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SISTEMAS LÓGICOS
Universidade Federal da Bahia
Escola Politécnica
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
PROF. EDSON PINTO SANTANA
edsonps@ufba.br
Sistemas Lógicos 2
SUMÁRIO
1. CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
1.1. Sistema digital x analógico
1.2. Sistemas de representação numérica
1.3. Conversão entre sistemas numéricos
1.4. Códigos numéricos
2. ÁLGEBRA BOOLEANA
2.1. Variáveis booleanas
2.2. Operadores lógicos: circuitos equivalentes, simbologia
Sistemas Lógicos 3
SUMÁRIO
2.3. Simbologia IEEE
2.4. Teoremas e propriedades
2.5. Portas lógicas
2.6. Formas canônicas
3. MINIMIZAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS
3.1. Mapas de Karnaugh
3.2. Método de Quine-Mccluskey
Sistemas Lógicos 4
SUMÁRIO
4. ARITMÉTICA BINÁRIA
4.1. Representação no sistema complemento de 2
4.2. Adição binária, adição no complemento de 2
4.3. Subtração no sistema complemento de 2
4.4. Multiplicação e divisão binária
4.5. Adição BCD
4.6. Aritmética hexadecimal
Sistemas Lógicos 5
SUMÁRIO
5. CIRCUITOS COMBINACIONAIS
5.1. Características gerais
5.2. Análise
5.3. Síntese
5.4. Datapath: circuitos aritméticos
5.5. Datapath: geradores / detectores de paridade
5.6. Datapath: codificadores / decodificadores
5.7. Datapath: multiplexadores / demultiplexadores
5.8. Outros datapaths
Sistemas Lógicos 6
SUMÁRIO
6. FLIP FLOP E LATCH
6.1. Latch: características e estrutura
6.2. Sinais de clock: sistemas síncronos e assíncronos
6.3. Flip-Flop disparado por clock
6.4. Simbologia IEEE
6.5. Flip-Flop SC
6.6. Flip-Flop JK
6.7. Flip-Flop T
Sistemas Lógicos 7
SUMÁRIO
6.8. Flip-Flop D
6.9. Flip-Flop mestre / escravo
6.10. Conversão entre Flip-Flop's
6.11. Aspectos de temporização
6.12. Aplicações
7. CIRCUITOS SEQUENCIAIS
7.1. Características gerais
7.2. Análise
7.3. Síntese
7.4. Temporização
Sistemas Lógicos 8
SUMÁRIO
7.5. Datapath: registradores
7.6. Datapath: contadores
7.7. Aplicações de contadores: frequencímetro
7.8. Aplicações de contadores: relógio digital
Sistemas Lógicos 9
1.1. Sistema Digital x Analógico 
Sistemas Lógicos 10
1.1.1. Conceitos: Sistema Digital x Sistema Analógico
● O que é um sistema 
digital?
● Quais as diferenças 
entre um sistema digital 
e um sistema 
analógico?
● Variável discreta ≠ 
Tempo discreto
(b)
(c)
(a)
Fig. 1.1.1. (a), (b) e (c) Extraídas de “Introdução aos Sistemas DIgitais”, Ercegovac, M., Lang, T., Moreno, J. H.
Sistemas Lógicos 11
1.1.2. Aspectos das técnicas digitais
● Representação digital é adequada ao processamento da 
informação de forma numérica e não numérica
● O processamento da informação é facilmente programado em 
um elemento de propósito genérico, a exemplo do computador, 
eliminando a necessidade de sistemas dedicados
● Precisão e exatidão podem ser melhoradas por técnicas de 
processamento e/ou incremento de hardware, conferindo maior 
liberdade que as limitações físicas em um sistema analógico
● Elevado grau de integração
Sistemas Lógicos 12
1.1.2. Aspectos das técnicas digitais
● Menor impacto devido a ruídos e variações nos componentes
Fig. 1.1.2. Extraídas de “Introdução aos Sistemas Digitais”, Ercegovac, M., Lang, T., Moreno, J. H.
● Limitações: a maioria das grandezas físicas são analógicas, 
intervalo de tempo correspondente ao processamento da 
informação
Sistemas Lógicos 13
1.1.3. Sistemas de sinais mistos
● Sinais analógicos / digitais
● Exemplo: gravação de CD
Fig. 1.1.3. Extraídas de “Introducão aos Sistemas Digitais”, Ercegovac, M., Lang, T., Moreno, J. H.
Sistemas Lógicos 14
1.1.4. Quantização
● Resolução: número de níveis
Fig. 1.1.4. Extraídas de “Introdução aos Sistemas Digitais”, Ercegovac, M., Lang, T., Moreno, J. H.
Sistemas Lógicos 15
1.2. Sistemas de Representação Numérica
Sistemas Lógicos 16
1.2.1. Características Gerais dos Sistemas de Numeração
● Elementos dos sistemas numéricos:
– Símbolos (dígitos)
– Base: conjunto ordenado de símbolos
– Operações matemáticas
● Base em sistemas usuais de representação numérica:
– Binário: {0,1}
– Octal: {0,1,2,3,4,5,6,7}
– Decimal: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
– Hexadecimal: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
Sistemas Lógicos 17
1.2.1. Características Gerais dos Sistemas de Numeração
● Permitem representar uma quantidade através de 
símbolos ordenados, podendo constar de uma parte 
inteira e outra fracionária separadas por vírgula.
● Características gerais dos sistemas de numeração:
Sistemas Lógicos 18
1.2.1. Características Gerais dos Sistemas de Numeração
● Maior número na contagem numérica: rN - 1
Sistemas Lógicos 19
1.2.2. Representação dos Sistemas de Numeração
● Representação genérica polinomial:
– x: número representado
– r: número de elementos da base
– a: dígito ou símbolo
– n: número de dígitos da parte inteira
– m: número de dígitos da parte fracionária
x r ∑
j=−m
n−1
a j . r
j
x r an−1. r
n−1...a1 .r
1a0. r
0a
−1. r
−1...a
−m . r
−m
parte inteira parte fracionária
Sistemas Lógicos 20
1.2.2. Representação dos Sistemas de Numeração
● Exemplos nos sistemas mais usuais:
– Sistema binário:
– Sistema octal:
– Sistema decimal:
– Sistema hexadecimal:
(101,11)2→1.2
2+0.21+1.20+1.2−1+1.2−2
(730,5)8→7.8
2+3.81+0.80+5.8−1
(8143)10→ 8.10
3+1.102+4.101+3.100
(F3 , D)h→F.16
1+3.160+D.16−1
Sistemas Lógicos 21
1.3. Conversão entre Sistemas Numéricos
● Base qualquer → Base decimal
– Binário inteiro: método de dobrar e somar
● Base decimal → Base qualquer
● Base qualquer r
1
 → Base qualquer r
2
● Conversão entre os sistemas binário, octal e 
hexadecimal
Sistemas Lógicos 22
1.3.1. Conversão Base Qualquer → Base Decimal
● Calcula-se os termos da representação polinomial. 
Ex.:
(146,523)7≡1.7
2+4.71+6.70+5.7−1+2.7−2+3.7−3
(146,523)7≈(49+28+6+0,7143+0,0408+0,0087)10
(146,523)7≈(83,7638)10
(F8E , 3D)h≡15.16
2+8.161+14.160+3.16−1+13.16−2
(F8E , 3D)h≈(3840+128+14+0,1875+0,0508)10
(F8E ,3D)h≈(3982,2383)10
Sistemas Lógicos 23
1.3.1. Conversão Base Qualquer → Base Decimal
● Caso particular: conversão de número binário inteiro - 
método de dobrar e somar. Ex.: (110101)
2
1 x 2 = 2 → 2 + 1 = 3
3 x 2 = 6 → 6 + 0 = 6
6 x 2 = 12 → 12 + 1 = 13
13 x 2 = 26 → 26 + 0 = 26
26 x 2 = 52 → 52 + 1 = 53
(110101)
2
 ≡ (53)
10
Sistemas Lógicos 24
1.3.2. Conversão Base Decimal → Base Qualquer
r
● Parte inteira:
Sistemas Lógicos 25
1.3.2. Conversão Base Decimal → Base Qualquer
● Parte fracionária: Inicio
Multiplicar (F) por r
Guarde a parte inteira (I) 
e a parte fracionária (F)
F=0?
Agrupe a parte inteira (I) formando 
o número binário sendo o 1o “I” o MSD
Fim
SIM
NÃO
Sistemas Lógicos 26
1.3.3. Conversão Base Qualquer r
1
→ Base Qualquer r
2
● (x)r1 → (x)10 → (x)r2
● Ex.: (123,45)
6
 ≈ (51,804)
10
 ≈ (1220,2102012)
3
Sistemas Lógicos 27
1.3.4. Conversão entre Sistemas Binário, Octal e Hexadecimal
BINÁRIO OCTAL BINÁRIO HEXADECIMAL
000 0 0000 0
001 1 0001 1
010 2 0010 2
011 3 0011 3
100 4 0100 4
101 5 0101 5
110 6 0110 6
111 7 0111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011 B
1100 C
1101 D
1110 E
1111 F
Sistemas Lógicos 28
1.3.4. Conversão entre Sistemas Binário, Octal e Hexadecimal
● Quando necessário, acrescentam-se zeros à esquerda da 
parte inteira e a direita da parte fracionária para subdivisão 
em grupos de 3 ou 4 bits.
● Exemplos:
(x)
8
 = 2 7 4 , 7 1
(x)
2
 = 010 111 100 , 111 001
(x)
2
 = 0000 1011 1100 , 1110 0100 
(x)
h
 = 0 B C , E 8
Sistemas Lógicos 29
1.3.4. Conversão entre Sistemas Binário, Octal e Hexadecimal
● Ao agrupamento de números binários, são 
denominados:
– BIT: dígito binário0 ou 1
– NIBBLE: grupo de 4 bits
– BYTE: grupo de 8 bits
– WORD: grupo de 2 bytes (4 nibbles) ou múltiplos
Sistemas Lógicos 30
1.3.5. Aspectos dos Sistemas Numéricos e Conversões
● Os sistemas hexadecimal e octal possibilitam a 
representação de grandes quantidades com um 
número inferior de dígitos em relação ao sistema 
binário, compactando a representação de um grande 
número de bits.
● A conversão de um número decimal nos sistemas 
binário, octal e hexadecimal deve iniciar-se pelo 
sistema hexadecimal, em razão deste proporcionar 
convergência mais rápida
Sistemas Lógicos 31
1.4. Códigos Numéricos (Binários)
● Não guardam relação com a representação 
polinomial
● Motivação:
– Agilização de operações lógicas
– Simplificação de circuitos (hardware)
● Códigos usuais no sistema binário:
– BCD, Código de Gray, XS3, ASCII, ECBDIC, Códigos 
de paridade, detecção de erros, etc.
Sistemas Lógicos 32
1.4. Códigos Numéricos (Binários)
DECIMAL BINÁRIO BCD XS3 GRAY
0 0000 0000 0011 0000
1 0001 0001 0100 0001
2 0010 0010 0101 0011
3 0011 0011 0110 0010
4 0100 0100 0111 0110
5 0101 0101 1000 0111
6 0110 0110 1001 0101
7 0111 0111 1010 0100
8 1000 1000 1011 1100
9 1001 1001 1100 1101
10 1010 X X 1111
11 1011 X X 1110
12 1100 X X 1010
13 1101 X X 1011
14 1110 X X 1001
15 1111 X X 1000
... ... ...
Sistemas Lógicos 33
1.4. Códigos Numéricos (Binários)
● Exemplos:
– (49)10 → (01001001)BCD
– (38)10 → (01101011)XS3
– (17)10 → (11001)GRAY
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1.4. Códigos Numéricos
● Código ASCII
Tab..1.4. Extraída de “Eletrônica Digital – princípios e Aplicações”, Malvino, Leach.
Sistemas Lógicos 35
1.5. Bit de Paridade
● Detecção de erros em transmissão digital
● Paridade par: insere o bit 1 quando juntamente com os bits da 
informação forma-se um número par de 1's.
● Paridade ímpar: insere o bit 1 quando juntamente com os bits da 
informação forma-se um número ímpar de 1's.
● Capaz de detectar erros em apenas 1 bit.
Sistemas Lógicos 36
Bibliografia
● NOGUEIRA, Jurandyr S.– Eletrônica Digital Básica, 
EDUFBA, 2011.
● TOCCI, Ronald J.; WIDMER Neal S.– Sistemas Digitais 
Princípios e Aplicações, Prentice Hall do Brasil, 1994 – 8ª 
edição ou superior.
● ERCEGOVAC, Milos; LANG, Tomas; MORENO, Jaime 
H.; Introdução aos Sistemas Digitais – Bookman, 2000.
● VAHID, Franklin – Digital Design, John Wiley & Sons, 
2005.
● FLETCHER ,William I. - An Engineering approach to 
Digital Design - Prentice Hall, 1980.
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