LISTA CALCULO - EQUAÇÃO DIFERENCIAL

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CÁLCULO III – TRABALHO PARTE II 
 Equação Diferencial a Variáveis Separáveis 
 
1- Uma empresa fez uma análise de seus meios de produção e de seu pessoal. Com o 
equipamento e o número de trabalhadores atuais a empresa pode produzir 3.000 
unidades por dia. Foi estimado que, sem nenhuma mudança no equipamento, a taxa 
de variação no número de trabalhadores é 
 
 , onde x é o numero de 
trabalhadores adicionais. Ache a produção diária se 25 trabalhadores forem acrescidos 
à força de trabalho. 
 
 número de unidades produzidas 
por dia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando , , então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se forem acrescidos 25 trabalhadores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
Geral 
Solução 
Particular 
 CÁLCULO III – TRABALHO PARTE II 
 
Engenharia de Controle e Automação 
 
2- Sabe-se que a quantidade de Potássio (quantidade de K dada em MG) varia em relação 
ao tempo t (em minutos), numa determinada situação, segundo a equação 
 
 
 
 
 
. 
Sabendo que inicialmente tinha-se 80mg de Potássio, determine a função que nos dá a 
quantidade de Potássio no instante t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para , temos que , logo: 
 
 
 
 
 
Então, a solução particular é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO III – TRABALHO PARTE II 
 
Engenharia de Controle e Automação 
 
 
1. Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem
 
 
 
 
 
 
 
 
1- Encontre a solução particular de para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO III – TRABALHO PARTE II 
 
Engenharia de Controle e Automação 
 
 
 
 
2- Encontre a solução particular de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO III – TRABALHO PARTE II 
 
Engenharia de Controle e Automação 
 
 
2. Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem Homogênea
 
 
 
 
 
 
 
 
1- Determine a solução particular da equação 
 
 
 
 
 , para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO III – TRABALHO PARTE II 
 
Engenharia de Controle e Automação 
 
 
3. Equação Diferencial de 2ª Ordem 
 
1- Determine a solução particular da E.D.: 
 
 
 
 
 
 , para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como e são distintos: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo a solução particular é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO III – TRABALHO PARTE II 
 
Engenharia de Controle e Automação 
 
 
2- Determine a solução particular da E.D.: 
 
 
 
 
 
 , para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como e são iguais: 
 
 
 
 
 
Logo a solução particular é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO III – TRABALHO PARTE II 
 
Engenharia de Controle e Automação 
 
 
3- Determine a solução particular da E.D.: , para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como : 
 
 
 
 
 
Solução Particular :CÁLCULO III – TRABALHO PARTE II 
 
Engenharia de Controle e Automação 
 
 
4. Equação Diferencial de 2ª Ordem Não Homogênea 
 
1- Encontre a solução de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como e são iguais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO III – TRABALHO PARTE II 
 
Engenharia de Controle e Automação 
 
 
2- Encontre a solução de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO III – TRABALHO PARTE II 
 
 
5. Sequência e série geométricas – Análise de convergência 
 
1- Calcule 
 
 
 se ele existir. 
 
 Quanto maior o valor de “n”, maior será o denominador 
 Para “n” com valores pares, teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para “n” com valores impares, teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, o sinal não importará pois a sequência sempre tenderá a 0. A sequência 
converge. 
 
 
 
 
 
 
 
2- Mostre que a série é convergente e encontre a soma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando frações parciais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualando os denominadores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO III – TRABALHO PARTE II 
 
Engenharia de Controle e Automação 
 
A parte negativa de um termo, sempre aparece positiva no proximo termo, isso significa que 
podemos cancelar todas essas frações, exceto a primeira e a ultima, restando: 
 
 
 
 
 
Portanto: