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05 - FOC T2

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Equivalência de capitais
FOC T2
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
1
Definições
Data focal: É a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes.
A data focal também é chamada data de avaliação ou data de referência.
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
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Exemplo
	Uma pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal de $ 15.000,00, que vencerá em dois anos. Além disso, possui $ 20.000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 2% a.m., durante dois anos. Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje, ou seja, a taxa de juros vigente no mercado, é de 2% a.m., pergunta-se:
Quanto possui hoje?
Quanto possuirá daqui a um ano?
Quanto possuirá daqui a dois anos?
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Resolução
4
Sejam:
x: quantia na data zero;
y: quantia na data 12 meses;
z: quantia na data 24 meses.
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Equação de valor
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	A equação de valor permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos a datas diferentes, para uma mesma data focal, desde que seja fixada uma certa taxa de juros.
	Em outras palavras, a equação de valor pode ser obtida igualando-se em uma data focal as somas dos valores atuais e/ou montantes dos compromissos que formam a alternativa em análise.
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Exemplo anterior
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A comparação de capitais não depende da data focal;
Essa propriedade não é válida para juros simples;
No sistema de juros compostos, a comparação entre capitais feita uma data, permanece válida para qualquer outra data.
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Capitais equivalentes
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	Diz que dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.
	
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Capitais equivalentes
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	Seja um conjunto de valores nominais e suas respectivas datas de vencimento:
Capital
Data de vencimento
C1
1
C2
2
C3
3
...
...
Cn
n
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Capitais equivalentes
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	A representação destes capitais no tempo é a seguinte:
	Adotando-se uma taxa de juros i, estes capitais serão equivalentes na data focal zero, se:
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Exemplo
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	Considere os valores nominais:
	Admitindo-se uma taxa de juros compostos de 10%a.a., verificar se os capitais são equivalentes na data focal zero.
Capital ($)
Data de vencimento (anos)
1.100,00
1
1.210,00
2
1.331,00
3
1.464,10
4
1.610,51
5
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Valor atual de um conjunto de capitais
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	Suponhamos que uma pessoa tenha uma carteira de aplicações em títulos de renda fixa com datas de vencimento diferentes.
	Esta carteira de valores nominais é um conjunto de capitais. O conjunto pode ser caracterizado pelo valor nominal do título e por sua data de vencimento:
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Valor atual de um conjunto de capitais
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	Uma questão freqüente é a de saber qual o valor da carteira, ou seja, do conjunto de capitais numa determinada data. Para isto, é necessário, fixar-se a taxa de juros i e a data focal, que vamos admitir, neste caso como sendo a data zero.
Capital
Data de vencimento
C1
1
C2
2
C3
3
...
...
Cn
n
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Valor atual de um conjunto de capitais
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	Nestas condições, o valor da carteira pode ser obtido descontando-se os títulos para a data zero e somando-se os valores obtidos:
	O total obtido V é o valor atual do conjunto de capitais na data zero. É o valor atual desta carteira, que é quanto ela vale. Ou seja, dado um custo de oportunidade de capital (a taxa de juros vigentes no mercado) e uma data de comparação, podemos dizer que o valor atual “mede” o valor da carteira.
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Exemplo
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	Admitamos o conjunto de capitais:
	Admitindo-se a taxa de juros de 3% a.m., pergunta-se qual o valor atual deste conjunto na data focal zero.
Capital ($)
Data de vencimento (Mês)
1.000,00
6
2.000,00
12
5.000,00
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Conjuntos equivalentes de capitais
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	Sejam dados a taxa de juros i e dois conjuntos de valores nominais com seus respectivos prazos, contados a partir da mesma data de origem:
Primeiro Conjunto
Segundo Conjunto
Capital
Data de vencimento
Capital
Data de vencimento
C1
m1
C1'
m1'
C2
m2
C2'
m2'
C3
m3
C3'
m3'
...
...
...
...
Cn
mn
Cn'
mn'
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Conjuntos equivalentes de capitais
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	Diz-se que os dois conjuntos são equivalentes quando, fixada uma data focal e uma taxa de juros, os valores atuais dos dois conjuntos forem iguais.
	Deste modo, à taxa i e na data zero, os conjuntos dados serão equivalentes se:
Exemplo
17
Verificar se os conjuntos de valores nominais, referidos à data zero, são equivalentes à taxa de juros de 10% a.a.
Primeiro Conjunto
Segundo Conjunto
Capital ($)
Data de vencimento (ano)
Capital ($)
Data de vencimento (ano)
1.100,00
1
2.200,00
1
2.420,00
2
1.210,00
2
1.996,50
3
665,00
3
732,05
4
2.196,15
4
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Exercício 1
	Uma pessoa tem condições de aplicar seu dinheiro a 3,5% a.m. no mercado de capitais. Se um amigo lhe pedir emprestado $ 12.000,00 por um ano, quanto devera devolver para sua aplicação seja equivalente neste período?
$18.132,82 
18
Exercício 2
	Certo aplicador possui em seus haveres dois títulos, de $ 4.000,00 e $ 5.000,00, com vencimentos para 180 e 360 dias. Pretendendo comprar uma máquina de calcular, procura descontar os títulos em um banco. O gerente, que é seu amigo, avisa-lhe que a taxa nominal de 30% a.a., contudo a capitalização e mensal. O cliente aceita as condições do banco, pois o valor a receber é igual ao preço da máquina. Qual é o seu valor?
$7.166,97 
19
Exercício 3
	Para viajar daqui a um ano, Maria vende seu carro hoje e seu apartamento a 6 meses, aplicando dinheiro em uma instituição que paga 40% a.a. O carro será vendido por $ 30.000 e o apartamento por $ 250.000,00, sendo que na viagem ela pretende gastar $ 300.000,00. Que saldo poderá deixar aplicado?
$ 37.803,99 
20
Exercício 4
	João comprou uma enciclopédia, sem dar nada de entrada sob a condição de pagá-la 3 parcelas quadrimestrais de $ 1.000,00. Como opção, o gerente da livraria lhe propôs uma entrada de $1.500,00 e o saldo para 1 ano. De quanto será este saldo, se a taxa de juro de 3% a.m.?
$ 1.253,64
21
Exercício 5
	O preço de um terreno é de $ 50.000,00 a vista, ou $ 60.000,00 a prazo, sendo este valor total. No segundo caso, o comprador devera dar 20% como entrada e o restante em duas parcelas iguais semestrais. Se a taxa de juros de mercado for de 30% a.a , qual será a melhor opção?
Melhor opção é comprar a vista, pois possui menor valor atual. A taxa do financiamento é de 37,11% a.a
22
Exercício 6
	Um fazendeiro aplicou $100.000,00 em um banco que paga 25% a.a., pretendendo retirar o montante na época da colheita (6 meses) para evitar problemas de capital de giro. Entretanto, decorridos 3 meses ele necessitou de dinheiro, retirando então $ 30.000,00. Que saldo poderá
retirar na época da colheita?
$ 80.082,26
23
Exercício 7
	Uma pessoa deve $ 2.000,00 hoje e $ 5.000,00 para 1 ano. Propõe a seu credor refinanciamento de sua dívida, comprometendo-se a liquidá-la em 3 parcelas semestrais iguais vencendo a primeira em 6 meses. De quanto serão as parcelas, se a taxa contratada for de 20% a.a.?
$ 2.459,85 
24
Exercício 8
	O Sr. Carlos vendeu um carro para um amigo seu, pelo preço de $ 50.000,00. Quanto às condições de pagamento, ele disse que o amigo pagar-lhe-ia na medida do possível, sendo os juros de 40% a.a. Os pagamentos efetuados foram: $ 5.000,00 (3º mês), $ 10.000,00 (5º mês), $ 20.000,00 (6º mês). No fim do 12º mês o comprador diz querer saldar seu débito total. Qual e o valor do acerto final?
$27.731,80
25
Exercício 9
	Uma dívida de $150.000,00 para 12 meses e de $ 300.000.00 para 24 meses foi transformada em 4 parcelas iguais semestrais, vencendo a primeira a 6 meses. Qual e o valor o parcelas se considerarmos a taxa de 25% a.a.?
$ 102.296,12 
26
Exercício 10
	Se uma instituição financeira paga 20% a.a., quanto deverei depositar trimestralmente para, ao fim do 4º depósito, possuir $ 10.000,00? 
$2.331,76 
27
Exercício 11
	O preço a vista de uma casa é de $ 500.000,00. O vendedor facilita a transação, propondo o seguinte esquema: $100.000,00 como entrada, duas parcelas semestrais de $ 200.000,00 e um pagamento final de $ 157.010,59. Se a taxa contratada for de 3% a.m., quando será o último pagamento? 
6 meses após a 2ª parcela semestral, ou seja, a 1 ano e meio da entrada. 
28
Exercício 12
	Uma loja vende um gravador por $ 600,00 a vista, ou a prazo em 3 pagamentos mensais de $ 200,00 e uma pequena entrada. A taxa de juros adotada pela loja é de 7% a.m.; portanto, de quanto deve ser a entrada? 
$ 75,14 
29
Exercício 13
	Dado o fluxo de caixa de uma alternativa de investimento:
	
Pede-se calcular: 
a) O valor atual às taxas de juros de 5% a.a., 10% a.a., 15% a.a. e 20% a.a. 
b) A taxa interna de retorno. 
Data (anos)
Fluxo de Caixa ($)
0
-1.000,00
1
2.000,00
2
3.000,00
3
4.000,00
30
Resposta do exercício 13
a)
b) Taxa de retorno: 228,43% a.a. 
Taxa (a.a.)
Valor atual ($)
5%
7.081,20
10%
6.302,78
15%
5.637,63
20%
5.064,81
31
Exercício 14
	Um aplicador tem duas opções de investimento mutuamente exclusivas, isto é, ele só pode optar por uma das alternativas. 
	Os fluxos de caixa das opções são os seguintes:
	Qual é a melhor alternativa, sabendo-se que sua taxa de desconto é de 5% a.a.? O que aconteceria se esta taxa fosse para 10% a.a.? Qual é a taxa de retorno marginal, ou seja, qual é a taxa de Fisher para estas alternativas?
Período (anos)
Alternativa A ($)
Alternativa B ($)
0
-100
-70
1
30
20
2
60
40
3
30
25
32
Resposta do exercício 14
A taxa de Fisher é 8,74% a.a. 
Taxa
Valor atual ($)
A
B
5%
8,91
6,92
10%
-0,6
0,02
33
Exercício 15
	Dado o fluxo de caixa seguinte:
Pede-se calcular a taxa interna de retorno. 
Sugestão: resolver a equação do segundo grau.
Data (anos)
Fluxo ($)
0
-40
1
10
2
-20
Este fluxo de caixa não apresenta taxa de retorno.
34
Exercício 16
	A um investidor foi oferecido um projeto que apresentava, nos quatro primeiros anos, os seguintes fluxos de caixa líquidos:
	Sabendo-se que o investidor quer ganhar a taxa de retorno de 50 % a.a., pergunta-se: 
Ano
Fluxo de caixa ($)
0
 
1
1.500
2
1.800
3
2.500
4
3.000
35
Exercício 16
a) Quanto ele estará disposto a investir no ano zero, para obter o retorno de 50% a.a.? 
b) Se, por questão de restrição orçamentária, o investidor pudesse investir apenas $ 2.000,00 no ano zero, então até quanto, adicionalmente, poderia investir no ano 1 para que ainda mantivesse a taxa de retorno de 50% a.a.?
a) $3.133,33 b) $1.700,00 
36

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