫
xn.Df(x) =
n∑
k=0
k!
(
n
k
)
x(n−k)(−1)kD−kf(x)
1.5.2
∫
xn.sen(x)dx =
n∑
k=0
k!
(
n
k
)
x(n−k)(−1)k+1cos(x− kpi
2
)
Z Exemplo 12. Tomando Df(x) = senx tem-se f(x) = −cosx, logo D−k = −cos(x−
kpi
2
) a integral fica como
∫
xn.sen(x)dx =
n∑
k=0
k!
(
n
k
)
x(n−k)(−1)k+1cos(x− kpi
2
).
1.5.3
∫
xn.cos(x)dx =
n∑
k=0
k!
(
n
k
)
x(n−k)(−1)ksen(x− kpi
2
).
Z Exemplo 13. TomandoDf(x) = cosx tem-se f(x) = senx, logoD−k = sen(x−kpi
2
)
a integral fica como
∫
xn.cos(x)dx =
n∑
k=0
k!
(
n
k
)
x(n−k)(−1)ksen(x− kpi
2
).
Z Exemplo 14. Achar a expressa˜o para∫
xp(b+ ax)ndx
sendo p um nu´mero natural. Df(x) = (b+ ax)n logo f(x) =
(b+ ax)n+1
a(n+ 1)
D−k
(b+ ax)n+1
a(n+ 1)
= a−k−1(n)(−k−1,1)(b+ ax)n+k+1 = a−(k+1)(n)(−(k+1),1)(b+ ax)n+k+1
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 16
∫
xp(b+ ax)n =
∫
xpD
(b+ ax)n+1
a(n+ 1)
=
p∑
k=0
Dkxp(−1)kD−k (b+ ax)
n+1
a(n+ 1)
=
=
p∑
k=0
p(k,1)xp−k(−1)ka−(k+1)(n)(−(k+1),1)(b+ ax)n+k+1.
Um caso especial que aparece quando queremos achar fo´rmula fechada para alguns so-
mato´rios e´ a integral∫ 1
0
xp(1 + ax)ndx =
p∑
k=0
p(k,1)xp−k(−1)ka−(k+1)(n)(−(k+1),1)(1 + ax)n+k+1
∣∣∣∣1
0
Z Exemplo 15. Para calcular
∫
g(x).eax, tomamos f(x) =
eax
a
, sendo g(x) de grau
n temos D−kf(x) =
eax
ak+1
pois Dkf(x) =
eaxak
a
logo
∫
g(x).eax =
n∑
k=0
(Dkg(x))(−1)k e
ax
ak+1
1.5.4
∫
xn.eaxdx.
$ Corola´rio 3. Se g(x) = xn, temos
∫
xn.eaxdx =
n∑
k=0
Dk[xn](−1)k.eax
a(k+1)
mas como Dkxn = n(k,1)xn−k escrevemos∫
xn.eaxdx =
n∑
k=0
n(k,1)x(n−k)(−1)k.eax
a(k+1)
∫
xn.eaxdx =
n∑
k=0
k!n(k,1)x(n−k)(−1)k.eax
k!a(k+1)
=
n∑
k=0
k!
(
n
k
)
x(n−k)(−1)k.eax
a(k+1)
logo ∫
xn.eaxdx =
n∑
k=0
k!
(
n
k
)
x(n−k)(−1)k.eax
a(k+1)
.
Podemos demonstrar por derivac¸a˜o tambe´m que∫
xn.eaxdx =
n∑
k=0
n(k,1)x(n−k)(−1)k.eax
a(k+1)
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 17
derivando a soma pela regra do produto e simplificando o fator a
n∑
k=0
n(k,1)(n− k)x(n−k−1)(−1)k.eax
a(k+1)
+
n∑
k=0
n(k,1)x(n−k)(−1)k.eax
a(k)
=
o limite superior da primeira soma em n e´ nulo, somamos +1 aos limites e abrimos em 0
a segunda soma
n∑
k=1
−n
(k,1)x(n−k)(−1)k.eax
a(k+1)
+
n∑
k=1
n(k,1)x(n−k)(−1)k.eax
a(k)
+ xneax =
= xneax.
1.5.5
∫
xexdx
Z Exemplo 16. Calcular ∫
xexdx.
∫
x.eaxdx =
1∑
k=0
k!
(
1
k
)
x(1−k)(−1)k.eax
a(k+1)
=
x.eax
a
− e
ax
a2
.
Tomando a = 1. ∫
x.exdx = x.ex − ex.
1.5.6
∫
e
√
xdx = 2
√
x.e
√
x − 2e
√
x.
Z Exemplo 17. Calcular ∫
e
√
xdx.
Tomando y =
√
x tem-se 2ydy = dx logo
∫
e
√
xdx =
∫
2yeydx = 2
√
x.e
√
x − 2e
√
x.
Z Exemplo 18. Se a = −p∫
xn.e(−p)xdx =
n∑
k=0
n(k,1)x(n−k)(−1)k.e(−p)x
(−p)(k+1) =
= −
n∑
k=0
n(k,1)x(n−k)(−1)k.e(−p)x
(−1)k(p)(k+1) = −
n∑
k=0
n(k,1)x(n−k).e(−p)x
(p)(k+1)
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 18
assim ∫
xn.e(−p)xdx = −e(−p)x
n∑
k=0
n(k,1)x(n−k)
(p)(k+1)
Agora se p > 0 e tomarmos a integral
∞∫
0
xn.e(−p)xdx, temos
∫ ∞
0
xn.e(−p)xdx = − 1
epx
n∑
k=0
n(k,1)x(n−k)
(p)(k+1)
∣∣∣∣∞
0
informalmente temos que no limite infinito o termo epx vai crescer mais que toda poteˆncia,
anulando o termo aplicado com o limite infinito, restando apenas o termo∫ ∞
0
xn.e(−p)xdx =
1
ep0
n∑
k=0
n(k,1)0(n−k)
(p)(k+1)
=
pois ep0 = 1
=
n−1∑
k=0
n(k,1)0(n−k)
(p)(k+1)
+
n(n,1)0(n−n)
(p)(n+1)
=
n!
p(n+1)
pois n(n,1) = n! e os termos dentro do somato´rio acima se anulam, pois todos tem fato 0k
com k > 0. Logo ∫ ∞
0
xn.e(−p)xdx =
n!
p(n+1)
Z Exemplo 19. Calcule ∫ ∞
0
xn
ex − 1dx
sabemos que
∞∑
p=1
e−px =
1
ex − 1
implicando ∫ ∞
0
xn
ex − 1dx =
∫ ∞
0
∞∑
p=1
e−pxxndx =
comutando o somato´rio com a integral temos
=
∞∑
p=1
∫ ∞
0
e−pxxndx
pelo resultado anterior temos ∫ ∞
0
e−pxxndx =
n!
p(n+1)
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 19
logo
∞∑
p=1
∫ ∞
0
e−pxxndx =
∞∑
p=1
n!
p(n+1)
∫ ∞
0
xn
ex − 1dx = n!
∞∑
p=1
1
p(n+1)
= n!.ζ(n+ 1)
∫ ∞
0
xn
ex − 1dx = n!.ζ(n+ 1)
z Observac¸a˜o 1. Para calcular a integral∫ ∞
0
e−pxxndx
na˜o precisamos saber a primitiva de e−pxxn, podemos demonstrar por induc¸a˜o que∫ ∞
0
e−pxxndx =
n!
pn+1
ê Demonstrac¸a˜o. Para n = 0 temos
∫ ∞
0
e−pxx0dx =
∫ ∞
0
e−pxdx = −e
−px
p
∣∣∣∣∞
0
=
1
p
=
0!
p1
vamos por hipo´tese considerar a validade para n∫ ∞
0
e−pxxndx =
n!
pn+1
e provar para n+ 1 ∫ ∞
0
e−pxxn+1dx =
(n+ 1)!
pn+2
vamos calcular a integral usando integrac¸a˜o por partes1, tomando g(x) = xn+1 temos
g′(x) = (n + 1)xn, tomando f ′(x) = e−px temos f(x) = −e
−px
p
, ficamos enta˜o com a
integral ∫ ∞
0
e−pxxn+1dx = −xn+1.e
−px
p
∣∣∣∣∞
k=0
−
∫ ∞
0
−e
−px
p
(n+ 1)xndx =
=
n+ 1
p
∫ ∞
0
e−pxxndx =
n+ 1
p
n!
pn+1
=
(n+ 1)!
p(n+2)
1 ∫
g(x).f ′(x)dx = g(x).f(x)−
∫
g′(x)f(x)dx
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 20
Podemos tambe´m proceder da seguinte maneira para chegar ao resultado
∫ ∞
0
e−pxxndx =
n!
pn+1
Primeiro calculamos a integral ∫ ∞
0
e−pxdx =
e−px
−p
∣∣∣∣∞
0
=
1
p
temos enta˜o ∫ ∞
0
e−pxdx =
1
p
derivando n vezes em relac¸a˜o p temos de ambos lados temos∫ ∞
0
Dne−pxdx =
∫ ∞
0
(−1)n(x)ne−pxdx = (−1)nn! 1
pn+1
cancelando os termos (−1)n ficamos com∫ ∞
0
(x)ne−pxdx =
n!
pn+1
1.5.7 Integrac¸a˜o envolvendo lnx.
Z Exemplo 20. ∫
lnxdx
podemos integrar por partes, tomando g′(x) = 1 e f(x) = lnx temos g(x) = x e f ′(x) =
1
x
logo ∫
lnxdx = xlnx−
∫
x
x
dx = xlnx− x.
Z Exemplo 21. Calcular ∫
xp lnxdx.
Tomamos g(x) = lnx, g′(x) =
1
x
e f ′(x) = xp logo f(x) =
xp+1
p+ 1
a integral fica
∫
xp lnxdx =
xp+1
p+ 1
lnx− 1
p+ 1
∫
xp =
xp+1
p+ 1
lnx− x
p+1
(p+ 1)2
se p 6= −1, se p = −1 temos ∫
1
x
lnxdx
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 21
, fazemos a substituic¸a˜o y = ln x, da´ı dy =
1
x
dx a integral fica
∫
ydy =
y2
2
=
(lnx)2
2
.
b Propriedade 11. ∫
f ′(x)
f(x)
dx = ln(f(x)).
ê Demonstrac¸a˜o.
D[ln f(x)] =
f ′(x)
f(x)
.
1.5.8 Integrac¸a˜o por partes de func¸o˜es trigonome´tricas
Z Exemplo 22. Calcular a integral∫
cos(lnx)dx.
Tomamos g′(x) = 1 logo g(x) = x e f(x) = cos(lnx) da´ı f ′(x) =
−sen lnx
x
, da´ı a integral
fica ∫
cos(lnx)dx = xcos(lnx) +
∫
sen lnxdx
aplicamos integrac¸a˜o por partes a segunda integral g′(x) = 1 , g(x) = x e f(x) = sen(lnx)
, f ′(x) =
cos lnx
x ∫
sen lnx = xsen(lnx)−
∫
cos lnx
substituindo na primeira temos∫
cos(lnx)dx =
xsen(lnx) + xcos(lnx)
2
de onde tiramos tambe´m∫
sen lnxdx =
xsen(lnx)− xcos(lnx)
2
,
Z Exemplo 23. Usando a identidade
cosax cosbx =
cos(a+ b)x+ cos(a− b)x
2
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 22
∫
cosax cosbx =
∫
cos(a+ b)x+
∫
cos(a− b)x
2
=
sen(a+ b)x
2(a+ b)
+
sen(a− b)x
2(a− b)
se a = b temos
cos2ax =
cos(2a)x+ 1
2
,
∫
cos2ax =
∫
(cos(2a)x+ 1)
2
=
sen(2a)x
4(a)
+
x
2
.
Temos os dois casos ∫
cosax cosbx =
sen(a+ b)x
2(a+b)
+
sen(a− b)x
2(a− b)∫
cos2ax =
sen(2a)x
4(a)
+
x
2
.
Para a integral de sena.senb podemos usar a identidade
cos(a− b)x− cos(a+ b)x
2
= senax senbx
integrando∫
senax senbx =
∫
cos(a− b)x− ∫ cos(a+ b)x
2
=
sen(a− b)x
2(a− b) −
sen(a+ b)x
2(a+ b)
se a = b a identidade fica
1− cos(2a)x
2
= sen2ax
integrando ∫
sen2axdx =
∫
1− cos(2a)x
2
dx =
x
2
− sen(2a)x
4(a)
.
Temos os casos ∫
sen2axdx =
x
2
− sen(2a)x
4(a)∫
senax senbx =
sen(a− b)x
2(a− b) −
sen(a+ b)x
2(a+ b)
.
Podemos calcular a integral
∫
cosax.senbx tambe´m, usando a identidade
cosax.senbx =
sen(a+ b)x− sen(a− b)x
2
,
∫
cosax.senbx =
∫
sen(a+ b)x− sen(a− b)x
2
=
=
cos(a− b)x
2(a− b) −
cos(a+ b)x
2(a+ b)
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 23
se a = b temos ∫
cosax.senax = −cos(2a)x
4(a)
.
Essas identidades sa˜o importantes, por exemplo no estudo de se´ries de Fourier onde po-
demos usar propriedade de ortogonalidade das func¸o˜es seno e cosseno por integral.
$ Corola´rio 4 (Relac¸o˜es de ortogonalidade).∫ L
−L
cos
npix
L
sen
mpix
L
dx =
cos pi
L
(n−m)x
2(a− b) −
cos pi
L
(n+m)x
2(a+ b)
∣∣∣∣L
−L
= 0
pois cos e´ par, os termos se anulam se n = m∫ L
−L
cos
npix
L
sen
npix
L
dx = −cos(2
npix
L
)x
4(a)
∣∣∣∣L
−L
= −cos2npix
4(a)
+
cos2npix
4(a)
= 0
enta˜o em qualquer caso o resultado e´ zero.
∫ L
−L
cos
npix
L
cos
mpix
L
dx =
sen pi
L
(n+m)x
2(a+ b)
+
sen pi
L
(n−m)x
2(a− b)
∣∣∣∣L
−L
= 0
quando n 6= m inteiros, pois aparecem mu´ltiplos inteiros de pi onde sen e´ zero. Se n = m∫ L
−L
cos2
npix
L
x =
sen(2npix
L
)x
4(a)
+
x
2
∣∣∣∣L
−L
= L
pois o termo com sen se anula.
∫ L
−L
sen2
npix
L
xdx =
x
2
− sen
2npix
L
4(a)
∣∣∣∣L
−L
= L∫ L
−L
sen
npix
L
sen
mpix
L
=
sen pi
L
(n−m)x
2(a− b) −
sen pi
L
(n+m)x
2(a+ b)
∣∣∣∣L
−L
= 0.
Z Exemplo 24. Calcular ∫
x2cosnxdx.
Usando a fo´rmula ∫
g(x).Df(x)dx =
n∑
k=0
Dkg(x).(−1)kD−kf(x)
temos ∫
x2cosnxdx =
∫
x2D
senx
n
dx =
2∑
k=0
Dkx2.(−1)kD−k sennx
n
=
= x2
sennx
n
+ 2x.(−1)D−1 sennx
n
+ 2.D−2
sennx
n
= x2
sennx
n
+ 2x
cosnx
n2
− 2.sennx
n3
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 24
1.6 Alguma integrais definidas
1.7 Te´cnica da func¸a˜o indeterminada
Z Exemplo 25. Calcular ∫
e
x2
2 (x2 + 1)dx.
Supondo uma func¸a˜o da forma f(x)e
x2
2 derivando temos
f ′(x)e
x2
2 + f(x)xe
x2
2 = e
x2
2 (x2 + 1)
logo
f ′(x) + f(x)x = x2 + 1
a func¸a˜o deve ser de grau 1 com coeficiente de x 1 ,f(x) = x+ b, substituindo temos
1 + (x+ b)x = 1 + x2 + bx = x2 + 1
de onde tiramos b = 0 logo ∫
e
x2
2 (x2 + 1)dx = xe
x2
2 .
Z Exemplo 26. Calcular ∫
e
x2
2 (ax2 + bx+ c)dx.
Supondo soluc¸a˜o do tipo f(x).e
x2
2 com f(x) polinomial
f ′(x)e
x2
2 + f(x).xe
x2
2 = (ax2 + bx+ c)e
x2
2
f ′(x) + f(x)x = (ax2 + bx+ c)
f(x) sendo de grau 1 tomamos enta˜o f(x) = tx+ u
t+ (tx+ u)x = t+ tx2 + ux = ax2 + bx+ c
logo temos que ter a = t = c e u = b, logo∫
e
x2
2 (ax2 + bx+ a)dx = e
x2
2 (ax+ b).
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 25
Z Exemplo 27. Calcular ∫
ex
(x− 1)2
(x+ 1)2
dx.
Vamos usar o me´todo sa func¸a˜o indeterminada, supondo soluc¸a˜o do tipo ex
f(x)
g(x)
derivando
temos
ex
g(x)2
(
f ′(x).g(x)− g′(x)f(x) + f(x)g(x)
)
= ex
(x− 1)2
(x+ 1)2
tomando g(x) = x+ 1 temos que ter
f ′(x).(x+ 1)− f(x) + f(x)(x+ 1) = (x− 1)2 = x2 − 2x+ 1
tomando f(x) = x+ b segue
x+ 1− x− b+ (x+ b)(x+ 1) = 1− b+ x2 + bx+ x+ b = x2 + (b+ 1)x+ 1 = x2 − 2x+ 1
logo b = −3 e ∫
ex
(x− 1)2
(x+ 1)2
dx = ex
x− 3
x+ 1
.
Z Exemplo 28. Calcular ∫
ex
3
x2dx.
Supondo uma primitiva da forma g(x)ex
3
temos
3x2g(x)ex
3
+ g′(x)ex
3
= ex
3
x2
assim
3x2g(x) + g′(x) = x2
enta˜o g(x) =
1
3
o resultado e´ ∫
ex
3
x2dx =
ex
3
3
.
Z Exemplo 29. Calcule a integral∫
xex
(x+ 1)2
dx.
Iremos testar uma func¸a˜o do tipo ex
f(x)
h(x)
= g(x), mas a regra da derivada do quociente
implica aparecer um termo do tipo h(x)2 no denominador, enta˜o tomamos h(x) =
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 26
(1 + x) para que o resultado gere (1 + x)2 no denominador. Vamos tentar descobrir f(x)
. Substituindo , derivando e comparando temos
g′(x) = ex
f ′(x)(x+ 1)− f(x)(x+ 1)′
(x+ 1)2
+ex
(x+ 1)f(x)
(x+ 1)2
= ex
f ′(x)(x+ 1) + xf(x)
(x+ 1)2
= ex
x
(x+ 1)2
,
comparando os termos, devemos ter f ′(x)(x+1)+xf(x) = x, por isso podemos tomar
f(x) = 1 e achamos nossa resposta∫
xex
(x+ 1)2
dx =
ex
(x+ 1)
,
se derivamos g(x) =
ex
(x+ 1)
verificamos que realmente e´ a integral indefinida pois
g′(x) =
ex(1′(x+ 1)− 1.(x+ 1)′)
(x+ 1)
+
ex(x+ 1)
(x+ 1)2
=
exx
(x+ 1)2
,
como quer´ıamos .
1.8 Regra do trape´zio
∫ b
a
f(x)dx =
b− a
n
[
f(a) + f(b)
2
+
n−1∑
k=1
f(a+ k(
b− a
n
))
]
onde o intervalo [a, b] e´ dividido em n subintervalos onde teremos n+ 1 pontos.
1.9 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o
Z Exemplo 30. ∫
e
f(x)
g(x)
f ′(x)g(x)− g′(x)f(x)
[g(x)]2
= e
f(x)
g(x) .
1.9.1 Integrais envolvendo logaritmos
b Propriedade 12. ∫
f ′(x)
f(x)
= lnf(x)
pois Dlnf(x) =
f ′(x)
f(x)
.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 27
Z Exemplo 31. ∫
2x+ 1
x2 + x+ 1
= ln(x2 + x+ 1).∫ 1
0
2x+ 1
x2 + x+ 1
= ln(x2 + x+ 1)
∣∣∣∣1
0
= ln(3).
Z Exemplo 32. Calcular ∫ 1
0
1
x2 + 1
dx.
Temos diretamente∫ 1
0
1
x2 + 1
dx = arctgx
∣∣∣∣1
0
= arctg(1)− arctg(0) = pi
4
.
Z Exemplo 33. Calcular a integral∫
x
x2 − 4dx.
Temos que ∫
x
x2 − 4dx =
1
2
∫
2x
x2 − 4dx =
1
2
ln(x2 − 4) + c.
Z Exemplo 34. Calcular ∫
x
x2 + 1
dx.
Temos que (x2 + 1)′ = 2x, da´ı
1
2
∫
2x
x2 + 1
dx =
1
2
ln(x2 + 1) + c.
1.9.2 Integrais envolvendo func¸o˜es trigonome´tricas
Z Exemplo 35. Calcule∫
cos(ax+ b)(msen(ax+ b) + c)tdx, m, a 6= 0.
Tomando y = msen(ax+ b) + c temos
dy
dx
= amcos(ax+ b), logo a integral fica como
∫
(y)t
am
dy =
yt+1
am(t+ 1)
=
(msen(ax+ b) + c)t+1
am(t+ 1)
.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 28
1.9.3 Integral da composic¸a˜o
b Propriedade 13 (Integral da composic¸a˜o).∫
g′(x)f ′(g(x))dx = f(g(x)).
Pois [f(g(x))]′ = g′(x)f ′(g(x)). Podemos tomar y = g(x) da´ı dy = g′(x)dx, enta˜o∫
f ′(y)dy = f(y) = f(g(x)).
Z Exemplo 36. Calcular ∫
exsen(ex)dx.
Tomando y = ex temos dy = exdx, logo a integral fica∫
sen(y)dy = −cosy = −cos(ex).
1.10 Integrac¸a˜o e a´reas
1.10.1 A´rea do c´ırculo
Podemos calcular a a´rea do c´ırculo de maneira simples usando integral. Dada a
equac¸a˜o da circunfereˆncia de raio r com centro na origem x2 + y2 = r2, tem-se que a
sua parte superior e´ dada por y =
√
r2 − x2, a integral 2
∫ r
−r
√
r2 − x2dx da´ enta˜o a a´rea
do c´ırculo. Tomando x = rcosz tem-se dx = −rsenzdx, com x = r ,z = 0 e com x = −r
, z = pi, logo a integral fica
−2r
∫ 0
pi
√
r2 − r2cos2z senz dz = 2r2
∫ pi
0
√
1− cos2z︸ ︷︷ ︸
=sen2z
senz dz = 2r2
∫ pi
0
sen2z dz =
usando que sen2z =
1− cos2z
2
, segue
= r2
∫ pi
0
1−cos2z dz = r2(pi−1
2
∫ pi
0
cos2z d2z) = r2(pi−1
2
sen2z
∣∣∣∣pi
0
) = r2(pi−1
2
sen2pi︸ ︷︷ ︸
=0
+
1
2
sen0︸︷︷︸
=0
) = pir2.
Da´ı segue que a a´rea do c´ırculo de raio e´ r e´ pir2.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 29
1.11 Integrais de func¸o˜es trigonome´tricas
1.11.1
∫
tg(x)dx
b Propriedade 14.
∫
tg(x) = − ln(cos(x)).
ê Demonstrac¸a˜o. Vale D ln(cos(x)) = −sen(x)
cos(x)
.
Z Exemplo 37. Calcule a integral∫
tg(x)tg(2x)tg(3x)dx.
Usamosa identidade
tg(a+ b) =
tg(a) + tg(b)
1− tg(a)tg(b)
usamos a identidade com a = x e b = 2x, da´ı temos
tg(3x) =
tg(x) + tg(2x)
1− tg(x)tg(2x) ⇒ tg(3x)(1− tg(x)tg(2x)) = tg(x)tg(2x)
isolando tg(x)tg(2x)tg(3x) temos
tg(3x)tg(2x)tg(x) = tg(3x)− tg(2x)− tg(x)
Agora podemos calcular a integral∫
tg(x)tg(2x)tg(3x)dx =
−1
3
ln(cos(3x)) +
1
2
ln(cos(2x)) + ln(cos(x)).
Em geral podemos calcular a integral∫
tg((a+ b)x)tg(ax)tg(bx)dx.
Usando a identidade tg((a + b)x) tg(ax) tg(bx) = tg(x(a + b)) − tg(ax) − tg(bx)
calculamos a integral∫
tg((a+ b)x)tg(ax)tg(bx)dx =
−1
a+ b
ln(cos((a+ b)x)) +
1
a
ln(cos(ax)) +
1
b
ln(cos(bx))
b Propriedade 15. Vale tambe´m que
∫
tg(x)dx = ln(sec(x)).
ê Demonstrac¸a˜o. Pois D ln(sec(x)) =
sec(x)tg(x)
sec(x)
= tg(x).
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 30
1.11.2
∫
sen(x)dx
b Propriedade 16.
∫
sen(x)dx = −cos(x)
ê Demonstrac¸a˜o. Pois −Dcos(x) = −(−sen(x)) = sen(x).
1.11.3
∫
cos(x)dx
b Propriedade 17.
∫
cos(x)dx = sen(x).
ê Demonstrac¸a˜o. Pois Dsen(x) = cos(x).
1.11.4
∫
sec2(x)dx
b Propriedade 18. Vale
∫
sec2(x)dx = tg(x).
ê Demonstrac¸a˜o. Segue da identidade D[tg(x)] = sec2(x).
1.11.5
∫
sec2(x)tg(x)dx
b Propriedade 19. Vale
∫
sec2(x)tgn(x)dx =
tgn+1(x)
n+ 1
.
ê Demonstrac¸a˜o. Segue da identidade D[tgn+1(x)] = (n+ 1)tgn(x).sec2(x).
1.11.6
∫
cotgn(x)cossec2(x)dx
b Propriedade 20.
∫
cotgn(x)cossec2(x)dx =
−cotgn+1(x)
n+ 1
.
êDemonstrac¸a˜o. A propriedade vale poisD[cotgn+1(x)] = −(n+1)cossec2(x).cotgn(x)).
1.11.7
∫
cotg(x)dx.
b Propriedade 21.
∫
cotg(x)dx = ln(sen(x)).
ê Demonstrac¸a˜o. A identidade vale pois D[ln(sen(x))] =
cos(x)
sen(x)
.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 31
1.11.8
∫
cossec2(x)dx
b Propriedade 22.
∫
cossec2(x)dx = −cotg(x).
ê Demonstrac¸a˜o. Pois −Dcotg(x) = cossec2(x).
Z Exemplo 38. Calcular a integral
∫
1
1− cos(x)dx.
Usamos que 1− cos(x) = 2sen2(x
2
), da´ı ca´ımos na integral
∫
1
2sen2(x
2
)
dx =
∫
cossec2(x
2
)
2
dx = −cotg(x
2
) + c
1.11.9
∫
sec(x)dx
b Propriedade 23.
∫
sec(x)dx = ln(sec(x) + tg(x)).
êDemonstrac¸a˜o. PoisD ln(sec(x)+tg(x)) =
sec(x).tg(x) + sec2(x)
sec(x) + tg(x)
=
sec(x)(tg(x) + sec(x))
sec(x) + tg(x)
=
sec(x).
1.11.10
∫
cossec(x)dx
b Propriedade 24.
∫
cossec(x)dx = − ln(cossec(x) + cotg(x)).
êDemonstrac¸a˜o. Pois−D ln(cossec(x)+cotg(x)) = cotg(x)cossec(x) + cossec
2(x)
cossec(x) + cotg(x)
=
cossec(x)(cotg(x) + cossec(x)
cossec(x) + cotg(x)
= cossec(x).
Z Exemplo 39. Calcule ∫ √
1 + cos(x)dx.
Temos a identidade
cos(2x) + 1
2
= cos2(x), da´ı 2cos2(
x
2
) = cos(x) + 1. Da´ı a integral
fica como
√
2
∫
cos(
x
2
)dx = 2
√
2sen(
x
2
).
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 32
1.12 Integrais e recorreˆncias
1.12.1
∫
sennxdx.
b Propriedade 25. Vale a recorreˆncia∫
senn+2xdx = − cosx
n+ 2
senn+1x+
n+ 1
n+ 2
∫
sennxdx.
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos aplicar integrac¸a˜o por partes, tomando g(x) = senn+1x
e f ′(x) = senx enta˜o g′(x) = (n + 1)cosx.sennx. e f(x) = −cosx, enta˜o a integral fica
como ∫
senn+2xdx = −cosx.senn+1x+ (n+ 1)
∫
cos2xsennxdx
usando a identidade trigonome´trica cos2x = 1− sen2x tem-se∫
senn+2xdx = −cosx.senn+1x+ (n+ 1)
∫
sennxdx− (n+ 1)
∫
senn+2xdx
e da´ı ∫
senn+2xdx =
−cosx
n+ 2
.senn+1x+
(n+ 1)
n+ 2
∫
sennxdx.
$ Corola´rio 5. Com isso podemos deduzir2
∫
sen2n(x)dx =
(
2n
n
)
4n
(
x− cosx
n−1∑
p=0
sen2p+1(x)
(2p+ 1)
4p(
2p
p
))
∫
sen2n+1(x)dx =
−cosx.4n
(2n+ 1)
(
2n
n
)(1 + n−1∑
p=0
sen(2p+2)(x)
(
2p
p
)
(2p+ 1)
(2p+ 2)4p
)
.
1.12.2
∫
cosnxdx.
b Propriedade 26. Vale a recorreˆncia∫
cosn+2xdx =
senx.cosn+1
n+ 2
+
n+ 1
n+ 2
∫
cosn(x)dx.
2Deduc¸a˜o feita no texto sobre recorreˆncias.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 33
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos g(x) = cosn+1(x) e f ′(x) = cos(x) enta˜o g′(x) =
−(n+ 1)sen(x).cosn(x) e f(x) = sen(x), logo∫
cosn+2(x)dx = sen(x).cosn+1(x) + (n+ 1)
∫
sen2(x).cosn(x)dx
usando sen2(x) = 1− cos2(x) tem-se∫
cosn+2(x)dx = sen(x).cosn+1(x) + (n+ 1)
∫
.cosn(x)dx− (n+ 1)
∫
.cosn+2(x)dx
da´ı ∫
cosn+2(x)dx =
sen(x)
n+ 2
.cosn+1(x) +
(n+ 1)
n+ 2
∫
cosn(x)dx.
$ Corola´rio 6. Podemos com essa recorreˆncia deduzir∫
cos2n(x)dx =
(
2n
n
)
4n
(
x+ senx
n−1∑
p=0
cos2p+1(x)4p
(2p+ 1)
(
2p
p
))
∫
cos2n+1(x)dx =
sen(x).4n
(2n+ 1)
(
2n
n
)(1 + n−1∑
p=0
cos(2p+2)(x)
(
2p
p
)
(2p+ 1)
(2p+ 2)4p
)
.
$ Corola´rio 7. Generalizando para seno e cosseno∫
[g(x)]2ndx =
(
2n
n
)
4n
(
x+ [
∫
g(x)dx]
n−1∑
p=0
[g(x)]2p+1(x)4p
(2p+ 1)
(
2p
p
) )
ou de maneira equivalente∫
[g(x)]2ndx =
(
2n
n
)
4n
(
x− [Dg(x)dx]
n−1∑
p=0
[g(x)]2p+1(x)4p
(2p+ 1)
(
2p
p
) )
∫
[g(x)]2n+1dx =
[−Dg(x)].4n
(2n+ 1)
(
2n
n
)(1 + n−1∑
p=0
[g(x)](2p+2)
(
2p
p
)
(2p+ 1)
(2p+ 2)4p
)
.
∫
[g(x)]2n+1dx =
[
∫
g(x)dx].4n
(2n+ 1)
(
2n
n
) (1 + n−1∑
p=0
[g(x)](2p+2)
(
2p
p
)
(2p+ 1)
(2p+ 2)4p
)
.
1.12.3
∫
tgn(x)dx
b Propriedade 27. Vale a recorreˆncia∫
tgn+2(x)dx =
tgn+1(x)
n+ 1
−
∫
tgn(x)dx.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 34
ê Demonstrac¸a˜o. ∫
tgn+2(x)dx =
∫
tgn(x)tg2(x)dx =
da identidade tg2(x) = sec2(x)− 1, tem-se
=
∫
tgn(x)sec2(x)−
∫
tgn(x)dx =
tgn+1(x)
n+ 1
−
∫
tgn(x)dx
logo ∫
tgn+2(x)dx =
tgn+1(x)
n+ 1
−
∫
tgn(x)dx.
$ Corola´rio 8. Da recorreˆncia tem-se os corola´rios
∫
tg2ndx = (−1)n
(
x+
n−1∑
p=0
tg2p+1(x)(−1)p+1
(2p+ 1)
)
∫
tg2n+1(x)dx = (−1)n
(
− ln(cosx) +
n−1∑
p=0
tg2p+2(x)(−1)p+1
2p+ 2
)
.
1.12.4
∫
cotgn(x)dx
b Propriedade 28. Vale a recorreˆncia∫
cotgn+2(x)dx =
−cotgn+1(x)
n+ 1
−
∫
cotgn(x)dx.
ê Demonstrac¸a˜o. Escrevemos∫
cotgn+2(x)dx =
∫
cotgn(x)cotg2(x)dx =
usando a identidade trigonome´trica cot2(x) = cossec2(x)− 1 segue
=
∫
cotgn(x)cossec2(x)dx︸ ︷︷ ︸
− cotgn+1
n+1
−
∫
cotgn(x)dx
da´ı ∫
cotgn+2(x)dx = −
∫
cotgn(x)dx− cotg
n+1(x)
n+ 1
.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 35
$ Corola´rio 9. Como corola´rio das recorreˆncias tem-se∫
cotg2n(x)dx = (−1)n
(
x−
n−1∑
p=0
cotg2p+1(x)(−1)p+1
(2p+ 1)
)
.
∫
cotg2n+1(x)dx = (−1)n
(
ln(sen(x))−
n−1∑
p=0
cotg2p+2(x)(−1)p+1
(2p+ 2)
)
.
1.12.5
∫
secn(x)dx.
b Propriedade 29.∫
secn+2(x)dx =
secn(x)tg(x)
n+ 1
+
n
n+ 1
∫
secn(x)dx.
ê Demonstrac¸a˜o. ∫
secn+2(x)dx =
∫
secn(x)sec2(x)dx
tomando g′(x) = sec2(x) e f(x) = secn(x) enta˜o g(x) = tg(x) e f ′(x) = ntg(x)secn(x)∫
secn+2(x)dx = secn(x)tg(x)− n
∫
tg2(x)secn(x) =
usando a identidade trigonome´trica tg2(x) = sec2(x)− 1 temos
= secn(x)tg(x)− n
∫
secn+2(x) + n
∫
secn(x)
da´ı ∫
secn+2(x)dx =
secn(x)tg(x)
n+ 1
+
n
n+ 1
∫
secn(x)dx.
$ Corola´rio 10. ∫
sec2n(x)dx =
tg(x)4n
2n
(
2n
n
) (1 + n−1∑
p=1
sec2p(x)
(
2p
p
)
4p
)
.
∫
sec2n+1(x)dx =
(
2n
n
)
4n
(
ln(sec(x) + tg(x)) + tg(x)
n−1∑
p=0
4psec2p+1x
(2p+ 1)
(
2p
p
)).
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 36
1.12.6
∫
cossecn(x)dx.
b Propriedade 30. Vale a recorreˆncia∫
cossecn+2(x)dx =
−cotg(x).cossecn(x)
n+ 1
+
n
n+ 1
∫
cossecn(x)dx.
ê Demonstrac¸a˜o.∫
cossecn+2(x)dx =
∫
cossecn(x)cossec2(x)dx
tomando f(x) = cossecn(x) e g′(x) = cossec2(x) enta˜o f ′(x) = −n.cotg(x)cossecn(x) e
g(x) = −cotg(x)∫
cossecn+2(x)dx = −cossecn(x)cotg(x)− n
∫
cotg2(x).cossecn(x)dx =
usando a identidade cotg2(x) = cossec2(x)− 1 segue
= −cossecn(x)cotg(x)− n
∫
cossecn+2(x)dx+ n
∫
cossecn(x)dxda´ı ∫
cossecn+2(x)dx =
−cossecn(x)cotg(x)
n+ 1
+
n
n+ 1
∫
cossecn(x)dx.
$ Corola´rio 11.∫
cossec2n(x)dx =
−cotg(x)4n
2n
(
2n
n
) (1 + n−1∑
p=1
cossec2p(x)
(
2p
p
)
4p
)
∫
cossec2n+1(x)dx = −
(
2n
n
)
4n
(
ln(cossec(x) + cotg(x)) + cotg(x)
n−1∑
p=0
cossec2p+1(x)4p
(2p+ 1)
(
2p
p
) ).
1.13 Integrac¸a˜o e nu´meros complexos
1.13.1
∫
eaxcos(bx)dx e
∫
eaxsen(bx)dx
b Propriedade 31. Valem as identidades∫
eaxcos(bx)dx =
eax
a2 + b2
(acos(bx) + bsen(bx))∫
eaxsen(bx)dx =
eax
a2 + b2
(asen(bx)− bcos(bx)).
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 37
ê Demonstrac¸a˜o. Considere a integral∫
eaxebixdx =
∫
ex(a+bi)dx =
ex(a+bi)
a+ bi
=
multiplicando pelo conjugado
=
ex(a+bi)(a− bi)
a2 + b2
=
eax(cos(bx) + isen(bx))(a− bi)
a2 + b2
=
separando a parte real da complexa
eax(acos(bx) + bsen(bx))
a2 + b2
+i
eax(asen(bx)− bcos(bx))
a2 + b2
=
∫
eaxcos(bx)dx+i
∫
eaxsen(bx)dx
igualando as partes segue∫
eaxcos(bx)dx =
eax
a2 + b2
(acos(bx) + bsen(bx))∫
eaxsen(bx)dx =
eax
a2 + b2
(asen(bx)− bcos(bx)).
1.14 Integrais de poteˆncias de seno e cosseno por
meio de complexos
Z Exemplo 40. Outra maneira
(eix + e−ix)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
ekixeix(−n+k) =
n∑
k=0
(
n
k
)
ekixeix(−n+k) =
n∑
k=0
(
n
k
)
eix(2k−n)
pore´m eix + e−ix = 2cos(x), de onde segue
2n.cosn(x) =
n∑
k=0
(
n
k
)
eix(2k−n)
como o resultado deve ser real a soma na parte complexa deve ser nula, enta˜o vale
n∑
k=0
(
n
k
)
sen(x(2k − n)) = 0.
e
cosn(x) =
1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)
cos((n− 2k)x).
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 38
$ Corola´rio 12. Podemos integrar e derivar facilmente cosn(x)
Dcosn(x) =
1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)
D[cos((n− 2k)x)] = − 1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)
(n− 2k)[sen((n− 2k)x)]
Dncosn(x) =
1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)
(n− 2k)[sen((2k − n)x)]
aplicando a integral segue∫
cosn(x)dx =
1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)∫
[cos((n−2k)x)]dx = 1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)
[
1
(n− 2k)sen((n−2k)x)]dx
∫
cosn(x)dx =
1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)
[
1
(n− 2k)sen((n− 2k)x)]dx.
Z Exemplo 41. Sabemos que
eix − e−ix = 2isen(x)
, elevamos a poteˆncia n
(eix − e−ix)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
eixkeix(−n+k)(−1)n+k = (2i)nsenn(x)
(2i)nsenn(x) =
n∑
k=0
(
n
k
)
eix(−n+2k)(−1)n+k
separamos o caso par do ı´mpar, para 2n temos
(4n)(−1)nsen2n(x) =
2n∑
k=0
(
2n
k
)
eix(−2n+2k)(−1)2n+k =
2n∑
k=0
(
2n
k
)
eix(−2n+2k)(−1)k =
nesse caso a parte complexa deve ser nula e a soma deve ser o valor da parte real
da´ı
sen2n(x) =
1
4n
2n∑
k=0
(
2n
k
)
cos[(2n− 2k)(x)](−1)n+k
e
2n∑
k=0
(
2n
k
)
sen[(2n− 2k)(x)](−1)k = 0.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 39
Tomando agora o caso n ı´mpar, tem-se
(2)2n+1(−1)n.isen2n+1(x) =
2n+1∑
k=0
(
2n+ 1
k
)
eix(−2n−1+2k)(−1)k+1
agora a parte real deve ser nula e a parte complexa fornece a soma
sen2n+1(x) =
1
(2)2n+1
2n+1∑
k=0
(
2n+ 1
k
)
sen[(2n+ 1− 2k)x](−1)k+n
e
2n+1∑
k=0
(
2n+ 1
k
)
cos[(2n+ 1− 2k)x](−1)k = 0.
Enta˜o valem as expresso˜es
sen2n+1(x) =
1
(2)2n+1
2n+1∑
k=0
(
2n+ 1
k
)
sen[(2n+ 1− 2k)x](−1)k+n
sen2n(x) =
1
4n
2n∑
k=0
(
2n
k
)
cos[(2n− 2k)(x)](−1)n+k.
$ Corola´rio 13. Podemos derivar e integrar as expresso˜es chegando em∫
sen2n(x)dx =
1
4n
2n∑
k=0
(
2n
k
)
1
(2n− 2k)sen[(2n− 2k)(x)](−1)
n+k
Dsen2n(x) =
1
4n
2n∑
k=0
(
2n
k
)
(2n− 2k)sen[(2k − 2n)(x)](−1)n+k
Dsen2n+1(x) =
1
(2)2n+1
2n+1∑
k=0
(
2n+ 1
k
)
(2n+ 1− k)cos[(2n+ 1− 2k)x](−1)k+n
∫
sen2n+1(x)dx = − 1
(2)2n+1
2n+1∑
k=0
(
2n+ 1
k
)
1
(2n+ 1− 2k)cos[(2n+ 1− 2k)x](−1)
k+n
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 40
1.15 Integrac¸a˜o de func¸o˜es perio´dicas
b Propriedade 32. Se f e´ uma func¸a˜o per´ıodica de per´ıodo P e integra´vel enta˜o
fa(t) =
t+a∫
t−a
f(s)ds e´ tambe´m per´ıodica de per´ıodo P .
ê Demonstrac¸a˜o.
fa(t+ P ) =
t+a∫
t−a
f(s)ds =
t+P+a∫
t+P−a
f(s)ds =
t+a∫
t−a
f(s+ p)ds =
t+a∫
t−a
f(s+ p)ds = fa(t) .
b Propriedade 33. Se f e´ perio´dica com per´ıodo P e integra´vel sobre [0, P ] enta˜o∫ P
0
f(x)dx =
∫ b+P
b
f(x)dx, ∀b fixo .
ê Demonstrac¸a˜o. Escrevemos
∫ b+P
b
f(x)dx =
∫ P
b
f(x)dx+
∫ b+P
P
f(x)dx =
∫ P
b
f(x)dx+
∫ b
0
f(x+ P )dx =
=
∫ b
0
f(x)dx+
∫ P
b
f(x)dx =
∫ P
0
f(x)dx .
$ Corola´rio 14. Disso segue que se a e b sa˜o reais arbitra´rios, enta˜o
∫ a+P
a
f(x)dx =
∫ P
0
f(x)dx =
∫ b+P
b
f(x)dx,
isto e´ ∫ a+P
a
f(x)dx =
∫ b+P
b
f(x)dx.
1.16 Integrais do tipo
∫
(
p(x)
g(x)
)′dx
Sabemos que a integral
∫
(
p(x)
g(x)
)′dx =
p(x)
g(x)
e pela regra da derivada do quociente
(
p(x)
g(x)
)′ =
p′(x)g(x)− p(x)g′(x)
g(x)2
enta˜o
∫
p′(x)g(x)− p(x)g′(x)
g(x)2
dx =
p(x)
g(x)
.
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 41
Z Exemplo 42. Calcular a integral∫
5x4 + 4x5
(x5 + x+ 1)2
dx.
Escrevemos o numerador como 5x4 + 4x5 = 5x4 + 4x5 + (x5 + x + 1) − (x5 + x + 1) =
5x5 + 5x4 + x+ 1− (x5 + x+ 1) = −((x5 + x+ 1)− (5x4 + 1)(x+ 1)) enta˜o basta tomar
p(x) = (x+ 1) e o resultado da integral e´
x+ 1
x5 + x+ 1
.
1.17 Integrac¸a˜o mu´ltipla
b Propriedade 34 (Invertendo a ordem). Vale que∫ n
a
∫ x
a
f(x, y)dydx =
∫ n
a
∫ n
y
f(x, y)dxdy.
ê Demonstrac¸a˜o. Definimos g(x, y) = f(x, y) para y ≤ x e g(x, y) = 0 se y > x,
da´ı ∫ n
a
∫ x
a
f(x, y)dydx =
∫ n
a
∫ n
a
g(x, y)dydx =
∫ n
a
∫ n
a
g(x, y)dxdy =
=
∫ n
a
(
∫ y
a
g(x, y)︸ ︷︷ ︸
0
dx+
∫ n
y
g(x, y)dx)dy =
∫ n
a
∫ n
y
g(x, y)dxdy .
Em somato´rios temos propriedade semelhante
n∑
k=1
k∑
j=1
a(k, j) =
n∑
j=1
n∑
k=j
a(k, j).
1.18 Te´cnica de integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais
Z Exemplo 43. Calcular a integral∫
x+ 1
x2(x2 + 1)
dx.
Escrevemos
x+ 1
x2(x2 + 1)
=
x2 + 1
x2(x2 + 1)
+
x− x2
x2(x2 + 1)
=
1
x2
+
x(1− x)
x2(x2 + 1)
=
=
1
x2
+
(1− x)
x(x2 + 1)
=
1
x2
+
1
x(x2 + 1)
− x
x(x2 + 1)
=
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O 42
=
1
x2
+
1
x(x2 + 1)
− 1
(x2 + 1)
resta enta˜o escrever
1
x(x2 + 1)
por meio de frac¸o˜es parciais.
1
x(x2 + 1)
=
a
x
+
bx
x2 + 1
=
ax2 + a+ bx2
x(x2 + 1)
comparando os coeficientes (a+ b)x2 + a = 1 temos a = 1, b = −1, por isso
1
x(x2 + 1)
=
1
x
− x
x2 + 1
logo temos a representac¸a˜o por frac¸o˜es parciais
x+ 1
x2(x2 + 1)
=
1
x2
+
1
x
− 1
x2 + 1
− x
(x2 + 1)
que sabemos integrar∫
x+ 1
x2(x2 + 1)
dx = −1
x
+ ln(x)− arctg(x)− 1
2
∫
2x
(x2 + 1)
dx =
= −1
x
+ ln(x)− arctg(x)− 1
2
ln(x2 + 1).

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