APOL 01 a 05 e ATIVIDADE
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APOL 01 a 05 e ATIVIDADE


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( ) O conjunto R², de todos os vetores (x,y), é um subespaço vetorial de R³, isto é, do conjunto de todos os vetores (x,y,z), mas não é um espaço vetorial.   
	
	A
	V V V V
	
	B
	V F F V
	
	C
	V F F F
	
	D
	V V V F
Você acertou!
Resposta:
Como R² está contido em R³ e ambos são espaços vetoriais, sendo R² um subespaço vetorial de R³, pode-se afirmar que a alternativa d é a única alternativa incorreta.
Questão 9/10
Seja \u201cV\u201d um espaço vetorial, segundo a definição apresentada nesta disciplina e os seguintes axiomas, sendo u, v e wpertencentes a V e k um escalar real:
i    u + v = v + u
ii   Existe um elemento 0 pertencente a V tal que  0 + u = u + 0 = u, para todo u pertencente a V.
iii  Se u e v pertencem a V, o produto vetorial entre u e v, denotado por uxv, também pertencente a V.
iv  Dado um escalar k e um objeto u qualquer de V, ku pertence a V.
 
Neste caso, \u201cV\u201d deve atender obrigatoriamente a:
	
	A
	somente aos axiomas i e iv, enunciados acima.
	
	B
	somente aos axiomas ii, iii e iv enunciados acima.
	
	C
	somente aos axiomas ii e iii enunciados acima.
	
	D
	somente aos axiomas i, ii, iv enunciados acima.
Você acertou!
Resolução:
Como os axiomas enunciados em i, ii e iv fazem parte da definição de espaço vetorial (estão dentro o conjunto de dez axiomas listados na definição), V deve obrigatoriamente atendê-los \u2013 diferentemente do axioma enunciado em iii que não participa da definição de espaços vetoriais e, portanto, pode ou não ser atendido por V.
Questão 10/10
Seja \u201cV\u201d um espaço vetorial, segundo a definição apresentada nesta disciplina e os seguintes axiomas, sendo u, v e w pertencentes a V e k e l escalares reais:
i     u + (v + w) = (u + v) + w
ii    Para cada u pertencente a V há um objeto \u2013u também pertencente a V tal que u + (\u2013u) = (\u2013u) + u = 0.
iii   k(u + v) = (ku + kv)
iv   (k + l)u = ku + lu
v    K(lu) = (kl)u
Neste caso, \u201cV\u201d deve atender obrigatoriamente a:
	
	A
	somente aos axiomas i, iii, iv e v enunciados acima.
	
	B
	somente aos axiomas ii, iii e v enunciados acima.
	
	C
	somente aos axiomas i, ii, iii e iv enunciados acima.
	
	D
	todos os axiomas enunciados acima.
Você acertou!
Resolução:
Como todos os axiomas listados acima participam da definição de espaço vetorial (isto é, estão listados entre os dez axiomas da definição), todos os axiomas enunciados acima devem ser atendidos pelo espaço vetorial V.
APOL 03
Questão 1/10
Dado um conjunto \u201cV\u201d, deseja-se verificar se \u201cV\u201d é ou não um espaço vetorial. Qual alternativa a seguir descreve como esta verificação pode ser feita, levando-se em conta a definição de espaço vetorial.
	
	A
	De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se os dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V \u2013 esta verificação deve ser realizada genericamente.
Você acertou!
alternativa \u201ca\u201d
	
	B
	De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se os dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V \u2013 esta verificação deve ser realizada globalmente.
	
	C
	De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se alguns dos dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V \u2013 esta verificação deve ser realizada genericamente.
	
	D
	De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se alguns dos dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V \u2013 esta verificação deve ser realizada globalmente.
Questão 2/10
Analise as proposições abaixo, marcando V para as verdadeiras e F para as falsas em relação ao conjunto A = {(4,7);(1,3);(1,1)} , depois assinale a alternativa correta:
(   ) A é linearmente dependente.
(   ) A gera todo o espaço R².
(   ) A é uma base de R².
(   ) O vetor v = (3,5) é escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de A.
	
	A
	V F F F
	
	B
	V F V V
	
	C
	V V F F
Você acertou!
Resolução:
Item i) Verdadeiro: é linearmente dependente todo conjunto de vetores de R² que contenha mais do que dois vetores.
Item ii) Verdadeiro: o conjunto A é gerador de R².
Item iii) Falso: A não é uma base de R², já que o conjunto A é linearmente dependente.
Item iv) Falso: já que A é linearmente dependente, há inúmeras combinações lineares possíveis dos vetores de A que resultam em v.
	
	D
	F F V V
Questão 3/10
Analise se o conjunto R² com a operação usual de adição, mas com a operação de produto por escalar definida como a seguir, é ou não um espaço vetorial:
Produto escalar: k.(x,y) = (k.x,0)
Após essa análise, escolha a alternativa que apresenta a resposta correta:
	
	A
	R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que é verdade quando y for não-nulo.
	
	B
	R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que não é verdade quando y for nulo.
	
	C
	R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que não é verdade quando y for não-nulo.
alternativa \u201cc\u201d
	
	D
	R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que é verdade quando y for não-nulo.
Questão 4/10
Dados os sistemas de equações lineares S1 e S2 a seguir, avalie as proposições e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale a alternativa correta:
 
(   ) O conjunto das soluções de S1 é um subespaço vetorial de R³.
(   ) O conjunto das soluções de S2 é um subespaço vetorial de R³.
(   ) S1 é um sistema de equações lineares homogêneo.
(   ) S2 é um sistema de equações lineares homogêneo.
	
	A
	V F V F
	
	B
	V V F F
	
	C
	F V F V 
Você acertou!
S1 é um sistema não-homogêneo e o conjunto de suas soluções não é um espaço vetorial de R³.
S2 é um sistema homogêneo e o conjunto de suas soluções é um espaço vetorial de R³.
Sendo assim, são verdadeiras apenas as proposições 2 e 4.
	
	D
	F F V V
Questão 5/10
Analise as 4 alternativas a seguir e marque a que apresenta uma explicação errada em relação à espaço vetorial:
	
	A
	O conjunto de todas as matrizes reais de duas linhas e uma coluna, M2x1, é um subespaço vetorial do conjunto de todas as matrizes reais de \u201cm\u201d linhas e \u201c1\u201d coluna, Mmx1, sendo \u201cm\u201d um número inteiro maior do que 2.
	
	B
	O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial real.
	
	C
	O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um subespaço vetorial do conjunto de todos os polinômios reais de grau 4.
	
	D
	O conjunto de todos os polinômios reais de grau 2 é um espaço vetorial, mas o mesmo não se pode dizer do conjunto de todos os polinômios reais de grau 3.
Você acertou!
Resolução:
A alternativa \u201cd\u201d é falsa, pois, o conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial.
Questão 6/10
Analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale alternativa correta:
(   ) Pela analogia existente entre vetores