AP2-MetDet1-2015-2-gabarito

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.5 pt) Determine o conjunto soluc¸a˜o de:
a) (1.3 pt) |2x+ 1| = x
b) (1.2 pt) x(4 − x)− 8 <
(
−1
2
)2
.
Soluc¸a˜o:
a) Sabemos que para y e a reais, |y| = a ⇔ (y = a ou y = −a) e a ≥ 0 (Teorema 1 do EP9).
Desta forma, tomando y = 2x+ 1 e a = x, temos que
|2x+ 1| = x ⇐⇒ (2x+ 1 = −x ou 2x+ 1 = x) e x ≥ 0
⇐⇒ (3x = −1 ou x = −1) e x ≥ 0
⇐⇒
(
x = −1
3
ou x = −1
)
e x ≥ 0.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o S, da equac¸a˜o |2x+ 1| = x, e´ o conjunto vazio.
Isto e´, S = ∅.
b) Temos que
x(4− x)− 8 <
(
−1
2
)2
⇐⇒ 4x− x2 − 8 < 1
4
⇐⇒ −x2 + 4x− 8− 1
4
< 0
⇐⇒ −x2 + 4x− 32
4
− 1
4
< 0
⇐⇒ −x2 + 4x− 33
4
< 0
Vamos chamar y de −x2 + 4x− 33
4
, isto e´, y = −x2 + 4x− 33
4
.
Me´todos Determin´ısticos I AP2 2
Lembremos que o gra´fico de y = −x2 + 4x− 33
4
e´ uma para´bola. Vamos, enta˜o, estudar o sinal
da ordenada y da para´bola a partir de seu esboc¸o no plano. Notemos que ela tem a concavidade
voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de x2 e´ negativo. Ale´m disso, quando y = 0, isto e´,
quando −x2+4x− 33
4
= 0, usando Bhaskara, temos que ∆ = (4)2−4(−1)
(
−33
4
)
= −17 < 0,
o que significa que a para´bola na˜o intercepta o eixo x. Temos tambe´m que o ve´rtice da para´bola
e´
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 4
2(−1) ,−
(−17)
4(−1)
)
=
(
2,−17
4
)
. A partir destas informac¸o˜es, plotamos o
gra´fico da para´bola na Figura 1. Nele, observamos que para qualquer x real, o ponto (x, y) da
para´bola, tem o y negativo.
Dessa forma, y = −x2 + 4x− 33
4
< 0, para todo x ∈ R.
E consequentemente, x(4− x)− 8 <
(
−1
2
)2
, para todo x ∈ R.
-
-
-
2
x
-
17
4
y
Figura 1: Questa˜o 1-b)
Questa˜o 2 (1.5 pt) Determine o(s) valor(es) de x de modo que a distaˆncia entre o ponto A =
(x, 2) e ponto B = (1,−1) seja igual a 5.
Soluc¸a˜o: Sabendo que a distaˆncia entre dois pontos P = (x1, x2) e Q = (y1, y2), denotada por
d(P,Q), e´ dada por
d(P,Q) =
√
(y1 − x1)2 +
(
y2 − y1)2
e que nesta questa˜o a distaˆncia entre os pontos A = (x, 2) e B = (1,−1) e´ igual a 5, temos que
d(A,B) = 5 ⇐⇒
√
(x− 1)2 + (2− (−1))2 = 5
⇐⇒
√
(x− 1)2 + (2 + 1)2 = 5
⇐⇒
(√
(x− 1)2 + (3)2
)
2
= (5)2
⇐⇒ (x− 1)2 + (3)2 = 25
⇐⇒ x2 − 2x+ 1 + 9 = 25
⇐⇒ x2 − 2x− 15 = 0
⇐⇒ x = 2±
√
4 + 60
2
⇐⇒ x = 5 ou x = −3.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Portanto, a distaˆncia entre A e B e´ igual a 5, quando x = 5 ou x = −3.
Questa˜o 3 (1.5pt) Considere a func¸a˜o f(x) =
√
x+ 5 +
1
2− x .
a) (0.7 pt) Determine o dom´ınio de f na forma de um intervalo ou de uma unia˜o de intervalos.
b) (0.8 pt) Calcule o valor de f(4)− f(−1).
Soluc¸a˜o:
a) Observe que f e´ a soma de uma raiz quadrada com um quociente. Desta forma, precisamos
que tanto a raiz quadrada, quanto o quociente, estejam bem definidos. Sabemos que uma raiz
quadrada esta´ bem definida quando o radicando (o que esta´ dentro do s´ımbolo de raiz) e´ maior
ou igual a zero. Por outro lado, um quociente esta´ bem definido quando o denominador do
quociente e´ diferente de zero. Desta forma, dom´ınio D de f e´ formado pelos valores de x ∈ R
que satisfazem x+ 5 ≥ 0 e 2− x 6= 0. Como
x+ 5 ≥ 0⇐⇒ x ≥ −5
e
2− x 6= 0⇐⇒ x 6= 2,
segue que
D = [−5, 2) ∪ (2,∞).
b)
f(4)− f(−1) = √4 + 5 + 1
2− 4 −
(√−1 + 5 + 1
2− (−1)
)
=
√
9− 1
2
−
(√
4 +
1
3
)
= 3− 1
2
− 2− 1
3
= 1− 1
2
− 1
3
=
6− 3− 2
6
=
1
6
Questa˜o 4 (2.5 pts) : Considere a func¸a˜o de demanda D(P ) = −P 2 + 16 e a func¸a˜o de oferta
Q(P ) = 5P − 8 de um determinado produto, em que 8
5
≤ P ≤ 4.
a) (1.3 pt) Num mesmo sistema de eixos coordenados, esboce os gra´ficos das curvas de demanda e
de oferta, especificando claramente cada uma delas.
b) (1.2 pt) Determine o prec¸o de equil´ıbrio e a quantidade de equil´ıbrio.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
Soluc¸a˜o:
a) D e´ uma func¸a˜o quadra´tica e Q e´ uma func¸a˜o linear afim. Desta forma, o gra´fico de D e´
representado por uma para´bola e o gra´fico de de Q por uma reta.
Para D: a para´bola tem concavidade voltada para baixo pois o coeficiente de P 2 e´ negativo.
Lembremos ainda que e´ necessa´rio, no m´ınimo, treˆs pontos, para que uma para´bola esteja
bem determinada. Neste caso, vamos determinar os pontos de intersec¸o˜es da para´bola como
os eixos coordenados e seu ve´rtice. Temos assim, que
• P = 0⇐⇒ D(0) = −(0)2 + 16 = 16.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo y = D no ponto (0, 16).
• D = 0⇐⇒ −P 2 − 16 = 0⇐⇒ P 2 = 16⇐⇒ P = ±√16⇐⇒ P = ±4.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo x = P nos pontos (−4, 0) e (4, 0).
• O ve´rtice (Pv,Dv) da para´bola tem coordenadas
Pv =
−4 + 4
2
= 0 e Dv = −(0)2 + 16 = 16.
Para Q: Para determinar o gra´fico da func¸a˜oQ que e´ uma reta, basta determinarmos dois pontos
da reta. Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta como os eixos y e x. Neste caso, temos
que
• P = 0⇐⇒ Q(0) = 5(0)− 8 = −8. Ou seja, (0,−8) e´ um ponto da reta.
• Q = 0⇐⇒ 5P − 8 = 0⇐⇒ P = 8
5
. Ou seja,
(
8
5
, 0
)
e´ um ponto da reta.
Na Figura 2 plotamos os gra´ficos de D e de Q.
b) Pela definic¸a˜o de prec¸o de equil´ıbrio, precisamos determinar o prec¸o P em que D = Q, ou seja,
−P 2 + 16 = 5P − 8⇐⇒ −P 2 − 5P + 24 = 0.
Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = −1, b = −5 e c = 24, temos que
∆ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4(−1)(24) = 25 + 96 = 121.
Logo,
P =
−b±√∆
2a
=
−(−5)±√121
2(−1) =
5± 11
−2 .
Ou seja, as soluc¸o˜es de −P 2 − 5p+ 24 = 0 sa˜o P1 = 5 + 11−2 = −8, P2 =
5− 11
−2 = 3. Como, o
prec¸o de equil´ıbrio P deve satisfazer
8
5
≤ P ≤ 4 segue que o prec¸o de equil´ıbrio e´ P = 3.
A quantidade de equil´ıbrio D = Q correspondente ao prec¸o de equil´ıbrio P = 3 e´ obtida por
D(3) = −(3)2 + 16 = 7.
Logo, o ponto de equil´ıbrio tem coordenadas (3, 7). Este ponto esta´ marcado na Figura 2 na cor
vermelha.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
D
Q
-4
8
5 3 4
P
-8
7
12
336
25
16
Figura 2: Questa˜o 4, item a)
Questa˜o 5 (2.0 pt) : A demanda D de um produto e´ uma func¸a˜o linear afim do prec¸o P , isto e´,
demanda e prec¸o relacionam-se a partir de D = aP + b. Sabendo que quando o prec¸o e´ igual a
3, a quantidade demandada e´ igual a 43 e que quando o prec¸o e´ 7, a quantidade demandada e´ 37,
determine o valores de a e b. Escreva a func¸a˜o encontrada.
Soluc¸a˜o: De acordo com o enunciado, a func¸a˜o que relaciona demanda e prec¸o e´ da forma
D = aP + b,
em que a e b devem ser determinados. Para encontra´-los usamos a informac¸a˜o que quando o prec¸o
e´ igual a 3, a quantidade demandada e´ igual a 43, ou seja, a e b satisfazem a equac¸a˜o 43 = a · 3+ b.
Usamos tambe´m que quando o prec¸o e´ 7, a quantidade demandada e´ 37, e neste caso, temos a
equac¸a˜o 37 = a · 7 + b.
Portanto, a e b devem satisfazer o sistema de equac¸o˜es
{
3a+ b = 43 (i)
7a+ b = 37 (ii)
Vamos, enta˜o, resolver esse sistema.
Multiplicando a equac¸a˜o (ii) por −1 e depoissomando as duas equac¸o˜es, i.e., fazendo (i) − (ii),
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
temos 

3a+ b = 43
−7a− b = −37
+
(3− 7) a = 43− 37
Encontramos enta˜o que
−4a = 6⇐⇒ a = −6
4
⇐⇒ a = −3
2
.
Substituindo agora a = −3
2
em (i), chegamos a
3a+ b = 43 ⇐⇒ 3 ·
(
−3
2
)
+ b = 43
⇐⇒ b = 43 + 9
2
⇐⇒ b = 86
2
+
9
2
⇐⇒ b = 95
2
.
Portanto, a a func¸a˜o que relaciona demanda e prec¸o e´:
D = −3
2
P +
95
2
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ