P2_Calculo3_EQ-gabarito

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Segunda Prova de Ca´lculo III - 2012
Engenharia Qu´ımica - Noturno
Unifesp- 1o semestre - 08 de Outubro
Nome:
Questa˜o Nota
1
2
3
4
Total
Instruc¸o˜es:
- Identifique as folhas de respostas com seu nome completo.
- Na˜o e´ permitido o uso de qualquer equipamento eletroˆnico durante a prova.
- Na˜o sera˜o aceitas respostas sem justificativas.
- A prova pode ser feita a la´pis.
1a Questa˜o (2,5 pontos) Determine se a sequeˆncia (se´rie) converge ou diverge. Se ela convergir,
encontre o limite (soma).
(a) (0,7) an =
n!
2n
(b) (0,7) an =
(
1 +
2
n
)n (c) (1,1) 3 + 2 +
4
3
+
8
9
+ · · ·
2a Questa˜o (2,5 pontos) Determine se a se´rie converge ou diverge.
(a) (0,7)
∞∑
n=1
(−1)n e1/n
n3
(b) (0,7)
∞∑
n=1
10n
(n + 1) 42n+1
(c) (1,1)
∞∑
n=1
sen
(
1
n
)
3a Questa˜o (2,5 pontos) Encontre o raio e o intervalo de convergeˆncia da se´rie.
(a) (0,8)
∞∑
n=1
(−1)nn 4nxn
(b) (0,8)
∞∑
n=1
n!(2x− 1)n
(c) (0,9)
∞∑
n=1
(x− 2)n
n2 + 1
1
4a Questa˜o (2,5 pontos) Para os itens abaixo, encontre as se´ries indicadas e seu raio de convergeˆncia
para f(x). Considere que f(x) tenha expansa˜o em se´rie de poteˆncias.
(a) (1,0) (S. de Maclaurin) f(x) = (1− x)−2
(b) (1,5) (S. de Taylor centrado em a = 3) f(x) = ex
Formula´rio:
lim
x→0
sen(x)
x
= 1
lim
x→0
(1 + x)1/x = e
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n− 2) · (n− 1) · n
f(x) =
∞∑
n=0
cn(x− a)n, |x− a| < R.
cn =
f (n)(a)
n!
.
1
1− x =
∞∑
n=0
xn, R = 1.
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
, R =∞.
sen(x) =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
, R =∞.
cos(x) =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
, R =∞.
tg−1 =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)
, R = 1.
2
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