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Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Me´todos para problema de valor de contorno Ricardo Biloti Ca´lculo Nume´rico Vera˜o, 2012 http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Problema de Valor Inicial y ′′(x) = f (x , y(x), y ′(x)), a < x y(a) = α y ′(a) = γ http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Problema de Valor de Contorno y ′′(x) = f (x , y(x), y ′(x)), a < x < b y(a) = α y(b) = β http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Diferenc¸as finitas y ′′ = f (x , y , y ′), y(a) = α, y(b) = β a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b com h = xj − xj−1 = (b − a)/n. Queremos encontrar yj ≈ y(xj) http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Truque Aproximar y ′(xj) e y ′′(xj) por diferenc¸as utilizando apenas valor de func¸a˜o http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Expansa˜o de Taylor Se y tem (n + 1) derivadas, y(x + h) = y(x) + hy ′(x) + h2 2! y ′′(x) + · · ·+ h n n! y (n)(x)+ hn+1 (n + 1)! y (n+1)(ξ) com ξ ∈ (x , x + h) http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Aproximac¸a˜o para y ′(xj) y(xj+1) = y(xj) + hy ′(xj) + h2 2! y ′′(ξ) Logo y ′(xj) = y(xj+1)− y(xj) h − h 2 y ′′(ξ) Diferenc¸a avanc¸ada y ′(xj) ≈ yj+1 − yj h http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Aproximac¸a˜o para y ′(xj) y(xj−1) = y(xj)− hy ′(xj) + h 2 2! y ′′(ξ) Logo y ′(xj) = y(xj)− y(xj−1) h + h 2 y ′′(ξ) Diferenc¸a atrasada y ′(xj) ≈ yj − yj−1 h http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Aproximac¸a˜o para y ′(xj) y(xj+1) = y(xj) + hy ′(xj) + h2 2! y ′′(xj) + h3 3! y ′′′(ξ+) y(xj−1) = y(xj)− hy ′(xj) + h 2 2! y ′′(xj)− h 3 3! y ′′′(ξ−) Logo y ′(xj) = y(xj+1)− y(xj−1) 2h + h2 3! y ′′′(ξ) Diferenc¸a centrada y ′(xj) ≈ yj+1 − yj−1 2h http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Aproximac¸a˜o para y ′(xj) Diferenc¸a avanc¸ada/atrasada O(h) y ′(xj) ≈ yj+1 − yj h y ′(xj) ≈ yj − yj−1 h Diferenc¸a centrada O(h2) y ′(xj) ≈ yj+1 − yj−1 2h http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Aproximac¸a˜o para y ′′(xj) y(xj±1) = y(xj)± hy ′(xj) + h 2 2! y ′′(xj)± h 3 3! y ′′′(xj) + h4 4! y ′′′′(ξ+) Logo y ′′(xj) = y(xj+1)− 2y(xj) + y(xj−1) h2 − h 2 12 y ′′′′(ξ) Diferenc¸a centrada O(h2) y ′′(xj) ≈ yj+1 − 2yj + yj−1 h2 http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Equac¸a˜o linear y ′′ = f (x , y , y ′), y(a) = α, y(b) = β y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = r(x), y(a) = α, y(b) = β http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Exemplo y ′′ − 5xy ′ + x2y = ex , y(0) = 3, y(1) = 0 Aproxime y(x) nos pontos { 0, 14 , 1 2 , 3 4 , 1 } http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Diferenc¸as finitas para equac¸a˜o linear y ′′(xj) + p(xj)y ′(xj) + q(xj)y(xj) = r(xj), j = 1, 2, . . . , n − 1 yj+1 − 2yj + yj−1 h2 +pj yj+1 − yj−1 2h +qjyj = rj , j = 1, 2, . . . , n−1 y(a) = α, y(b) = β y0 = α, yn = β http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Sistema linear y0 = α ( 1− h 2 pj ) yj−1 − ( 2− h2qj ) yj + ( 1 + h 2 pj ) yj+1 = h 2rj , j = 1, . . . , n − 1 yn = β http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Sistema linear Ay = r A = b1 c1 a2 b2 c2 . . . . . . . . . an−2 bn−2 cn−2 an−1 bn−1 r = h2r1 − a1y0 h2r2 ... h2rn−2 h2rn−1 − cn−1yn aj = 1− hpj/2, bj = −2 + h2qj , cj = 1 + hpj/2 http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introduc¸a˜o Aproximac¸o˜es PVC linear Exerc´ıcio y ′′ + x3y ′ − cos(x)y = x + 2, y(0) = 0, y(2) = 6 Exiba o sistema linear necessa´rio para aproximar y(x) nos pontos{ 0, 12 , 1, 3 2 , 2 } , pelo me´todo de diferenc¸as finitas. http://goo.gl/kxeYg Ricardo Biloti Me´todos para problema de valor de contorno Introdução Aproximações PVC linear
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