4-aritmetica_binaria

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SISTEMAS LÓGICOS
Universidade Federal da Bahia
Escola Politécnica
PROF. EDSON PINTO SANTANA
edsonps@ufba.br
Sistemas Lógicos 2
SUMÁRIO
4. ARITMÉTICA BINÁRIA
4.1. Representação no sistema sinal-magnitude
4.2. Representação no sistema complemento de 2
4.3. Adição, subtração, multplicação e divisão 
binárias
4.4. Adição, subtração, multiplicação e divisão no 
sistema complemento de 2
4.5. Adição BCD
4.6. Aritmética hexadecimal
Sistemas Lógicos 3
4.1. Representação no Sistema Sinal-Magnitude
● Como representar quantidades negativas em números 
binários? 
● Alta complexidade em hardware para efetuar as 
diferentes operações aritméticas
Sistemas Lógicos 4
4.2. Representação no Sistema Complemento de 2
● Equivale a negação de um número binário
● Possibilita simplificação de hardware: mesmo circuito 
utilizado para realizar a soma é utilizado para realizar 
a subtração
● Números positivos representados de forma idêntica ao 
sistema sinal-magnitude
● Números negativos possuem bits de magnitude em 
complemento de 2
Sistemas Lógicos 5
4.2. Representação no Sistema Complemento de 2
● Hodômetro binário
+7 0 1 1 1
+6 0 1 1 0
+5 0 1 0 1
+4 0 1 0 0
+3 0 0 1 1
+2 0 0 1 0
+1 0 0 0 1
0 0 0 0 0
-1 1 1 1 1
-2 1 1 1 0
-3 1 1 0 1
-4 1 1 0 0
-5 1 0 1 1
-6 1 0 1 0
-7 1 0 0 1
-8 1 0 0 0
Sistemas Lógicos 6
4.2. Representação no Sistema Complemento de 2
● Maior número positivo: 2N - 1
● Menor número negativo: -2N
● Quantidade total de valores representados: 2N+1
N – número de bits referente somente a magnitude, 
desconsiderando o bit de sinal
Sistemas Lógicos 7
4.3.1. Adição Binária
● Operações básicas:
– 0 + 0 = 0
– 0 + 1 = 1
– 1 + 0 = 1
– 1 + 1 = 10 = 0 + carry (1)
– 1 + 1 + 1 = 11 = 1 + carry (1)
carry → vai-um
Sistemas Lógicos 8
4.3.1. Adição Binária
● Exemplo:
0 1 0 1 0 1 1 1
+
0 0 1 1 0 1 0 1
_______________
Sistemas Lógicos 9
4.3.1. Adição Binária
● Exemplo:
1
0 1 0 1 0 1 1 1
+
0 0 1 1 0 1 0 1
_______________
0
Sistemas Lógicos 10
4.3.1. Adição Binária
● Exemplo:
1 1
0 1 0 1 0 1 1 1
+
0 0 1 1 0 1 0 1
_______________
0 0
Sistemas Lógicos 11
4.3.1. Adição Binária
● Exemplo:
1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1
+
0 0 1 1 0 1 0 1
_______________
1 0 0
Sistemas Lógicos 12
4.3.1. Adição Binária
● Exemplo:
1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1
+
0 0 1 1 0 1 0 1
_______________
1 1 0 0
Sistemas Lógicos 13
4.3.1. Adição Binária
● Exemplo:
1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1
+
0 0 1 1 0 1 0 1
_______________
0 1 1 0 0
Sistemas Lógicos 14
4.3.1. Adição Binária
● Exemplo:
1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1
+
0 0 1 1 0 1 0 1
_______________
0 0 1 1 0 0
Sistemas Lógicos 15
4.3.1. Adição Binária
● Exemplo:
1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1
+
0 0 1 1 0 1 0 1
_______________
0 0 0 1 1 0 0
Sistemas Lógicos 16
4.3.1. Adição Binária
● Exemplo:
1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1
+
0 0 1 1 0 1 0 1
_______________
1 0 0 0 1 1 0 0
Sistemas Lógicos 17
4.3.1. Adição Binária
● Exemplo:
1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1 (1+2+4+16+64 = 87)
+
0 0 1 1 0 1 0 1 (1+4+16+32 = 53)
_______________
1 0 0 0 1 1 0 0 (4+8+128 = 140)
Sistemas Lógicos 18
4.3.2. Subtração Binária
● Operações básicas:
– 0 - 0 = 0
– 1 - 0 = 1
– 1 - 1 = 0
– 10 - 1 = 1
Sistemas Lógicos 19
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
1 1 0 0 1 0 0 0
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
Sistemas Lógicos 20
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
1 1 0 0 1 0 0 0
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
Lembrar da operação 
de subtração no 
sistema decimal:
 8 0 2
 -
 1 2 6
 _________
Sistemas Lógicos 21
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
1 1 0 0 1 0 0 0
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
Lembrar da operação 
de subtração no 
sistema decimal:
 -1
 8 0 12
 -
 1 2 6
 _________
 
Sistemas Lógicos 22
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
1 1 0 0 1 0 0 0
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
Lembrar da operação 
de subtração no 
sistema decimal:
 -1
 8 0 12
 -
 1 2 6
 _________
 6
Sistemas Lógicos 23
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
1 1 0 0 1 0 0 0
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
Lembrar da operação 
de subtração no 
sistema decimal:
 -1 -1
 8 10 12
 -
 1 2 6
 _________
 6
Sistemas Lógicos 24
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
1 1 0 0 1 0 0 0
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
Lembrar da operação 
de subtração no 
sistema decimal:
 -1 -1
 8 10 12
 -
 1 2 6
 _________
 7 6
Sistemas Lógicos 25
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
1 1 0 0 1 0 0 0
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
Lembrar da operação 
de subtração no 
sistema decimal:
 -1 -1
 8 10 12
 -
 1 2 6
 _________
 6 7 6
Sistemas Lógicos 26
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
1 1 0 0 1 0 0 0
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
Sistemas Lógicos 27
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1
1 1 0 0 1 0 0 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
Sistemas Lógicos 28
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1
1 1 0 0 1 0 0 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
1
Sistemas Lógicos 29
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1
1 1 0 0 1 0 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
1
Sistemas Lógicos 30
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1
1 1 0 0 1 0 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
1 1
Sistemas Lógicos 31
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1 -1
1 1 0 0 1 10 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
1 1
Sistemas Lógicos 32
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1 -1
1 1 0 0 1 10 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
0 1 1
Sistemas Lógicos 33
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1 -1 -1
1 1 0 0 11 10 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
0 1 1
Sistemas Lógicos 34
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1 -1 -1
1 1 0 0 11 10 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
1 0 1 1
Sistemas Lógicos 35
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1 -1 -1 -1
1 1 0 10 11 10 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
1 0 1 1
Sistemas Lógicos 36
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1 -1 -1 -1
1 1 0 10 11 10 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
0 1 0 1 1
Sistemas Lógicos 37
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1 -1 -1 -1 -1
1 1 10 10 11 10 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
0 1 0 1 1
Sistemas Lógicos 38
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1 -1 -1 -1 -1
1 1 10 10 11 10 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
0 0 1 0 1 1
Sistemas Lógicos 39
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
1 11 10 10 11 10 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
0 0 1 0 1 1
Sistemas Lógicos 40
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
1 11 10 10 11 10 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
1 0 0 1 0 1 1
Sistemas Lógicos 41
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
1 11 10 10 11 10 10 10
-
0 1 1 1 1 1 0 1
_______________
0 1 0 0 1 0 1 1
Sistemas Lógicos 42
4.3.2. Subtração Binária
● Exemplo:
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
1 11 10 10 11 10 10 10 (8+64+128 = 200)
-
0 1 1 1 1 1 0 1 (1+4+8+16+32+64 = 125)
_______________
0 1 0 0 1 0 1 1 (1+2+8+64 = 75)
Sistemas Lógicos 43
4.3.3. Multiplicação Binária
1 0 0 1
x
1 0 1 1
1 0 0 1
1 0 0 1
0 0 0 0
1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 1
● Exemplos:
Sistemas Lógicos 44
4.3.4. Divisão Binária
1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1 1 10 1 0 0 1 0. 1
- 1 1 - 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 0 0
- 1 1 - 1 0 0
0 0
● Exemplos:
Sistemas Lógicos 45
4.4.1. Adição no Sistema Complemento de 2
● Caso I: dois números positivos
8 3 0 1 0 1 0 0 1 1
+ +
1 6 0 0 0 1 0 0 0 0
9 9 0 1 1 0 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0
+ +
1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0
2 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
Overflow aritimético (faixa -128 a 127)
Sistemas Lógicos 46
4.4.1. Adição no Sistema Complemento de 2
● Caso II: Positivo e negativo menor
1 2 5 0 1 1 1 1 1 0 1
+ +
- 6 8 1 0 1 1 1 1 0 0
5 7 1 0 0 1 1 1 0 0 1
Descartado (hodômetro de 8 bits)
Sistemas Lógicos 47
4.4.1. Adição no Sistema Complemento de 2
● Caso III: Positivo e negativo maior
3 7 0 0 1 0 0 1 0 1
+ +
- 1 1 5 1 0 0 0 1 1 0 1
- 7 8 1 0 1 1 0 0 1 0
Sistemas Lógicos 48
4.4.1. Adição no Sistema Complemento de 2
● Caso IV: dois números negativos
- 4 3 1 1 0 1 0 1 0 1
+ +
- 7 8 1 0 1 1 0 0 1 0
- 1 2 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1
Descartado (hodômetro de 8 bits)
Sistemas Lógicos 49
4.4.3. Multiplicação no Sistema Complemento de 2
● Efetua-se a multiplicação em binário direto, 
realizando-se as conversões necessárias nos 
operandos e no resultado para complemento de 2.
Sistemas Lógicos 50
4.4.4. Divisão no Sistema Complemento de 2
● Efetua-se a divisão em binário direto, realizando-se 
as conversões necessárias nos operandos e no 
resultado para complemento de 2.
Sistemas Lógicos 51
4.5. Adição em Código BCD
● Soma inferior a 9: Soma binários diretamente. Ex.:
4 2 0 1 0 0 0 0 1 0
+ +
3 3 0 0 1 1 0 0 1 1
7 5 0 1 1 1 0 1 0 1
Sistemas Lógicos 52
4.5. Adição em Código BCD
● Soma superior a 9: adiciona fator corretivo 6 
(equivalente a pular códigos inválidos) e propaga 
um carry para o próximo dígito. Ex.:
4 7 0 1 0 0 0 1 1 1
+ +
3 5 0 0 1 1 0 1 0 1
8 2 0 1 1 1 1 1 0 0
+
1 0 1 1 0
1 0 0 0 0 0 1 0
Sistemas Lógicos 53
4.5. Adição em Código BCD
● Obs: quando a soma for superior a 16, o carry 
propaga-se automaticamente na soma binária.
4 8 0 1 0 0 1 0 0 0
+ +
8 9 1 0 0 0 1 0 0 1
1 3 7 1 1 0 1 0 0 0 1
+
0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1
Sistemas Lógicos 54
4.5. Aritmética Hexadecimal
● O complemento pode ser obtido subtraindo-se cada 
dígito de “F” e somando “1”. Ex:
● Adição e subtração hexadecimal. Ex.:
● Números negativos em hexadec. possuem MSD ≥ 8
F F F
-7 -3 -A
8 C 5
+
1
8 C 6
5 9 2
-
3 A 5
?
5 9 2
+
C 5 B
1 1 E D
3 A F
+
2 3 C
5 E B
Descartado 
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