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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ATIVIDADE DE ESTUDO I - 23/11/2015 UNICESUMAR EAD – ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 1ª QUESTÃO ALTERNATIVAS A B C D Aqui temos de verificar o domínio da função composta g o f, sendo que o mesmo é o conjunto A, que deverá ser definido. A grafia g o f (lê-se “g bola f”) significa uma função composta com f dentro da função g. Ela ficaria assim: ������� = 1�� −��� Notem que nós pegamos a função g(x) original e adicionamos a função f(x) no lugar de todas as variáveis x em g. Caso g(x) fosse: ���� = 1� + 2�, ���ã� � � � �������: ������� = 1 � − �� + 2�� − ��� Ou seja, sempre que tivermos uma função composta deve-se substituir todas as variáveis da primeira função, neste caso g, pela segunda, f. Para definir o domínio de g o f podemos que observar que se trata de uma divisão e não existe divisão por zero, ou seja �³ − �² ≠ 0 Pra facilitar as coisas, podemos pegar as alternativas e testarmos. Já sabemos que A não podem ser R, pois 0 estaria incluso. Sendo assim vamos testar o número 1, � − �� = 1 − 1� = 1 − 1 = 0 Desta forma: A=R-{0,1} 2ª QUESTÃO ALTERNATIVAS A B C D Um logaritmo nada mais é que um número elevado à um expoente. um logaritmo natural, com base e: ln��� = é ��"�# à �% � � Conforme indicado na apostila, página 56, a função inversa para função logarítmica, e vice-versa. Na função exponencial temos O gráfico das duas funções deve ser uma reflexão inversa perfeita uma da outra, ou seja, tudo que está em x em uma deve estar em y na outra. Um logaritmo nada mais é que um número elevado à um expoente. Neste estamos lidando com um logaritmo natural, com base e: Conforme indicado na apostila, página 56, a função inversa para uma função exponencial é uma versa. Na função exponencial temos �& � � ��'��(� )� �"�çã� #����í�-���. O gráfico das duas funções deve ser uma reflexão inversa perfeita uma da outra, ou seja, tudo e está em x em uma deve estar em y na outra. Neste estamos lidando com uma função exponencial é uma O gráfico das duas funções deve ser uma reflexão inversa perfeita uma da outra, ou seja, tudo Vamos focar nos pontos onde os gráficos tocas nos eixos das abscissas e das ordenadas. No gráfico A, temos que as duas funções tocam em x no ponto [1,0], mas nenhuma delas toca em y. Não se trata de uma inversa. No gráfico B, uma função toca em x em [-1,0] e a outra em [1,0], também não se trata de uma inversa. No gráfico C, a primeira função toca em y em [0,1] e a segunda toca em x em [1,0], sendo uma reflexão perfeita uma da outra. No gráfico D, um função toca em y em [0,-1] e a outra toca em x em [1,0], também não é uma inversa. 3ª QUESTÃO ALTERNATIVAS A B C D De maneira simples, uma função é injetora se para todo y existir somente um valor de x que leve para ele. Uma forma fácil é fazer o teste da reta horizontal, se a reta cruzar a função em mais de um ponto, a mesma não é injetora. Como nesta função temos que quando x for maior ou igual a 0, y será sempre 1, e quando x for menor que 0, y será sempre -1. Ou seja, temos mais de um valor de x que leva para y=1 ou y=-1. A função não é injetora. Para a função ser sobrejetora deve existir um x para cada valor de y do contradomínio. De maneira fácil, ela será sobrejetora se a sua imagem for igual seu contradomínio. No caso desta função o contradomínio são todos os reais, e sua imagem é {-1 e 1}. A função não é sobrejetora. 4ª QUESTÃO ALTERNATIVAS A B C D Pelos gráficos podemos observar que se tratam de funções do tipo ���� � / �, (� � ≥ 02, (� � = 1 −�, (� � < 0 � ���� = �² 2 Em f(x), podemos observar que quanto mais o valor de x se aproxima de -1, pela direita ou pela esquerda, mais o valor de y se aproxima de 1, exceto quando x=-1, então y=2. Desta forma podemos concluir que o limite quando x tende à -1 é y=1, lim&→67���� � 1 � lim&→67���� � 1 Analisando as alternativas temos, 89çã� :: lim&→67���� + ���� � 0 ↔ lim&→671 + 1 � 0 :<("�)� 89çã� =: lim&→67���� ∙ ���� � 0 ↔ lim&→671 ∙ 1 � 0 :<("�)� 89çã� ?: lim&→67���� − ���� � 0 ↔ lim&→671 − 1 � 0 � lim&→7���� � 1 ?������ 89çã� @: lim&→67 �������� � 1 ↔ lim&→6711 � 1 � lim&→67���� � 2 A���)� 9��B"� lim&→67���� � 1 5ª QUESTÃO C − lim&→ � − 3�� − 9 ↔ lim&→ � − 3�� − 3��� + 3� ↔ lim&→ 1� + 3 � 16 � #�-��� ���(��; CC − lim&→HI� + �� − 2� + 11 − � ↔ lim&→HI � J1 + 1� − 2�� + 1� K � J 1� − 1K ↔ lim&→HI1 + 0 − 0 + 00 − 1 � −1 L�-<���)� B"� ��)� �ú-��� )�'�)�)� 9�#� ∞ é ��"�# à 0. CCC − lim&→O� − 1 � −1 � lim&→O1 � 1 ?�-� �( )��( #�-���( (ã� )��������(, �ã� ���(�� #�-��� 9��� ����. CP − lim&→� � � − 2�� − 2 ↔ lim&→� ��� − 2�� − 2 ↔ lim&→�� � 2 6ª QUESTÃO . C − Q�� (� ������ )� "-� ���R B"�)��)� � ��("#��)� )� ��9��((ã� 2� − 11 − 3� �ã� 9�)� (�� "- �ú-��� ������'�, ��-�( �"��� ���)�çã� B"� é 1 − 3� ≠ 0, 9�� (�� "-� )�'�(ã�. S��)� �((�- � ��- B"� (�� )�������� )� 13 9��� B"� � )���-���)�� )� ��9��((ã� �ã� (�T� 0. U"�#B"�� �ú-��� -���� B"� 12 ��("#���á �� )���-���)�� ������'�, � B"�#B"�� �"-��� -���� B"� 13 ��("#���á �"- �"-���)�� ������'�. :((�- � )�-í��� )� �"�çã� ���� ����� W13 , 1 2X , (��)� B"� 1 3 �(�á ���#"í)� )� )�-í��� � 1 2 �(�á ���#"(�; CC − � �"�çã� ���� 1� + 1 T�-��( (��á ��"�# à 0, '�(�� B"� �ã� ���(�� )���-���)�� B"� ��("#�� �- = 0; CCC − 8 )�-í��� )� �"�çã� ℎ��� = �√� + 1 ��-<é- ���#"� �( '�#���( ������'�( )� � ��é � #�-��� )� − 1. @�-ℎ��� = �−1, +∞�; CP − 8 )�-í��� )� ���� (ã� ��)�( �( �ú-���( ����( ������ 0. 7ª QUESTÃO ALTERNATIVAS A B C D Uma função é par se seu gráfico é simétrico em relação ao eixo x (abscissas), e ímpar se o gráfico for simétrico em relação ao eixo y (ordenadas), ou seja, tudo que acontece do lado positivo acontece exatamente igual do lado negativo do eixo. Para uma função ser para basta que f(x)=f(-x). �(�) = �6&� (� �(�) = �(−�) ���ã� �6&p = �6(6&)p ?�-� B"�#B"�� �ú-��� ������'� �#�'�)� à "- ��9����� 9�� é 9�(���'� ��-�( B"� �—&2 = �6&p , (���������)� B"� � ��9��((ã� é 9��, � (�" ��á���� ��- B"� (�� �����-���� ��"�# ��( )��( #�)�( )� ���� �. 8ª QUESTÃO C − lim&→O cos J1�K 1 � ↔ lim&→O cos J1�K 1 ∙ � 1 = lim&→O���( W 1 �r ↔ lim&→O� ∙ lim&→O cos W 1 �r ↔ 0 ∙ lim&→O cos W 1 �r = 0 CC − lim&→O cos W 1 �r = �ã� ���(�� CCC − lim&→O sen W 1 �r = �ã� ���(�� CP − lim&→O sen J1�K 1 � ↔ lim&→O sen J1�K 1 ∙ � 1 = lim&→O�(�� W 1 �r ↔ lim&→O� ∙ lim&→O sen W 1 �r ↔ 0 ∙ lim&→O sen W 1 �r = 0 9ª QUESTÃO I – Pelo teste da reta vertical percebe-se que para cada x do período atribuem-se dois valores. O gráfico não corresponde a uma função; II – O gráfico apresentado mostra uma função contínua no período; III – O gráfico também mostra uma função contínua no período apresentado; IV – A função não é contínua em x=0. 10ª QUESTÃO Para descobrir o valor de L e tornar a função contínua precisamos saber qual o limite de outra parte da função. Como x deve ser diferente de 1 para que não tenhamos uma divisão por zero este é o valor que x tende ao limite. lim&→7 �� − 1 � − 1 ↔ lim&→7 (� − 1)(� + 1) � − 1 ↔ lim&→7 � + 1 = 2 Assim, a expressão &p67&67 possui limite 2, sendo este o valor que L deve assumir para que a função seja contínua.
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