F129 aula 4 Método dos Mínimos Quadrados

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Método	
  dos	
  Mínimos	
  
Quadrados	
  (MMQ)	
  
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Ajuste visual MMQ 
n  Depende de quem 
analisa 
n  É difícil de ponderar 
dados com incertezas 
diferentes 
n  Não é otimizado 
n  Bom para estimativas 
n  Independe de quem 
analisa 
n  A incerteza dos dados 
é ponderada 
n  É o ajuste que mais se 
aproxima dos dados 
n  Mais cálculos 
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 Qual é o ajuste que mais se aproxima dos dados? 
 Menor distância entre os pontos experimentais e os dados 
 
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Descrição gaussiana de erros 
n  N pontos (xi,yi) 
n  yi tem um erro associado σi (não têm que ser iguais) 
n  )( iiy σ±
n  Descrição gaussiana de erros, probabilidade Pi 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=
2
2
1exp
i
ii
i
i
yyCP
σσ
iyn  é o valor médio de yi 
),...,,,(x f 21i ni aaay =n  
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n  Definindo 
( )( ) 2
1
212 ,...,,,∑
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
n
i i
nii aaaxfy
σ
χ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=
2
2
1exp
i
ii
i
i
yyCP
σσ
n  
),...,,,(x f 21i ni aaay =n  
n  Pi é máximo quando é mínimo 
2χ
Descrição gaussiana de erros 
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n  é uma função!!! 
 
n  Como achar o mínimo de uma função? 
n  
Como minimizar ? 
x 
F(x) 
2χ ∑ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
n
i i
nii aaaxfy
2
212 ))...,,((
σ
χ
0
1
2
=
∂
∂
a
χ 0
2
2
=
∂
∂
a
χ 0
2
=
∂
∂
na
χ... 
2χ
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( ) baxxf ii +=
Melhor reta que descreve o conjunto de 
pontos experimentais, ou seja é ajustada 
uma reta aos pontos experimentais 
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Qual é a melhor reta para σy diferentes? 
( )∑ −−=
n
i
iii baxyw
22χ
baxxf ii +=)(
Resolvendo as derivadas parciais 0
2
=
∂
∂
a
χ
0
2
=
∂
∂
b
χ
( )( ) ( )( )
Δ
−
= ∑∑∑∑ wywxwxywa
( )( ) ( )( )
Δ
−
= ∑∑∑∑ wxwxywxwyb
2
( )( ) ( )22 ∑∑∑ −=Δ wxwxw
( )
Δ
= ∑wa2σ
( )
Δ
= ∑
2
2 wx
bσ
2
1
i
iw σ
=
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baxxf ii +=)(
Se σi é constante e igual a σ 
( ) ( )( )
Δ
−
= ∑∑∑ yxxyNa
( )( ) ( )( )
Δ
−
= ∑∑∑∑ xxyxyb
2
( ) ( )22 ∑∑ −=Δ xxN
22 σσ
Δ
= Na
( ) 222 σσ
Δ
= ∑ xb
Qual a melhor reta para valores iguais de σy ? 
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Exemplo 1 
 Em um experimento foram obtidos os dados mostrados na tabela 
com os valores de x, y e σy. Encontre a reta que melhor se ajusta 
aos dados usando o método dos mínimos quadrados. 
n x y σy 
1 0,05 7,1 2,6 
2 0,10 9,6 1,8 
3 0,15 16,9 1,5 
4 0,20 21,0 1,5 
5 0,25 25,4 1,2 
6 0,30 28,1 1,2 
7 0,35 35,7 1,2 
8 0,40 39,0 1,2 
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Exemplo 1 
Deve-se montar uma tabela da seguinte forma: 
n x y σy w wx2 wx wy wxy 
1 0,05 7,1 2,6 0,14 0,0004 0,007 0,994 0,0497 
2 0,10 9,6 1,8 0,31 0,0031 0,031 2,976 0,2976 
3 0,15 16,9 1,5 0,44 0,0099 0,066 7,436 1,1154 
4 0,20 21,0 1,5 0,44 0,0176 0,088 9,240 1,8480 
5 0,25 25,4 1,2 0,69 0,0431 0,173 17,53 4,3815 
6 0,30 28,1 1,2 0,69 0,0621 0,207 19,39 5,8167 
7 0,35 35,7 1,2 0,69 0,0845 0,242 24,63 8,6215 
8 0,40 39,0 1,2 0,69 0,1104 0,276 26,91 10,764 
Σ 1,80 182,8 12,2 4,09 0,3311 1,090 109,11 32,894 
( )( ) ( )( )
98,93
1661,0
11,109090,1894,3209,4
=
×−×=
Δ
−
= ∑∑∑∑
a
a
wywxwxyw
a
( )( ) ( )
1661,0
1881,13311,009,4
22
=Δ
−×=Δ
−=Δ ∑∑∑ wxwxw
( )( ) ( )( )
63,1
1661,0
090,1894,323311,011,109
2
=
×−×=
Δ
−
= ∑∑∑∑
b
b
wxwxywxwy
b
96,4
1661,0
09,4 =⇒=
Δ
= ∑ aa
w
σσ
41,1
1661,0
3311,02 =⇒=
Δ
= ∑ bb
wx
σσ( ) ( )12594 ±+±= xy
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Exemplo 2 
 Em um experimento foram obtidos os dados mostrados na tabela 
com os valores de x, y. Encontre a reta que melhor se ajusta aos 
dados usando o método dos mínimos quadrados sabendo que 
σ=1,2 é o mesmo para todos os valores de y . 
n x y σy 
1 0,05 7,1 1,2 
2 0,10 9,6 1,2 
3 0,15 16,9 1,2 
4 0,20 21,0 1,2 
5 0,25 25,4 1,2 
6 0,30 28,1 1,2 
7 0,35 35,7 1,2 
8 0,40 39,0 1,2 
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Exemplo 2 
Deve-se montar uma tabela da 
seguinte forma: 
n x y x2 xy 
1 0,05 7,1 0,0025 0,355 
2 0,10 9,6 0,0100 0,960 
3 0,15 16,9 0,0225 2,535 
4 0,20 21,0 0,0400 4,200 
5 0,25 25,4 0,0625 6,350 
6 0,30 28,1 0,0900 8,430 
7 0,35 35,7 0,1225 12,495 
8 0,40 39,0 0,1600 15,600 
Σ 1,80 182,8 0,51 50,93 
( ) ( )( )
33,93
84,0
8,18280,193,508
=
×−×=
Δ
−
= ∑∑∑
a
yxxyN
a
( ) ( )
84,0
24,351,08
22
=Δ
−×=Δ
−=Δ ∑∑ xxN
( )( ) ( )( )
85,1
84,0
80,193,5051,08,1822
=
×−×=
Δ
−
= ∑∑∑∑
b
xxyxy
b
70,32,1
84,0
82,1 =⇒×=×
Δ
= aa
N σσ
94,02,1
84,0
51,02,1
2
=⇒×=×
Δ
= ∑ bb
x
σσ
( ) ( )9,09,1493 ±+±= xy
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Exemplo 2 
A reta de mínimos quadrados obtida por computador