2-algebra_booleana

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SISTEMAS LÓGICOS
Universidade Federal da Bahia
Escola Politécnica
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
PROF. EDSON PINTO SANTANA
edsonps@ufba.br
Sistemas Lógicos 2
2.1. Variáveis Booleanas
● Variáveis que possuem dois estados lógicos 
possíveis mutuamente exclusivos entre sí: 
[baixo,alto], [verde,azul], [morto,vivo],
[direita,esquerda], [aberto,fechado],
[falso,verdadeiro],[0,1],[alto,baixo]
● Codificação das variáveis em [0,1]: 
– lógica positiva: 0 – situação desfavorável, 1 – situação 
favorável
– Lógica negativa: 0 – situação favorável, 1 – situação 
desfavorável 
Sistemas Lógicos 3
2.1. Variáveis Booleanas
● Codificação em níveis de tensão em circuitos 
elétricos: níveis lógicos: (0-1), (baixo-alto) 
Nível Baixo - 0
Nível Alto - 1
Nível Indefinido
Tempo (s)
Tensão (V)
0,8
2
5
Sistemas Lógicos 4
2.2. Operadores Booleanos
● Operadores fundamentais: E (AND), OU (OR) e 
NÃO (NOT)
● Operadores derivados: NAND, NOR, XOR (OU 
exclusivo), XNOR (função coincidência)
● Instrumentos de análise: tabela-verdade, diagramas 
de tempo
Sistemas Lógicos 5
2.2.1. Operação NÃO (NOT)
● Expressão booleana: x = Ā = A'
● Tabela verdade, simbologia convencional da porta 
lógica e diagrama de tempo
Sistemas Lógicos 6
2.2.1. Operação NÃO (NOT)
● Circuito equivalente:
– 2 variáveis: x (“1” - lâmpada acesa, “0” - lâmpada 
apagada ) e A (“1” - chave fechada, “0” - chave aberta) 
R
V
A 'A
Sistemas Lógicos 7
2.2.2. Operação OU (OR) 
● Expressão lógica: x = A + B
● Tabela verdade e simbologia convencional da porta 
lógica
Sistemas Lógicos 8
2.2.2. Operação OU (OR)
● Operação com mais de duas variáveis
Sistemas Lógicos 9
2.2.2. Operação OU (OR)
● Diagrama de tempo
Sistemas Lógicos 10
2.2.2. Operação OU (OR)
● Surgimento de pulsos espúrios (glitch ou spike)
Sistemas Lógicos 11
2.2.2. Operação OU (OR)
● Circuito equivalente
R
V
A
A '
B '
B
Sistemas Lógicos 12
2.2.2. Operação OU (OR)
● Exemplo de aplicação:
Sistemas Lógicos 13
2.2.3. Operação E (AND)
● Expressão lógica: x = A . B
● Tabela verdade e simbologia convencional da porta 
lógica
Sistemas Lógicos 14
2.2.3. Operação E (AND)
● Operação com mais de duas variáveis
Sistemas Lógicos 15
2.2.3. Operação E (AND)
● Diagrama de tempo
Sistemas Lógicos 16
2.2.3. Operação E (AND)
● Circuito equivalente
R
V
A
A ' B '
B
Sistemas Lógicos 17
2.2.4. Operação NAND
● Expressão lógica: 
● Tabela verdade e simbologia convencional da porta 
lógica
x=A.B
Sistemas Lógicos 18
2.2.4. Operação NAND
● Diagrama de tempo
Sistemas Lógicos 19
2.2.1. Operação NAND
● Circuito equivalente
R
V
AA '
BB '
Sistemas Lógicos 20
2.2.5. Operação NOR
● Expressão lógica:
 
● Tabela verdade e 
simbologia 
convencional da 
porta lógica
x=AB
Sistemas Lógicos 21
2.2.5. Operação NOR
● Circuito equivalente
R
V
AA ' B ' B
Sistemas Lógicos 22
2.2.5. Operação NOR
● Diagrama de tempo
Sistemas Lógicos 23
2.2.6. Operação XOR
● Expressão lógica: 
● Tabela verdade e simbologia convencional da porta 
lógica
A B X
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
B
X
x=AB=A . BA. B
Sistemas Lógicos 24
2.2.6. Operação XOR
● Circuito equivalente
R
V
A
A ' B
B '
Sistemas Lógicos 25
2.2.7. Operação XNOR
● Expressão lógica: 
● Tabela verdade e simbologia convencional da porta 
lógica
A B X
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A
B
X
x=A⋅B=A . BA.B
Sistemas Lógicos 26
2.2.7. Operação XNOR
● Circuito equivalente
R
V
A
A ' B '
B
Sistemas Lógicos 27
2.3. Simbologia IEEE
Sistemas Lógicos 28
2.4. Propriedades e Teoremas
● Sobre “1” e “0”
● Comutativas
● Associativas
0A=A
1A=1
0 . A=0
1. A=A
AB=BA A . B=B . A
ABC = ABCA .B .C= A . B.C
Sistemas Lógicos 29
2.4. Propriedades e Teoremas
● Distributivas
● Idempotência
● Complementar
AB .CD=A.CA.DB.CB.D
AA=A A . A=A
A . A=0AA=1
AB.C = AB. AC
A.BC =A.BA.C
Sistemas Lógicos 30
2.4. Propriedades e Teoremas
● Absorção
● Involução
● Adjacência
● Teorema de Morgan
A=A
A.BA. B=A AB. AB=A
A.B =ABAB=A . B
AA.B=A A. AB=A AA . B=AB
Sistemas Lógicos 31
2.4. Propriedades e Teoremas
● Teorema de Morgan (continuação)
– Em mais de uma variável
– Em expressões no lugar de simples variáveis lógicas
A.B.... =AB...AB...=A . B. ...
A.B .C.D .E.F=A.BC.DE.F
Sistemas Lógicos 32
2.4. Propriedades e Teoremas
● Funções XOR e XNOR
Sistemas Lógicos 33
2.4.1. Dualidade
● Denomina-se dualidade a propriedade de ser 
mantido a coerência lógica de igualdades booleanas 
obtidas pela substituição de 0 por 1 e vice-versa (a 
lógica negativa não invalida a álgebra booleana).
● Verifica-se a dualidade existente entre os seguintes 
operadores: AND e OR, NAND E NOR, XOR e 
XNOR
● Substituindo-se nas expressões os operadores por 
seus respectivos duais, e 0's por 1's e vice-versa, 
mantém-se a coerência lógica (e não equivalência) 
das igualdades.
Sistemas Lógicos 34
2.5. Portas Lógicas
Sistemas Lógicos 35
2.5.1. Descrição Algébrica de Circuitos Lógicos
Sistemas Lógicos 36
2.5.2. Análise de Diagramas de Circuito
Sistemas Lógicos 37
2.5.3. Implementação de Circuitos
Sistemas Lógicos 38
2.5.4. Universalidade de Portas NAND
Sistemas Lógicos 39
2.5.4. Universalidade de Portas NAND
● Exemplo:
Sistemas Lógicos 40
2.5.4. Universalidade de Portas NAND
● Exemplo: circuitos integrados disponíveis
Sistemas Lógicos 41
2.5.5. Universalidade de Portas NOR
Sistemas Lógicos 42
2.5.6. Símbolos Alternativos
● Conseqüência do teorema de Morgan
Sistemas Lógicos 43
2.5.7. Afirmação de Lógica de Nível
Sistemas Lógicos 44
2.5.7. Afirmação de Lógica de Nível
Sistemas Lógicos 45
2.5.7. Afirmação de Lógica de Nível
● Exemplo:
● Regra geral: 
pequenos círculos 
a saída conectado 
a pequenos 
círculos na 
entrada
● Qual simbologia 
utilizar?
Sistemas Lógicos 46
2.5.8. Rótulo de sinais
● 
● 
● 
MAXIMO
RD ,WR
RAM
Sistemas Lógicos 47
2.6. Formas Canônicas
● Forma de apresentação das funções nos métodos de 
simplificação sistemática (Mapas de Karnaugh, 
Método de Quine McCluskey)
● S.O.P. - Soma de Produtos
● P.O.S. - Produto de Somas 
Sistemas Lógicos 48
2.6.1. Forma Canônica: Soma de Produtos
● Forma completa:
● Representação numérica
1 1 1 1 1 1 0 1 ...
 (15) (13) ...
F(A,B,C,D) = Σ m(13,15,...)
F A ,B ,C ,D=A.B.C.DA.B. C.D...
termos mínimos
Sistemas Lógicos 49
2.6.1. Forma Canônica: Soma de Produtos
● Funções incompletas → Funções completas:
– Manipulação algébrica
– Uso da tabela verdade
Sistemas Lógicos 50
2.6.2. Forma Canônica: Produto de Somas
● Forma completa:
● Representação numérica
0 0 0 0 0 1 ...
 (0) (1) ...
F(A,B,C) = Π M(0,1,...)
F A ,B ,C =ABC . ABC ...
termos máximos
Sistemas Lógicos 51
2.6.2. Forma Canônica: Produto de Somas
● Funções incompletas → Funções completas:
– Manipulação algébrica
– Uso da tabela verdade
SIstemas Lógicos 52
Bibliografia
● NOGUEIRA, Jurandyr S.; Eletrônica Digital Básica, 
EDUFBA, 2011.
● TOCCI, Ronald J. & WIDMER Neal S.– Sistemas Digitais 
Princípios e Aplicações, Prentice Hall do Brasil, 1994 – 8ª 
edição ou superior.
● ERCEGOVAC, Milos; LANG, Tomas & MORENO, Jaime 
H.; Introdução aos Sistemas Digitais – Bookman, 2000.
● VAHID,Franklin; Digital Design, John Wiley & Sons, 
2005.
● FLETCHER ,William I. - An Engineering approach to 
Digital Design - Prentice Hall, 1980.
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