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Sistemas de equações lineares

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ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 13
Sistemas de equações lineares
Introdução
Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x1; x2; :::; xn é uma expressão da forma:
a1x1 + a2x2 + :::+ anxn = b (1)
onde a1; a2; :::; an; b são constantes reais. A b chama-se termo independente da equação.
Exemplos:
1. A equação 2x1+3x2+x3 = 2, que representa um plano no espaço usual, é uma equação
linear.
2. As equações x1�2x22+x3 = 0, 2x1+3
p
x2 = 5 e x1 = cos x2 são exemplos de equações
não lineares.
Um sistema de equações lineares nas incógnitas x1; x2; :::; xn é um conjunto …nito de
equações lineares nessas incógnitas, que se pode representar na forma:8>>>><>>>>:
a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + :::+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + :::+ amnxn = bm
(2)
Exemplos:
1. O conjunto de equações (
2x1 + 3x2 + x3 = 2
�x1 + x2 � 3x3 = 0
; (3)
que representa uma recta no espaço usual, é um sistema de equações lineares, com três
incógnitas e duas equações.
2. O conjunto de equações 8>>>><>>>>:
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 2
x1 + 3x2 + x3 � x4 = 2
�2x1 � x2 + 2x3 � x4 = �1
�x1 + x2 � 3x3 + 2x4 = 0
; (4)
é um sistema de quatro equações e quatro incógnitas.
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 14
Soluções de sistemas de equações
Uma solução de uma equação linear da forma (1) é uma sequência (s1; s2; :::; sn) de
números reais para os quais, substituindo
x1 = s1; x2 = s2; : : : ; xn = sn;
se obtém uma igualdade verdadeira, isto é,
a1s1 + a2s2 + :::+ ansn = b:
Exemplo: A sequência (1; 1;�3) é uma solução da equação 2x1 + 3x2 + x3 = 2, porque
2� 1 + 3� 1 + (�3) = 2
Uma solução de um sistema de equações lineares da forma (2) é uma sequência
(s1; s2; :::; sn) de números reais que é solução de cada uma das equações lineares que compõe
o sistema.
Exemplos:
1.
�
0;
3
5
;
1
5
�
é uma solução do sistema (3) porque
8><>:
2� 0 + 3� 3
5
+
1
5
= 2
�0 + 3
5
� 3� 1
5
= 0
Como foi referido atrás, (1; 1;�3) é solução da primeira equação do sistema, mas não
é solução do sistema pois não satisfaz a segunda equação. Com efeito
�1 + 1� 3� (�3) 6= 0:
2. s1 =
16
55
; s2 =
29
55
; s3 = � 1
55
; s4 = � 8
55
é a única solução do sistema (4).
Claramente, um sistema de equações lineares pode
não ter solução
ou
ter uma só solução
ou
ter mais do que uma solução.
Chama-se solução geral ou conjunto solução de um sistema de equações lineares ao
conjunto de todas as suas soluções. Os sistemas de equações podem-se classi…car da seguinte
forma:
- sistema impossível - não tem qualquer solução - o conjunto solução é vazio.
- sistema possível e determinado - tem uma única solução - o conjunto solução tem
apenas um elemento.
- sistema possível e indeterminado - tem mais do que uma solução - neste caso o
conjunto solução é in…nito.
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 15
Exemplos:
1. Exemplos geométricos
Como é sabido uma equação linear do tipo ax1 + bx2 = c corresponde a uma recta
no plano. Assim, a existência ou inexistência de soluções de um sistema de equações
lineares com 2 variáveis pode ser estudada através da intersecção ou não das rectas
que correspondem às equações que constituem o sistema. Vamos ver alguns casos:
(a) O sistema
8><>:
x1 + 2x2 = 3
2x1 � x2 = 0
3x1 + x2 = �1
pode ser representado gra…camente da seguinte
forma:
-3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
x
y
As rectas intersectam-se duas a duas, mas não há um ponto de intersecção das
três rectas. Isto é, não há nenhum ponto do plano que pertença simultaneamente
às três rectas. Conclui-se assim que o sistema não tem solução e é, portanto,
impossível.
(b) O sistema
8><>:
x1 + 2x2 = 0
2x1 � x2 = 0
3x1 + x2 = 0
admite a seguinte representação grá…ca:
-3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
x
y
Aparentemente as três rectas passam na origem, o que facilmente se constata
através das equações. Então, o par (x1; x2) = (0; 0) é uma solução do sistema de
equações e é a única solução, pelo que o sistema é possível e determinado.
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 16
(c) Para o sistema
(
2x1 + x2 = 3
4x1 + 2x2 = �2
temos o grá…co:
-3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
x
y
As equações correspondem a rectas paralelas (o declive é o mesmo). Por isso o
sistema não tem solução e é um sistema impossível.
(d) As equações do sistema
(
�x1 + 2x2 = 4
2x1 � 4x2 = �8
admitem o seguinte grá…co:
-3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
x
y
Ambas as equações representam a mesma recta (repare-se que a segunda equação
resulta da primeira multiplicada por �2). Todos os pares da forma
(x1; x2) = (�; 2 +
�
2
); � 2 R
são soluções do sistema e o sistema é possível, mas indeterminado.
2. Exemplos que não admitem representação geométrica no plano.
(a) O sistema (
2x1 + 2x2 � 4x3 = 2
�x1 � x2 + 2x3 = 0
é impossível. É fácil constatar que os primeiros membros das duas equações são
múltiplos um do outro, o mesmo não acontecendo com o segundo.
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 17
(b) O sistema (3), é possível e indeterminado, pois a sua solução geral (ou o seu
conjunto solução) é o conjunto
S =
�
(x1;x2; x3) 2 R3 : x1 = 2
5
� 2x3; x2 = 2
5
+ x3
�
:
Podemos também escrever que as soluções são da forma
S =
�
2
5
� 2x3; 2
5
+ x3; x3
�
; x3 2 R
Atribuindo valores a x3, conseguimos encontrar diferentes soluções particulares
para o sistema. Por exemplo, para
x3 = 0;
obtém-se a solução �
2
5
;
2
5
; 0
�
:
Para
x3 =
1
5
;
temos a solução �
0;
3
5
;
1
5
�
:
(c) Como já foi referido o sistema (4) tem como única solução�
16
55
;
29
55
;� 1
55
;� 8
55
�
e é, portanto, possível e determinado.
Quando um sistema é indeterminado, a solução geral é do tipo da que foi obtida no exemplo
2.b, em que se obtêm umas variáveis em função das outras. As variáveis dividem-se, então,
em variáveis livres ou independentes (no exemplo 2.b, x3 é livre) e variáveis dependentes
ou principais (no exemplo 2.b, x1 e x2 são principais).
Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se têm o mesmo conjunto de soluções.
Resolver um sistema signi…ca determinar o seu conjunto solução. Os processos de reso-
lução de sistemas de equações consistem em transformar os sistemas iniciais em sistemas
equivalentes que forneçam de uma forma clara a solução geral. Vamos ver como a teoria de
matrizes se aplica à resolução de sistemas de equações lineares.
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 18
Forma matricial de um sistema de equações lineares
Um sistema de equações lineares8>>>><>>>>:
a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + :::+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + :::+ amnxn = bm
pode ser representado na forma266664
a11 a12 � � � a1n
a21 a22 � � � a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 � � � amn
377775
| {z }
A
�
266664
x1
x2
...
xn
377775
| {z }
X
=
266664
b1
b2
...
bm
377775
| {z }
B
:
À matriz A chama-se matriz dos coe…cientes ou matriz simples, à matriz X chama-se
matriz das incógnitas e à matriz B chama-se matriz dos termos independentes ou
simplesmente termo independente.
A matriz 266664
a11 a12 � � � a1n
a21 a22 � � � a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 � � � amn
����������
b1
b2
...
bm
377775
denomina-se matriz ampliada do sistema, que se abrevia por [AjB] :
Se (s1; : : : ; sn) é solução de um sistema de equações lineares com a forma matricial AX = B,
então, matricialmente podemos representar a solução por uma matriz coluna
S =
2664
s1
...
sn
3775 ;
para a qual a igualdade AS = B é válida.
Exemplos:
1. A forma matricial do sistema (
2x1 + 3x2 + x3 = 2
�x1 + x2 � 3x3 = 0
é "
2 3 1
�1 1 �3
#264 x1x2
x3
375 = " 2
0
#
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 19
A sua matriz ampliada é "
2 3 1 2
�1 1 �3 0
#
2. A forma matricial do sistema8>>>><>>>>:
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 2
x1+ 3x2 + x3 � x4 = 2
�2x1 � x2 + 2x3 � x4 = �1
�x1 + x2 � 3x3 + 2x4 = 0
;
é 266664
2 3 1 1
1 3 3 �1
�2 �1 2 �1
�1 1 �3 2
377775
266664
x1
x2
x3
x4
377775 =
266664
2
2
�1
0
377775
A sua matriz ampliada é 266664
2 3 1 1 2
1 3 3 �1 2
�2 �1 2 �1 �1
�1 1 �3 2 0
377775
3. À matriz ampliada 264 5 0 1 �1 3 �50 3 0 �1 0 2
�2 1 �3 0 �1 0
375
corresponde o sistema 8><>:
5x1 + x3 � x4 + 3x5 = �5
3x2 � x4 = 2
�2x1 + x2 � 3x3 � x5 = 0
;
ou, na forma matricial
264 5 0 1 �1 30 3 0 �1 0
�2 1 �3 0 �1
375
26666664
x1
x2
x3
x4
x5
37777775 =
264 �52
0
375 :
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 20
Resolução de sistemas de equações lineares
As seguintes operações, quando efectuadas sobre um sistema de equações lineares, transfor-
mam-no num sistema equivalente, ou seja, não alteram o seu conjunto solução:
(Op1) Trocar a ordem de duas equações;
(Op2) Multiplicar ambos os lados da equação por uma constante não nula;
(Op3) Adicionar a uma equação, outra multiplicada por uma constante.
Efectuar cada uma destas operações sobre um sistema de equações lineares é equivalente a
efectuar a correspondente operação elementar sobre as linhas da matriz ampliada do sistema.
Isto conduz aos seguintes métodos de resolução de sistemas:
Método de eliminação de Gauss-Jordan
Utilizando o método de eliminação de Gauss descrito para matrizes pode-se obter, a partir
da matriz ampliada do sistema, uma matriz em forma condensada. Esta matriz representa
um sistema equivalente ao primeiro e permite obter a solução geral do sistema inicial. Cada
pivot da matriz condensada corresponde a uma variável dependente na solução do sistema.
As colunas onde não …guram pivots correspondem às variáveis independentes.
Exemplos:
1. Ao sistema 8><>:
2x1 + 3x2 + x3 = 2
�x1 + x2 � 3x3 = 0
x1 + 4x2 � 2x3 = 2
(5)
corresponde a matriz ampliada264 2 3 1 2�1 1 �3 0
1 4 �2 2
375 :
A forma condensada desta matriz é264 1 0 2
2
5
0 1 �1 2
5
0 0 0 0
375 ;
à qual corresponde o sistema8><>:
x1 + 2x3 =
2
5
x2 � x3 = 25
0x1 + 0x2 + 0x3 = 0
;
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 21
ainda equivalente a 8><>:
x1 =
2
5
� 2x3
x2 =
2
5
+ x3
0 = 0
;
que, como foi referido atrás, é equivalente ao sistema inicial.
Daqui conclui-se facilmente que a solução geral do sistema é dada por
S =
�
(x1;x2; x3) 2 R3 : x1 = 2
5
� 2x3; x2 = 2
5
+ x3
�
:
As variáveis dependentes são x1 e x2; que correspondem aos pivots na matriz
condensada, e a variável livre é x3: A solução geral pode-se ainda expressar na
forma
S =
�
2
5
� 2x3; 2
5
+ x3; x3
�
=
=
�
2
5
;
2
5
; 0
�
+ (�2x3; x3; x3) =
=
�
2
5
;
2
5
; 0
�
+ x3 (�2; 1; 1) ; x3 2 R;
ou na forma matricial
S =
264
2
5
� 2x3
2
5
+ x3
x3
375 =
=
264
2
5
2
5
0
375+
264 �2x3x3
x3
375 =
=
264
2
5
2
5
0
375+ x3
264 �21
1
375 ; x3 2 R:
2. Ao sistema 8><>:
2x1 + 3x2 + x3 = 2
�x1 + x2 � 3x3 = 0
x1 + 4x2 � 2x3 = 4
corresponde a matriz ampliada264 2 3 1 2�1 1 �3 0
1 4 �2 4
375 :
A forma condensada desta matriz é264 1 0 2 00 1 �1 0
0 0 0 1
375 ;
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 22
à qual corresponde o sistema8><>:
x1 + 2x3 = 0
x2 � x3 = 0
0x1 + 0x2 + 0x3 = 1
;
que é claramente impossível.
3. Ao sistema 8><>:
2x1 + 3x2 + x3 = 2
�x1 + x2 � 3x3 = 0
x1 + 4x2 + 2x3 = 2
(6)
corresponde a matriz ampliada264 2 3 1 2�1 1 �3 0
1 4 2 2
375 :
A forma condensada desta matriz é264 1 0 0
2
5
0 1 0 2
5
0 0 1 0
375 ;
à qual corresponde o sistema 8><>:
x1 =
2
5
x2 =
2
5
x3 = 0
:
Conclui-se que o sistema é possível e determinado, com solução S =
�
2
5
;
2
5
; 0
�
:
4. Ao sistema 8><>:
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 2
�x1 + x2 � 3x3 � x4 = 0
x1 + 4x2 � 2x3 = 2
(7)
corresponde a matriz ampliada264 2 3 1 1 2�1 1 �3 �1 0
1 4 �2 0 2
375 :
A forma condensada desta matriz é264 1 0 2
4
5
2
5
0 1 �1 �1
5
2
5
0 0 0 0 0
375 ;
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 23
à qual corresponde o sistema8><>:
x1 + 2x3 +
4
5
x4 =
2
5
x2 � x3 = 25
0 = 0
:
equivalente a (
x1 =
2
5
� 2x3 � 45x4
x2 =
2
5
+ x3 +
1
5
x4
:
Daqui conclui-se facilmente que a solução geral do sistema é dada por
S =
�
(x1;x2; x3; x4) 2 R3 : x1 = 2
5
� 2x3 � 4
5
x4; x2 =
2
5
+ x3 +
1
5
x4
�
:
As variáveis dependentes são x1 e x2; que correspondem aos pivots na matriz con-
densada, e as variáveis livres são x3 e x4: A solução geral pode-se ainda expressar
na forma
S =
�
2
5
� 2x3 � 4
5
x4;
2
5
+ x3 +
1
5
x4; x3; x4
�
=
=
�
2
5
;
2
5
; 0; 0
�
+ (�2x3; x3; x3; 0) +
�
�4
5
x4;
1
5
x4; 0; x4
�
=
=
�
2
5
;
2
5
; 0
�
+ x3 (�2; 1; 1; 0) + x4
��
�4
5
;
1
5
; 0; 1
��
; x3; x4 2 R;
ou na forma matricial
S =
266664
2
5
2
5
0
0
377775+
266664
�2x3
x3
x3
0
377775+
266664
�4
5
x4
1
5
x4
0
x4
377775 =
=
266664
2
5
2
5
0
0
377775+ x3
266664
�2
1
1
0
377775+ x4
266664
�4
5
1
5
0
1
377775 ; x3; x4 2 R:
Método de eliminação de Gauss
Utilizando também o método de eliminação de Gauss chega–se, a partir da matriz ampliada
do sistema, a uma matriz em forma de escada. O sistema correspondente a essa matriz
resolve-se então por substituição, até obter a solução geral.
Exemplo Ao sistema 8><>:
2x1 + 3x2 + x3 = 2
�x1 + x2 � 3x3 = 0
x1 + 4x2 + 2x3 = 2
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 24
corresponde a matriz ampliada 264 2 3 1 2�1 1 �3 0
1 4 2 2
375 :
Pelo método de eliminação obtemos a partir da matriz ampliada a seguinte matriz em
forma de escada 264 1 �1 3 00 5 �5 2
0 0 4 0
375 ;
que corresponde ao sistema 8><>:
x1 � x2 + 3x3 = 0
5x2 � 5x3 = 2
4x3 = 0
;
que é, portanto, equivalente ao primeiro. Da última equação é imediato que x3 = 0.
Substituindo este valor na segunda equação obtém-se x2 =
2
5
e, …nalmente, substi-
tuindo ambos os valores na primeira equação vem x1 =
2
5
:
Grau de indeterminação de um sistema
Considere-se um sistema AX = B; com A do tipo m� n (m equações e n incógnitas).
O número de variáveis livres na solução geral do sistema chama-se grau de indeterminação
do sistema.
Exemplos:
1. O sistema (5) da página 20 tem grau de indeterminação 1 pois a única variável livre é
x3:
2. Um sistema possível e determinado, como o sistema (6) da página 22, tem grau de
indeterminação 0.
3. O sistema (7) da página 22 tem grau de indeterminação 2, pois tem duas variáveis
livres na solução geral.
Como o número de variáveis livres é igual ao número total de incógnitas menos o número
de pivots da matriz em forma de escada obtida a partir da matriz ampliada do sistema e o
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 25
número de pivots é exactamente a característica da matriz, podemos concluir que o grau
de indeterminação de um sistema AX = B; com matriz ampliada [AjB] é dado por:
n� car [AjB] :
Pode-se concluir, ainda, que um sistema possível é determinado se car [AjB] = n:
Solução geral matricial de um sistema indeterminado e soluções
particulares
Seja AX = B (Am�n) um sistema possível e indeterminado, em que car [AjB] = r. Como já
foi exempli…cado atrás, a solução geral do sistema pode-se apresentar na forma matricial
S = S0 + xi1C1 + xi2C2 + : : :+ xin�rCn�r; com xi1 ; xi2 ; xin�r 2 R
em que S0; C1; : : : ; Cn�r são matrizes coluna de tipo n� 1 e xi1 ; xi2 ; : : : ; xin�r correspondem
às variáveis livres da solução. Fazendo todas as possíveis concretizações para as variáveis
xi1 ; xi2 ; : : : ; xin�r obtêm-se todas as possíveis soluções do sistema. Em particular S0 é solução
(basta fazer xi1 = xi2 = : : : = xin�r = 0): Portanto, para obter soluções particulares de um
sistema indeterminado, basta atribuir valores às variáveis livres na solução geral.
Exemplo:
Consideremos o sistema (7) resolvido na página 228><>:
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 2
�x1 + x2 � 3x3 � x4 = 0
x1 + 4x2 � 2x3 = 2
;
que tem solução geral
S =
�(x1;x2; x3; x4) 2 R3 : x1 = 2
5
� 2x3 � 4
5
x4; x2 =
2
5
+ x3 +
1
5
x4
�
:
Esta solução pode ser representada em forma matricial por
S =
266664
2
5
2
5
0
0
377775+ x3
266664
�2
1
1
0
377775+ x4
266664
�4
5
1
5
0
1
377775 ; x3; x4 2 R:
Para obter soluções particulares do sistema atribuem-se valores às variáveis livres.
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 26
Fazendo, por exemplo, x3 = 1 e x4 = 2 obtém-se a solução
S =
266664
2
5
2
5
0
0
377775+ 1
266664
�2
1
1
0
377775+ 2
266664
�4
5
1
5
0
1
377775 =
266664
�16
5
9
5
1
2
377775 :
Para x3 = �2 e x4 = 10 temos
S =
266664
2
5
2
5
0
0
377775� 2
266664
�2
1
1
0
377775+ 10
266664
�4
5
1
5
0
1
377775 =
266664
�18
5
2
5
�2
10
377775 :
Sistemas homogéneos
Um sistema de equações lineares AX = B diz-se homogéneo se B = 0; ou seja, se o termo
independente de cada equação é 0: Qualquer sistema de equações homogéneo é possível,
dado admitir sempre a solução nula, isto é, a solução
x1 = x2 = : : : = xn = 0;
que se chama solução trivial. Se o sistema é indeterminado as outras soluções dizem-se
não triviais.
A qualquer sistema de equações AX = B corresponde um sistema homogéneo, o sistema
AX = 0; que se chama sistema homogéneo associado ao sistema AX = B.
Se S = S0 + xi1C1 + xi2C2 + : : : + xin�rCn�r é a solução geral do sistema AX = B então
S = xi1C1+xi2C+: : :+xin�rCn�r é a solução geral do sistema homogéneo associado. Pode-se
concluir que um sistema de equações lineares possível tem o mesmo grau de indeterminação
do sistema homogéneo que lhe está associado.
Exemplos:
1. O sistema homogéneo associado ao sistema8><>:
2x1 + 3x2 + x3 = 2
�x1 + x2 � 3x3 = 0
x1 + 4x2 � 2x3 = 2
(sistema (5) resolvido na página 20)
é 8><>:
2x1 + 3x2 + x3 = 0
�x1 + x2 � 3x3 = 0
x1 + 4x2 � 2x3 = 0
;
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que tem, portanto, como solução geral, em forma matricial:
S =
26664
�2x3
x3
x3
37775 ; x3 2 R:
2. O sistema homogéneo associado ao sistema (7) da página 22 é8><>:
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0
�x1 + x2 � 3x3 � x4 = 0
x1 + 4x2 � 2x3 = 0
;
tem solução geral
S =
�
(x1;x2; x3; x4) 2 R3 : x1 = �2x3 � 4
5
x4; x2 = x3 +
1
5
x4
�
ou, na forma matricial
S = x3
266664
�2
1
1
0
377775+ x4
266664
�4
5
1
5
0
1
377775 ; x3; x4 2 R:
Discussão e classi…cação de um sistema
Considere-se um sistema AX = B de m equações e n incógnitas. Utilizando o método de
eliminação de Gauss-Jordan, através da análise da matriz condensada obtida a partir da
matriz ampliada [AjB] pode-se concluir que:
O sistema é:
8>>>><>>>>:
impossível se e só se carA 6= car [AjB]
possível e determinado se e só se carA = car [AjB] e carA = n
possível e indeterminado se e só se carA = car [AjB] e carA < n
(com grau de indeterminação n� carA)
Nota: Para classi…car um sistema basta, portanto, determinar a característica de [AjB] ;
para o que não é necessário condensar a matriz, sendo su…ciente obter uma forma
de escada da matriz inicial.
Exemplo: Ao sistema 8><>:
x+ y + z = 2
x+ z = �
x+ y + �2z = � + 3
; �; � 2 R;
corresponde a matriz ampliada 264 1 1 1 21 0 1 �
1 1 �2 � + 3
375 :
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Uma forma de escada da matriz ampliada pode ser264 1 1 1 20 �1 0 � � 2
0 0 �2 � 1 � + 1
375 :
A partir desta matriz efectua-se a discussão do sistema em função do parâmetro � :
� Se � 6= 1 e � 6= �1, ou seja, quando todos os pivots são diferentes de 0, temos que
car
264 1 1 10 �1 0
0 0 �2 � 1
375 = 3 e car
264 1 1 1 20 �1 0 � � 2
0 0 �2 � 1 � + 1
375 = 3;
pelo que o sistema é possível.
Como a característica é igual ao número de incógnitas, o sistema é possível e determi-
nado (neste caso o grau de indeterminação é 0).
� Se � = �1; (um dos casos em que um dos pivots é 0)
car
264 1 1 10 �1 0
0 0 0
375 = 2 e car
264 1 1 1 20 �1 0 �3
0 0 0 0
375 = 2;
pelo que o sistema é possível.
Como a característica é 2 e o número de incógnitas é 3, o grau de indeterminação é 1.
� Se � = 1; (o outro caso em que um pivot é nulo)
car
264 1 1 10 �1 0
0 0 0
375 = 2 e car
264 1 1 1 20 �1 0 �3
0 0 0 2
375 = 3;
pelo que o sistema é impossível.
Conclusão:
O sistema é possível e determinado se e só se � 6= 1 e � 6= �1:
O sistema é possível e indeterminado, com grau de indeterminação 1, se e só se � = �1:
O sistema é impossível se e só se � = 1:
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Cálculo da inversa de uma matriz pelo método de Gauss-Jordan
SejaA umamatriz invertível. Pretende-se encontrar umamatriz de ordem n tal queAB = In:
Seja B =
h
B1 B2 B3 � � � Bn
i
uma matriz com colunas B1; B2; B3; � � � ; Bn. Tem-se:
AB = In ,
, A
h
B1 B2 B3 � � � Bn
i
= In ,
,
h
AB1 AB2 AB3 � � � ABn
i
= In ,
, AB1 =
266666664
1
0
0
...
0
377777775
; AB2 =
266666664
0
1
0
...
0
377777775
; AB3 =
266666664
0
0
1
...
0
377777775
; � � � ; ABn =
266666664
0
0
0
...
1
377777775
Cada uma das igualdades anteriores corresponde a um sistema de equações lineares. A
determinação da inversa da matriz A pode então fazer-se pela resolução de n sistemas de
equações lineares, todos com a mesma matriz simples. Como a inversa de uma matriz é
única, cada um dos sistemas anteriores é possível e determinado, pelo que car (A) = n e a
forma condensada da matriz A é In:
Usando o método de Gauss-Jordan é possível resolver os n sistemas em simultâneo, conden-
sando a matriz aumentada: 266666664
A
�������������
1 0 0 � � � 0
0 1 0 � � � 0
0 0 1 � � � 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 � � � 1
377777775
Quando se chega, no lado esquerdo à forma condensada de A, que é In, do lado direito temos
em cada coluna a solução do sistema correspondente, ou seja, temos a matriz A�1:
Resumindo: Para calcular a inversa de uma matriz A :
[AjIn] �! � � � �! � � � �!| {z } �InjA�1�
Método de eliminação de Gauss-Jordan
Pode-se ainda concluir o seguinte resultado que fornece um modo de determinar quais são
as matrizes invertíveis:
Teorema Uma matriz quadrada A; de ordem n; é invertível se e só se carA = n:
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Exemplo: A matriz A =
264 1 2 34 5 6
6 8 9
375 é invertível pois a sua característica é 3 (veri…car).
Para a inverter constrói-se a matriz ampliada264 1 2 3 1 0 04 5 6 0 1 0
6 8 9 0 0 1
375
Condensando esta matriz obtém-se264 1 0 0 �1 2 �10 1 0 0 �3 2
0 0 1 2
3
4
3
�1
375 ;
pelo que
A�1 =
264 �1 2 �10 �3 2
2
3
4
3
�1
375

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