Aula - Derivadas parciais - multiplicadores de Lagrange e otimizacao condicionada

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Multiplicadores de Lagrange e otimização condicionada 
 
Teorema: Suponha que, sujeita à condição g(x, y)=0, a função f(x, y) tenha um máximo 
ou mínimo relativo em (x, y)= (a, b). Então existe um valor de � (lambda), digamos 
� = �, tal que as derivadas parciais de �(�, �, �) são todas iguais a zero em (�, �, �) =
(
, �, �). 
 
 
 
A ideia concebida por Lagrange no século XVIII consiste em substituir �(�, �) 
por uma função auxiliar de três variáveis �(�, �, �) de definida por 
 
�(�, �, �) = �(�, �) + �. �(�, �) 
 
a nova variável � (lambda) é chamada de Multiplicador de Lagrange. 
 
O teorema indica que se localizarmos os pontos (�, �, �) em que as derivadas 
parciais de �(�, �, �) forem todas zero, então, dentre o s pontos (x, y) correspondentes, 
encontraremos todos os possíveis lugares em que f(x, y) pode ter um máximo ou mínimo 
condicionado. Assim, o primeiro passo no método dos multiplicadores de Lagrange é 
igualar a zero as derivadas parciais de �(�, �, �) e resolver para �, �	e	�. 
��
��
= 0						�� 
 
��
��
= 0						�� 
 
��
��
= 0						�� 
 
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Exemplo1: Maximize a função �(�, �) = 36 − �� − �� sujeita à restrição dada por 
� + 7� − 25 = 0. 
(lousa) 
 
 
 
Procedimento Básico: 
1- Resolva L1 e L2 para � em termos de x e y e iguale as expressões resultantes; 
2 – Resolva a equação resultante para uma das variáveis; 
3 – Substitua a variável em L3 e resolva a equação resultante 
4 – Use a variável conhecida e as equações do passo 1 e 2 para determinar as outras 
duas variáveis. 
 
 
Obs.: Não existe nenhum teste análogo ao teste da segunda derivada para classificar o 
ponto encontrado em máximo, mínimo ou sela. Para tal análise é necessário usar as 
características geométricas do problema. 
 
 
 
Exemplo 2: Encontre o mínimo de �(�, �) = 2�� + �� com a condição de que 
� + � = 1. 
(lousa) 
 
 
 
Exemplo 3: Use o método dos multiplicadores de Lagrange e encontre o mínimo da 
função �(�, �, �) = 2�� + 6�� + 8�� com a restrição que ��� = 12000. 
(lousa) 
 
 
 
Exemplo 4: O lucro semanal total (em dólares) que a Acrosonic obtém na produção e 
venda de um sistema de alto-falantes é dado pela função 
�(�, �) = −
1
4
�� −
3
8
�� −
1
4
�� + 120� + 100� − 5000 
onde x denota o número de unidades completamente montadas e y denota o número de 
kits produzidos e vendidos por semana. O gerente da Acrosonic decide restringir a 
produção desses sistemas de alto-falantes a um total de 230 unidades por semana. Com 
essas condições, quantas unidades montadas e quantos kits deveriam ser produzidos por 
semana, a fim de maximizar o lucro semanal da empresa? 
(lousa) 
 
 
 
 
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Exemplo5: Suponha que x unidades de trabalho e y unidades de capital produzam 
�(�, �) = 60��/#��/# unidades de um certo produto. Suponha também que cada 
unidade de trabalho custe $100, ao passo que cada unidade de capital custe $200. 
Suponha que estejam disponíveis $30.000 para gastar com a produção. Quantas 
unidades de trabalho e quantas unidades de capital deveriam ser utilizadas para 
maximizar a produção? 
(lousa) 
 
Nesse exemplo o multiplicador de Lagrange pode ser interpretado como a 
produtividade marginal do dinheiro. Isto é, se estiver disponível um dólar adicional, 
então podem ser produzidas aproximadamente 0,2875 unidades adicionais do produto. 
Lembre que as derivadas parciais $%
&'
 e 
$%
&(
 são chamadas produtividade 
marginal do trabalho e do capital respectivamente. Perceba que nesse caso as razões 
 
)*+,-./0/,
,1	2
*�/3
4	,+	.*
�
4ℎ+
)*+,-./0/,
,1	2
*�/3
4	,+	�
)/.
4
=
1
2
	 
e 
�-6.+	)+*	-3/,
,1	,1	.*
�
4ℎ+
�-6.+	)+*	-3/,
,1	,1	�
)/.
4
=
$100
$200
=
1
2
 
 
Esse resultado ilustra a seguinte lei da Economia: Se o trabalho e o capital estiverem 
em seus níveis ótimos, então a razão de suas produtividades marginais é igual à 
razão de seus custos unitários. 
 
 
Exercícios: 
 
(1) Utilize os multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores de x e y que 
MAXIMIZAM a função �(�, �, �) = 11�� + 14�� + 15�� sujeita à restrição xyz = 
147840. 
 
(2) Maximize a função �(�, �) = −2�� − 2�� − �
�
�� + � + 2� sujeita à restrição dada 
por � + � + 8
�
= 0. 
 
(3) Para cercar um jardim retangular dispomos de $480. As cercas dos lados norte e sul 
do jardim custa $10 o metro e a cerca dos lados leste e oeste custa $15 o metro. 
Encontre as dimensões do maior jardim possível de ser construído nessas condições. 
 
(4) Suponha que x unidades de trabalho e y unidades de capital produzam �(�, �) =
100��/#��/# unidades de um certo produto. Se cada unidade de mão de obra custa $200 
e cada unidade de capital custa $300, e um total de $60.000 está disponível, determine 
quantas unidades de mão-de-obra e capital seriam necessárias a fim de maximizar a 
produção. 
 
 
 
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