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ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 13 Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x1; x2; :::; xn é uma expressão da forma: a1x1 + a2x2 + :::+ anxn = b (1) onde a1; a2; :::; an; b são constantes reais. A b chama-se termo independente da equação. Exemplos: 1. A equação 2x1+3x2+x3 = 2, que representa um plano no espaço usual, é uma equação linear. 2. As equações x1�2x22+x3 = 0, 2x1+3 p x2 = 5 e x1 = cos x2 são exemplos de equações não lineares. Um sistema de equações lineares nas incógnitas x1; x2; :::; xn é um conjunto nito de equações lineares nessas incógnitas, que se pode representar na forma:8>>>><>>>>: a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + :::+ a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + :::+ amnxn = bm (2) Exemplos: 1. O conjunto de equações ( 2x1 + 3x2 + x3 = 2 �x1 + x2 � 3x3 = 0 ; (3) que representa uma recta no espaço usual, é um sistema de equações lineares, com três incógnitas e duas equações. 2. O conjunto de equações 8>>>><>>>>: 2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 2 x1 + 3x2 + x3 � x4 = 2 �2x1 � x2 + 2x3 � x4 = �1 �x1 + x2 � 3x3 + 2x4 = 0 ; (4) é um sistema de quatro equações e quatro incógnitas. ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 14 Soluções de sistemas de equações Uma solução de uma equação linear da forma (1) é uma sequência (s1; s2; :::; sn) de números reais para os quais, substituindo x1 = s1; x2 = s2; : : : ; xn = sn; se obtém uma igualdade verdadeira, isto é, a1s1 + a2s2 + :::+ ansn = b: Exemplo: A sequência (1; 1;�3) é uma solução da equação 2x1 + 3x2 + x3 = 2, porque 2� 1 + 3� 1 + (�3) = 2 Uma solução de um sistema de equações lineares da forma (2) é uma sequência (s1; s2; :::; sn) de números reais que é solução de cada uma das equações lineares que compõe o sistema. Exemplos: 1. � 0; 3 5 ; 1 5 � é uma solução do sistema (3) porque 8><>: 2� 0 + 3� 3 5 + 1 5 = 2 �0 + 3 5 � 3� 1 5 = 0 Como foi referido atrás, (1; 1;�3) é solução da primeira equação do sistema, mas não é solução do sistema pois não satisfaz a segunda equação. Com efeito �1 + 1� 3� (�3) 6= 0: 2. s1 = 16 55 ; s2 = 29 55 ; s3 = � 1 55 ; s4 = � 8 55 é a única solução do sistema (4). Claramente, um sistema de equações lineares pode não ter solução ou ter uma só solução ou ter mais do que uma solução. Chama-se solução geral ou conjunto solução de um sistema de equações lineares ao conjunto de todas as suas soluções. Os sistemas de equações podem-se classi car da seguinte forma: - sistema impossível - não tem qualquer solução - o conjunto solução é vazio. - sistema possível e determinado - tem uma única solução - o conjunto solução tem apenas um elemento. - sistema possível e indeterminado - tem mais do que uma solução - neste caso o conjunto solução é in nito. ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 15 Exemplos: 1. Exemplos geométricos Como é sabido uma equação linear do tipo ax1 + bx2 = c corresponde a uma recta no plano. Assim, a existência ou inexistência de soluções de um sistema de equações lineares com 2 variáveis pode ser estudada através da intersecção ou não das rectas que correspondem às equações que constituem o sistema. Vamos ver alguns casos: (a) O sistema 8><>: x1 + 2x2 = 3 2x1 � x2 = 0 3x1 + x2 = �1 pode ser representado gra camente da seguinte forma: -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 2 4 x y As rectas intersectam-se duas a duas, mas não há um ponto de intersecção das três rectas. Isto é, não há nenhum ponto do plano que pertença simultaneamente às três rectas. Conclui-se assim que o sistema não tem solução e é, portanto, impossível. (b) O sistema 8><>: x1 + 2x2 = 0 2x1 � x2 = 0 3x1 + x2 = 0 admite a seguinte representação grá ca: -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 2 4 x y Aparentemente as três rectas passam na origem, o que facilmente se constata através das equações. Então, o par (x1; x2) = (0; 0) é uma solução do sistema de equações e é a única solução, pelo que o sistema é possível e determinado. ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 16 (c) Para o sistema ( 2x1 + x2 = 3 4x1 + 2x2 = �2 temos o grá co: -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 2 4 x y As equações correspondem a rectas paralelas (o declive é o mesmo). Por isso o sistema não tem solução e é um sistema impossível. (d) As equações do sistema ( �x1 + 2x2 = 4 2x1 � 4x2 = �8 admitem o seguinte grá co: -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 2 4 x y Ambas as equações representam a mesma recta (repare-se que a segunda equação resulta da primeira multiplicada por �2). Todos os pares da forma (x1; x2) = (�; 2 + � 2 ); � 2 R são soluções do sistema e o sistema é possível, mas indeterminado. 2. Exemplos que não admitem representação geométrica no plano. (a) O sistema ( 2x1 + 2x2 � 4x3 = 2 �x1 � x2 + 2x3 = 0 é impossível. É fácil constatar que os primeiros membros das duas equações são múltiplos um do outro, o mesmo não acontecendo com o segundo. ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 17 (b) O sistema (3), é possível e indeterminado, pois a sua solução geral (ou o seu conjunto solução) é o conjunto S = � (x1;x2; x3) 2 R3 : x1 = 2 5 � 2x3; x2 = 2 5 + x3 � : Podemos também escrever que as soluções são da forma S = � 2 5 � 2x3; 2 5 + x3; x3 � ; x3 2 R Atribuindo valores a x3, conseguimos encontrar diferentes soluções particulares para o sistema. Por exemplo, para x3 = 0; obtém-se a solução � 2 5 ; 2 5 ; 0 � : Para x3 = 1 5 ; temos a solução � 0; 3 5 ; 1 5 � : (c) Como já foi referido o sistema (4) tem como única solução� 16 55 ; 29 55 ;� 1 55 ;� 8 55 � e é, portanto, possível e determinado. Quando um sistema é indeterminado, a solução geral é do tipo da que foi obtida no exemplo 2.b, em que se obtêm umas variáveis em função das outras. As variáveis dividem-se, então, em variáveis livres ou independentes (no exemplo 2.b, x3 é livre) e variáveis dependentes ou principais (no exemplo 2.b, x1 e x2 são principais). Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se têm o mesmo conjunto de soluções. Resolver um sistema signi ca determinar o seu conjunto solução. Os processos de reso- lução de sistemas de equações consistem em transformar os sistemas iniciais em sistemas equivalentes que forneçam de uma forma clara a solução geral. Vamos ver como a teoria de matrizes se aplica à resolução de sistemas de equações lineares. ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 18 Forma matricial de um sistema de equações lineares Um sistema de equações lineares8>>>><>>>>: a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + :::+ a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + :::+ amnxn = bm pode ser representado na forma266664 a11 a12 � � � a1n a21 a22 � � � a2n ... ... . . . ... am1 am2 � � � amn 377775 | {z } A � 266664 x1 x2 ... xn 377775 | {z } X = 266664 b1 b2 ... bm 377775 | {z } B : À matriz A chama-se matriz dos coe cientes ou matriz simples, à matriz X chama-se matriz das incógnitas e à matriz B chama-se matriz dos termos independentes ou simplesmente termo independente. A matriz 266664 a11 a12 � � � a1n a21 a22 � � � a2n ... ... . . . ... am1 am2 � � � amn ���������� b1 b2 ... bm 377775 denomina-se matriz ampliada do sistema, que se abrevia por [AjB] : Se (s1; : : : ; sn) é solução de um sistema de equações lineares com a forma matricial AX = B, então, matricialmente podemos representar a solução por uma matriz coluna S = 2664 s1 ... sn 3775 ; para a qual a igualdade AS = B é válida. Exemplos: 1. A forma matricial do sistema ( 2x1 + 3x2 + x3 = 2 �x1 + x2 � 3x3 = 0 é " 2 3 1 �1 1 �3 #264 x1x2 x3 375 = " 2 0 # ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 19 A sua matriz ampliada é " 2 3 1 2 �1 1 �3 0 # 2. A forma matricial do sistema8>>>><>>>>: 2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 2 x1+ 3x2 + x3 � x4 = 2 �2x1 � x2 + 2x3 � x4 = �1 �x1 + x2 � 3x3 + 2x4 = 0 ; é 266664 2 3 1 1 1 3 3 �1 �2 �1 2 �1 �1 1 �3 2 377775 266664 x1 x2 x3 x4 377775 = 266664 2 2 �1 0 377775 A sua matriz ampliada é 266664 2 3 1 1 2 1 3 3 �1 2 �2 �1 2 �1 �1 �1 1 �3 2 0 377775 3. À matriz ampliada 264 5 0 1 �1 3 �50 3 0 �1 0 2 �2 1 �3 0 �1 0 375 corresponde o sistema 8><>: 5x1 + x3 � x4 + 3x5 = �5 3x2 � x4 = 2 �2x1 + x2 � 3x3 � x5 = 0 ; ou, na forma matricial 264 5 0 1 �1 30 3 0 �1 0 �2 1 �3 0 �1 375 26666664 x1 x2 x3 x4 x5 37777775 = 264 �52 0 375 : ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 20 Resolução de sistemas de equações lineares As seguintes operações, quando efectuadas sobre um sistema de equações lineares, transfor- mam-no num sistema equivalente, ou seja, não alteram o seu conjunto solução: (Op1) Trocar a ordem de duas equações; (Op2) Multiplicar ambos os lados da equação por uma constante não nula; (Op3) Adicionar a uma equação, outra multiplicada por uma constante. Efectuar cada uma destas operações sobre um sistema de equações lineares é equivalente a efectuar a correspondente operação elementar sobre as linhas da matriz ampliada do sistema. Isto conduz aos seguintes métodos de resolução de sistemas: Método de eliminação de Gauss-Jordan Utilizando o método de eliminação de Gauss descrito para matrizes pode-se obter, a partir da matriz ampliada do sistema, uma matriz em forma condensada. Esta matriz representa um sistema equivalente ao primeiro e permite obter a solução geral do sistema inicial. Cada pivot da matriz condensada corresponde a uma variável dependente na solução do sistema. As colunas onde não guram pivots correspondem às variáveis independentes. Exemplos: 1. Ao sistema 8><>: 2x1 + 3x2 + x3 = 2 �x1 + x2 � 3x3 = 0 x1 + 4x2 � 2x3 = 2 (5) corresponde a matriz ampliada264 2 3 1 2�1 1 �3 0 1 4 �2 2 375 : A forma condensada desta matriz é264 1 0 2 2 5 0 1 �1 2 5 0 0 0 0 375 ; à qual corresponde o sistema8><>: x1 + 2x3 = 2 5 x2 � x3 = 25 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 ; ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 21 ainda equivalente a 8><>: x1 = 2 5 � 2x3 x2 = 2 5 + x3 0 = 0 ; que, como foi referido atrás, é equivalente ao sistema inicial. Daqui conclui-se facilmente que a solução geral do sistema é dada por S = � (x1;x2; x3) 2 R3 : x1 = 2 5 � 2x3; x2 = 2 5 + x3 � : As variáveis dependentes são x1 e x2; que correspondem aos pivots na matriz condensada, e a variável livre é x3: A solução geral pode-se ainda expressar na forma S = � 2 5 � 2x3; 2 5 + x3; x3 � = = � 2 5 ; 2 5 ; 0 � + (�2x3; x3; x3) = = � 2 5 ; 2 5 ; 0 � + x3 (�2; 1; 1) ; x3 2 R; ou na forma matricial S = 264 2 5 � 2x3 2 5 + x3 x3 375 = = 264 2 5 2 5 0 375+ 264 �2x3x3 x3 375 = = 264 2 5 2 5 0 375+ x3 264 �21 1 375 ; x3 2 R: 2. Ao sistema 8><>: 2x1 + 3x2 + x3 = 2 �x1 + x2 � 3x3 = 0 x1 + 4x2 � 2x3 = 4 corresponde a matriz ampliada264 2 3 1 2�1 1 �3 0 1 4 �2 4 375 : A forma condensada desta matriz é264 1 0 2 00 1 �1 0 0 0 0 1 375 ; ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 22 à qual corresponde o sistema8><>: x1 + 2x3 = 0 x2 � x3 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1 ; que é claramente impossível. 3. Ao sistema 8><>: 2x1 + 3x2 + x3 = 2 �x1 + x2 � 3x3 = 0 x1 + 4x2 + 2x3 = 2 (6) corresponde a matriz ampliada264 2 3 1 2�1 1 �3 0 1 4 2 2 375 : A forma condensada desta matriz é264 1 0 0 2 5 0 1 0 2 5 0 0 1 0 375 ; à qual corresponde o sistema 8><>: x1 = 2 5 x2 = 2 5 x3 = 0 : Conclui-se que o sistema é possível e determinado, com solução S = � 2 5 ; 2 5 ; 0 � : 4. Ao sistema 8><>: 2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 2 �x1 + x2 � 3x3 � x4 = 0 x1 + 4x2 � 2x3 = 2 (7) corresponde a matriz ampliada264 2 3 1 1 2�1 1 �3 �1 0 1 4 �2 0 2 375 : A forma condensada desta matriz é264 1 0 2 4 5 2 5 0 1 �1 �1 5 2 5 0 0 0 0 0 375 ; ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 23 à qual corresponde o sistema8><>: x1 + 2x3 + 4 5 x4 = 2 5 x2 � x3 = 25 0 = 0 : equivalente a ( x1 = 2 5 � 2x3 � 45x4 x2 = 2 5 + x3 + 1 5 x4 : Daqui conclui-se facilmente que a solução geral do sistema é dada por S = � (x1;x2; x3; x4) 2 R3 : x1 = 2 5 � 2x3 � 4 5 x4; x2 = 2 5 + x3 + 1 5 x4 � : As variáveis dependentes são x1 e x2; que correspondem aos pivots na matriz con- densada, e as variáveis livres são x3 e x4: A solução geral pode-se ainda expressar na forma S = � 2 5 � 2x3 � 4 5 x4; 2 5 + x3 + 1 5 x4; x3; x4 � = = � 2 5 ; 2 5 ; 0; 0 � + (�2x3; x3; x3; 0) + � �4 5 x4; 1 5 x4; 0; x4 � = = � 2 5 ; 2 5 ; 0 � + x3 (�2; 1; 1; 0) + x4 �� �4 5 ; 1 5 ; 0; 1 �� ; x3; x4 2 R; ou na forma matricial S = 266664 2 5 2 5 0 0 377775+ 266664 �2x3 x3 x3 0 377775+ 266664 �4 5 x4 1 5 x4 0 x4 377775 = = 266664 2 5 2 5 0 0 377775+ x3 266664 �2 1 1 0 377775+ x4 266664 �4 5 1 5 0 1 377775 ; x3; x4 2 R: Método de eliminação de Gauss Utilizando também o método de eliminação de Gauss chegase, a partir da matriz ampliada do sistema, a uma matriz em forma de escada. O sistema correspondente a essa matriz resolve-se então por substituição, até obter a solução geral. Exemplo Ao sistema 8><>: 2x1 + 3x2 + x3 = 2 �x1 + x2 � 3x3 = 0 x1 + 4x2 + 2x3 = 2 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 24 corresponde a matriz ampliada 264 2 3 1 2�1 1 �3 0 1 4 2 2 375 : Pelo método de eliminação obtemos a partir da matriz ampliada a seguinte matriz em forma de escada 264 1 �1 3 00 5 �5 2 0 0 4 0 375 ; que corresponde ao sistema 8><>: x1 � x2 + 3x3 = 0 5x2 � 5x3 = 2 4x3 = 0 ; que é, portanto, equivalente ao primeiro. Da última equação é imediato que x3 = 0. Substituindo este valor na segunda equação obtém-se x2 = 2 5 e, nalmente, substi- tuindo ambos os valores na primeira equação vem x1 = 2 5 : Grau de indeterminação de um sistema Considere-se um sistema AX = B; com A do tipo m� n (m equações e n incógnitas). O número de variáveis livres na solução geral do sistema chama-se grau de indeterminação do sistema. Exemplos: 1. O sistema (5) da página 20 tem grau de indeterminação 1 pois a única variável livre é x3: 2. Um sistema possível e determinado, como o sistema (6) da página 22, tem grau de indeterminação 0. 3. O sistema (7) da página 22 tem grau de indeterminação 2, pois tem duas variáveis livres na solução geral. Como o número de variáveis livres é igual ao número total de incógnitas menos o número de pivots da matriz em forma de escada obtida a partir da matriz ampliada do sistema e o ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 25 número de pivots é exactamente a característica da matriz, podemos concluir que o grau de indeterminação de um sistema AX = B; com matriz ampliada [AjB] é dado por: n� car [AjB] : Pode-se concluir, ainda, que um sistema possível é determinado se car [AjB] = n: Solução geral matricial de um sistema indeterminado e soluções particulares Seja AX = B (Am�n) um sistema possível e indeterminado, em que car [AjB] = r. Como já foi exempli cado atrás, a solução geral do sistema pode-se apresentar na forma matricial S = S0 + xi1C1 + xi2C2 + : : :+ xin�rCn�r; com xi1 ; xi2 ; xin�r 2 R em que S0; C1; : : : ; Cn�r são matrizes coluna de tipo n� 1 e xi1 ; xi2 ; : : : ; xin�r correspondem às variáveis livres da solução. Fazendo todas as possíveis concretizações para as variáveis xi1 ; xi2 ; : : : ; xin�r obtêm-se todas as possíveis soluções do sistema. Em particular S0 é solução (basta fazer xi1 = xi2 = : : : = xin�r = 0): Portanto, para obter soluções particulares de um sistema indeterminado, basta atribuir valores às variáveis livres na solução geral. Exemplo: Consideremos o sistema (7) resolvido na página 228><>: 2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 2 �x1 + x2 � 3x3 � x4 = 0 x1 + 4x2 � 2x3 = 2 ; que tem solução geral S = �(x1;x2; x3; x4) 2 R3 : x1 = 2 5 � 2x3 � 4 5 x4; x2 = 2 5 + x3 + 1 5 x4 � : Esta solução pode ser representada em forma matricial por S = 266664 2 5 2 5 0 0 377775+ x3 266664 �2 1 1 0 377775+ x4 266664 �4 5 1 5 0 1 377775 ; x3; x4 2 R: Para obter soluções particulares do sistema atribuem-se valores às variáveis livres. ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 26 Fazendo, por exemplo, x3 = 1 e x4 = 2 obtém-se a solução S = 266664 2 5 2 5 0 0 377775+ 1 266664 �2 1 1 0 377775+ 2 266664 �4 5 1 5 0 1 377775 = 266664 �16 5 9 5 1 2 377775 : Para x3 = �2 e x4 = 10 temos S = 266664 2 5 2 5 0 0 377775� 2 266664 �2 1 1 0 377775+ 10 266664 �4 5 1 5 0 1 377775 = 266664 �18 5 2 5 �2 10 377775 : Sistemas homogéneos Um sistema de equações lineares AX = B diz-se homogéneo se B = 0; ou seja, se o termo independente de cada equação é 0: Qualquer sistema de equações homogéneo é possível, dado admitir sempre a solução nula, isto é, a solução x1 = x2 = : : : = xn = 0; que se chama solução trivial. Se o sistema é indeterminado as outras soluções dizem-se não triviais. A qualquer sistema de equações AX = B corresponde um sistema homogéneo, o sistema AX = 0; que se chama sistema homogéneo associado ao sistema AX = B. Se S = S0 + xi1C1 + xi2C2 + : : : + xin�rCn�r é a solução geral do sistema AX = B então S = xi1C1+xi2C+: : :+xin�rCn�r é a solução geral do sistema homogéneo associado. Pode-se concluir que um sistema de equações lineares possível tem o mesmo grau de indeterminação do sistema homogéneo que lhe está associado. Exemplos: 1. O sistema homogéneo associado ao sistema8><>: 2x1 + 3x2 + x3 = 2 �x1 + x2 � 3x3 = 0 x1 + 4x2 � 2x3 = 2 (sistema (5) resolvido na página 20) é 8><>: 2x1 + 3x2 + x3 = 0 �x1 + x2 � 3x3 = 0 x1 + 4x2 � 2x3 = 0 ; ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 27 que tem, portanto, como solução geral, em forma matricial: S = 26664 �2x3 x3 x3 37775 ; x3 2 R: 2. O sistema homogéneo associado ao sistema (7) da página 22 é8><>: 2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0 �x1 + x2 � 3x3 � x4 = 0 x1 + 4x2 � 2x3 = 0 ; tem solução geral S = � (x1;x2; x3; x4) 2 R3 : x1 = �2x3 � 4 5 x4; x2 = x3 + 1 5 x4 � ou, na forma matricial S = x3 266664 �2 1 1 0 377775+ x4 266664 �4 5 1 5 0 1 377775 ; x3; x4 2 R: Discussão e classi cação de um sistema Considere-se um sistema AX = B de m equações e n incógnitas. Utilizando o método de eliminação de Gauss-Jordan, através da análise da matriz condensada obtida a partir da matriz ampliada [AjB] pode-se concluir que: O sistema é: 8>>>><>>>>: impossível se e só se carA 6= car [AjB] possível e determinado se e só se carA = car [AjB] e carA = n possível e indeterminado se e só se carA = car [AjB] e carA < n (com grau de indeterminação n� carA) Nota: Para classi car um sistema basta, portanto, determinar a característica de [AjB] ; para o que não é necessário condensar a matriz, sendo su ciente obter uma forma de escada da matriz inicial. Exemplo: Ao sistema 8><>: x+ y + z = 2 x+ z = � x+ y + �2z = � + 3 ; �; � 2 R; corresponde a matriz ampliada 264 1 1 1 21 0 1 � 1 1 �2 � + 3 375 : ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 28 Uma forma de escada da matriz ampliada pode ser264 1 1 1 20 �1 0 � � 2 0 0 �2 � 1 � + 1 375 : A partir desta matriz efectua-se a discussão do sistema em função do parâmetro � : � Se � 6= 1 e � 6= �1, ou seja, quando todos os pivots são diferentes de 0, temos que car 264 1 1 10 �1 0 0 0 �2 � 1 375 = 3 e car 264 1 1 1 20 �1 0 � � 2 0 0 �2 � 1 � + 1 375 = 3; pelo que o sistema é possível. Como a característica é igual ao número de incógnitas, o sistema é possível e determi- nado (neste caso o grau de indeterminação é 0). � Se � = �1; (um dos casos em que um dos pivots é 0) car 264 1 1 10 �1 0 0 0 0 375 = 2 e car 264 1 1 1 20 �1 0 �3 0 0 0 0 375 = 2; pelo que o sistema é possível. Como a característica é 2 e o número de incógnitas é 3, o grau de indeterminação é 1. � Se � = 1; (o outro caso em que um pivot é nulo) car 264 1 1 10 �1 0 0 0 0 375 = 2 e car 264 1 1 1 20 �1 0 �3 0 0 0 2 375 = 3; pelo que o sistema é impossível. Conclusão: O sistema é possível e determinado se e só se � 6= 1 e � 6= �1: O sistema é possível e indeterminado, com grau de indeterminação 1, se e só se � = �1: O sistema é impossível se e só se � = 1: ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 29 Cálculo da inversa de uma matriz pelo método de Gauss-Jordan SejaA umamatriz invertível. Pretende-se encontrar umamatriz de ordem n tal queAB = In: Seja B = h B1 B2 B3 � � � Bn i uma matriz com colunas B1; B2; B3; � � � ; Bn. Tem-se: AB = In , , A h B1 B2 B3 � � � Bn i = In , , h AB1 AB2 AB3 � � � ABn i = In , , AB1 = 266666664 1 0 0 ... 0 377777775 ; AB2 = 266666664 0 1 0 ... 0 377777775 ; AB3 = 266666664 0 0 1 ... 0 377777775 ; � � � ; ABn = 266666664 0 0 0 ... 1 377777775 Cada uma das igualdades anteriores corresponde a um sistema de equações lineares. A determinação da inversa da matriz A pode então fazer-se pela resolução de n sistemas de equações lineares, todos com a mesma matriz simples. Como a inversa de uma matriz é única, cada um dos sistemas anteriores é possível e determinado, pelo que car (A) = n e a forma condensada da matriz A é In: Usando o método de Gauss-Jordan é possível resolver os n sistemas em simultâneo, conden- sando a matriz aumentada: 266666664 A ������������� 1 0 0 � � � 0 0 1 0 � � � 0 0 0 1 � � � 0 ... ... ... . . . ... 0 0 0 � � � 1 377777775 Quando se chega, no lado esquerdo à forma condensada de A, que é In, do lado direito temos em cada coluna a solução do sistema correspondente, ou seja, temos a matriz A�1: Resumindo: Para calcular a inversa de uma matriz A : [AjIn] �! � � � �! � � � �!| {z } �InjA�1� Método de eliminação de Gauss-Jordan Pode-se ainda concluir o seguinte resultado que fornece um modo de determinar quais são as matrizes invertíveis: Teorema Uma matriz quadrada A; de ordem n; é invertível se e só se carA = n: ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 2010/2011 - Sistemas de Equações Lineares 30 Exemplo: A matriz A = 264 1 2 34 5 6 6 8 9 375 é invertível pois a sua característica é 3 (veri car). Para a inverter constrói-se a matriz ampliada264 1 2 3 1 0 04 5 6 0 1 0 6 8 9 0 0 1 375 Condensando esta matriz obtém-se264 1 0 0 �1 2 �10 1 0 0 �3 2 0 0 1 2 3 4 3 �1 375 ; pelo que A�1 = 264 �1 2 �10 �3 2 2 3 4 3 �1 375
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