VA_Matematica_Financeira_Aula_9_Revisao_Impressao

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13/08/2014 
1 
Matemática Financeira 
Prof. Me. Pedro Hiane 
Tema Revisão 
Calculadora Científica – Casio 
modelo fx-82ms 
 
Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Casio_fx-
82MS.jpg?uselang=pt-br 
 
Instruções de como utilizar no Tema 3 
Caderno de Atividades 
 
Calculadora Financeira – HP12c 
• A HP12c é famosa pela facilidade dos 
cálculos financeiros: 
 
 
 
 
Funções Financeiras 
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Regime de Juros adotados: 
Os regimes de juros estudados em Matemática 
financeira, são conhecidos como juros simples e 
juros compostos. 
No regime de juros simples, apenas o capital inicial 
rende juros. Os juros não são capitalizados, não 
rendem juros sobre juros. 
 No regime de juros 
compostos, os juros são 
capitalizados e passam a 
render juros, ou seja, 
ocorrerá a incidência de 
juros sobre juros. 
 
Onde: 
C = Capital inicial 
M = Montante final 
i = Taxa de juros 
n = Número de 
períodos 
)1( inCM 
No regime de juros simples, usaremos a seguinte 
fórmula: 
Fórmula de juros compostos: 
No regime de juros compostos, usaremos a 
seguinte fórmula: 
 ni 1PVFV
PV = Valor Presente 
FV = Valor Futuro 
i = Taxa de juros 
n = Número de 
períodos 
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Podemos também utilizar as seguintes fórmulas: 
 
Cálculo do prazo da operação: 
 
Cálculo do valor do Montante: 
 
Cálculo da taxa de juros: 
 
Cálculo do valor do Capital: 
 
 
 
niCM )1( 
n
i
M
C
)1( 

 
110
log
 n
C
M
i
)1log(
log
i
C
M
n








C = Capital inicial 
M = Montante final 
i = Taxa de juros 
n = Número de períodos 
Veja a comparação entre juros simples e compostos, para um 
capital de R$ 10,00, aplicado durante 40 meses a uma taxa de 
juros de 10% ao mês. 
Períodos Juros Simples 
1 10 x (1 + 0,1) = 11,00 
2 10 x (1 + 0,2) = 12,00 
3 10 x (1 + 0,3) = 13,00 
4 10 x (1 + 0,4) = 14,00 
5 10 x (1 + 0,5) = 15,00 
10 10 x (1 + 1,0) = 20,00 
15 10 x (1 + 1,5) = 25,00 
20 10 x (1 + 2,0) = 30,00 
25 10 x (1 + 2,5) = 35,00 
30 10 x (1 + 3,0) = 40,00 
35 10 x (1 + 3,5) = 45,00 
40 10 x (1 + 4,0) = 50,00 
Veja a comparação entre juros simples e compostos, para um 
capital de R$ 10,00, aplicado durante 40 meses a uma taxa de 
juros de 10% ao mês. 
Períodos Juros Compostos 
1 10 x (1 + 0,1) = 11,00 
2 10 x (1 + 0,1)2 = 12,10 
3 10 x (1 + 0,1)3 = 13,31 
4 10 x (1 + 0,1)4 = 14,64 
5 10 x (1 + 0,1)5 = 16,10 
10 10 x (1 + 0,1)10 = 25,93 
15 10 x (1 + 0,1)15 = 41,77 
20 10 x (1 + 0,1)20 = 67,27 
25 10 x (1 + 0,1)25 = 108,34 
30 10 x (1 + 0,1)30 = 174,49 
35 10 x (1 + 0,1)35 = 281,02 
40 10 x (1 + 0,1)40 = 452,59 
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4 
 in 1PVFV
JUROS SIMPLES 
PV = 10,00 
FV = ? 
i = 10 % ao mês 
n = 3 meses 
 
 
 
 
00,13FV
3,101FV
3,0101FV
31,0100,01FV
1PVFV




 in
 ni 1PVFV
JUROS COMPOSTOS 
PV = 10,00 
FV = ? 
i = 10 % ao mês 
n = 3 meses 
 
 
 
13,31FV
331,100,01FV
11,00,01FV
1,0100,01FV
1PVFV
3
3





n
i
Um banco concedeu um empréstimo a uma empresa no valor de 
R$ 20.000,00, pelo prazo de 72 dias, cobrando um montante de 
R$ 26.000,00. 
a) Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? 
Teremos: C = 20.000, M = 26.000 e meses. 
Portanto, chamando de i a taxa mensal, teremos: 
4,2
30
72
n
a.m. %55,11
110
110
4,2
000.20
000.26
log
log















i
i
i n
C
M
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b) Qual a taxa anual de juros compostos do financiamento? 
2,0
360
72
n
 26000 FV 20000 CHS PV 0,2 n i = 271,29% a.a. 
26000 FV 20000 CHS PV 2,4 n i = 11,55% a.m.3 
Continuando 
Revisão 
Taxas proporcionais - Juros simples 
No regime de juros simples, duas taxas de juros 
em períodos diferentes de tempo, são chamadas 
de taxas proporcionais quando, a partir de um 
mesmo PV (valor presente), resultam no mesmo 
FV (valor futuro) no fim do prazo da operação. 
 Como o regime de juros 
simples é uma função do 
1º grau (linear) com o 
tempo, as fórmulas que 
permitem o cálculo das 
taxas proporcionais são: 
 
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Taxas equivalentes – Juros compostos 
No regime de juros compostos, duas taxas de 
juros em períodos diferentes de tempo, são 
chamadas de taxas equivalentes quando, a partir 
de um mesmo PV (valor presente), resultam no 
mesmo FV (valor futuro) no fim do prazo da 
operação. 
 Como o regime de juros 
compostos é uma função 
exponencial com o tempo, 
as fórmulas que permitem 
o cálculo das taxas 
equivalentes são: 
 
Taxa nominal: 
Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade 
de tempo não coincide com a unidade de tempo de 
capitalização. A seguir, exemplificamos algumas 
taxas nominais: 
18% a.a, capitalização semestral 
25% a.s, capitalização 
mensal 
13% a.m, capitalização 
diária 
Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade de 
tempo coincide com os períodos de capitalização. A 
seguir, exemplificamos algumas taxas efetivas: 
18% a.a, capitalização 
anual 
25% a.s, capitalização 
semestral 
13% a.m, capitalização 
mensal 
45% a.d, capitalização 
diária 
Taxa efetiva: 
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Cálculo da taxa efetiva na 
mesma unidade de tempo, a 
partir de uma taxa nominal: 
Veja os exemplos: 
 36% a.a. capitalizados 
semestralmente 
 
anual efetiva Taxa 
 a.a. %24,393924,0118%1
semestral efetiva Taxa
a.s. %18
semestres 2
a.a. %36
2



i
É muito comum, as empresas realizarem operações 
de desconto para antecipar o pagamento de um 
título. Entre os principais títulos usados nessa 
operação, destacam-se: Cheque pré-datado, 
promissória e duplicata. As operações de 
desconto podem ser classificadas em dois tipos: 
OPERAÇÃO DE 
DESCONTO 
Desconto comercial ou bancário (“por 
fora”): 
a taxa de desconto incide sobre o valor futuro 
(FV). 
Desconto racional (“por dentro”): a taxa 
de desconto incide sobre o valor presente 
(PV). 
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Devemos saber: 
PV FV 
Valor Futuro Valor Presente 
d % 
i % 
Devemos saber: 
PV FV 
Valor Futuro Valor Presente 
d = –33,33 % 
i = +50 % 
Desconto comercial ou bancário: 
(“por fora”) Simples 
 dn


1FVPV
PVFVD
ndFVD
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Uma loja procurou um banco para descontar 
uma nota promissória com valor nominal de 
R$ 65.000,00, com vencimento em 8 meses. 
Determinar o valor recebido pela loja e o 
desconto aplicado, sabendo-se que o banco 
cobra uma taxa de 
desconto comercial 
simples de 3% a.m. 
00,400.4900,600.1500,000.65D-FV PV
15.600,0083%65.000,00ndFVD
?
?PV
a.m. %3
meses 8
00,000.65FV







i
d
n
Agora é sua vez 
Revisão 
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SÉRIE UNIFORME – PRESTAÇÕES IGUAIS 
O objetivo deste capítulo é utilizar as fórmulas 
usadas nas soluções de problemas envolvendo 
fluxo de caixa uniforme que contêm um 
conjunto de prestações iguais e periódicas. 
 As anuidades podem ser 
finitas (quando ocorrem 
durante um período 
determinado de tempo) 
ou infinitas (quando 
ocorrem para sempre). 
 
As anuidades podem ser postecipadas (quando 
ocorrem no final de cada período) ou antecipadas 
(quando ocorrem no começo de cada período). 
As anuidades podem ser diferidas (quando ocorre 
um prazo de carência para a primeira prestação) 
ou imediatas 
(quando não existe 
período de carência 
para a primeira prestação).Um pai, interessado em fazer uma poupança 
para seu filho, resolveu depositar 
mensalmente R$ 1.000,00, durante 18 anos, 
com o primeiro depósito sendo efetuado 
daqui a 1 mês. Determinar o montante 
disponível para o filho, 
ao final do período, 
sabendo que a taxa de 
juros é de 1% a.m. 
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Solução: 
PMT = 1.000,00 
n = 18 anos = 216 meses 
i = 1% a.m. 
PV = 0 
FV = ? 
1.000,00 CHS PMT 
1 i 
216 n 
0,00 PV 
FV 757.860,63 
Um empresário tomou um financiamento de R$ 
50.000,00, para ser pago em 12 prestações 
mensais, iguais e postecipadas a uma taxa de 2% 
a.m. Imediatamente após o sexto pagamento, o 
empresário propôs uma renegociação ao banco, que 
aceitou refinanciar em 18 prestações mensais 
adicionais, todas do mesmo valor, a serem pagas a 
partir do final do 
sétimo mês. Determinar o 
valor das novas prestações 
mensais, sabendo que a 
taxa de juros da operação 
permanece a mesma. 
 
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Primeiro, deve-se calcular o valor das 
prestações do financiamento antes da 
renegociação. 
PV = 50.000,00 
n = 12 meses 
i = 2% a.m. 
FV = 0,00 
PMT = ? 
50.000,00 PV 
2 i 
12 n 
0,00 FV 
PMT – 4.727,98 
Após o pagamento da sexta prestação, o 
empresário ainda deve 6 prestações mensais de 
R$ 4.727,98. Deve-se calcular a dívida através 
do valor presente das 6 prestações 
remanescentes, calculadas no momento da 
renegociação. 
n = 6 meses 
i = 2% a.m. 
FV = 0,00 
PMT = 4.727,98 
PV = ? 
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13 
4.727,98 CHS PMT 
6 n 
2 i 
0,00 FV 
PV 26.483,45 
A dívida no momento da renegociação é igual 
a R$ 26.483,45. Assim, deve-se calcular o 
valor das 18 prestações mensais e iguais, 
suficientes para quitar essa dívida. 
n = 18 meses 
i = 2% a.m. 
FV = 0,00 
PV = 26.483,45 
PMT = ? 
26.483,45 PV 
18 n 
2 i 
0,00 FV 
PMT 1.766,50 
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Finalizando 
Revisão 
EMPRÉSTIMO 
AMORTIZAÇÃO 
Sistemas de Amortização: 
Prestação = Juros + Amortização 
Sistema Francês (PRICE)  Prestações 
constantes e periódicas. 
1.000,00 
334,38 334,38 334,38 334,38 334,38 
0 1 2 3 4 5 
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Ano Juros 
Amortizaçã
o 
Prestação 
Saldo 
Devedor 
Saldo 
Atual 
0 0,00 0,00 0,00 1.000,00 1.000,00 
1 200,00 134,38 334,38 865,62 1.200,00 
2 173,13 161,25 334,38 704,37 1.038,74 
20% a.a. 
 Fonte; Prof Pedro Hiane 
Ano Juros Amortização Prestação 
Saldo 
Devedor 
Saldo Atual 
3 140,88 193,5 334,38 510,87 845,24 
4 102,18 232,20 334,38 278,67 613,04 
5 55,71 278,67 334,38 0,00 334,38 
Soma 671,90 1.000,00 1.671,90 0,00 0,00 
20% a.a. 
 Fonte; Prof Pedro Hiane 
Sistema de Amortização Constante (SAC)  A 
dívida assumida é quitada em N parcelas iguais, onde 
o valor de cada amortização é igual a . Os 
juros sobre o saldo devido são quitados juntamente 
com a amortização. O Sistema de Amortização 
Constante, começou a ser utilizado no Brasil, a partir 
de 1971, pelo Sistema Financeiro de Habitação. 
N
principal
Neste sistema, o devedor 
paga sua dívida em 
prestações periódicas e 
postecipadas e o valor das 
amortizações são sempre 
iguais. 
 
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1.000,00 
200+juros1 200+juros2 200+juros3 200+juros4 200+juros5 
 0 1 2 3 4 5 
Ano Juros Amortização Prestação 
Saldo 
Devedor 
Saldo 
Atual 
0 0,00 0,00 0,00 1.000,00 1.000,00 
1 200,00 200,00 400,00 800,00 1.200,00 
2 160,00 200,00 360,00 600,00 960,00 
20% a.a. 
 Fonte; Prof Pedro Hiane 
Ano Juros Amortização Prestação 
Saldo 
Devedor 
Saldo 
Atual 
3 120,00 200,00 320,00 400,00 720,00 
4 80,00 200,00 280,00 200,00 480,00 
5 40,00 200,00 240,00 0,00 240,00 
Soma 600,00 1.000,00 1.600,00 0,00 0,00 
20% a.a. 
 Fonte; Prof Pedro Hiane