Lista de Exercícios - Vetores e Matrizes - Parte B

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S E R V I Ç O P Ú B L I C O F E D E R A L – M I N I S T É R I O D A E D U C A Ç Ã O 
U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D E A L F E N A S 
B A C H A R E L A D O I N T E R D I S C I P L I N A R E M C I Ê N C I A S E T E C N O L O G I A 
C A M P U S P O Ç O S D E C A L D A S 
 
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ÁLGEBRA LINEAR – LISTA DE EXERCÍCIOS 
VETORES E MATRIZES: PARTE-B
 
1) Sejam (
 
 
) e (
 
 
), se é 
uma matriz simétrica, qual o valor de ? 
2) Determine o posto e a nulidade das matrizes abaixo: 
 (
 
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
) 
 (
 
 
 
 
); ; 
 
3) Verifique se (
 
 
 
) é inversível e 
determine sua inversa utilizando escalonamento. 
 
 
1) Verifique se os sistemas lineares abaixo têm solução 
utilizando o conceito de Posto e caso haja, exiba o 
conjunto solução. 
a. {
 
 
; 
 
b. {
 
 
 
 ; 
c. {
 
 
 
 
 
d. {
 
 
 ; 
 
 
1) Calcule o determinante das matrizes abaixo: 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
) 
 (
 
 
 
) (
 
 
 
) 
 
2) Qual a relação entre os determinantes das matrizes abaixo? 
 (
 
 
 
) (
 
 
 
) 
 
3) Seja tal que ( ) . Se multiplicarmos a 
primeira linha de por três, dividirmos a segunda coluna 
de por nove, e depois trocarmos a linha um com a linha 
dois, qual será o determinante desta nova matriz? 
 
4) Sejam e matrizes quadradas de ordem três e . 
Se ( ) e ( ) . Qual o valor de ? 
 
5) Para que valores de a matriz (
 
 
 
) 
é inversível? 
 
6) Sabendo que |
 
 
 
| , encontre: 
a. |
 
 
 
|; 
 
b. |
 
 
 
| 
 
c. |
 
 
 
| 
 
d. |
 
 
 
|; 
 
 
7) Encontre os possíveis valores para para que as matrizes 
abaixo não sejam inversíveis. 
 
a. (
 
 
); 
 
b. (
 
 
 
); 
 
8) Seja (
 
 
 
), calcule o determinante de 
utilizando: 
a. Escalonamento; 
b. Co-fatores; 
c. Escalonamento e Co-fatores; 
 
9) Como é afetada a matriz se: 
a. Permutamos em a i-esima com a j-ésima linha? 
b. A i-ésima linha de é multiplicada por um 
escalar ? 
c. A j-ésima linha de e somada a vezes a i-
ésima linha? 
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10) Suponha que e que seja inversível. Mostre 
que . Em geral, se não for inversível essa 
afirmação é verdadeira? 
 
11) Suponha e matrizes quadradas onde e são 
matrizes inversíveis. Mostre que é inversível. 
(Sugestão: Seja , e resolva essa equação para ). 
 
12) Sejam (
 
 
 
) e (
 
 
). Verifique 
que . é inversível? Justifique sua resposta. 
 
13) Suponha que seja uma matriz tal que tem 
uma única solução. Explique por que é possível afirmar 
que é inversível. 
 
 
 
14) Seja a matriz do exercício 8, usando as informações do 
quadro acima, encontre: 
a. ( ); 
b. ; 
 
15) Seja (
 
 
), use as informações do quadro acima 
para demonstrar que 
 
 
 ( )
(
 
 
) 
 
 
 
(
𝐶 𝐶 
𝐶 𝐶 
⋯ 𝐶 𝑛
⋯ 𝐶 𝑛
⋮ ⋮
𝐶𝑛 𝐶𝑛 
⋱ ⋮
⋯ 𝐶𝑛𝑛
) 
𝐴 
 
 (𝐴)
𝑎𝑑𝑗(𝐴) 
Seja 𝐴𝑛 𝑛 e 𝐶𝑖𝑗 o co-fator de 𝑎𝑖𝑗 então a matriz 
É chamada matriz dos co-fatores de 𝐴. 
A transposta desta matriz é chamada de Adjunta de 𝐴 e 
denotada por 𝑎𝑑𝑗(𝐴). 
 
Se 𝐴 é uma matriz inversível, então