Mat Negócios - Taxas de Variação

Prévia do material em texto

Matemática para Negócios 
	Graduação em Administração
	
	Prof. Kallil Maia
 
Taxas de Variação
Quando uma determinada variável x muda de um valor para outro, como certa quantidade de mercadorias x1 muda para um novo valor x2, a mudança é medida na diferença entre as duas quantidades, e dada por x2- x1. Usamos o símbolo grego DELTA (Δ) para designar essa diferença ou variação.
Δx = x2- x1
A variação da quantidade de mercadorias leva a uma variação no lucro.
Considerando a função Lucro:
L(x) = 
1º Caso
Suponhamos que x varia de um valor inicial x1 = 30 unidades para x2= 34 unidades, ou seja Δx = 34 – 30 = 4 unidades, isto significa um aumento de 4 unidades sobre a quantidade inicial.
Lucro para 34 unidades:
Lucro para 30 unidades:
ΔL = 824 – 800 = R$24
Sendo assim, a partir de 30 unidades, ao aumentarmos para 34 unidades vendidas, obtemos um acréscimo no lucro de R$ 24,00
2º Caso
Suponhamos que x varia de um valor inicial x1 = 34 unidades para x2= 37 unidades, ou seja Δx = 37 – 34 = 3 unidades, isto significa um aumento de 3 unidades sobre a quantidade inicial.
Lucro para 37 unidades:
Sendo L(34) = R$824, então
ΔL = 821 - 824 = -R$3,00
Sendo assim, a partir de 34 unidades para 37 unidades vendidas, obtemos um decréscimo no lucro de R$-3,00.
Note que quando ΔL>0 →acréscimo no lucro, ΔL<0 →decréscimo no lucro. 
Decréscimo no lucro não significa lucro negativo, significa que L(x2) é menor que L(x1).
3º Caso
Suponhamos que x varia de um valor inicial x1 = 30 unidades para x2= 37 unidades, ou seja Δx = 37 – 30 = 7 unidades, isto significa um aumento de 7 unidades sobre a quantidade inicial.
ΔL = 821 - 800 = R$21,00
Cálculo da variação
Utilizando na nossa função lucro:
Podemos utilizar o quociente diferencial para cálculo dos 1º, 2º e 3º casos:
1º Caso:
x1 = 30; Δx = 34 – 30 = 4
Significa que a partir de 30 unidades, ao acrescentarmos 4 unidades, obteremos um acréscimo de R$ 6 por unidade. 
Acréscimo total = R$ 6 . 4 unidades = R$24
2º Caso:
x1 = 34; Δx = 37 – 34 = 3
Significa que a partir de 34 unidades, ao acrescentarmos 3 unidades, obteremos um decréscimo de R$ 1 por unidade. 
Decréscimo total = R$ 1 . 3 unidades = -R$3
3º Caso:
x1 = 30; Δx = 37 – 30 = 7
Significa que a partir de 30 unidades, ao acrescentarmos 7 unidades, obteremos um acréscimo de R$ 3 por unidade. 
Acréscimo total = R$ 3 . 7 unidades = R$21
Derivada 
(ou Taxa instantânea de Variação)
Se a variação na quantidade for muito pequena, ou seja, Δx → 0 (Delta x tende a zero), teremos uma variação de lucro muito pequena. Contudo a razão ΔL continuará representando uma taxa de variação.
Porém, agora com intervalo entre x1 e x2 sendo infinitesimal, nos dará a resposta de uma variação instantânea no lucro. Assim:
 
com 
A forma correta de escrever seria:
Lemos: o limite de quando Δx tende a zero é 
Como você pode observar, 
é uma nova função que deriva da função Lucro L(x), assim damos o nome a essa nova função de derivada de L(x).
Existem várias formas de nos referirmos a derivadas:
ou L’(x)
De nosso derivada podemos calcular:
L’(30) = -2(30) + 70 = R$ 10
Significa, que a partir de 30 unidades produzidas , um acréscimo mínimo na produção provocará um aumento no lucro de aproximadamente R$10.
L’(34) = -2(34) + 70 = R$ 2
Significa, que a partir de 34 unidades produzidas , um acréscimo mínimo na produção provocará um aumento no lucro de aproximadamente R$2.
L’(37) = -2(37) + 70 = -R$ 4
Significa, que a partir de 37 unidades produzidas, um acréscimo mínimo na produção provocará um decréscimo no lucro de aproximadamente R$4.
Revisão da nossa última aula do semestre!
Observamos que Δx→ΔL, ou seja, se variamos a quantidade haverá variação no Lucro. A variação do Lucro é chama de taxa de variação: 
Definimos como taxa média de variação, conhecido também como quociente diferencial. 
Quando Δx→0, ou seja, a variação é infinitesimal, obtemos a taxa instantânea de variação:
L’(x) = -2x1+70
Exercício
Para a função lucro L(x) = -x2+12x-20
Determine a variação no lucro para as condições seguintes:
De x1=4 para x2= 5
De x1=5 para x2= 7,5
De x1=4 para x2= 7,5
Obtenha o quociente diferencial para a função Lucro dada.
Usando o quociente diferencial calcule a taxa média de variação e interprete o resultado.
A taxa instantânea de variação ou derivada da função Lucro L’(x).
Os valores de L’(4), L’(5) e L’(7,5).
6
Universidade Estácio de Sá
Matemática para Negócios