Aula 15 - Distribuição Hipergeométrica

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4. Distribuição hipergeométrica
Para se obter uma fórmula análoga àquela da distribuição binomial, aplicável a amostras “sem reposição”, caso em que os ensaios não são independentes, consideremos um conjunto de N elementos, dos quais k elementos são considerados sucessos e (N – k) como fracassos. Estaremos interessados, como na distribuição binomial, na probabilidade de se obter x sucessos em n ensaios, mas agora estaremos escolhendo, “sem reposição”, n dos N elementos contidos no conjunto.
Note que há 
 maneiras de escolher x sucessos dentre k possibilidades e 
 maneiras de escolher (n – x) fracassos de (N – k) possibilidades e, portanto, 
�� EMBED Equation.3 maneiras de escolher x sucessos e (n – x) fracassos (princípio fundamental da contagem). Por outro lado, desde que há 
 maneiras de escolher n dos N elementos do conjunto, e assumindo que todas são igualmente prováveis (que é o que significa quando dizemos que a seleção é aleatória), segue-se que a probabilidade de x sucessos em n ensaios é:
 (1) 
 para x = 0,1, ..., n
Assim, para amostras “sem reposição”, a variável aleatória número de sucessos (x) em n ensaios, cuja função de probabilidade é dada por (1), é definida ter distribuição hipergeométrica, com parâmetros n, N e k. A média e a variância dessa distribuição são:
E(X) = np, onde: p = k/N (proporção populacional de sucessos), e
Var(X) = npq [(N – n)/N – 1)]
Quando n/N é pequeno, isto é, quando n é muito pequeno em relação a N, o fator (N – n)/N – 1) é próximo de 1, logo não há diferença prática entre extração sem e com reposição. Então, a distribuição hipergeométrica pode ser satisfatoriamente aproximada pela binomial, com p = k/N e q = (N – k)/N.
Comparando estas duas distribuições, podemos verificar que a binomial tem o mérito de simplicidade na fórmula de probabilidade. Ela tem como parâmetro a fração p, enquanto que a hipergeométrica requer o conhecimento de k e N individualmente.
Exemplo 1. Em problemas de controle de qualidade, lotes com N elementos são examinados. O número de elementos com defeito (k) é desconhecido. Colhe-se uma amostra de n elementos e determina-se o número de defeituosos na amostra (x). Como ilustração, suponha que, num lote de N = 100 vacinas, k = 10 estejam estragadas. Escolhendo-se n = 5 vacinas “sem reposição”, calcular a probabilidade de não se obter vacinas estragadas (x = 0).
Solução:
 ( 
 
Usando a aproximação binomial:
 
Exemplo 2. Suponha que em um lote com N = 20 animais existem k = 5 doentes. Escolhendo-se 4 animais do lote ao acaso, isto é, uma amostra de n = 4 elementos, de modo que a ordem dos elementos seja irrelevante, calcular a probabilidade de se obter x = 2 doentes na amostra.
Solução:
Usando (1):
P(X = 2) = 
��EMBED Equation.3
Sendo 4 doentes na amostra,
P(X = 4) = 
Usando a aproximação binomial:
 
_1062309514.unknown
_1211003437.unknown
_1211005467.unknown
_1211005548.unknown
_1218025927.unknown
_1211004727.unknown
_1211004872.unknown
_1211003327.unknown
_1211003383.unknown
_1211003326.unknown
_1211003325.unknown
_1062223682.unknown
_1062223911.unknown
_1062223576.unknown