APOL 01 a 05 e ATIVIDADE
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APOL 01 a 05 e ATIVIDADE


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de duas componentes e polinômios de primeiro grau, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode ser entendida como (2 + 3x) + (1 + 4x) = 3 + 7x.
(   ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e matrizes com duas linhas e uma coluna, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode ser entendida como: 
(   ) A expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) evidencia o fato de que o vetor (3, 7) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (2, 3) e (1, 4).
	
	A
	V F V
	
	B
	F F V
	
	C
	V V F
	
	D
	V V V
Você acertou!
Todas as proposições estão corretas...
Questão 7/10
Dada a expressão c1.u + c2.v = w , analise as afirmativas a seguir e depois assinale a alternativa correta:
a) Se existirem c1 e c2 reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w é uma combinação linear de u e de v.
b) Se não existirem c1 e c2 reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w não é uma combinação linear de u e de v.
c) Se w for uma combinação linear de u e de v, existem c1 e c2 reais tais que a expressão dada é verdadeira.
	
	A
	Nenhuma das afirmativas acima está correta.
	
	B
	Somente a afirmativa \u201ca\u201d acima está correta.
	
	C
	Somente as afirmativas \u201ca e c\u201d acima estão corretas.
	
	D
	Todas as afirmativas acima estão corretas.
As três afirmativas estão corretas
Questão 8/10
Considere o sistema de equações lineares gerado pela combinação linear: c1.(1,2)+ c2.(0,1) + c3.(2,3) = (0,0). Classifique o tipo de sistema em relação as soluções.
	
	A
	Sistema Homogêneo, somente com a solução trivial.
	
	B
	Sistema Impossível.
	
	C
	Sistema Possível e Determinado.
	
	D
	Sistema Possível e Indeterminado.
Resolução:
O sistema de equações lineares dado pela equação
c1.(1,2) + c2.(0,1) + c3.(2,3) = (0,0)
certamente possui soluções, pois será homogêneo e, além disso, possui inúmeras soluções \u2013 observe que o sistema gerado pela equação (abaixo), quando reduzido por linhas à forma escada, terá no máximo dois pivôs e, então, será certamente SPI:
Questão 9/10
Analise os conjuntos descritos nas alternativas abaixo e marque a alternativa que apresente a resposta correta em relação à reta gerada:
	
	A
	Dado S = {(1,2)} tem-se ger(S) = R².
	
	B
	Dado S = {(1,2);(2,4)} tem-se ger(S) = R².
	
	C
	Dado S = {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)} tem-se ger(S) = R³.
Somente a alternativa c está correta: os conjuntos das alternativas a e b geram apenas uma reta em R² e o conjunto da alternativa d gera uma reta em R³.
	
	D
	Dado S = {(1,2,3);(2,4,6);(3,6,9)} tem-se ger(S) = R³.
Questão 10/10
Analise os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta:
	
	A
	A = {(1,2)} é linearmente dependente.
	
	B
	B = {(1,2),(2,4)} é linearmente independente.
	
	C
	C = {(1,2);(0,0)} é linearmente independente.
	
	D
	D = {(1,2);(0,3);(5,1)} é linearmente dependente. Resolução:
De acordo com a definição de conjunto linearmente dependente e de conjunto linearmente independente, está correta somente a alternativa d.
APOL 04
Questão 1/10
Marque a alternativa correta quanto ao conjunto A = {(1,0,2);(0,1,1)}:
	
	A
	A é linearmente independente.                    
Você acertou!
Resolução:
Como A é linearmente independente e não gera R³ e, além disso, não faz sentido falar em base de R², são falsas as alternativas b, c, d.
	
	B
	ger(A) = R³.
	
	C
	A não é base de R³, mas é uma base de R².
	
	D
	A é base de R³, mas não é uma base de R².
Questão 2/10
Considere a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0). Analise as alternativas e responda a correta em relação à como é possível classificá-la?
	
	A
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém-se que é linear.
Você acertou!
Resolução:
Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
 
Verificação de T(u + v) = T(u)+ T(v):
Dados u = (a,b,c) e v = (d,e,f), tem-se:
T(u + v) = T(a+d,b+e,c+f) = (a+d,0,0).
T(u)+ T(v) = T(a,b,c) + T(d,e,f) = (a,0,0) + (d,0,0) = (a+d,0,0).
 
Portanto, a primeira condição se verificar.
 
Verificação de k.T(u) = T(k.u):
Dados u = (a,b,c) e k real, tem-se:
k.T(u) = k.T(a,b,c) = k.(a,0,0) = (ka,0,0).
T(k.u) = T(ka,kb,kc) = (ka,0,0).
sendo assim, como a segunda condição também se verifica, T é uma transformação linear (neste caso, um operador linear de R³).
	
	B
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0)  obtém-se que não é linear.
	
	C
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém-se que é linear.
	
	D
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou  k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém-se que não é linear.
Questão 3/10
Em relação ao conjunto {(1,2,3),(0,1,2),(2,5,7)} pode-se afirmar:
	
	A
	não é uma base de R³.
	
	B
	é uma base de R³. 
Você acertou!
	
	C
	é um conjunto linearmente dependente.
	
	D
	é um conjunto linearmente independente, mas não é base de R³.
Questão 4/10
Considere o conjunto S = {(1,2),(0,1)} que é uma base de R². Encontre as coordenadas de v = (23,18) em relação a esta base.
	
	A
	(v)s = (23; 28)
	
	B
	(v)s = (-23; 28)
	
	C
	(v)s = (23; -28)
Você acertou!
	
	D
	(v)s = (-23; -28)
Questão 5/10
Dada a expressão   c1.u + c2.v = w, em que u, v e w são vetores de R², avalie as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale a aletrnativa correta: 
(   ) Se {u,v} for uma base de R², então a equação sempre terá solução única para qualquer w de R².
(   ) Se houver algum w para o qual a equação não tenha solução, então {u,v} não gera R².
(   ) Se a equação tiver solução para qualquer w de R², então {u,v} é uma base de R².
	
	A
	V V F
Você acertou!
Resolução:
i) VERDADEIRO: se {u,v} for base de R², todo w de R² pode ser escrito de maneira única como combinação linear de u e v.
ii) VERDADEIRO: pela definição de conjunto gerado, para {u,v} gerar todo R² a equação deve ter solução para qualquer w de R².
iii) FALSO: neste caso, pode-se afirmar que {u,v} gera R², mas não que {u,v} é uma base de R², já que não se sabe se {u,v} é linearmente independente (condição necessária para que o conjunto seja uma base de R²).
	
	B
	V F V
	
	C
	F F V
	
	D
	V V V
Questão 6/10
Verifique se o conjunto {(1,2);(0,1);(2,3)} é linearmente dependente ou independente e interprete o significado da classificação encontrada para este conjunto.
	
	A
	conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SPI.         
Você acertou!
	
	B
	conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SI
	
	C
	conjunto é LI pois o sistema gerado pela equação é SPI.
	
	D
	conjunto é LI pois o sistema gerado pela equação é SPD
Questão 7/10
Qual o procedimento para verificar se uma transformação é linear? E qual o resultado obtido para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1) ?.
Analise as alternativas a seguir e assinale a correta:
	
	A
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u +