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Cálculo I - Atividade de Estudo I - 23-11-2015 - Unicesumar EAD

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
ATIVIDADE DE ESTUDO I - 23/11/2015 
UNICESUMAR EAD – ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
1ª QUESTÃO 
 
ALTERNATIVAS 
A 
 
B 
 
C 
 
D 
 
 
 
Aqui temos de verificar o domínio da função composta g o f, sendo que o mesmo é o conjunto A, 
que deverá ser definido. 
A grafia g o f (lê-se “g bola f”) significa uma função composta com f dentro da função g. Ela 
ficaria assim: 
������� = 1��
−��� 
Notem que nós pegamos a função g(x) original e adicionamos a função f(x) no lugar de todas as 
variáveis x em g. Caso g(x) fosse: 
���� = 1� + 2�, ���ã� � � � �������: ������� =
1
�
 − �� + 2��
 − ��� 
Ou seja, sempre que tivermos uma função composta deve-se substituir todas as variáveis da 
primeira função, neste caso g, pela segunda, f. 
Para definir o domínio de g o f podemos que observar que se trata de uma divisão e não existe 
divisão por zero, ou seja 
�³ − �² ≠ 0 
Pra facilitar as coisas, podemos pegar as alternativas e testarmos. 
Já sabemos que A não podem ser R, pois 0 estaria incluso. Sendo assim vamos testar o número 1, 
�
 − �� = 1
 − 1� = 1 − 1 = 0 
Desta forma: A=R-{0,1} 
 
 
2ª QUESTÃO 
ALTERNATIVAS 
A 
B 
C 
D 
 
 
Um logaritmo nada mais é que um número elevado à um expoente.
um logaritmo natural, com base e:
ln��� = 	é	��"�#	à	�% � � 
Conforme indicado na apostila, página 56, a função inversa para
função logarítmica, e vice-versa.
Na função exponencial temos
O gráfico das duas funções deve ser uma reflexão inversa perfeita uma da outra, ou seja, tudo 
que está em x em uma deve estar em y na outra.
 
 
 
 
Um logaritmo nada mais é que um número elevado à um expoente. Neste estamos lidando com 
um logaritmo natural, com base e: 
 
Conforme indicado na apostila, página 56, a função inversa para uma função exponencial é uma 
versa. 
Na função exponencial temos �& � 	�	��'��(�	)�	�"�çã�	#����í�-���. 
O gráfico das duas funções deve ser uma reflexão inversa perfeita uma da outra, ou seja, tudo 
e está em x em uma deve estar em y na outra. 
 
Neste estamos lidando com 
uma função exponencial é uma 
O gráfico das duas funções deve ser uma reflexão inversa perfeita uma da outra, ou seja, tudo 
Vamos focar nos pontos onde os gráficos tocas nos eixos das abscissas e das ordenadas. 
No gráfico A, temos que as duas funções tocam em x no ponto [1,0], mas nenhuma delas toca em 
y. Não se trata de uma inversa. 
No gráfico B, uma função toca em x em [-1,0] e a outra em [1,0], também não se trata de uma 
inversa. 
No gráfico C, a primeira função toca em y em [0,1] e a segunda toca em x em [1,0], sendo uma 
reflexão perfeita uma da outra. 
No gráfico D, um função toca em y em [0,-1] e a outra toca em x em [1,0], também não é uma 
inversa. 
3ª QUESTÃO 
 
ALTERNATIVAS 
A 
 
B 
 
C 
 
D 
 
 
 
De maneira simples, uma função é injetora se para todo y existir somente um valor de x que leve 
para ele. Uma forma fácil é fazer o teste da reta horizontal, se a reta cruzar a função em mais de 
um ponto, a mesma não é injetora. 
Como nesta função temos que quando x for maior ou igual a 0, y será sempre 1, e quando x for 
menor que 0, y será sempre -1. Ou seja, temos mais de um valor de x que leva para y=1 ou y=-1. 
A função não é injetora. 
 
Para a função ser sobrejetora deve existir um x para cada valor de y do contradomínio. De 
maneira fácil, ela será sobrejetora se a sua imagem for igual seu contradomínio. No caso desta 
função o contradomínio são todos os reais, e sua imagem é {-1 e 1}. 
A função não é sobrejetora. 
 
4ª QUESTÃO 
 
 
ALTERNATIVAS 
A 
 
B 
 
C 
 
D 
 
 
 
Pelos gráficos podemos observar que se tratam de funções do tipo 
���� � / �, (� � ≥ 02, (� � = 1
−�, (� � < 0
 � ���� = �² 2 
Em f(x), podemos observar que quanto mais o valor de x se aproxima de -1, pela direita ou pela 
esquerda, mais o valor de y se aproxima de 1, exceto quando x=-1, então y=2. 
Desta forma podemos concluir que o limite quando x tende à -1 é y=1, 
lim&→67���� � 1 � lim&→67���� � 1 
Analisando as alternativas temos, 
89çã� :: lim&→67���� + ���� � 0 ↔ lim&→671 + 1 � 0 :<("�)� 
89çã� =: lim&→67���� ∙ ���� � 0 ↔ lim&→671 ∙ 1 � 0 :<("�)� 
89çã� ?: lim&→67���� − ���� � 0 ↔ lim&→671 − 1 � 0 � lim&→7���� � 1 ?������ 
89çã� @: lim&→67 �������� � 1 ↔ lim&→6711 � 1 � lim&→67���� � 2 A���)� 9��B"� lim&→67���� � 1 
5ª QUESTÃO 
 
 
C − lim&→
 � − 3�� − 9 ↔ lim&→
 � − 3�� − 3��� + 3� ↔ lim&→
 1� + 3 � 16 � #�-��� ���(��; 
CC − lim&→HI�
 + �� − 2� + 11 − �
 ↔ lim&→HI
�
 J1 + 1� − 2�� + 1�
K
�
 J 1�
 − 1K
↔ lim&→HI1 + 0 − 0 + 00 − 1 � −1 
L�-<���)� B"� ��)� �ú-��� )�'�)�)� 9�#� ∞ é ��"�# à 0. 
CCC − lim&→O� − 1 � −1 � lim&→O1 � 1 
?�-� �( )��( #�-���( (ã� )��������(, �ã� ���(�� #�-��� 9��� ����. 
CP − lim&→� �
� − 2�� − 2 ↔ lim&→� ��� − 2�� − 2 ↔ lim&→�� � 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6ª QUESTÃO 
. 
 
C − Q�� (� ������ )� "-� ���R B"�)��)� � ��("#��)� )� ��9��((ã� 2� − 11 − 3� �ã� 9�)� 
(�� "- �ú-��� ������'�, ��-�( �"��� ���)�çã� B"� é 1 − 3� ≠ 0, 9�� (�� "-� )�'�(ã�. 
S��)� �((�- � ��- B"� (�� )�������� )� 13 9��� B"� � )���-���)�� )� ��9��((ã� �ã� (�T� 0. 
U"�#B"�� �ú-��� -���� B"� 12 ��("#���á �� )���-���)�� ������'�, � B"�#B"�� �"-��� 
-���� B"� 13 ��("#���á �"- �"-���)�� ������'�. :((�- � )�-í��� )� �"�çã� ���� ����� 
W13 ,
1
2X , (��)� B"�
1
3 �(�á ���#"í)� )� )�-í��� �
1
2 �(�á ���#"(�; 
CC − � �"�çã� ���� 1� + 1 T�-��( (��á ��"�# à 0, '�(�� B"� �ã� ���(�� )���-���)�� B"� 
 ��("#�� �- = 0; 
CCC − 8 )�-í��� )� �"�çã� ℎ��� = �√� + 1 ��-<é- ���#"� �( '�#���( ������'�( )� � 
��é � #�-��� )� − 1. @�-ℎ��� = �−1, +∞�; 
CP − 8 )�-í��� )� ���� (ã� ��)�( �( �ú-���( ����( ������ 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7ª QUESTÃO 
ALTERNATIVAS 
A 
B 
C 
D 
 
 
 
 
 
 
 
Uma função é par se seu gráfico é simétrico em relação ao eixo x (abscissas), e ímpar se o 
gráfico for simétrico em relação ao eixo y (ordenadas), ou seja, tudo que acontece do lado 
positivo acontece exatamente igual do lado negativo do eixo. 
Para uma função ser para basta que f(x)=f(-x). 
�(�) = �6&� (� �(�) = �(−�) ���ã� �6&p = �6(6&)p 
?�-� B"�#B"�� �ú-��� ������'� �#�'�)� à "- ��9����� 9�� é 9�(���'� ��-�( B"� 
�—&2 = �6&p , (���������)� B"� � ��9��((ã� é 9��, � (�" ��á���� ��- B"� (�� 
�����-���� ��"�# ��( )��( #�)�( )� ���� �. 
8ª QUESTÃO 
 
 
C − lim&→O
cos J1�K
1
�
↔ lim&→O
cos J1�K
1 ∙
�
1 = lim&→O���( W
1
�r ↔ lim&→O� ∙ lim&→O cos W
1
�r ↔ 0 ∙ lim&→O cos W
1
�r = 0 
CC − lim&→O cos W
1
�r = �ã� ���(�� 
CCC − lim&→O sen W
1
�r = �ã� ���(�� 
CP − lim&→O
sen J1�K
1
�
↔ lim&→O
sen J1�K
1 ∙
�
1 = lim&→O�(�� W
1
�r ↔ lim&→O� ∙ lim&→O sen W
1
�r ↔ 0 ∙ lim&→O sen W
1
�r = 0 
 
 
9ª QUESTÃO 
 
 
I – Pelo teste da reta vertical percebe-se que para cada x do período atribuem-se dois valores. 
O gráfico não corresponde a uma função; 
II – O gráfico apresentado mostra uma função contínua no período; 
III – O gráfico também mostra uma função contínua no período apresentado; 
IV – A função não é contínua em x=0. 
10ª QUESTÃO 
 
Para descobrir o valor de L e tornar a função contínua precisamos saber qual o limite de outra 
parte da função. Como x deve ser diferente de 1 para que não tenhamos uma divisão por zero 
este é o valor que x tende ao limite. 
lim&→7
�� − 1
� − 1 ↔ lim&→7
(� − 1)(� + 1)
� − 1 ↔ lim&→7 � + 1 = 2 
Assim, a expressão &p67&67 possui limite 2, sendo este o valor que L deve assumir para que a 
função seja contínua.

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