Aula - Integrais multiplas

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
Universidade Federal de Alfenas . Unifal-MG 
Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 
Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 
 
 
Integrais múltiplas 
 
Recordando Integral Definida para uma variável 
 
Sabemos até o momento encontrar áreas abaixo de curvas utilizando o conceito 
de Integral Definida para uma variável. Definimos que a área abaixo da curva f(x), no 
intervalo � ≤ � ≤ � é dado por 
� ����	�
�
 
 
Para tanto, dividimos a área abaixo da curva f(x) em n intervalos de igual 
comprimento, ∆� = 
��� . A área de todos os n retângulos formados fornece uma noção 
sobre a área abaixo da curva de f(x). Então escolhemos pontos arbitrários ��∗ em cada 
um desses subintervalos e formamos a soma de Riemann 
 
�����∗�∆�
�
���
 
 
E tomando o limite dessa soma quando n cresce indefinidamente obtemos a 
integral definida de a até b da função f. 
 
� ����	� = lim�→������∗�	�
�
���
�
 
 
No caso em que f(x)é maior ou igual a zero, a soma de Riemann pode ser 
interpretada como a soma das áreas dos retângulos aproximadores da figura abaixo e a 
integral representa a área sob a curva y = f(x) de a até b. 
 
 
 
 
 
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Volumes e integrais duplas 
 
Vamos considerar uma função f de duas variáveis definida num retângulo 
fechado � ≤ � ≤ �, � ≤ � ≤ 	, ou seja, 
 � = ��, �! × ��, 	! = {��, �� ∈ �%	'�(	)*+	� ≤ � ≤ �	+	� ≤ � ≤ 	} 
 
Interessa-nos a região formada entre o domínio R e a curva f(x,y) = z (suponho ���, �� ≥ 0). Seja S o sólido formado nessa região, ou seja, 
 / = {��, �, 0� ∈ �1	'�(	)*+	0 ≤ 0 ≤ ���, �� ∈, ��, �� ∈ �%} 
 
Nosso objetivo é determinar o volume de S. 
 
 
 
 
O primeiro passo consiste em dividir R em sub-retângulos. Faremos isso 
dividindo o intervalo [a,b] em m retângulos de tamanho ∆� = 
��2 e o intervalo [c,d] em 
n retângulos de tamanho ∆� = 3�4� . Formamos assim os sub-retângulos: ��5 = �����, ��! × 6�5��, �57 = {��, ��'�(	)*+	���� ≤ � ≤ �� 	+	�5�� ≤ � ≤ �5} 
 
cada um com área ∆8 = ∆�. ∆�. 
 
 
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Escolhendo um ponto arbitrário ���∗, �5∗� podemos calcular o volume de uma 
caixa retangular com base ��5 = ∆8 e altura ����∗, �5∗�. Se seguirmos esse procedimento 
para todos os retângulos de R, teremos uma aproximação do volume V desejado. 
 
Assim 
: ≈������∗, �5∗�∆8
�
5��
2
���
 
 
 
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A aproximação desse volume pode ser melhorada aumentando o número de 
retângulos. Portanto devemos esperar que 
: = lim�2,��→�������∗, �5∗�∆8
�
5��
2
���
 
 
Limites como esse não são apenas utilizados para determinar volumes, mas para 
diversas outras áreas, inclusive na economia. Esse limite, quando existe é chamado de 
Integral dupla de f sobre o retângulo R. O ponto ���∗, �5∗� pode ser tomado em qualquer 
parte de ��5. Porém, se escolhermos o canto superior direito do retângulo ��5 nossa 
expressão ficará mais simples. Assim chegamos a seguinte definição: 
 
Def.: A integral dupla de f sobre o retângulo R é dada por 
<���, ��	8 =
=
lim�2,��→������, ��∆8
�
5��
2
���
 
se esse limite existir. 
 
Logo temos que o volume V do sólido que procuramos é dado por 
 
: = <���, ��	8 =
=
 
 
A soma ∑ ∑ ����, �5�∆8�5��2��� é chamada de Soma dupla de Riemann. 
 
 
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Algumas propriedades 
 
<����, �� + @��, ��!	8 = <���, ��	8 +<@��, ��	8
===
 
 
<����, ��	8 = �.<���, ��	8
==
 
 
Se ���, �� ≥ @��, �� para todo (x, y) em R, então: 
 
<���, ��	8 ≥<@��, ��	8
==
 
 
Obs: em relação ao cálculo I, é muito importante que saber as técnicas de integração, 
como o método da substituição, a integração por partes, as transformações 
trigonométricas etc. 
 
 
 
Integrais Iteradas 
 
Suponha que f seja uma função de duas variáveis contínua no retângulo � =
��, �! × ��, 	!. Usaremos a notação A ���, ��	�34 significando que x é mantido fixo e 
f(x,y) é integrada em relação a y de y = c até y = d. Esse procedimento é chamado 
integração parcial em relação a y. Como A ���, ��	�34 é um número que depende do 
valor de x, ele define uma função de x: 
 
8��� = � ���, ��	�3
4
 
 
se agora integrarmos a função A com relação à variável x de x = a até x = b, obteremos 
 
� 8���	� = � B� ���, ��	�3
4
C 	�
�
�
 
 
A equação do lado direito da equação acima é chamada de integral iterada. Em 
geral, os colchetes são omitidos, então 
 
� � ���, ��	�	�3
4
=
�
� B� ���, ��	�3
4
C 	�
�
 
 
 
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Significa que primeiro integramos com relação a 
até b (ou vice-versa). 
 
 
Exemplo 1 - Calcule o valor das integrais iteradas
 
(a) A A �%�		�	�%�1D 
 
(b) A A �%�		�	�1D%� 
 
(lousa) 
 
 
Exemplo 2 – Calcule a integral dupla
E ≤ F,			G ≤ H ≤ F} 
(lousa) 
 
Exemplo 3 – Calcule ∬ 	J
(lousa) 
 
 
Exemplo 4 – Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide 
elíptico EF + FHF + K = GL
coordenados. 
 
 
 
 
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ntegramos com relação a y e c a d e depois em relação a 
Calcule o valor das integrais iteradas 
Calcule a integral dupla ∬ �E M NHF�OPJ onde J = {�
	HQRS�EH�OP onde J = �G, F! × �T, U! 
Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide GL, pelo planos x = 2 e y =2 e pelos três planos 
 
 
e depois em relação a x de a 
{�E, H� ∈ JF	VT ≤
Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide 
e pelos três planos 
 
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Exercícios 
 
1)- Encontre as integrais duplas das seguintes funções, nos intervalos indicados.
 
(a) ∬10�²�		8,															0
 
(b) ∬��1�% + ��	8,				 M 1
 
(c) ∬2�Z[�. �Z[�		8, 0 ≤
 
2) Determine o volume do sólido determinado pelo paraboloide �H M F�F e pelos planos z = 1, x = 1, x = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Encontre as integrais duplas das seguintes funções, nos intervalos indicados.
≤ � ≤ 1,							1 ≤ � ≤ 2. 
1 ≤ � ≤ 1,						0 ≤ � ≤ 1. 
≤ � ≤ \, 0 ≤ � ≤ ]% . 
2) Determine o volume do sólido determinado pelo paraboloide 
e pelos planos z = 1, x = 1, x = -1, y = 0 e y = 4. 
 
 
Encontre as integrais duplas das seguintes funções, nos intervalos indicados. 
2) Determine o volume do sólido determinado pelo paraboloide K = F + EF +
 
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Integrais duplas em Regiões gerais 
 
Em alguns casos precisamos integrar a função f(x, y) não somente sobre 
retângulos, mas também em uma região D de forma mais geral, como a figura abaixo. 
 
 
 
 Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D está contida 
em uma região retangular R como na figura abaixo. 
 
 Definimos então uma nova função F, com domínio R, dada por:Se F for integrável em R, então definimos a integral dupla de f em D por 
 
<���, ��	8 = <^��, ��	8
=
							Z_	+	^	é		�	�	a+(�	+)*�çãZ	�_'+deZd
f
 
 
 
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A definição a cima faz sentido porque R é um retângulo e, portanto, podemos 
calcular a integral iterada. O procedimento usado é razoável, pois os valores de F(x, y) 
são 0 quando (x, y) está fora da região D, e dessa forma não contribuem para o valor da 
integral. 
No caso em que ���, �� ≥ 0, podemos ainda interpretar a integral dupla sobre a 
região D como o volume do sólido que está acima de D e abaixo da superfície z = f(x, 
y). 
 
 
 
Tipos de regiões 
 
Tipo I – uma região plana D é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas 
funções contínuas de x, ou seja, g = {��, ��	|	� ≤ � ≤ �, @���� ≤ � ≤ @%���} 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
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Tipo II – uma região plana D é dita do tipo II se for a região entre o gráfico de duas 
funções contínuas de y, ou seja, 
 g = {��, ��	|	� ≤ � ≤ 	, ℎ���� ≤ � ≤ ℎ%���} 
Exemplos: 
 
 
 
Exemplo 1: Calcule ∬ �� + 2��	8f onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x² 
e y = 1 + x². 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2: Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z = x² + y² e 
acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x². 
 
(lousa) 
 
 
Figura-Sólido gerado pelas intersecções do paraboloide com y = 2x e y = x² 
 
Exemplo 3: Calcule ∬ ��		8f onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela 
parábola y² = 2x + 6. 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Calcule a integral iterada A A [+_��%�	�	��j�D . 
 
(lousa) 
 
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Exercícios: 
Determine as integrais duplas abaixo: 
1. ∬ �1�%		8,						gf = {��, ��|	0 ≤ � ≤ 2,M� ≤ � ≤ �} 
2. ∬ kljmn% 		8,								g = {��, ��	|	1 ≤ � ≤ 2,			0 ≤ � ≤ 2�}f 
3. ∬� + 2�		8 onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1+x² 
 
Determine o volume do sólido dado 
4. Abaixo do paraboloide z = x² + y² e acima da região delimitada por y = x² e x = y². 
5. Abaixo do paraboloide z = 3x² + y² e acima da região delimitada por y = x e x = y² - y 
 
6. 
 
 
 
Evaluate the double integral. 
∫∫
D
dAyx cos D is bounded by y = 0, y = x2, and x = 2.