Apostila EDO - Profª Paula

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.a Paula Francis Benevides 
 
 
Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Curitiba 
Gerência de Ensino e Pesquisa 
Departamento Acadêmico de Matemática 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
2 
 
Conteúdo 
AULA 1 ............................................................................................................................ 6 
1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 6 
1.2 DEFINIÇÃO .................................................................................................................... 7 
1.3 CLASSIFICAÇÃO ............................................................................................................... 7 
1.3.1 Tipo: ....................................................................................................................... 7 
1.3.2 Ordem: ................................................................................................................... 7 
1.3.3 Grau: ...................................................................................................................... 8 
1.3.4 Linearidade: ........................................................................................................... 8 
1.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: .............................................................................. 9 
1.5 RESOLUÇÃO: ................................................................................................................ 11 
1.5.1 Curvas Integrais: .................................................................................................. 11 
1.5.2 Solução: ................................................................................................................ 11 
1.6 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) ................................................................................. 12 
1.7 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO ............................................................. 13 
1.8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS............................................................................. 14 
AULA 2 .......................................................................................................................... 18 
2. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU ............................................. 18 
2.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS ............................................................................... 18 
2.1.1 Resolução: ............................................................................................................ 18 
AULA 3 .......................................................................................................................... 22 
2.2 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS .............................................................................................. 22 
2.2.1 Função Homogênea ............................................................................................. 22 
2.2.2 Equação Homogênas ........................................................................................... 22 
2.2.2.1 Resolução: .................................................................................................................................................23 
AULA 4 .......................................................................................................................... 26 
2.3 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS . 26 
2.3.1 O determinante 
22
11
ba
ba
 é diferente de zero ...................................................... 26 
2.3.2 O determinante 
22
11
ba
ba
 é igual a zero. .............................................................. 28 
AULA 5 .......................................................................................................................... 31 
2.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS .................................................................................... 31 
2.4.1 Fator Integrante ................................................................................................... 33 
AULA 6 .......................................................................................................................... 37 
2.5 EQUAÇÕES LINEARES: .................................................................................................... 37 
2.5.1 Fator Integrante: .................................................................................................. 37 
2.5.2 Substituição ou de Lagrange: .............................................................................. 38 
AULA 7 .......................................................................................................................... 41 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
3 
 
2.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: ................................. 41 
2.6.1 Equações de Bernoulli: ......................................................................................... 41 
AULA 8 .......................................................................................................................... 44 
2.6.2 Equação de Ricatti ............................................................................................... 44 
AULA 9 .......................................................................................................................... 47 
3. EQUAÇÕES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM ............................................. 47 
3.1 ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES ............................................................................ 47 
3.1.1 Definições: ............................................................................................................ 47 
3.1.2 Equação da Envoltória ......................................................................................... 48 
3.1.3 Soluções Singulares .............................................................................................. 49 
3.1.4 Equação de Clairaut ............................................................................................. 50 
AULA 10 ........................................................................................................................ 52 
3.1.5 Equação de Lagrange: ......................................................................................... 52 
3.1.6 Outros tipos de equação de 1a Ordem e grau diferente de um: .......................... 54 
AULA 11 ........................................................................................................................ 56 
4. EXERCÍCIOS GERAIS ................................................................................................ 56 
AULA 12 ........................................................................................................................ 58 
5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS ..................................... 58 
5.1 MODELO MATEMÁTICO ................................................................................................. 58 
5.2 DINÂMICA POPULACIONAL .............................................................................................. 59 
5.3 MEIA VIDA .................................................................................................................. 61 
5.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO .............................................................................................63 
5.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO .......................................................................................... 63 
5.6 RESFRIAMENTO ............................................................................................................ 64 
5.7 MISTURAS ................................................................................................................... 66 
5.8 DRENANDO UM TANQUE ................................................................................................ 68 
5.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA ..................................................................................... 70 
5.10 CORPOS EM QUEDA ....................................................................................................... 72 
5.10.1 Corpos em queda e a resistência do ar .............................................................. 74 
5.11 CORRENTE DESLIZANTE .................................................................................................. 76 
5.12 CIRCUITOS EM SÉRIE ...................................................................................................... 78 
AULA 13 ........................................................................................................................ 85 
6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E ORDEM SUPERIOR ................. 85 
6.1 EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES ..................................... 87 
6.1.1 Caso 1: Raízes Reais Distintas. ............................................................................. 88 
6.1.2 Caso 2: Raízes Múltiplas. ..................................................................................... 88 
6.1.3 Caso 3: Raízes complexas distintas. ..................................................................... 89 
AULA 14 ........................................................................................................................ 92 
6.2 EULER - CAUCHY........................................................................................................... 92 
AULA 15 ........................................................................................................................ 95 
6.3 EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS .......................................................................... 95 
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4 
 
6.3.1 Solução por coeficientes a determinar (Descartes): ............................................ 95 
AULA 16 ........................................................................................................................ 98 
6.3.2 Solução por variação de parâmetros ................................................................... 98 
AULA 17 ...................................................................................................................... 101 
6.3.3 Método do Operador Derivada .......................................................................... 101 
6.3.3.1 Definição .................................................................................................................................................101 
6.3.3.2 Propriedades ...........................................................................................................................................101 
6.3.3.3 Equações Diferenciais .............................................................................................................................101 
6.3.3.4 Operador Anulador .................................................................................................................................102 
6.3.3.5 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores ...................................................................103 
6.3.3.6 Resolução de Equações Lineares ............................................................................................................104 
AULA 18 ...................................................................................................................... 107 
7. EXERCÍCIOS GERAIS .............................................................................................. 107 
AULA 19 ...................................................................................................................... 109 
8. MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR .................... 109 
8.1 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: ....................................... 109 
8.1.1 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre não amortecido .................................. 109 
8.1.1.1 ED do Movimento Livre não amortecido: ...............................................................................................110 
8.1.1.2 Solução e Equação do Movimento:.........................................................................................................110 
8.1.2 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amortecido ........................................ 111 
8.1.2.1 ED do Movimento Livre Amortecido: ......................................................................................................111 
8.1.3 Sistema Massa Mola: Movimento Forçado ....................................................... 114 
8.1.3.1 ED do Movimento Forçado com Amortecimento: ..................................................................................114 
8.1.3.2 ED de um Movimento Forçado Não Amortecido: ...................................................................................115 
8.1.4 Circuito em Série Análogo - Circuitos elétricos RLC em série ............................. 116 
8.2 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO............................................. 117 
8.2.1 Deflexão de uma viga: ....................................................................................... 117 
8.2.1.1 Soluções Não Triviais do Problema de Valores de Contorno: .................................................................118 
8.2.1.2 Deformação de uma Coluna Fina: ...........................................................................................................119 
8.2.1.3 Corda Girando: ........................................................................................................................................121 
AULA 20 ...................................................................................................................... 126 
9. SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ................................................................. 126 
9.1 SISTEMA CANÔNICO E SISTEMA NORMAL: ............................................................ 126 
AULA 21 ...................................................................................................................... 129 
9.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMÉTRICA ........................... 129 
AULA 22 ...................................................................................................................... 132 
9.3 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ..................................... 132 
9.3.1 Vetor solução ..................................................................................................... 133 
9.3.2 O Problema de Valores Iniciais .......................................................................... 134 
9.3.2.1 Existência de uma única solução .............................................................................................................134 
9.3.3 Sistemas homogêneos ....................................................................................... 134 
9.3.3.1 Princípio da Superposição .......................................................................................................................135 
9.3.4 Independência Linear......................................................................................... 136 
9.3.4.1 Critério para Soluções Linearmente Independentes ...............................................................................136 
9.3.5 Conjunto fundamental de solução ..................................................................... 137 
9.3.5.1 Solução Geral - Sistemas Homogêneos ...................................................................................................137 
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5 
 
9.3.6 Sistemas não homogêneos ................................................................................ 138 
9.3.6.1 Solução Geral - Sistemas Não-Homogêneos ...........................................................................................138 
9.3.7 Uma Matriz Fundamental .................................................................................. 140 
9.3.7.1 Uma Matriz Fundamental é Não-Singular ...............................................................................................141 
9.3.7.2 Matriz Especial ........................................................................................................................................141 
9.3.7.3 ( )tΨ é uma Matriz Fundamental .........................................................................................................143 
AULA 23 ...................................................................................................................... 147 
9.4 SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS ................................................................................ 147 
9.4.1 Autovalores reais e distintos .............................................................................. 147 
9.4.2 Autovalores complexos ...................................................................................... 149 
9.4.3 Autovalores de Multiplicidade dois.................................................................... 150 
AULA 24 ...................................................................................................................... 154 
9.5 SISTEMAS NÃO HOMOGÊNEOS ....................................................................................... 154 
9.5.1 Coeficientes Indeterminados ............................................................................. 154 
9.5.2 Variação de Parâmetros .................................................................................... 157 
AULA 25 ...................................................................................................................... 161 
10. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS .................................................................. 161 
10.1 INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS: ......................................................... 161 
10.2 DEFINIÇÃO: ............................................................................................................... 161 
10.2.1 Exemplos de Equações Diferenciais Parciais: .................................................. 161 
10.2.2 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial Parcial: ....................................... 162 
10.3 FORMAÇÃO: .............................................................................................................. 162 
10.3.1 Eliminação de constantes arbitrárias: ............................................................. 162 
10.4 EQUAÇÃO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM: ......................................................................... 164 
10.4.1 Método de Lagrange........................................................................................ 164 
AULA 26 ...................................................................................................................... 167 
10.5 OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO COMPLETA: MÉTODO DE CHARPIT ............................................ 167 
10.6 EQUAÇÕES COM DERIVADAS PARCIAIS EM RELAÇÃO APENAS A UMA DAS VARIÁVEIS. ............... 170 
AULA 27 ...................................................................................................................... 173 
10.7 RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE 2A ORDEM PELO MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS. ........... 173 
10.7.1 Solução ............................................................................................................. 173 
10.7.2 Separação de Variáveis .................................................................................... 173 
10.7.3 Classificação de Equações ................................................................................ 176 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
6 
 
AULA 1 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
1.1 INTRODUÇÃO 
Antes de mais nada, vamos recordar o que foi aprendido em Cálculo!!! A derivada dxdy 
de uma função � = �(�) nada mais é do que uma outra função ��(�) encontrada por uma regra 
apropriada. Como por exemplo, a função � = �	
 é diferenciável no intervalo (−∞,∞), e a sua 
derivada é 2x x3.e
dx
dy 3
= . Se fizermos
3xey =
 teremos: 
2x3.y
dx
dy
=
 
 (1) 
 
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equação (1) e perguntasse qual é a função 
representada por y? Apesar de você não fazer ideia de como ela foi construída, você está a frente de 
um dos problemas básicos desta disciplina: como resolver essa equação para a desconhecida função 
� = �(�)? O problema é semelhante ao familiar problema inverso do cálculo diferencial, onde 
dada uma derivada, encontrar uma antiderivada. 
Não podemos deixar de lado a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, embora a 
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm 
significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são: 
• a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por 
exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades 
puramente matemáticas; 
• a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os 
pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma 
função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza; 
• a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que 
envolve uma grandeza; 
• o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; 
consequentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada 
a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo); 
• se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se: 
 
dx
dy
 
 
 em total semelhança com a definição de derivada. A consequência direta desse fato é que a 
 derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse 
 quociente. Isto significa que a partir da relação: 
 
)x(f
dx
dy
=
 
 
 
 é possível escrever: 
 dx)x(fdy = 
 
 que se denomina equação diferencial. 
 
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7 
 
• uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção 
da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral. 
1.2 DEFINIÇÃO 
Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas derivadas ou 
diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial. 
 
Exemplo 1: 
1)13 −= x
dx
dy
 
 
2) 0=− ydxxdy 
 
3) 0y2
dx
dy3
dx
yd
2
2
=++ 
 
4) xyyy cos')"(2'" 2 =++ 
 
5) 2 3 2( ") ( ') 3y y y x+ + = 
 
6) y3x5
dt
dy
dt
dx
+=+
 
 
7) yx
y
z
x
z 2
2
2
2
2
+=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
8)
y
z
xz
x
z
∂
∂
+=
∂
∂
 
1.3 CLASSIFICAÇÃO 
1.3.1 TIPO: 
Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis 
dependentes em relação a uma única variável independente, como em (1) a (6), as derivadas são 
ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária (EDO). Uma ED pode conter 
mais de uma variável dependente, como no caso da equação (6) 
Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de 
duas ou mais variáveis independentes, como em (7) e (8), a equação é denominada equação 
diferencial parcial (EDP). 
1.3.2 ORDEM: 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As 
equações (1), (2) e (6) são de primeira ordem; (3), (5) e (7) são de segunda ordem e (4) é de terceira 
ordem. 
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8 
 
1.3.3 GRAU: 
O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como 
um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equações dos 
exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundo grau. 
As equações diferenciais parciais serão vista mais adiante. 
 
Exemplo 2: 
1
3dx
y3d
y
3dx
y3d
x =− ⇒ 3dx
y3dy
2
3dx
y3d
x =−








⇒
 3a ordem e 2o grau 
 
yx
dx
dy
=−
2lnln ⇒ y
x
dx
dy
=2ln ⇒
ye
dx
dy
.2
x
1
= ⇒ ye2x
dx
dy
= ⇒
 1a ordem e 1o grau 
 
 Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato 
quanto a ordem e grau. 
 
1.3.4 LINEARIDADE: 
Dizemos que uma equação diferencial ordinária 
 
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n
=++++
−
−
−
K
 
de ordem n é linear quando são satisfeitas as seguintes condições: 
 
1) A variável dependente y e todas as suas derivadas y', y", ... yn são do primeiro grau, ou 
seja, a potência de cada termo envolvendo y é um. 
2) Os coeficientes a0, a1, ... an de y, y', ... yn dependem quando muito da variável 
independente x. 
 
Exemplo 3: 
1) 08)( =+− xdydxxy 
2) 0y
dx
dy7
dx
yd
2
2
=+−
 
3) xy
dx
dy
x
dx
yd 2453
3
=−+
 
 
São respectivamente equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e 
terceira ordem. 
 
 
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9 
 
1.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: 
 Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como 
Cxxy += 4 ou 2y Ax Bx= + , é chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre 
aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem ser substituídas por um 
número menos de constantes. 
 Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a uma 
equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece eliminando-se 
as n constantes entre as (n + 1) equações obtidas juntando-se à primitiva as n equações provenientes 
de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da primitiva. 
 
Exemplo 4: 
Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo: 
 
a) Cxxy +−=
2
3 2
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = C1 sen x + C2 cos x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) y = Cx2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 
 
d) y = C1 x2 + C2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) y = a cos(x + b) onde a e b são constantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) y = C1 e3x + C2 e- 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11 
 
1.5 RESOLUÇÃO: 
Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a 
equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa 
identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira, 
que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além 
de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e 
consiste na aplicação dos métodos de integração. 
1.5.1 CURVAS INTEGRAIS: 
Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução 
particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da 
equação diferencial. 
 
Exemplo 5: 
x
dx
dy 2=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.2 SOLUÇÃO: 
É a função que quando substituída na equaçãodiferencial a transforma numa identidade. As 
soluções podem ser: 
• Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de 
uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades 
de ordem da equação. 
• Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições 
iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante 
inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os 
valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. 
• Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à 
envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A 
solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais 
não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante. 
 
As soluções ainda podem ser: 
 
• Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy = é 
chamada solução explícita. 
• Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma 0)y,x(G = 
trata-se de uma solução implícita. 
 
 
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12 
 
Exemplo 6: 
Consideremos a resolução da seguinte EDO: x1
dx
dy
+=
 
 
( )
c2
3
x
3
2
xy
dxx1dy
++=
+= ∫∫
 
 
A solução geral obtida é obviamente uma solução explicita. 
 
Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO: 
2
2
xxy
y
dx
dy
−
= tem como solução: x
y
Cey = , ou seja, uma solução implícita. 
 
 
Exemplo 7: 
Verifique que 
16
xy
4
=
 é uma solução para a equação 2
1
xy
dx
dy
=
 no intervalo ),( ∞−∞ . 
 
Resolução: 
Uma maneira de comprovar se uma dada função é uma solução é escrever a equação 
diferencial como 0xy
dx
dy 21 =− e verificar, após a substituição, se a diferença acima 2
1
xy
dx
dy
− é 
zero paratodo x no intervalo. 
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33
=⇒=
 
 
 
 
Substituindo na E.D., temos0
4
x
4
x0
4
x
.x
4
x0
16
x
x
4
x 33232
1
43
=−⇒=−⇒=








− 
Esta condição se verifica para todo Rx ∈ 
1.6 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) 
Seja a equação diferencial de primeira ordem )y,x(f
dx
dy
=
 sujeita a condição inicial 
00 y)x(y = , em que 0x é um número no intervalo I e 0y é um número real arbitrário, é chamado de 
problema de valor inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação 
diferencial definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto (xo, yo) 
determinado a priori. 
 
Exemplo 8: 
 Seja xe.cy = a família a um parâmetro de soluções para y'=y no intervalo ),( ∞−∞ . Se 
especificarmos que y(0) = 3, então substituindo x = 0 e y = 3 na família, temos: 
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13 
 
x0
e.3ye3ce.c3 ==⇒= 
 
Se especificarmos que y(1) = 3, então temos: 
1xx111
e3ye.e3yee.3ce.c3 −−− =⇒==⇒= 
 
Será que a equação diferencial )y,x(f
dx
dy
=
 possui uma solução cujo gráfico passa pelo 
pelo ponto (xo, yo)? Ainda, se esta solução existir, é única? 
 
Exemplo 9: 
As funções y = 0 e 
16
xy
4
= são soluções para o problema de valor inicial 




=
=
0)0(y
xy
dx
dy 21
 
 
Podemos observar que o gráfico destas soluções passam pelo ponto (0,0). Desta forma, 
deseja-se saber se uma solução existe e, quando existe, se é a única solução para o problema. 
 
 
1.7 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO 
Seja R uma região retangular no plano xydefinida por bxa ≤≤ , dyc ≤≤ , que contém o 
ponto )y,x( 00 em seu interior. Se )y,x(f e dy
df
 são contínuas em r, então existe um intervalo I, 
centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial 
)y,x(f
dx
dy
= , sujeito a 00 y)x(y = . 
 
 
Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO. 
1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? 
2. Se tiver solução, será que esta solução é única? 
3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
14 
 
Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução 
que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas 
características. 
Teorema: Considere o problema de valor inicia 




=
=+
00 )(
)()(
yxy
xqyxp
dx
dy
 
 
Se p(x) e q(x) são continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , então o problema de 
valor inicial tem uma única solução nesse intervalo. 
 
Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo “similar” ao 
cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o 
caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais 
possuam soluções. 
1.8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS 
As equações diferenciais da forma 
( )yf
dx
dy
=
 (2) 
são chamadas de autônomas. 
 
Utilizando a manipulação formal introduzida por Liebnitz (1646-1716), podemos escrever a 
equação (2) na forma: 
)(
1
yfdx
dy
= (3) 
Cuja resolução é: 
∫+=
y
y
dy
yfyxyx
0
)(
1)()( 0 (4) 
 
Para justificar a equação (4) necessitamos que )(
1
yf seja bem definida no intervalo de 
interesse A, onde 0)( ≠yf e que seja contínua neste intervalo A. Pois, como 0)(
1
≠=
yfdy
dx
 em 
A , o Teorema da Função Inversa garante que existe uma função inversa da função )(yx , isto é, 
)(xFy = tal que )(yf
dx
dF
= em A , o que justifica o procedimento formal. 
Portanto, a solução do problema de condição inicial 




=
=
00 )(
)(
yxy
yf
dx
dy
 (5) 
 
é obtida pela solução do problema 
 




=
=
00 )(
)(
1
xyx
yfdy
dx
 (6) 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
15 
 
e com a inversão da função )(yx . 
 
As equações autônomas aparcem na formulação de uma grande quantidade de modelos. 
Sempre que uma lei de formação afrma que: “a taxa de variação de uma quantidade y(t) é 
proporcional a esta mesma quantidade”, temos uma equação autônoma da forma 
ky
dx
dy
= (7) 
 
Como, kyyf =)( , então 0*)( =yf se 0* =y . Devemos procurar soluções separadamente 
nos dois intervalos 0<<∞− y e +∞<< y0 . 
Considerando inicialmente o problema de Cauchy 




≠=
=
0)( 00 yxy
ky
dx
dy
 (8) 
E seu problema inverso 




=
=
00 )(
1
xyx
kydy
dx
 (9) 
 
Cuja solução inversa é dada por 
 
[ ]∫∫ +=−+=+=+=
=
y
yxyx y
y
k
xyy
k
xdy
ky
xCdy
ky
yx
000 0
0000
)(
ln1lnln111)( 
ou seja, 
)(
00
0
0)(ln xxkeyyxxk
y
y
−
=⇔−= para ∈x R. 
 
Exemplo 10: 
Considere a equação autônoma 
aky
dx
dy
+= 
sua solução geral, para 
k
ay −≠ , é obtida considerando-se sua forma diferencial 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
16 
 
 
∫
∫
++=
=
+
=
+
Caky
k
x
dxdy
aky
dxdy
aky
ln1
1
1
 
Portanto, 
[ ]
k
ayea
k
yeaky CxkCxk −≠+−=⇒=+ −− ,1 )()( 
Neste caso, 
k
ay −≠ e a solução de equilíbrio. 
 
 
 
 
AULA 1 - EXERCÍCIOS 
 
• Nos exercícios de 1 a 12, obter a equação diferencial associada a primitiva: 
 
1) x
2
 + y2 = C2 
2) y = C ex 
3) x
3
 = C (x2 – y2) 
4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x 
5) y = (C1 + C2x) ex + C3 
6) y = C1 e2x + C2 e- x 
7) ay
y
x
+=1ln 
8) x
2y3 + x3y5 = C 
9) y = Ax2 + Bx + C 
10) y = Ae2x + Bex + C 
11) y = C1e3x + C2e2x + C3 ex 
12) ln y = Ax2 + B 
13) Obter a equação diferencial da família de círculos de raio 10, cujos centros 
 estejam sobre o eixo y. 
14) Verifique que xxey = é uma solução para a equação 0y'y2"y =+− no 
 intervalo ),( ∞−∞ . 
15) Verificar que para qualquer valor de c1 a função 1
x
cy += é uma solução da 
 equação diferencial de 1a ordem 1y
dx
dy
x =+
 no intervalo ),0( ∞ . 
16) Verificar que xey = , xey −= , x1eCy = ,
x
2eCy
−
= e x2
x
1 eCeCy
−+= são 
 todas soluções da equação diferencial 0y"y =− . 
17) Verificar que 4Cxy = e 




≥
<−
=
0x,x
0x,x
y
4
4
 são soluções de 0y4'xy =− . 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
17 
 
Respostas: 
1) 0ydyxdx =+ 
2) 0y
dx
dy
=−
 
3) 
dx
dy
xy2xy3 22 =−
 
4) 042
2
=+ y
dx
yd
 
5) 0
dx
dy
dx
yd2
dx
yd
2
2
3
3
=+− 
6) 0y2
dx
dy
dx
yd
2
2
=−− 
7) 0ln =−⋅ y
dx
dy
y
x
x 
8) 0
dx
dy
x5y3xy
dx
dy
x3y2 2 =





+++ 
9) 0
dx
yd
3
3
= 
10) 0
dx
dy2
dx
yd3
dx
yd
2
2
3
3
=+− 
11) 0y6
dx
dy11
dx
yd6
dx
yd
2
2
3
3
=−+−
 
12) 
2
" ' ( ') 0xyy yy x y− − =
 
13) 2
22
x100
x
dx
dy
−
=





 
14) Esta condição se verifica para todo número real. 
15) Variando o parâmetro C, podemos gera uma infinidadede soluções. Em 
 particular, fazendo c = 0, obtemos uma solução constante y = 1. Logo a 
 função 1
x
cy +== é uma solução em qualquer intervalo que não contenha a 
 origem. 
16) Note que x1eCy = é uma solução para qualquer escolha de c1, mas 
 0C,Cey 11
x ≠+= não satisfaz a equação, pois, para esta família de função 
 temos y" - y = - C1 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
18 
 
AULA 2 
 
2. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU 
 São equações de 1a ordem e 1o grau: 
 
),( yxF
dx
dy
=
 ou 0=+ NdyMdx 
 
em que M = M(x,y) e N = N(x,y). 
 
 Estas funções têm que ser contínuas no intervalo considerado (- ∞, ∞) 
 
 
2.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 
 A equação diferencial 0),(),( =+ dyyxNdxyxM será de variáveis separáveis se: 
• M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes. 
• M e N forem produtos de fatores de uma só variável. 
 
 Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma 0)()( =+ dyyQdxxP , a 
equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis. 
 
2.1.1 RESOLUÇÃO: 
 
Para resolvermos tal tipo de equação diferencial, como o próprio nome já diz, deveremos 
separar as variáveis, isto é, deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma 
função exclusivamente da variável y, e então integramos cada diferencial, da seguinte forma: 
 
∫ ∫ =+ CdyyQdxxP ).().( 
 
Exemplos: 
Resolver as seguintes equações: 
 
1) 13 −= x
dx
dy
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
19 
 
2) y dx – x dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 04 =−− dy
y
x
xdx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 0secsec. =− xdytgyydxtgx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 01)1( 222 =−−− dyxdxyx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
20 
 
6)
xyx
y
dx
dy
)1(
1
2
2
+
+
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
+
+
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Resolva o problema de valor inicial 
 
1)0(y,4y
dx
dy 2
−=−=
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
21 
 
AULA 02 – EXERCÍCIOS 
Resolver as seguintes equações diferenciais. 
1) 0
dx
dy
.tgy
x
1
=−
 
2) 4xy2 dx + (x2 + 1) dy = 0 
3) (2+ y) dx - (3 – x) dy = 0 
4) xy dx – (1 + x2) dy = 0 
5) 
42
2
+
=
−
x
e
dx
dy y
 
6) (1 + x2) y3 dx + (1 – y2) x3 dy = 0 
7) 
dx
dy
xyy
dx
dy
xa =





+ 2 
8) sec2 x tg y dx + sec2 y tg x dy = 0 
9) (x2 + a2)(y2 + b2)dx + (x2 – a2)(y2 – b2)dy = 0 
10) (x – 1) dy – y dx = 0 
11) (1 + x2)dy – xydx = 0 
12) 0cos =+ xy
dx
dy
 
13) xcosy3
dx
dy
=
 
14) 0dye)2y(dxxy x324 =++ − 
 
Respostas: 
1) x cos y = C 
2) C
y
1)1xln(2 2 =−+ 
3) (2 + y)(3 – x) = C 
4) C y2 = 1 + x2 
5) C
2
x
arctge y2 =−
 
6) C
y
1
x
1
2
1
y
xln 22 =







+− 
7) 
y
y
k
a aex
+
=
ln
2
 
8) tg x . tg y = C 
9) C
b
y
arctg.b2y
ax
axlnax =−+
+
−
+
 
10) y = c(x – 1) 
11) C.x1y 2+= 
12) 
senxe
Ky =
 
13) 
senx3Cey = 
14) C
y
6
y
9)1x3(e 3
x3 ++=−
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
22 
 
AULA 3 
2.2 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 
2.2.1 FUNÇÃO HOMOGÊNEA 
 
 Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t ∈R, vale a 
relação f(tx, ty) = tk f(x, y). Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t ∈R, vale 
a relação f(tx, ty) = f(x, y) 
 
Exemplos: 
 
1) A função f(x, y) = x2 + y2 é homogênea de grau 2, 
 pois )y,x(ft)yx(tytxt)ty()tx()ty,tx(f 2222222222 =+=+=+= 
2) 4
y
x)y,x(g 2
2
+= é homogênea de grau zero pois, 
 )y,x(ft4
y
x
t4
y
x4
yt
xt4
)ty(
)tx()ty,tx(g 02
2
0
2
2
22
22
2
2
=








+=+=+=+= 
 
3) f(x,y) = 2x3 + 5xy2 é homogênea de grau três pois, 
)y,x(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)y,x(f 3233233323 =+=+=+=
 
 
Se f(x, y) for uma função homogênea de grau n, note que podemos escrever 






=
x
y
,1fx)y,x(f n e 





= 1,
y
xfy)y,x(f n
 são ambas homogêneas de grau n. 
 
Exemplo: 
Seja 22 yxy3x)y,x(f ++= homogênea de grau 2. Logo, 






=














+





+=








++=
x
y
,1fx
x
y
x
y
.31x
x
y
x
y31x)y,x(f 2
2
2
2
2
2
 






=








+





+





=








++= 1,
y
xfy1
y
x3
y
xy1
x
y3
y
xy)y,x(f 2
2
2
2
2
2
 
2.2.2 EQUAÇÃO HOMOGÊNAS 
 
A equação 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ será chamada de equação diferencial homogênea se 
M e N forem funções homogêneas de mesmo grau. 
 
Exemplos: 
 1) 
xy
yx
dx
dy 22 +
=
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
23 
 
 2) 2
2
'
y
xy =
 
 3) 





=
x
y
arctgy' 
2.2.2.1 Resolução: 
 Seja a equação homogênea Mdx + Ndy = 0 
 Tem-se: 
 
N
M
dx
dy
−=
 
 
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia 
igual ao grau de homogeneidade da equação, resultará uma função de y/x. 
 






=
x
yF
dx
dy
 (1) 
 
É necessário, no entanto, substituir a função y/x por uma outra que permita separar as 
variáveis. 
Dessa forma, substitui-se 
x
y
 por u. 
 
uxy .=
 (2) 
 
Derivando y=x.u em relação ax tem-se 
 
dx
du
xu
dx
dy
+=
 
 (3) 
 
Substituindo (2) e (3) em (1), temos: 
 
 
x
dx
uuF
du
uuF
dx
du
x
uF
dx
du
xu
=
−
−=
=+
)(
)(
)(
 
 
 
Que é uma equação de variáveis separáveis. 
 
Em resumo: 
Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em uma equação 
de variáveis separáveis com a substituição y = x.u, onde u = u(x) é uma nova função incógnita. 
Assim, dy = xdu + udx é uma equação da forma y’ = f(x, y) pode ser transformada em uma equação 
separável. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
24 
 
Exemplo: 
 (x2 – y2) dx – 2xy dy = 0 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
25 
 
AULA 03 – EXERCÍCIOS 
 
Resolva as seguintes equações: 
 
1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0 
2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0 
3) (x2 + y2) dx + (2x + y)y dy = 0 
4) (x+ y) dx + (y – x) dy = 0 
5) (x2 + y2) dx – xy dy = 0 
6) 044
2
2
2
2
=





+−+





dx
dyyxy
dx
dyy 
7) Determine a solução de (x2 – 3y2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condição inicial 1)2(y = . 
8) Determine a solução de 0xydy6dx)y3x2( 22 =−− sujeita a condição inicial 
3
1)1(y =
 
 
 
 
Respostas: 
1) y2 + 2xy – x2 = K 
2) Kyyxx =−− 22 422 
3) y3 + 3xy2 + x3 = k 
4) 
C
x
y
arctgyx
ou
x
y
arctgyxC
+=+
=+
22
22
1
ln
ln
 
5) 
2
2
2 x
y
kex = 
6) 
Cxyx =±− 23 22
 
7) xxy
8
31−=
 
8) 1xy9x2 23 =− 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
26 
 
AULA 4 
2.3 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES 
 REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS 
 
São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam em equações 
homogêneas ou em equações de variáveis separáveis. 
São equações da forma: 
 





++
++
=
222
111
cybxa
cybxa
F
dx
dy
 
 
onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 são constantes. 
 
Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das 
variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto 
deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. O que equivale a efetuar uma translação de 
eixos. 
 
 
 
Para esse tipo de equação tem dois casos a considerar: 
 
2.3.1 O DETERMINANTE 
22
11
ba
ba
 É DIFERENTE DE ZERO 
Resolução: 
Seja o sistema (1) 



=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa
 cuja solução é dada pelas raízes αx = e βy = . 
A substituição a ser feita será: 
 



=∴+=
=∴+=
dvdyvy
dudxux
β
α
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
27 
 
 Observa-se que, geometricamente, equivaleu a uma translação dos eixos coordenados para 
o ponto ( βα , ) que é a interseção das retas componentes do sistema (1), o que é verdadeiro, uma 
vez eu o determinante considerado é diferente de zero. 
 
Assim sendo, a equação transformada será: 
 





++++
++++
=
22222
11111
cbavbua
cbavbua
F
du
dv
βα
βα
 
Como α e β são as raízes do sistema: 
 





+
+
=
vbua
vbua
F
du
dv
22
11
 
que é uma equação homogênea do tipo visto anteriormente. 
 
Exemplo: 
Resolver a equação
23
132
−+
−−
=
yx
yx
dx
dy
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
28 
 
2.3.2 O DETERMINANTE 
22
11
ba
ba
 É IGUAL A ZERO. 
 Assim, observe-se que o método aplicado no 1o caso não fará sentido, de vez que as retas 
no sistema seriam paralelas e sua interseção seria verificada no infinito (ponto impróprio). A 
equação se reduzirá a uma de variáveis separáveis. 
 Como 
22
11
ba
ba
 = 0, os coeficientes de x e y são proporcionais, de modo que se pode 
escrever: 
 a1b2= a2b1∴
1
2
1
2
b
b
a
a
=
 
(1) 
 
 Chamando a relação constante (1) de m, pode-se escrever: 
 
1
2
1
2
1
2
c
c
m
b
b
a
a
≠==
 
 
 a2 = ma1 
 b2 = mb1 
 
 
Assim: 
 





++
++
=
211
111
)( cybxam
cybxa
F
dx
dy
 
 
 Fazendo a1x +b1y = t, e sendo t = f(x), tem-se: 
 )(1 1
1
xat
b
y −= 
 Derivando em relação a x: 
 
 





−= 1
1
1
a
dx
dt
bdx
dy
 
 Equação transformada: 
 
 








+
+
=





−
2
1
1
1
1
cmt
ct
Fa
dx
dt
b
 
 
 
)(11 tGbadx
dt
=−
 
 
que é uma equação de variáveis separáveis. 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
29 
 
Exemplo: Resolver a equação 
136
12
−−
+−
=
yx
yx
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
30 
 
 
AULA 4 - EXERCÍCIOS 
 
1) 0dy)1yx3(dx)y3x2( =−−−− 
2) 0dy)5yx2(dx)4y2x( =−+−−+ 
3) 0dy)8y5x(dx)xy3( =−+++ 
4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2( =+++−+ 
5) 
yx1
y3x31
dx
dy
++
−−
= 
6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x( =+−−−− 
7) 
2y4x3
1y3x
dx
dy
−+
−−
= 
 
 
Respostas: 
 
1) 2x2 – 6xy + y2 + 2y = K 
2) (y – x + 1)3 = K(x + y – 3) 
3) [ ] k2
12x
)4y(5
arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22 =



+
+
−
−++−++− 
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y – 7) + C 
5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K 
6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C 
7) x
2
 - 4y2 - 6xy - 2x + 4y = K 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
31 
 
AULA 5 
2.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS 
 Uma equação do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) é denominada diferencial exata, se 
existe uma função U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condição necessária e 
suficiente para que a equação (1) seja uma diferencial exata é que: 
 
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
 
 Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua solução, cuja 
diferencial dada por: 
 dy
y
udx
x
udu
∂
∂
+
∂
∂
=
 
(2) 
 
 Então, comparando (1) e (2) teremos: 
 
),( yxM
x
u
=
∂
∂
 
(3) 
 e 
 ),( yxN
y
u
=
∂
∂
 
(4) 
 
 Para obtermos a sua solução u=f(x,y) deveremos integrar, por exemplo,a expressão (3), 
em relação à variável x, da qual teremos 
 ∫ += )(),(),( ygdxyxMyxf
 
 
(5) 
 Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos: 
 )('
),(
yg
y
dxyxM
y
f
+
∂
∂
=
∂
∂ ∫
 
 
(6) 
 Igualando (6) e (4) resulta: 
 ),()('
),(
yxNyg
y
dxyxM
=+
∂
∂∫
. 
 Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos: 
 
 1
),(
),()( Cdy
y
dxyxM
yxNyg +








∂
∂
−= ∫
∫
 
(7) 
 Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é: 
 
Cdy
y
dxyxM
yxNdxyxMyxf =








∂
∂
−+= ∫
∫
∫
),(
),(),(),(
 
 Logo, a solução é da forma 
 ∫ ∫ =





∂
∂
−+= Cdy
y
PNMdxyxU ),(
 
onde costuma-se denotar ∫= MdxP 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
32 
 
Exemplos: 
1) (x2 – y2)dx – 2xy dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0 
 
Equações DiferenciasProfa Paula Francis Benevides 
33 
 
2.4.1 FATOR INTEGRANTE 
 Nem sempre a ED é exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 não satisfaz, isso é: 
x
N
y
M
∂
∂
≠
∂
∂
. 
 Quando isso ocorre vamos supor a existência de uma função F(x, y) que ao multiplicar 
toda a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0, e esta é uma ED 
exata. 
 Se ela é exata, existe u(x,y) = cte e MF
dx
u
.=
∂
 e NF
dy
u
.=
∂
 e 
FN
x
FM
yx
N
y
M
yx
u
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂∂
∂ 2
 
 
 Tomando a condição de exatidão FN
dx
FM
y
∂
=
∂
∂
 
 F
x
NN
x
FF
y
MM
y
F
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
 
e achar F por aqui é loucura!!!!!!! 
 
 Vamos supor então que F(x,y) = F(x) 
 
x
NFN
x
F
y
MF
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
 
 dividindo tudo por FN ≠ 0 e organizando, temos: 
 
x
N
Nx
F
Fy
M
N ∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
111
 
 
x
N
Ny
M
Nx
F
F ∂
∂
⋅−
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
111
 
 





∂
∂
−
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
x
N
y
M
Nx
F
F
11
 
 reescrevendo: dx
x
N
y
M
N
dF
F 






∂
∂
−
∂
∂
⋅=
11
 
 integrando: ∫ += CdxxRF )(ln
 
 
 
∫
=
dxxR
exF
)(
.)(
 
 onde: 
 
 





∂
∂
−
∂
∂
=
x
N
y
M
N
xR 1)(
 
 
analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos: 
 
 
∫
=
dyyR
eyF
)(
.)(
 
onde: 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
34 
 
 





∂
∂
−
∂
∂
−=
x
N
y
M
M
xR 1)( 
Em resumo: 
Quando a expressão Mdx + Ndynão é diferencial exata, isto é, 
x
N
y
M
∂
∂
≠
∂
∂
, mostra-se que há 
uma infinidade de funções ),( yxF , tais que )( NdyMdxF + é uma diferencial exata. 
A esta função ),( yxF , dá-se o nome de fator integrante. 
 
F(x): F(y): 






∂
∂
−
∂
∂
=
x
N
y
M
N
xR 1)(
 





∂
∂
−
∂
∂
−=
x
N
y
M
M
yR 1)(
 
 
∫
=
dxxR
exF
)(
)(
 
∫
=
dyyR
eyF
)(
)(
 
 
 
Exemplos: 
 Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fator 
integrante. 
 
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
35 
 
2) (x2 – y2) dx + 2xy dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
36 
 
AULA 05 – EXERCÍCIOS 
 
1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0 
2) ey dx + ( xey – 2y) dy = 0 
3) 2xy dx + x2 dy = 0 
4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy 
5) 0)( 22 =−− θθ drrdre 
6) 
2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
+
=+
+
 
7) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy 
8) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0 
9) seny dx + cos y dy = 0 
10) Encontre a solução particular de dx)yx(xydy2 22 += para 2)1(y = 
11) 0xdy2dx)xy( 2 =+− 
12) 0xdylnxdx)yx( =++ 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) Ksenyxyx =++ 2
4
4
 
2) Cyxe y =− 2 
3) x
2y = K 
4) coshxcosy = K 
5) Kre =− 22θ 
6) Kyxx =++ 22 
7) x
2
 cos y + x4 = C 
8) Ctgyex =
2
 
9) Ceseny x =. 
10) xxy 32 += 
11) k
5
x2
xy2
2
5
=− 
12) kxlnyx =+ 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
37 
 
AULA 6 
2.5 EQUAÇÕES LINEARES: 
 
 Uma equação diferencial linear de 1a ordem e 1o grau tem a forma: 
 
)()( xQyxP
dx
dy
=+
 
(1) 
 
Se Q(x) = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q(x) ≠ 0, a equação é 
dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais 
desse tipo a saber: 
 
 
2.5.1 FATOR INTEGRANTE: 
 
Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipo diferencial 
exata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando à equação original de 
nosso problema: 
 
QPy
dx
dy
=+
 
 
Vamos reescrever esta última sob a forma 
 
0)( =+− dydxQPy 
 
 
Multiplicando ambos os membrospor ∫
Pdx
e (fator integrante) obtemos a expressão 
( ) 0=∫+−∫ dyedxQPye PdxPdx . Aqui, identificamos as funções “M” e “N”: 
 
 
( )QPyeM Pdx −∫=
 
 e 
 
∫
=
Pdx
eN 
 
Derivando M com relação a y e N com relação a x, obtemos: 
 
∫
=
∂
∂ PdxPe
y
M
e ∫=
∂
∂ PdxPe
x
N
 
 
confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata. 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
38 
 
2.5.2 SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE: 
 
Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemático francês: 1736-1813) 
criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais. O 
método consiste na substituição de “y” por “Z.t” na equação (1), onde t = φ (x) e Z= )(xψ , sendo Z 
a nova função incógnita e t a função a determinar, assim y = Z.t. 
 
Derivando em relação a x, tem-se: 
 
 
dx
dZ
t
dx
dtZ
dx
dy
+= (2) 
 
Substituindo (2) em (1) vamos obter: 
 
 
QPZt
dx
dZ
t
dx
dtZ =++
 
 
 Q
dx
dZ
tPt
dx
dtZ =+





+ (3) 
 
 Para integral a equação (3), examina-se dois casos particulares da equação (1) a saber: 
 
i) P = 0, então dy = Qx, logo, CQdxy += ∫
 
(4) 
 
ii) Q = 0, então 0=+ Py
dx
dy
 (equação homogênea) que resulta em dy + Pydx = 0 que é de 
variáveis separáveis. Daí, 0=+ Pdx
y
dy
. Integrando essa última, resulta em ∫−= PdxCyln . 
Aplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução ∫=∫=
−− PdxCPdxC eeey . Fazendo 
Cek = , temos ∫= − Pdxkey (5) que representa a solução da equação homogênea ou incompleta. 
Agora, vamos pesquisar na equação (3) valores para “t” e “Z”, uma vez que y=Z.t, teremos a 
solução da equação (1) que uma equação linear completa (não-homogênea). Se igualarmos os 
coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado ao resto da equação, 
possibilitando a determinação de Z uma vez que “t” pode ser determinado a partir desta condição. 
Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, 0=+ Pt
dx
dt
 (6), que é da 
mesma forma já estudada no caso ii. Assim, ∫= − Pdxket . Substituindo este resultado em Q
dx
dZ
t =
 
obtemos Q
dx
dZke Pdx =∫− . Daí, Qe
kdx
dZ Pdx∫
=
1
 e Qdxe
k
dZ Pdx∫= 1 . Integrando este último 
 
1(Turim, 25 de janeiro de 1736 — Paris, 10 de abril de 1813)foi um matemático francês de origem italiana criador da Mecânica Analítica e 
dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
39 
 
resultado, temos CQdxe
k
ZPdx
+∫= ∫
1 (7). Lembrando que y = Z.t, vamos obter, substituindo “t” e 
“Z”: 



+∫∫= ∫
− CQdxe
k
key PdxPdx 1 , onde resulta, finalmente em: 
 
 
 



 +∫∫= ∫
− Cdx.Q.eey PdxPdx
 (8) 
 
que é a solução geral da equação (1) 
 
 
Exemplos: Resolver a equação 2−=− x
x
y
dx
dy
 por: 
 
a. Fator integrante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Lagrange 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
40 
 
 
AULA 6 – EXERCÍCIOS 
 
1) 0cot =−+
x
gx
x
y
dx
dy
 
2) arctgxy
dx
dy
x =++ )1( 2 
3) xytgx
dx
dy
cos. += 
4) x
x
y
dx
dy
=− 
5) 
3x
x
y2
dx
dy
=+ 
6) senxytgx
dx
dy
=− 
7) Achar a solução particular para 0)0(y = em 
xcos
1
tgx.y
dx
dy
=−
 
8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(y,xxy2
dx
dy
−==+
 
 
 
Respostas: 
 
1) [ ]Csenx
x
y += )ln(1
 
2) arctgxeCarctgxy −+−= .1 
3) xCxsenxy sec2
4
1
2
1
1 





++= 
4) 2xCxy += 
5) 246
1
x
C
xy +=
 
6) 





+= Cxsenxy
2
sec
2
 
7) 
x
xy
cos
=
 
8) 2xe
2
7
2
1y −−=
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
41 
 
AULA 7 
2.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A 
 LINEARES: 
 Resolver equações diferenciais não lineares é muito difícil, mas existemalgumas delas que 
mesmo sendo não lineares, podem ser transformadasem equações lineares. Os principais tipos de 
tais equações são: 
2.6.1 EQUAÇÕES DE BERNOULLI: 
 
 Equação da forma: 
 
nyxQyxP
dx
dy )()( =+
 
(1) 
 
para 1≠n e 0≠n , onde P(x) e Q(x) são funções continuas conhecidas como equação de Bernoulli2. 
Nesse caso, a idéia é realizar uma substituição na equação acima, demodo a transformá-la em uma 
EDO linear. 
 
Pois, se: 
 n = 0 ⇒
 
y’ + P(x)y = g(x) ⇒ caso anterior 
 n = 1 ⇒
 
y’ + [P(x) – g(x)] y = 0 ⇒ caso anterior e homogênea 
 
Solução: 
 
Transformação de variável: 
 
Substitui por ty n =−1 
 
Deriva-se em relação a x: 
 
 
dx
dt
dx
dyyn n =− −)1(
 
(2) 
 
Substituindo (1), que é: 
 
 
nQyPy
dx
dy
=+
 
⇒ PyQy
dx
dy n
−=
 
 
em (2) temos: 
 
 
( )
dx
dtPyQyyn nn =−− −)1(
 
 
 
2
Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, 27 de Dezembro de 1652 - Basileia, 16 de agosto de 1705), foi o 
primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
42 
 
 
( )( )
dx
dtPyQn n =−− −11
 
como ty n =−1 , temos: 
 
dx
dtPtQn =−− ))(1(
 
 
 
QntPn
dx
dt )1(])1[( −=−+
 
 
Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior. 
 
Exemplo: 
 
232 xy
x
y
dx
dy
=−
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
43 
 
AULA 07 – EXERCÍCIOS 
 
1) 
33 yxxy
dx
dy
=+
 
2) xyy
dx
dy
x ln2=+ 
3) 
33 yxy
dx
dy
x =+
 
4) yxy
xdx
dy
+=
4
 
5) 02 2 =+− xy
dx
dy
xy
 
6) 
3xyxy2
dx
dy
=−
 
7) 
2xyy
x
1
dx
dy
=+
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
 
1) 
2
.1
1
2 xeCx
y
++
=
 
2) 
Cxex
y
+
= ).ln(
1
 
3) 1.2 2223 =+− yxCyx 
4) 
2
4 ln
2
1






+= Cxxy 
5) 
x
C
xy ln.2 =
 
6) 
Ke
ey
x
x
+
−= 2
2
2
2
2 2
 
7) 
Cxx
1y 2 +−
= 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
44 
 
 
AULA 8 
2.6.2 EQUAÇÃO DE RICATTI 
A equação de Jacopo Francesco Riccati3é da forma: 
 
 
)()()( 2 xRyxQyxP
dx
dy
++=
 
(1) 
 
onde P, Q e R designam funções de x. Observamos que, quando P(x)=0 temos a equação linear e, 
quando R(x) = 0 temos a equação de Bernoulli. Joseph Liouville4 mostrou que a solução da 
equação de Riccati só é possível quando se conhece uma solução particular y0. Caso contrário, ela 
só é integrável através de uma função transcendente5. 
 
Resolução: 
 
Conhecendo-se uma solução particular 0y da equação (1), pode-se resolver facilmente a 
equação fazendo a seguinte mudança de variável: 
 zyy 0 += (2) 
onde 0y e z dependem de x . 
Como 0y é solução, temos: 
 
 
RQyPy
dx
dy
++= 0
2
0
0
 
 (3) 
 
Por outro lado, derivando (2) tem-se: 
 
 
dx
dz
dx
dy
dx
dy
+= 0
 (4) 
 
Substituindo (2) e (4) na equação (1) : 
 
 
RzyQzyP
dx
dz
dx
dy
++++=+ )()( 0200 
 
Desenvolvendo e agrupando os termos: 
 
 
RQyPyzQPyPz
dx
dz
dx
dy
+++++=+ 0
2
00
20 )2(
 (5) 
 
 
 
3(Veneza, 28 de Maio de 1676 - Treviso, 15 de Abril de 1754) foi um matemático e físico italiano que efetuou trabalhos sobre hidráulica 
que foram muito importantes para a cidade de Veneza. Ele próprio ajudou a projetar os diques ao longo de vários canais. Considerou diversas classes 
de equações diferenciais mas é conhecido principalmente pela Equação de Riccati, da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluções em alguns 
casos especiais. 
4(Saint-Omer, Pas-de-Calais, 24 de Março de 1809 - Paris, 8 de setembro de 1882) foi um matemático francês. 
5
Uma função é chamada de transcendente quando não é algébrica (pode ser expressa em termos de somas, diferenças, produtos, quocientes 
ou raízes de funções polinomiais). As funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas são exemplos de funções transcedentes. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
45 
 
Substituindo (3) em (5) e reagrupando, resulta em: 
 
 
2
0 )2( PzzQPydx
dz
=+− (6) 
 
que é uma equação de Bernoulli na variável z, cuja solução já foi desenvolvida. 
 
Em resumo: 
Para sua resolução algébrica deveremos conhecer uma solução particular y = y0 qualquer de 
(1), na qual a mudança de variáveis y = z + y0, irá eliminar o termo independente R(x) 
transformando a equação de Riccatti numa equação de Bernoulli. 
 
Exemplo: 
Mostrar que y = - x é solução particular da equação ( ) 0121 223 =++++ yxxy
dx
dy
x e 
procurar a solução geral. 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
46 
 
 
AULA 08 – EXERCÍCIOS 
 
1) Verificar se y = x é solução particular da equação 32
2
=++
x
y
xy
dx
dy
. Em caso afirmativo, 
calcular a solução geral 
2) Mostrar que 
x
y 1=
 é solução particular da equação 2
2 2
x
y
dx
dy
−=
 e calcular a sua solução 
geral. 
3) Sabendo que y = 1 é solução particular da equação 1)12( 2 −=−−+ xxyyx
dx
dy
 calcular a 
sua solução geral. 
4) Calcular a solução da equação 11121 2 −+





−−= xy
x
y
xdx
dy
 sabendo que y = x é solução 
particular. 
5) Dar a solução geral da equação 0232 =+++ yy
dx
dy
 sabendo que y = - 1 é solução 
particular. 
 
 
Respostas: 
1) 
1
3
4
5
−
+
=
Kx
xKxy
 
2) 
kx
x
x
y
+
−= 3
231
 
3) 
Cxe
Cxey
x
x
+−
+−
= )1(
)2(
 
4) 2
322
xk
xxkxy
−
−+
=
 
5) 
1
2
−
−
=
x
x
Ce
Cey
 
 
 
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47 
 
AULA 9 
3. EQUAÇÕES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM 
3.1 ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES 
3.1.1 DEFINIÇÕES: 
 
� Curvas integrais: Família de curvas que representa a solução geral de uma equação 
diferencial. 
� Envolvida: É cada uma das curvas integrais. Representa geometricamente uma solução 
particular da equação. 
� Envoltória: Tomando-se como exemplo a família de curvas dependentes de um parâmetro 
0)α,y,x(f = , define-se como envoltóriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a 
família de curvas integrais. 
 
Assim sendo, pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltórias para uma mesma família, 
como também poderá não haver nenhuma. Por exemplo, uma família de circunferências 
concêntricas não apresenta envoltória. 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
48 
 
3.1.2 EQUAÇÃO DA ENVOLTÓRIA 
 
Seja 0)α,y,x(f = uma família de curvas dependentes do parâmetro “α ”. Define-se como 
envoltória a curva que é tangente a toda a linha que constituem a família de curvas. Pode-se existir 
uma ou mais envoltórias para uma mesma família de curvas, como também poderá não haver 
nenhuma. As curvas que forma a família são chamadas envolvidas. Geralmente, a envoltória é 
definida pelo sistema: 
 




=
∂
∂
=
0),,(
0),,(
α
α
α
yxf
yxf
 (1) 
 
cuja equação pode ser obtida pela eliminação do parâmetro α em (1). Também podemos obter a 
equação da envoltória sob a forma paramétrica, resolvendo o sistema para x e y. 
 
 
Exemplo: 
 Obter a envoltória de uma família de circunferência com centro sobre o eixo x e raio igual 
a 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
49 
 
3.1.3 SOLUÇÕES SINGULARES 
 
 Uma equação diferencial não linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa 
0,, =





dx
dyyxF 
 
 Foi visto que uma equação diferencial pode apresentar três tipos de solução: 
� geral 
� particular 
� singular (eventualmente) 
 
A solução geral é do tipo 0)C,y,x(f = , que representa uma família de curvas (curvas 
integrais), a cada uma das quais está associada uma solução particular da equação dada. 
A envoltória dessa família de curvas (caso exista) representa a solução singular da equação 
original. 
De fato, o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas ( )00 y,x da 
envoltória e da curva integral corresponde a
0
0
dx
dy
. Além disso, tem-se que os elementos 00 y,x e 
0
0
dx
dy de cada ponto da envoltória satisfazem à equação acima, pois são elementos de uma curva 
integral. Portanto, a envoltória é uma solução da equação que não resulta da fixação da constante C
, e por esta razão, é uma solução singular. 
 
Exemplo: 
 Determinar a solução geral e a solução singular da equação 
2
22 x
dx
dy
x
dx
dyy +−





= 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
50 
 
3.1.4 EQUAÇÃO DE CLAIRAUT 
 
 A Equação de Clairaut6tem a forma 
 





+=
dx
dy
dx
dy
xy φ . 
 
Resolução: 
Chamando p
dx
dy
=
 
a equação de Clairaut fica ( )pxpy φ+= (1) 
 
Derivando a equação anterior em relação a x, teremos: 
 
 
dx
dppp
dx
dp
x
dx
dy )('1. φ++=
 
 
( ) 0)(' =+ px
dx
dp φ
 (2) 
 
0=
dx
dp
∴ Cp = 
A solução geral é dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C 
 
Assim, )(CCxy φ+= é a solução geral da equação de Clairaut (família de retas) 
 
De (2), tem-se: 
 0)(' =+ px φ (3) 
 xp −=∴ )('φ 
 
Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relação F(x,y)=0 que representa a solução 
singular. 
 
Exemplos: 
Determinar a solução geral e a solução singular da seguinte equações de Clairaut: 
 0
2
=+−




 y
dx
dy
x
dx
dy
 
 
6(Paris, 13 de Maio de 1713 — Paris, 17 de Maio de 1765) foi um matemáticofrancês.Precursor da geometria 
diferencial, realizou estudos fundamentais sobre curvas no espaço. 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
51 
 
AULA 9 – EXERCÍCIOS 
 
1) Dar a envoltória das seguintes famílias de curvas: 
 a)
α
α
14 2 += xy
 
 b) 0)2(2 222 =++++ αα yyx 
2) Obter a solução singular da equação 1y
dx
dyy 2
2
2
=+





 
3) Achar a solução geral e a solução singular da equação:
2






=−
dx
dy
dx
dy
xy 
4) Determinar a solução geral e a solução singular das seguintes equações de Clairaut: 
a. 
dx
dy
dx
dy
xy ln−= 
b. 
2
3 





=−
dx
dy
dx
dy
xy 
c. 01
23
=+





−





dx
dyy
dx
dy
x 
d. 045 =+





+− y
dx
dy
x
dx
dy 
e. 
2
4 





++=
dx
dy
dx
dy
xy 
 
Respostas 
 
1) a ) y3 = 27x b) x2 + 4y = 0 
2) y = ±1 
3) 2CCxy += (solução geral) 
4
xy
2
−= (solução singular) 
4) a. ClnCxy −= (geral) 
 xln1y += (singular) 
b. 2C3Cxy += (geral) 
 y12x2 −= (singular) 
c. 2C
1Cx + (geral) 
 
23 x27y4 = (singular) 
d. 04)xCy5(C =++− (geral) 
 x16)5y( 2 =− (singular) 
e. 2C4Cxy ++= (geral) 
 2
22
2
x1
)x1(4y
−
±
=
 (singular) 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
52 
 
AULA 10 
3.1.5 EQUAÇÃO DE LAGRANGE: 
 
 A equações da Lagrange tem a forma 
 





+





=
dx
dy
dx
dy
xFy φ
 
 
(1) 
 
 Observamos que a equação de Clairaut é um caso particular da equação de Lagrange, se 
dx
dy
dx
dyF =





. 
 
Resolução: 
 
 A solução da equação de Lagrange, geralmente é dada sob a forma paramétrica. 
 
 Chamando p
dx
dy
=
 a equação de Lagrange fica ( )ppxFy φ+= )( . 
 
 Derivando a equação anterior em relação a x, teremos: 
 
dx
dpp
dx
dppxFpFp )(')(')( φ++=
 
 
 
dx
dpp
dx
dppxFpFp