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ATIVIDADE ESTRUTURADA 1 MECANICA (SEM LOGO)

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Equilíbrio de um ponto material
Considera-se que um ponto material está em equilíbrio quando, num dado referencial, a resultante das forças aplicadas é nula.
Por ser nula a resultante, a linha poligonal é fechada.
Exemplo: A representação da linha poligonal dessas forças é fechada.
 
Condições de equilíbrio
SFRX = 0     SFRY= 0
Observação: A primeira lei de Newton diz que um ponto material em equilíbrio está em repouso ou movimenta-se em linha reta com velocidade constante, podemos resumir dizendo que:
Se a força resultante for igual a zero (), o ponto material analisado pode estar em equilíbrio estático (repouso):  ou dinâmico (MRU): .
Método das projeções ortogonais
Imaginemos um ponto material sujeito à ação de um sistema de forças coplanares F1, F2, F3...Fn. Seja Oxy um sistema cartesiano de referência, situado no mesmo plano das forças. Se a resultante das forças for nula (FR = 0), decorre que suas projeções nos eixos Ox e Oy são nulas.
Na figura abaixo temos um exemplo de um ponto material em equilíbrio sujeito à ação simultânea de quatro forças.
Componentes Cartesianas:
- F1x= F1.cosθ e F1y= F1.senθ
- F2x= F2.cosβ  e F2y= F2.senβ
- F3x= F3.cosα  e F3y= F3.senα
- F4x= F4.cosγ  e F4y= F4.senγ
No equilíbrio, F1x + F3x = F2x + F4x    e   F1y + F2y = F3y + F4y. Em geral, temos:
FR=0   ⇔ FRx= F1x+ F2x+⋯+Fnx=0 ou FR=0   ⇔  FRy= F1y+ F2y+⋯+Fny=0
Se um ponto material sujeito à ação de um sistema de forças coplanares estiver em equilíbrio, as somas algébricas das projeções dessas forças sobre dois eixos perpendiculares e pertencentes ao plano das forças serão nulas.
Exercícios:
Procedimento: 
            1) Represente as forças peso (P) e a tração nos fios ( T1 e T2 ) .
            2) Calcule a força peso.
            3)  T1 = T2 = T, pois os fios são paralelos.
            4) O corpo em equilíbrio, a força peso é dividida igualmente nos fios T1 = T2 = T = P/2.
               
Resolução:
Representação das forças.
P = m. g   P = 2. 10 = 20 N
 
T1 = T2 = T
 
T1 = T2 = T = 20/2 = 10 N     T1 = T2 = 10N
Modelo III -  Corpo suspenso por 2 fios homogêneos de mesmo comprimento com ângulos iguais conforme a figura. Determine as trações T1 e T2 nos fios 1 e 2.
 
 Procedimento:
            1) Adote o sistema cartesiano e represente as forças peso (P) e as trações nos fios (T1 e T2).
            2) Calcule a força peso.
            3) Faça as projeções das forças T1 e T2 nos eixos x e y.
            4) Represente as projeções no sistema cartesiano.
            5) O corpo em equilíbrio: SFRX = 0 e SFRY= 0.
            6) Resolver o sistema de equações.
 
Resolução:
Representação das forças nos eixos x e y.
 
P = m. g   P = 20 N
As projeções:
3a) T1     
 
T1x = T1.cos 30º; T2y = T2.sen 30º.
 
3b) T2
 
T2x = T2.cos 30º;     T2y = T2.sen 30º.
3c) P
 Px = 0;     Py = 20 N.
 4) Representação das projeções.
5) Condições de equilíbrio:
5a)eixo x
FRX = 0 
               T1x = T2x
T1. cos30º = T2.cos30º
        T1 = T 2  (I)
 5b)eixo y
       FRY= 0
                  T1y + T2y = P
T1.sen30º + T2.sen30º = P
      T1. 0, 5 + T2. 0, 5 = 20 (II)
6) Resolvendo o sistema de equações.
    Substituindo I em II
    T2. 0,5 + T2. 0,5 = 20   T2 = 20 N  T1 = 20 N    T1 = T2 = 20 N
Diagrama de corpo Livre
É utilizado para representar, de forma esquemática, as forças que atuam num determinado corpo, e que permite determinar a sua resultante. O corpo é representado por uma partícula. Admitimos que as suas dimensões não afetam a resolução do problema. Todas as forças que atuam num determinado corpo são consideradas como atuando num único ponto. Mais tarde veremos as situações em que esta simplificação não é válida. Como o corpo está em equilíbrio estático, pela 1ª Lei de Newton. 
a=0 e R=0
Assim, utilizando o sistema de coordenadas representado no diagrama de corpo livre:
R + P =0 e sendo R = R ˆj, P = P (- ˆj), temos R j +P j (- ˆj) = 0 ⇒ R = P.
Cossenos e diretores
Os ângulos diretores são: α,β,ɤ
Que esses diretores tem um versor, que são vetores unitários que são eles: I, J, K.
Que o cosseno de α=x, o cosseno de β = y e cosseno de ɤ =z 
Cossenos diretores de um vetor:
Cossenos diretores de v são os cossenos de seus ângulos diretores isto é, cos α, cos β, cos ɤ. Para o cálculo dos cossenos diretores, utilizamos a fórmula do ângulo entre dois vetores.
cos²(alfa) + cos²(beta) + cos²(gama) = 1
Cossenos diretores de uma reta:
Quando você tem dois pontos, exemplo O e P juntando-se OP = v fórmula do vetor diretores de uma reta.
Ex: Determinar os cossenos e os ângulos diretores da reta definida pela origem e pelo ponto (-6,2,3)?
O Vetor diretor da reta será dado por OP = v
O (0, 0, 0) e P (-6, 2, 3) 
OP = P - O = v = (-6, 2, 3)
E seus ângulos diretores são:
|v| = √36 + 4 + 9 = √49 = 7
Cos(alfa) = -6/7 ==> alfa = 148,9972809°
Cos(beta) = 2/7 ==> beta = 73,3984504°
Cos(gama) = 3/7 ==> gama = 64,62306647
Cossenos diretores de um plano:
Os cossenos diretores de um plano pode ser qualquer plano no espaço que tenha x e y dando um ângulo perpendicular.
Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor:
Dados os pontos A (2, 2, -3) e B (3, 1, -3). Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor:
Os ângulos diretores também podem ser calculados como o produto escalar entre os vetores.
MOMENTO DE UMA FORÇA
Momento (M) de uma força em relação ao ponto O.
        
Observação: 1) F e d são perpendiculares.
                     2) o momento da força: + sentido anti-horário         - sentido horário
 
O momento de uma força em relação a um determinado ponto mede a eficiência em causar rotação de um corpo extenso em torno deste ponto.
 
MODELO I
Calcule o momento da força de módulo 10 N em relação ao ponto E.
 
Procedimento:
1)      Utilize M = F.d (F e d devem ser perpendiculares).
2)      Verificar o sentido do momento.
 
Resolução
MODELO II
Determine o momento da força em relação ao ponto O.
 Procedimento:
1)      Calcule a distância horizontal (d), lembre F e d são perpendiculares.
2)      Utilize M = F.d e verifique o sentido do momento.
 
Resolução:
1) Cálculo da distância d.
À distância d é o cateto oposto em relação ao ângulo de 30º.
d = 1 m.
2) M = F.d.     M = 10N.1 m     M = 10 N.m (sentido horário)
MODELO III
Determine o momento da força dada em relação ao ponto A.
Dados: sen =0,6 e cos = 0,8
 
 
Procedimento:
1)      Projetar a força na direção horizontal e vertical.
2)      Utilize M = F.d e verifique o sentido do momento.
 
Resolução:
1) Projeção de FH e FV.
 
a) FH é o cateto oposto em relação ao ângulo .
 
FH = 6 N como a FH e a distância são paralelos não há rotação;
b) FV é o cateto adjacente em relação ao ângulo .
 
FV = 8 N
 
 2) M = F.d.     M = 8N.4m     M = 32 N.m
Binário
Binário é um sistema constituído de duas forças de mesma intensidade, mesma direção, porém de sentidos opostos, cujas linhas de ação estão a uma certa distância.
Momento de binário
Um binário é um sistema constituído por duas forças de igual intensidade, com linhas de ação paralelas, mas de sentidos opostos. Um binário é representado por uma única grandeza vetorial, o momento binário. O momento binário é um vetor livre, têm o mesmo elemento independentemente do ponto do espaço. 
Os elementos de binário são: 
Plano do binário: - é o plano que contêm as duas linhas de ação; 
Sentido: - é o sentido de rotação das duas forças; 
Braço : a distância entre as duas linhas de ação; 
Intensidade: 
O resultante destas forças é nulo. 
O momento binário é a tendência de rotação das duas forças: 
Com: 
Direção: - perpendicular ao plano do binário; 
Sentido: - é obtido pela regra de mão direita; 
Intensidade: 
Binários equivalentes
Dois binários com o mesmo momento são equivalentes, isto é produzem o mesmo efeito. 
Operações que garantem a equivalência:Translação no plano do binário ou num plano paralelo; 
Rotação no plano do binário em torno de um eixo perpendicular ao plano; 
Deformação do binário - modificar o braço ou o modulo das forças, mas sem modificar o momento binário. 
Soma dos binários: rege a regra de adição dos vetores (vetores binários). 
Adição de Binários
Na adição de vetores, cada par de vetores u e v corresponderá um vetor u+v que é a soma dos vetores u e v. para adicionar dois vetores pegaremos um representante qualquer (A, B) desse vetor u e do vetor v que tem origem em B e extremidade em C. Dessa forma teremos determinado um segmento orientado (AC), que por definição representa o vetor u+v que é a soma dos vetores u e v.
Da imagem acima concluímos que determinar o vetor u+v proveniente da soma do vetor u com o vetor v, precisamos apenas completar o triangulo, lembrando sempre de pôr a origem do vetor soma na origem do primeiro vetor, o segundo vetor deve ter a origem na extremidade do primeiro vetor.
Na adição de vetores podemos utilizar de outra ferramenta, a regra do paralelogramo. Pegamos os representantes de u e v com a mesma origem A e construir e construir o paralelogramo ABCD. O vetor u+v é representado pelo seguimento orientado (A, D).
Propriedades
1) Propriedade Associativa: (U+v) +w = u+(v+w) (para qualquer u, v, w pertencentes a v³)
2) Propriedade Comutativa: u+v = v+u (para qualquer u, v pertencentes a v³)
3) Elemento Neutro: u+0 = u (para qualquer u pertencentes a v³)
4) Elemento Oposto: Para um dado vetor u qualquer, existe um vetor que quando somado a ele dará como resultado um vetor nulo. Este vetor é o vetor oposto a u, denominado de –u
 u+(-u) = AB +AB = AA = 0
Observe que a subtração de vetores é simplesmente a soma de um vetor com um vetor oposto. Exemplo:
u-v = u+(-v) (para qualquer u, v pertencentes a v³)
Binários representados por vetores
O produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Pode ser denominado também como produto externo. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no facto que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais.
A notação do produto vetorial entre dois vetores a e b do espaço vetorial é a × b (em manuscritos, alguns matemáticos escrevem a ∧ b para evitar a confusão com a letra x). Podemos defini-lo como
Onde θ é a medida do ângulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido pelos dois vetores, e é o vetor unitário perpendicular a tanto a quanto b.
O problema com esta definição é que existem dois vetores unitários que são perpendiculares a a e b simultaneamente: se é perpendicular, então também o é.
O resultado correto depende da orientação do espaço vetorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vetorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se torna destro se (i, j, k) é destro ou canhoto se (i, j, k) é canhoto.
Uma forma fácil de determinar o sentido do vetor resultante é a "regra da mão direita". Se um sistema de coordenadas é destro, basta apontar o indicador na direção do primeiro operando e o dedo médio na direção do segundo operando. Desta forma, o vetor resultante é dado pela direção do polegar.
Como o produto vetorial depende do sistema de coordenadas, seu resultado é referenciado como pseudovetor. Felizmente na natureza os produtos vetoriais aparecem aos pares, de maneira que a orientação do sistema de coordenadas é cancelada pelo segundo produto vetorial.
O produto vetorial pode ser representado graficamente, com respeito a um sistema de coordenadas destro, como se segue: 
 
O comprimento do produto vetorial, |a × b|, pode ser interpretado como a área do paralelogramo definido pelos vetores a e b. Isto significa que o produto misto (ou triplo-escalar) resulta no volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c.
Propriedades algébricas
O produto vetorial é anticomutativo,
a × b = -b × a,
distributivo sobre a adição,
a × (b + c) = a × b + a × c,
e compatível com a multiplicação escalar, tal que
(ra) × b = a × (rb) = r(a × b).
Não é associativo, mas satisfaz a identidade de Jacobi:
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0
A distributividade, linearidade e identidade de Jacobi mostram que R3 junto com a adição de vetores e o produto vetorial formam uma álgebra de Lie.
Além disso, dois vetores não nulos a e b são paralelos se e somente se a × b = 0.
Notação Matricial
O vetor unitário i, j e k para um dado sistema ortogonal de coordenadas satisfaz as seguintes igualdades:
i × j = k           j × k = i           k × i = j
Com estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores podem ser calculadas facilmente, sem a necessidade de se determinar qualquer ângulo. Seja:
a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3]
e
b = b1i + b2j + b3k = [b1, b2, b3].
Então
a × b = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1].
A notação acima também pode ser escrita formalmente como o determinante de uma matriz:
O determinante de três vetores pode ser recuperado como
det (a, b, c) = a · (b × c).
Intuitivamente, o produto vetorial pode ser descrito pelo método de Sarrus, onde
Para os primeiros três vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da direita (ex. a primeira diagonal conteria i, a2, e b3). Para os três últimos vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da esquerda e então os multiplique por -1 (ex. a última diagonal conteria k, a2, e b1). O produto vetorial seria definido pela soma destes produtos:
O produto vetorial também pode ser descrito em termos de quaternions. Note por exemplo que as relações entre produtos vetoriais acima i, j, e k concordam com a relação multiplicativa entre os quaternions i, j, e k. Em geral, se representamos um vetor [a1, a2, a3] como o quaternion a1i + a2j + a3k, obtemos o produto vetorial tomando seus produtos e descartando a parte real do resultado (a parte real será o negativo do produto escalar de dois vetores). Mais sobre a conexão entre multiplicação de quaternion, operações de vetores e geometria podem ser encontrados em quaternions e rotação espacial.
Sistemas equivalentes de força
Dois sistemas de forças são equivalentes se puderem ser reduzidos ao mesmo sistema força-binário, ou seja,
São equivalentes se e somente se a soma das forças e a soma dos momentos das forças, em relação a um dado ponto O, dos dois sistemas forem respectivamente iguais.
Decompondo as forças e os momentos nas suas componentes cartesianas, as condições necessárias e suficientes para a equivalência dos dois sistemas de forças escrevem-se:
Estas equações têm um significado físico simples: dois sistemas de forças são equivalentes se tendem a produzir no corpo rígido a mesma translação segundo os eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente, e a mesma rotação em relação aos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente.
Em conclusão, dois sistemas de forças aplicados ao mesmo corpo dizem-se equivalentes se tiverem a mesma resultante (equivalência quanto à translação) e o mesmo momento em relação a um ponto O (equivalência quanto à rotação).
Mostra-se que um sistema de forças aplicado a um corpo rígido é sempre redutível: ou a uma única força ;
 ou a um sistema forçabinário; 
 ou ainda apenas a um binário .
Equilíbrio de um corpo rígido
Em mecânica clássica, um corpo rígido é definido como um conjunto finito, de N partículas de massas mi e posições ri (i=1, N), tal que a distância entre duas partículas i e j, |ri-rj|, é constante no tempo. Em outras palavras, um corpo rígido é uma "nuvem" de partículas cuja distância entre elas não muda no tempo.
A massa total do corpo rígido, M, é o somatório das massas das partículas,
Tendo por base um a i-ésima partícula formadora de um corpo, há duas forças que atuam na mesma: a força interna resultante, fi, que é provocada pela interação comas partículas adjacentes, e a força externa Fi, que representa, por exemplo, os efeitos das forças gravitacional, elétrica, magnética ou das forças de contato entre a i-ésima partícula e os corpos ou partículas vizinhos não incluídos no corpo. Se a partícula está em equilíbrio, aplicando a primeira lei de Newton, temos:
Fi + fi = 0
Quando o a equação do equilíbrio é aplicada a cada uma das outras partículas do corpo, são obtidas equações similares. Somando todas essas equações vetorialmente, obtemos:
O somatório das forças internas será igual a zero, pois essas forças entre as partículas do próprio corpo ocorrem aos pares, são opostas e de mesma intensidade, conforme a terceira lei de Newton. Consequentemente, restará apenas a soma das forças externas. Portanto ∑Fi = ∑F, a equação anterior pode ser escrita como:
Utilizando raciocínio similar para encontrar o momento em relação às duas forças anteriores tendo base um ponto O qualquer, e ri como a distância ao referido ponto aonde será aplicado as forças, temos que:
ri × Fi + ri × fi = 0
Equações similares podem ser escritas para outras partículas do corpo. Somando-as entre si vetorialmente obtemos:
∑ri × Fi + ∑ri × fi = 0
Porém já sabemos que o segundo termo é nulo, desse modo cada par de forças em relação ao ponto O é zero. Assim, utilizando a notação ∑MO = ∑ri × Fi, temos:
∑MO = 0
Assim, as duas equações de equilíbrio para um corpo rígido podem ser escritas como:
 ∑F = 0 (1)
∑MO = 0
Essas equações requerem que o corpo rígido permaneça em equilíbrio, o que é necessário para que a soma das forças externas atuantes no corpo seja igual a zero e a soma dos momentos das forças externas em relação a um ponto também seja igual a zero. O fato dessas condições também são suficientes para a manutenção do equilíbrio. Para confirmar isso, suponha que o corpo esteja em equilíbrio e que o sistema de forças atuando nele satisfaça as duas equações anteriormente citadas. Considere que uma força adicional F’ seja aplicada ao corpo, tendo por base M’O o momento em relação a esta força. Como resultado, as equações de equilíbrio se tornam:
∑F + F’ = 0
∑MO + M’O = 0
Como ∑F = 0 e ∑MO = 0, então F’ = 0 (e também M’O = 0). Consequentemente, a força adicional F’ não é necessária e, de fato, as equações de (1) também são condições suficientes para a manutenção do equilíbrio.
Diagramas de corpo livre 
Para uma aplicação bem sucedida das equações de equilíbrio, é preciso uma completa especificação de todas as forças externas conhecidas e desconhecidas que atuam no corpo. A melhor maneira de fazer isso é construindo o diagrama de corpo livre para esse corpo. O diagrama é um esboço da forma do corpo, representado isolado ou “livre” dos elementos vizinhos, isto é, como um “corpo livre”. Nesse esboço é necessário mostrar todas as forças e momentos que as vizinhanças exercem sobre o corpo para que esses efeitos sejam levados em consideração quando as equações de equilíbrio forem aplicadas. Por essa razão, saber bem como desenhar um diagrama de corpo livre é de primordial importância na resolução de problemas de mecânica.
Aplicações de diagrama do corpo livre:
Desenho o diagrama de corpo libre para a viga uniforme mostrada na figura abaixo. A viga tem 100 kg.
Resolução: Como o apoio em A é uma parede fixa, existem três reações atuantes na viga em A, definidas como Ax, Ay e Ma, traçadas em uma direção arbitrária. As intensidades desses vetores são incógnitas e seus sentidos foram adotados. O peso da viga, W = 100.(9,81) = 981N, atua através do centro de gravidade G da viga, que está a 3m de A, pois o feixe é uniforme. Logo:
Equações de Equilíbrio
Quando um corpo está sujeito a um sistema de forças no plano x-y, as forças podem ser desmembradas em seus componentes x e y. Consequentemente, as condições para equilíbrio em duas dimensões são:
∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑MO = 0
Nesse caso ∑Fx = 0 e ∑Fy = 0 representam, respectivamente, as somas algébricas dos componentes x e y de todas as forças atuantes no corpo e ∑MO = 0 representa a soma algébrica dos momentos de binário de dos momentos de todos os componentes de forças em relação a um eixo perpendicular ao plano x-y, passando pelo ponto arbitrário O, que pode pertencer ao corpo ou estar fora dele.
Somando-se isto ao conhecimento de diagramas de corpo livre podemos resolver problemas de equilíbrio de forças coplanares para um corpo rígido.
Aplicações:
1 – Determine os componentes horizontal e vertical da reação para a viga carregada como mostrado abaixo. Despreze o peso da viga em seus cálculos.
RESOLUÇÃO: Para simplificar, a força de 600 N é representada pelos seus componentes x, y, conforme mostrada na figura abaixo. Veja também que a força de 200N atua sobre a viga no ponto B e é independente dos componentes Bx e By da força, que representam o efeito do pino na viga.
Somando as forças na direção x, obtemos (admitimos valores à esquerda como positivos):
600.cos45°N – Bx = 0 Bx = 424N
Uma solução direta para Ay pode ser obtida aplicando-se a equação dos momentos ∑Mb = 0 em relação ao ponto B. Para esse cálculo, devemos notar que as forças de 200N, Bx e By, criam um momento nulo em relação ao ponto B. Supondo que a rotação anti-horária em relação a B seja positiva ( na direção +K), temos:
(100N).(2m) + (600.sen45°N).(5m) – (600.cos45°).(0,2m) – Ay. (7m) = 0
Equilíbrio em três dimensões
O primeiro passo na resolução de problemas de equilíbrio em três dimensões, assim como em duas dimensões, é desenhar o diagrama de corpo livre do corpo. Passamos a trabalhar a força F em suas três componentes Fx, Fy e Fz. Após se determinarem os valores desses componentes, pode-se obter a intensidade da força F= √(Fx² + Fy² + Fz²), com sua orientação definida pelos ângulos diretores coordenados α, β e γ.
Como regra geral, os componentes de reação que tenham intensidades desconhecidas são apresentados no diagrama de corpo livre atuando no sentido positivo. Dessa maneira, se qualquer valor negativo for obtido, será um indicativo de que, na verdade, os componentes atuam no sentido negativo do mesmo sistema de coordenadas.
Equações de Equilíbrio
Tendo por base que para haver o equilíbrio devem-se satisfazer as expressões ∑F = 0 e ∑MO = 0 e se todas as forças externas aplicadas e os momentos forem expressos na forma de vetores cartesianos e substituídos nas equações recém citadas, teremos:
∑F = ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk = 0 ∑MO = ∑Mxi + ∑Myj + ∑Mzk = 0
Como os componentes i, j e k são independentes entre si, as equações acima serão satisfeitas desde que:
∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑Fz = 0 ∑Mx = 0 ∑My = 0 ∑Mz = 0
Aplicação:
1 – A placa homogênea mostrada abaixo tem massa de 100 kg e está sujeita a uma força e a um momento em suas bordas. Se ela é apoiada no plano horizontal por meio de um rolete em A, uma junta esférica em B e uma corda em C, determine os componentes das reações nos apoios.
Resolução: A representação de todas as forças atuantes no sistema:
O somatório de forças ao longo de cada eixo dá:
∑Fx = 0; Bx= 0
∑Fy = 0; By= 0
∑Fz = 0; Az + Bz + Tc - 300N – 981N = 0 (1)
Lembre-se de que o momento de uma força em relação a um eixo é igual ao produto da intensidade da força pela distância perpendicular (braço de momento) ou a menos distância da linha de ação da força até o eixo. O sentido do momento é determinado pela regra da mão direita. As forças paralelas a um eixo ou que passam por ele não geram nenhum momento das forças no diagrama de corpo livre e considerando seus sentidos positivos coincidentes com os sentidos positivos eixos x ou y, temos:
∑Mx = 0; Tc.(2m) – 981N.(1m) + Bz.(2m) = 0
∑My = 0; 300N.(1,5m) + 981N.(1,5m) – Bz.(3m) – Az.(3m) – 200N.m = 0
Os componentes da força em B podem ser eliminados se os eixos x’, y’ e z’ forem utilizados. Assim, obtemos:
∑Mx’ = 0; 981N.(1m) + 300N.(2m) – Az.(2m) = 0
∑My’ = 0; -300N.(1,5m) – 981N.(1,5m) – 200N.m + Tc.(3m)= 0
Resolvendo as equações 1 e 3 ou, de forma mais conveniente., as equações 1, 4 e 5, encontramos :
Az = 790N Bz = –217N Tc = 707N
O sinal negativo indica que Bz atua para baixo.
Cargas distribuídas
Temos como exemplo de ocorrência de cargas distribuídas:
A pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda,
A pressão da água dentro de um tanque,
O peso da areia sobre o piso de uma caixa de armazenamento.
A intensidade de dF é determinada pela área diferencial em cinza (dA) abaixo da curva de carregamento. Para o comprimento inteiro L,
Portanto, a intensidade da força resultante é igual à área total A sob o diagrama de carregamento.
Posição da força resultante
Aplicando a equação a posição da linha de ação da força resultante pode ser obtida igualando os momentos da força resultante e da distribuída em relação ao ponto O. Como dF produz um momento dF x = x.W(x) dx em relação a O então
A força resultante tem uma linha de ação que passa pelo centroide C (centro geométrico) da área sob o diagrama de carregamento.
Pontos importantes
As cargas distribuídas coplanares são definidas usando-se uma função de carga w = w(x) que indica a intensidade do carregamento ao longo da extensão de um membro. Essa intensidade é medida em N/m.
Os efeitos externos causados por uma carga distribuída coplanar atuando sobre um corpo podem ser representados por uma única força resultante.
Essa força resultante é equivalente à área sob o diagrama de carga e tem uma linha de ação que passa pelo centroide ou centro geométrico dessa área.
Exemplos:
1) Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que atua no eixo mostrado na figura. 
Resolução:
Determinação da força resultante:
Localização da força resultante:

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