P1_Calculo3_QI-gabarito

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Primeira Prova de Ca´lculo III - 2012
Qu´ımica Industrial - Noturno
Unifesp- 1o semestre - 19 de Abril
Nome:
Matr´ıcula:
Questa˜o Nota
1
2
3
4
Total
Instruc¸o˜es:
- Identifique com seu nome completo as folhas de respostas.
- Na˜o e´ permitido o uso de qualquer equipamento eletroˆnico durante a prova.
- Na˜o sera˜o aceitas respostas sem justificativas.
- A prova pode ser feita a la´pis.
1a Questa˜o (2,5 pontos) Operac¸o˜es com gradientes, divergentes e rotacionais.
(a) (1,0) Calcule ~∇× (r2 ~r), com ~r = x iˆ + y jˆ + z kˆ e r = |~r|.
(b) (1,5) Mostre que ~∇· (g ~F ) = (~∇g) · ~F + g(~∇· ~F ), onde g = g(x, y, z) e´ um campo
escalar e ~F = ~F (x, y, z) e´ um campo vetorial.
2a Questa˜o (2,5 pontos) Calcule as integrais de linha abaixo.
(a) (0,5)
∫
C
y ds ao longo da curva C dada por y = 2
√
x com 3 ≤ x ≤ 24
(b) (1,0)
∫
C
~F · d~r, onde ~F = (3x2 − 6yz) iˆ + (2y + 3xz) jˆ + (1 − 4xyz2) kˆ e C o
caminho de (0, 0, 0) ate´ (1, 1, 1) dado por x = t/2, y = t2/4 e z = t3/8.
(c) (1,0) Considere o mesmo campo vetorial do item anterior com o caminho C dado
por retas ligando os pontos (0, 0, 0, ), (0, 0, 1), (0, 1, 1) e (1, 1, 1) nessa sequeˆncia.
3a Questa˜o (2,5 pontos) Considere ~F = (2xz3 + 6y) iˆ + (6x− 2yz) jˆ + (3x2z2 − y2) kˆ.
(a) (1,0) Mostre que ~F e´ conservativo.
(b) (1,5) Calcule
∫
C
~F · d~r, onde C e´ qualquer caminho de (1,−1, 1) ate´ (2,1,-1).
4a Questa˜o (2,5 pontos) Determine a
∫∫
S
(~∇× ~F )·d~S, onde ~F = 3y iˆ−xz jˆ+yz2 kˆ e S e´ a superf´ıcie
inferior do parabolo´ide 2z = x2 + y2 limitada por z = 2.
1
Formula´rio:
∫
C
~F · d~r =
∫
C
P dx+Qdy +R dz =
∫ b
a
~F (~r(t)) · ~r ′(t) dt∫
C
~∇f · d~r = f(~rb)− f(~ra)∫
C
f ds =
∫
C
f ‖~r ′(t)‖ dt
~∇f = ∂f
∂x
iˆ+
∂f
∂y
jˆ +
∂f
∂z
kˆ
~∇ · ~F = ∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
~∇× ~F =
∣∣∣∣∣∣∣
iˆ jˆ kˆ
∂x ∂y ∂z
P Q R
∣∣∣∣∣∣∣∮
C
~F · d~r =
∮
C
P dx+Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dS
∫∫
S
f dS =
∫∫
D
f ‖~r ′u × ~r ′v‖ dudv
∫∫
S
~F · d~S =
∫∫
D
~F (~r(u, v)) · (~r ′u × ~r ′v) dudv, d~S = nˆ dS
nˆ =
~r ′u × ~r ′v
‖~r ′u × ~r ′v‖
~r = (1− t)~r0 + t ~r1, 0 ≤ t ≤ 1∫∫
S
~F · d~S =
∫∫∫
E
(~∇ · ~F ) dV
∫∫
S
(~∇× ~F ) · d~S =
∮
C
~F · d~r
2
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