Integral Imprópria

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UTFPR- CDI – ENGENHARIA ELETRÔNICA- INTEGRAIS IMPRÓPRIA PROF SERGIO 
Todas as integrais definidas estudadas, até agora, tinham intervalos de integração finitos. Agora passamos a estudar integrais definidas que têm intervalos de integração ilimitados. 
Consideremos os seguintes problemas:
EXEMPLO 01: Encontrar a área da região delimitada pelo eixo x e pelo gráfico de para .
A região delimitada pelo eixo x e pelo gráfico de para , pode ser visualizada na figura abaixo:
Calculando a área da região delimitada pelo eixo x e pelo gráfico de para x variando de 1 até b, com b >1, temos que seu valor é dado por:
Resolução : 
 esta relação nos dá a área no intervalo de x=1 a x=b.
Vamos responder os seguintes questionamentos.: 
Calcular a integral definida I(b)da equação.
Calcular I(b) para b= 10 b=100 b=1000 e b=10 000 
Calcula o limite da equação com b tendendo a infinito.
Discuta os resultados obtidos no item b e c .
EXEMPLO 02: Vamos calcular a área da região delimitada pelo eixo x e pelo gráfico de para .
A região delimitada pelo eixo x e pelo gráfico de para , pode ser visualizada na figura abaixo:
 
Calculando a área da região delimitada pelo eixo x e pelo gráfico de para x variando de 1 até b, com b >1, temos que seu valor é dado por:
.
Quando b cresce indefinidamente, isto é, , temos a área da região dada inicialmente, ou seja: 
Nos dois problemas observamos que os resultados são muito diferentes. Embora, em ambos os casos, tenhamos que calcular áreas de regiões infinitas, nem sempre a área de uma região desse tipo tem por resultado um número indefinidamente grande. Vamos então definir a área de uma tal região. Essa definição significa uma extensão do conceito de integral definida
Definição 01: 
Sendo f uma função integrável em para todo b>a, .
Analogamente, temos:
Definição 02: 
Sendo f uma função integrável em para todo a<b, .
Se o limite existe e é um número real, dizemos que a integral imprópria converge. No caso do limite não existir ou não ser finito, dizemos que a integral imprópria diverge.
E ainda, de modo geral, temos:
Definição 03: 
Sendo f uma função integrável em para todo b, .
Na última definição dizemos que a integral imprópria converge quando ambas as integrais do segundo membro são convergentes. 
Se alguma das duas integrais, do lado direito, é divergente, então a integral imprópria da esquerda não está definida. 
EXEMPLO 03: Sendo a>1, diverge.
 Sendo a>1, para calcular , vamos primeiramente, calcular a integral definida . 
Resolução : 
Logo, a integral dada diverge.
Mesmo que os extremos do intervalo de integração sejam números reais, podemos ter uma integral imprópria quando a função integrando não está definida em algum desses extremos.
EXEMPLO 04: 
 Observando a integral dada, , percebemos que x não pode ser 0. Então,
Resolução: 
Assim, se uma função não é limitada em alguma vizinhança de um ponto c de um intervalo , sendo contínua em e em , temos a seguinte:
Definição: 
Se o resultado no segundo membro for um número real, dizemos que a integral converge; caso contrário, dizemos que ela diverge e, para que isso aconteça, basta que uma das duas integrais do segundo membro seja divergente.
EXEMPLO 05: diverge
Observando a integral dada, percebemos que x não pode ser 0. Então, a integral dada é a soma de duas integrais impróprias:
.
Logo, a integral dada diverge. 
Observação: na verdade nem precisávamos ter calculado para concluir que a integral dada diverge, uma vez que .
EXEMPLO 06: diverge.
Para calcular , devemos observar, em primeiro lugar que a função não está definida no ponto x=2 que pertence ao intervalo de integração.
Observações importantes:
Se f é uma função contínua no intervalo [a,b) e tende a infinito em b, então : 
 
Se f é contínua no intervalo (a,b], exceto em algum ponto c de (a,b), no qual f tende para infinito, então 
 
Se f é contínua no intervalo [a,b], exceto em algum ponto c de (a,b), no qual f tende para infinito, então 
EXERCÍCIOS: 
01) Calcule as integrais impróprias ou decida pela sua divergência: 
a) 
b) 
c) 
02) Determine a área da região R sob a curva
 para 
 Resp A = 2 
03) Determine a área da região R limitada por cima pelo eixo x, por baixo pela curva 
e pela direita pela linha vertical x= 1. Resp 
04) Calcule a integral imprópria 
e dê sua interpretação gráfica dos resultados. Resp 0
05) Decida a respeito da convergência ou não das integrais impróprias:
a) 
 
c) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
06) Calcule a área da região limitada pelo gráfico 
 e o eixo dos x. 
7) Calcule a integral imprópria 
Resp 01 convergente. 
08) Calcule a integral imprópria 
e indique se a integral é convergente ou divergente.
Resp 01 convergente 
09) Idem 
 Resp 3/2 convergente
10) Idem 
 Resp 
 divergente.
11) Idem 
 Resp 
12) Calcule integral imprópria 
Resp 
 
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