Nota 5: Amortização de dívidas e critério do VPL

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Notas de aula para o curso de Engenharia Econômica 
Nota 5: Amortização de dívidas e critério do VPL 
Thiago Fonseca Morello 
fonseca.morello@ufabc.edu.br 
sala 301, Bloco Delta, SBC 
1 Sistemas de amortização 
1.1 Teoria 
Por “amortização” entende-se a quitação ou pagamento gradual (em prestações) de uma 
dívida. Trata-se, pois, do que, na prática se denomina por parcelamento de dívidas. Os 
sistemas de amortização podem ser, com base nesta terminologia coloquial, 
interpretados como sistemas alternativos de parcelamento de dívidas. Eles diferem em 
função da maneira como os dois componentes do valor da dívida, principal e juro, são 
pagos ao longo do tempo. 
Seguindo a apresentação de Bueno et al (2011, cap.5), é possível representar o valor 
total da prestação paga no t-ésimo período como Rt = Jt + At, em que J e A representam, 
respectivamente, os valores pagos em t do juro e do principal. Os sistemas de 
amortização que serão apresentados a seguir diferem exatamente em função da trajetória 
de Jt e At ao longo do período de quitação, mais precisamente, diferem em função das 
premissas adotadas para a quitação de juro e do principal. 
Outra variável crucial é o valor da dívida remanescente ou saldo devedor, representada 
por Pt e cujo comportamento é descrito pela equação Pt = Pt-1 - At, i.e., o valor do saldo 
devedor varia apenas em função da amortização do principal. É uma convenção comum 
a de que o valor do saldo devedor em t = 0, P0, seja igual ao valor do principal da 
dívida. 
1.1.1 Sistema de amortização constante (SAC) 
Trata-se de uma maneira de quitar uma dívida em que o valor da amortização se 
mantém constante no tempo em um valor equivalente à divisão do principal da dívida 
pelo número de períodos de tempo, i.e. A = P0/T. 
O valor do juro é calculado como Jt = iPt-1, i.e., sobre o valor do saldo devedor ao final 
do período anterior (início do período corrente). O procedimento para cálculo dos 
componentes de uma dívida está descrito abaixo. 
Procedimento do SAC 
Passo 0, calcular o valor da amortização At = P0/T 
Passo 1, calcular o valor do juro: Jt = iPt-1; 
2 
 
Passo 2, calcular o valor da prestação: Rt = At + Jt; 
Passo 3, calcular o valor do saldo devedor ao final do período: Pt = Pt-1 - At; 
A tabela a seguir descreve o SAC, considerando uma dívida cujo principal (P0) é de 
$120.000, o número de períodos (T) é de 12 meses e a taxa de juro é de 1% a.m. 
Lendo as tabelas de sistemas de amortização 
A primeira linha da tabela contém os nomes das colunas, cada uma delas 
correspondendo a um dos componentes da dívida. A segunda linha identifica as colunas 
com letras, as quais são empregadas para descrever as fórmulas. Ou seja, trata-se de 
descrever as operações em função das colunas. A terceira linha apresenta as fórmulas 
gerais. 
Tabela 1 SAC 
t 
Juro Amortização Prestação Saldo devedor 
[A = iD(t-1)] [B] [C = A+B] [D = D(t-1) - B] 
J(t) = iP(t-1) A(t) = P(0)/N R(t) = A(t) + J(t) P(t) = P(t-1) - A(t) 
0 120.000,00 
1 1.200,00 10.000,00 11.200,00 110.000,00 
2 1.100,00 10.000,00 11.100,00 100.000,00 
3 1.000,00 10.000,00 11.000,00 90.000,00 
4 900,00 10.000,00 10.900,00 80.000,00 
5 800,00 10.000,00 10.800,00 70.000,00 
6 700,00 10.000,00 10.700,00 60.000,00 
7 600,00 10.000,00 10.600,00 50.000,00 
8 500,00 10.000,00 10.500,00 40.000,00 
9 400,00 10.000,00 10.400,00 30.000,00 
10 300,00 10.000,00 10.300,00 20.000,00 
11 200,00 10.000,00 10.200,00 10.000,00 
12 100,00 10.000,00 10.100,00 0 
Total 7.800,00 120.000,00 127.800,00 
 
O diagrama abaixo apresenta o fluxo de caixa do SAC. 
 
 
A = P(0)/T
0 1 2 3 ... T
↓ ↓ ↓ ↓
R = A + J R = A + J R = A + J R = A + J
3 
 
1.1.2 Sistema Price ou francês 
O sistema Price estabelece que o valor da prestação é fixo e definido de maneira a que o 
valor presente da série de prestações seja equivalente ao valor do principal da dívida, P0. 
Ou seja: 
଴ܲ = ܴ ቆ(1 + ݅)் − 1݅(1 + ݅)் ቇ → ܴ = ଴ܲ ቆ(1 + ݅)் − 1݅(1 + ݅)் ቇିଵ 
Para determinar a parcela de cada prestação que corresponde ao juro e ao principal, 
adota-se um procedimento específico. Em primeiro lugar, deve-se partir de t = 1, i.e., do 
período que precede a contração da dívida. O primeiro passo consiste em calcular o 
valor do juro a partir da expressão Jt = iPt-1, a qual, para t = 1, é equivalente a J1 = iP0. 
No segundo passo, o valor da amortização é obtido como resíduo, ou seja, A1 = P1 – J1. 
No terceiro passo, calcula-se o valor do saldo devedor ao final de t = 1, a partir de P1 = 
P0 – A1. Para os períodos subsequentes, basta repetir os passos 1 a 3. Considerando isso, 
o procedimento do sistema Price, em termos genéricos, pode ser enunciado como segue. 
Procedimento do sistema Price 
Passo 0, calcular o valor da prestação Rt = ଴ܲ ቀ
(ଵା௜)೅ିଵ
௜(ଵା௜)೅ ቁିଵ 
Passo 1, calcular o valor do juro: Jt = iPt-1; 
Passo 2, calcular o valor da amortização: At = Pt - Jt; 
Passo 3, calcular o valor do saldo devedor ao final do período: Pt = Pt-1 - At; 
A tabela abaixo apresenta os resultados dos cálculos do sistema Price, considerando, 
assim como para o SAC, uma dívida cujo principal (P0) é de $120.000, o número de 
períodos (T) é de 12 meses e a taxa de juro é de 1% a.m. 
Tabela 2 Sistema Price 
t 
Juro Amortização Prestação Saldo devedor 
[A = iD(t-1)] [B = C - A] [C] [D = D(t-1) - B] 
J(t) = iP(t-1) A(t) = R(t) - J(t) R(t) = P(0).FRC P(t) = P(t-1) - A(t) 
0 120.000,00 
1 1.200,00 9.461,85 10.661,85 110.538,15 
2 1.105,38 9.556,47 10.661,85 100.981,67 
3 1.009,82 9.652,04 10.661,85 91.329,63 
4 913,30 9.748,56 10.661,85 81.581,08 
5 815,81 9.846,04 10.661,85 71.735,03 
6 717,35 9.944,50 10.661,85 61.790,53 
7 617,91 10.043,95 10.661,85 51.746,58 
8 517,47 10.144,39 10.661,85 41.602,19 
4 
 
9 416,02 10.245,83 10.661,85 31.356,36 
10 313,56 10.348,29 10.661,85 21.008,07 
11 210,08 10.451,77 10.661,85 10.556,29 
12 105,56 10.556,29 10.661,85 0 
Total 7.942,26 120.000,00 127.942,26 
 
O diagrama abaixo apresenta o fluxo de caixa do sistema Price. 
 
1.1.3 Sistema Americano 
O sistema americano de amortização se caracteriza por duas premissas principais. A 
primeira estabelece que o principal da dívida é quitado em apenas uma prestação a qual 
ocorre no último instante do período de quitação (t = T). Deste modo, nos demais 
períodos, t = 1,..., T-1, as prestações são compostas apenas do juro, Rt = Jt, t =1,...,T-1. 
A amortização é nula até o penúltimo período, At = 0, t =1,...,T-1. Consequentemente, o 
saldo devedor se mantém equivalenteao valor do principal, i.e., Pt = P0 para t = 1,..., T – 
1, e no último período, t = T, o saldo devedor é zerado, i.e., PT = 0. 
Como o juro também é calculado com base no saldo devedor, ele se mantém constante 
durante todo o período de quitação. De fato, Jt = iP0, t = 1,...,T. 
A segunda premissa é a de que, para fazer frente ao pagamento do principal no último 
período, será composto um fundo a partir de uma série de investimentos de igual valor. 
Ou seja, trata-se de aplicar S de t = 1 a t = T, de maneira a obter-se um fundo de valor 
futuro em t = T equivalente ao valor do principal. Tem-se, pois, um problema 
equivalente ao de determinação do valor do depósito, S, que gera uma série uniforme 
com valor futuro pré-determinado. O valor de S é dado por: 
଴ܲ = ܵ ቆ(1 + ݅)் − 1݅ ቇ → ܵ = ଴ܲ ቆ(1 + ݅)் − 1݅ ቇିଵ 
Desta maneira, a cada período é preciso desembolsar, para quitar uma dívida pelo 
sistema americano, um valor correspondente ao cômputo do juro e do depósito para 
formação do fundo. 
Procedimento do sistema americano 
VP(A) = P(0)
0 1 2 3 ... T
↓ ↓ ↓ ↓
R = A + J R = A + J R = A + J R = A + J
5 
 
Passo 0, calcular o valor do depósito no fundo para quitação do principal em t = T, S = 
଴ܲ ቀ
(ଵା௜)೅ିଵ
௜
ቁ
ିଵ
 
Passo 1, o valor do juro, J = iP0, da prestação, R = J e o valor desembolsado, D = R + 
S. Estes valores são iguais para todos os períodos de t = 1,..., T, com exceção da 
prestação que assume valor distinto em t = T. 
Passo 2, calcular o valor da prestação para o último período, RT = P0 + R. 
 
A tabela abaixo descreve a quitação de uma dívida pelo sistema americano, 
incorporando o depósito para formação de um fundo na penúltima coluna. A última 
coluna apresenta o desembolso total que tem de ser realizado a cada período (prestação 
+ depósito). 
Tabela 3 Sistema americano 
t 
Juro Amortização Prestação Saldo devedor Depósito no fundo Desembolso 
[A = iD(t-1)] [B] [C = A+B] [D = D(t-1) - B] [D] [F = C + D] 
J(t) = iP(t-1) A(t) = P(0)1{t = T} R(t) = A(t) + J(t) P(t) = P(t-1) - A(t) P(0).FFF 
0 120.000,00 
1 1.200,00 0 1.200,00 120.000,00 9.461,85 10.661,85 
2 1.200,00 0 1.200,00 120.000,00 9.461,85 10.661,85 
3 1.200,00 0 1.200,00 120.000,00 9.461,85 10.661,85 
4 1.200,00 0 1.200,00 120.000,00 9.461,85 10.661,85 
5 1.200,00 0 1.200,00 120.000,00 9.461,85 10.661,85 
6 1.200,00 0 1.200,00 120.000,00 9.461,85 10.661,85 
7 1.200,00 0 1.200,00 120.000,00 9.461,85 10.661,85 
8 1.200,00 0 1.200,00 120.000,00 9.461,85 10.661,85 
9 1.200,00 0 1.200,00 120.000,00 9.461,85 10.661,85 
10 1.200,00 0 1.200,00 120.000,00 9.461,85 10.661,85 
11 1.200,00 0 1.200,00 120.000,00 9.461,85 10.661,85 
12 1.200,00 120.000,00 121.200,00 0 9.461,85 10.661,85 
Total 14.400,00 120.000,00 134.400,00 113.542,26 127.942,26 
Nota: A fórmula para a amortização, A(t) = P(0)1{t = T}, incorpora a função matemática indicador, 
denotada por 1{condição}. Tal função reporta valor unitário caso a condição seja verificada e valor nulo 
caso contrário. 
A tabela acima deixa claro um ponto importante. Como o pagamento do principal é 
feito a partir da composição de um fundo, não é correto contabilizar tal pagamento 
como desembolso, uma vez que se trata da mera utilização do valor acumulado no 
fundo e não de um desembolso strictu sensu. Os desembolsos compreendem os 
depósitos no fundo, exclusivamente. 
6 
 
É preciso notar que o valor do desembolso periódico do sistema americano é 
equivalente à prestação do sistema Price. Ou seja, os dois sistemas requerem o mesmo 
desembolso periódico, uma vez que no sistema Price o valor desembolsado é igual à 
prestação. A equivalência entre os dois sistemas é sempre verdadeira, o que é possível 
demonstrar como segue. Para isso, denota-se a prestação do sistema Price por RPrice e o 
desembolso do sistema americano por Damericano. 
R௉௥௜௖௘ 	= P(0)ቆ ݅(1 + ݅)்(1 + ݅)் − 1ቇ (1) 
D஺௠௘௥௜௖௔௡௢ 	= R௔௠௘௥௜௖௔௡௢ + S = P(0)i + 	P(0)൬ ݅(1 + ݅)் − 1൰ (2) 
Manipulando a equação (2), tem-se: 
D஺௠௘௥௜௖௔௡௢ 	= P(0)i + 	P(0) ൬ ݅(1 + ݅)் − 1൰ = P(0)i	 ൬1 + ݅(1 + ݅)் − 1൰= P(0)i	 ቆ (1 + ݅)்(1 + ݅)் − 1ቇ = P(0) 	ቆ ݅(1 + ݅)்(1 + ݅)் − 1ቇ 
O que deixa claro que Damericano = RPrice. Na verdade, esta equivalência decorre de um 
resultado mais básico, o de que ݅ + ቀ ௜(ଵା௜)೅ିଵቁ = ቀ ௜(ଵା௜)೅(ଵା௜)೅ିଵቁ, ou seja, i + FFF = FRC, 
uma vez que FFF = ቀ ௜(ଵା௜)೅ିଵቁ e FRC = ቀ ௜(ଵା௜)೅(ଵା௜)೅ିଵቁ (ver nota de aula 3). 
O diagrama abaixo apresenta o fluxo de caixa do sistema americano. 
 
1.1.4 Semelhanças e diferenças entre os três sistemas de amortização 
Comparando o SAC e o sistema Price, tem-se que, enquanto no primeiro o valor da 
amortização é fixo, no segundo é o valor da prestação que é fixo. 
Somente no sistema americano a amortização é feita com apenas um pagamento, nos 
demais há amortização gradual do principal. 
O valor desembolsado a cada período para quitar a dívida por meio dos sistemas Price e 
americano é o mesmo e trata-se de um valor fixo no tempo. Já o SAC requer um 
desembolso diferente dos demais e cadente. Em oposição, a amortização é variável nos 
sistemas Price e americano e fixa no SAC. 
VF(S) = P(0)
0 1 2 3 ... T-1 T
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
D = J + S D = J + S D = J + S D = J + S D = P(0) + J + S
7 
 
Apenas o sistema americano requer a formação de um fundo para quitação do principal 
da dívida. 
Há três convenções que são comuns aos três sistemas. O juro é calculado com base no 
saldo devedor referente ao final do período anterior. O saldo devedor é atualizado 
deduzindo o valor amortizado a cada período. O valor da prestação corresponde ao 
cômputo da amortização do principal e do juro. 
1.2 Exercícios 
1 (Bueno et al., 2011, ex. 5.1, adaptado) Uma casa no valor de $100.000,00 foi 
adquirida por meio de um financiamento de 30 anos pelo sistema Price. Sabendo-se que 
a taxa de juros cobrada pelo banco é de 1,5% ao mês, determinar o valor da prestação 
[mensal], do saldo devedor, dos juros e da amortização referente à 35a prestação 
[mensal]. 
R: O diagrama de fluxo de caixa não é muito esclarecedor para a resolução de 
problemas de sistema de amortização, uma vez que estes requerem a elaboração de uma 
tabela que contém informação detalhada sobre o fluxo de caixa. 
Para elaborar a tabela, é preciso implementar o procedimento do sistema Price. 
Passo 0, calcular o valor da prestação 
Há um detalhe no enunciado que merece ser assinalado. As prestações são mensais, de 
modo que a duração do contrato de financiamento, em meses, é de 30 anos x 12 meses / 
ano = 360 meses. T = 360 meses, portanto. 
ܴ௧ = ଴ܲ ቆ ݅(1 + ݅)்(1 + ݅)் − 1ቇ = 100.000ቆ (1 + 0,015)ଷ଺଴ − 10,015(1 + 0,015)ଷ଺଴ቇ = 100.000 ∗ 	0,0150709= ܴ$	1.507,09. 
Passo 1, calcular o valor do juro em t = 1 
O juro é sempre calculado com base no saldo devedor, i.e., Jt = iPt-1, de modo que J1 = 
iP0 = R$1.500,00. 
Passo 2, calcular o valor da amortização em t = 1 
A amortização é calculada como resíduo da prestação, i.e., At = Pt - Jt, e, pois, A1 = P1 – 
J1 = 1507,09 – 1500 = $7,09. 
Passo 3, cálculo do saldo devedor ao final de t = 1 
O saldo devedor é atualizado a partir da subtração do valor amortizado, Pt = Pt-1 - At, ou 
seja, P1 = P0 – A1 = 100.000,00 - 7,09 = $99.992,91. 
Períodos subsequentes 
8 
 
A repetição dos passos 1 a 3 para os períodos subsequentes permite obter At, Jt e Pt. A 
tabela abaixo apresenta estes valores até o 35o período. 
t 
Juro Amortização Prestação Saldo devedor 
[A = iD(t-1)] [B = C - A] [C] [D = D(t-1) - B] 
J(t) = iP(t-1) A(t) = R(t) - J(t) R(t) = P(0).FRC P(t) = P(t-1) - A(t) 
0 100.000,00 
1 1.500,00 R$ 7,09 R$ 1.507,09 99.992,91 
2 1.499,89 R$ 7,19 R$ 1.507,09 99.985,72 
3 1.499,79 R$ 7,30 R$ 1.507,09 99.978,42 
4 1.499,68 R$ 7,41 R$ 1.507,0999.971,01 
5 1.499,57 R$ 7,52 R$ 1.507,09 99.963,49 
6 1.499,45 R$ 7,63 R$ 1.507,09 99.955,86 
7 1.499,34 R$ 7,75 R$ 1.507,09 99.948,11 
8 1.499,22 R$ 7,86 R$ 1.507,09 99.940,25 
9 1.499,10 R$ 7,98 R$ 1.507,09 99.932,27 
10 1.498,98 R$ 8,10 R$ 1.507,09 99.924,17 
11 1.498,86 R$ 8,22 R$ 1.507,09 99.915,94 
12 1.498,74 R$ 8,35 R$ 1.507,09 99.907,60 
13 1.498,61 R$ 8,47 R$ 1.507,09 99.899,13 
14 1.498,49 R$ 8,60 R$ 1.507,09 99.890,53 
15 1.498,36 R$ 8,73 R$ 1.507,09 99.881,80 
16 1.498,23 R$ 8,86 R$ 1.507,09 99.872,94 
17 1.498,09 R$ 8,99 R$ 1.507,09 99.863,95 
18 1.497,96 R$ 9,13 R$ 1.507,09 99.854,83 
19 1.497,82 R$ 9,26 R$ 1.507,09 99.845,56 
20 1.497,68 R$ 9,40 R$ 1.507,09 99.836,16 
21 1.497,54 R$ 9,54 R$ 1.507,09 99.826,62 
22 1.497,40 R$ 9,69 R$ 1.507,09 99.816,93 
23 1.497,25 R$ 9,83 R$ 1.507,09 99.807,10 
24 1.497,11 R$ 9,98 R$ 1.507,09 99.797,12 
25 1.496,96 R$ 10,13 R$ 1.507,09 99.786,99 
26 1.496,80 R$ 10,28 R$ 1.507,09 99.776,71 
27 1.496,65 R$ 10,43 R$ 1.507,09 99.766,28 
28 1.496,49 R$ 10,59 R$ 1.507,09 99.755,69 
29 1.496,34 R$ 10,75 R$ 1.507,09 99.744,94 
30 1.496,17 R$ 10,91 R$ 1.507,09 99.734,02 
31 1.496,01 R$ 11,08 R$ 1.507,09 99.722,95 
32 1.495,84 R$ 11,24 R$ 1.507,09 99.711,71 
33 1.495,68 R$ 11,41 R$ 1.507,09 99.700,30 
34 1.495,50 R$ 11,58 R$ 1.507,09 99.688,72 
35 1.495,33 R$ 11,75 R$ 1.507,09 99.676,96 
 
 
9 
 
 
2 (BOVESPA, Ex.186) Considere um empréstimo de R$100.000,00 a ser pago em 
dez prestações mensais, taxa de juro de 2% ao mês, pelo sistema de amortização 
constante (SAC). A segunda prestação vai ser igual a: 
a) R$11.800,00 
b) R$12.000,00 
c) R$12.200,00 
d) R$11.600,00 
R: Para resolver, basta implementar o procedimento do SAC. 
Passo 0, calcular o valor da amortização 
Trata-se de At = P0/T = 100.000/10 = 10.000. 
Passos 1 a 3, t = 1 
Passo 1, calcular o valor do juro em t = 1 
O juro incide sempre sobre o saldo devedor, Jt = iPt-1, de modo que J1 = iP0 = 
0,02*100.000 = $2.000. 
Passo 2, calcular o valor da prestação: 
A prestação é dada por Rt = At + Jt, i.e., R1 = A1 + J1 = 10.000 + 2.000 = 12.000. 
Passo 3, calcular o valor do saldo devedor ao final do período 
Trata-se de Pt = Pt-1 - At, de modo que de P1 = 100.000 – 10.000 = 90.000. 
 
Passos 1 a 3, t = 2 
Passo 1, calcular o valor do juro em t = 2 
J2 = iP1 = 0,02*90.000 = $1.800. 
Passo 2, calcular o valor da prestação: 
R2 = A2 + J2 = 10.000 + 1.800 = 11.800. 
Passo 3, calcular o valor do saldo devedor ao final do período 
P2 = 90.000 – 10.000 = 80.000. 
Períodos subsequentes 
10 
 
A tabela a seguir apresenta a evolução dos componentes da dívida. 
t 
Juro Amortização Prestação Saldo devedor 
[A = iD(t-1)] [B] [C = A+B] [D = D(t-1) - B] 
J(t) = iP(t-1) A(t) = P(0)/N R(t) = A(t) + J(t) P(t) = P(t-1) - A(t) 
0 100.000,00 
1 2.000,00 10.000,00 12.000,00 90.000,00 
2 1.800,00 10.000,00 11.800,00 80.000,00 
3 1.600,00 10.000,00 11.600,00 70.000,00 
4 1.400,00 10.000,00 11.400,00 60.000,00 
5 1.200,00 10.000,00 11.200,00 50.000,00 
6 1.000,00 10.000,00 11.000,00 40.000,00 
7 800,00 10.000,00 10.800,00 30.000,00 
8 600,00 10.000,00 10.600,00 20.000,00 
9 400,00 10.000,00 10.400,00 10.000,00 
10 200,00 10.000,00 10.200,00 - 
Total 11.000,00 100.000,00 111.000,00 
 
3 (BOVESPA, Ex.194) Uma empresa realizou financiamento de R$200.000,00 
pelo sistema de amortização americano (SAA). Sabendo que o prazo da operação é de 
18 meses e a taxa de juro igual a 2,5% ao mês, calcule o valor dos juros na 15ª 
prestação. 
a) R$5.000,00 
b) R$1.111,00 
c) R$13.934,02 
d) R$1.310,49 
R: O procedimento do sistema americano é implementado no que segue. 
Passo 0, calcular o valor do depósito no fundo 
O valor que tem de ser periodicamente depositado no fundo para pagamento do 
principal em T = 18 é dado por S = P଴ ቀ ௜(ଵା୧)౐ିଵቁ = 200.000 ቀ ଴,଴ଶହ(ଵା଴,଴ଶହ)భఴିଵቁ =200.000 ∗ 0,044670081 = ܴ$	8.934,02. 
Passo 1, cálculo de J, R e D 
O juro é fixo no tempo e dado por J = iP0 = 0,025*200.000 = 5.000. Este valor é 
exatamente igual à prestação, R, pois a amortização é nula. Já o valor desembolsado é o 
cômputo do juro e do depósito no fundo, D = 5.000 +8.934,02 = 13.934,02. 
Passo 2 calcular o valor da prestação para o último período 
11 
 
O valor da prestação no último período é equivalente ao que prevalece nos demais 
períodos ampliado pelo valor do principal, i.e., RT = P0 + R = 200.000 + 5.000 = 
205.000. 
Períodos subsequentes 
A descrição completa do sistema americano para o exercício pode ser encontrada na 
tabela a seguir. 
t 
Juro Amortização Prestação Saldo devedor Depósito no fundo Desembolso 
[A = iD(t-1)] [B] [C = A+B] [D = D(t-1) - B] [D] [F = C + D] 
J(t) = iP(t-1) A(t) = P(0)1{t = T} R(t) = A(t) + J(t) P(t) = P(t-1) - A(t) P(0).FFF 
0 200.000,00 
1 5.000,00 0 5.000,00 200.000,00 8.934,02 13.934,02 
2 5.000,00 0 5.000,00 200.000,00 8.934,02 13.934,02 
3 5.000,00 0 5.000,00 200.000,00 8.934,02 13.934,02 
4 5.000,00 0 5.000,00 200.000,00 8.934,02 13.934,02 
5 5.000,00 0 5.000,00 200.000,00 8.934,02 13.934,02 
6 5.000,00 0 5.000,00 200.000,00 8.934,02 13.934,02 
7 5.000,00 0 5.000,00 200.000,00 8.934,02 13.934,02 
8 5.000,00 0 5.000,00 200.000,00 8.934,02 13.934,02 
9 5.000,00 0 5.000,00 200.000,00 8.934,02 13.934,02 
10 5.000,00 0 5.000,00 200.000,00 8.934,02 13.934,02 
11 5.000,00 0 5.000,00 200.000,00 8.934,02 13.934,02 
12 5.000,00 200.000,00 205.000,00 0 8.934,02 13.934,02 
Total 60.000,00 200.000,00 260.000,00 107.208,19 167.208,19 
 
Ex.4 (Bueno et al., 2011, 5.20) Um empréstimo no valor de $50.000,00 foi concedido, 
pela tabela Price, a uma taxa de juros compostos de 1,9% a.m e 60 prestações. As 
prestações pagas foram aplicadas mensalmente a uma taxa de juros compostos de 1,7% 
a.m. Qual a taxa de juros compostos efetiva obtida pelo emprestador? 
R: 
Passo 1, compreensão do enunciado 
Neste exercício, temos dois agentes. O primeiro, tomador, contrai a dívida e a quita pela 
tabela Price. O segundo, credor, obtém retorno econômico a partir da concessão do 
crédito. 
Do ponto de vista do tomador, ocorre a operação de quitação da dívida, ilustrada no 
diagrama a seguir. 
12 
 
 
Já, do ponto de vista do credor, duas operações ocorrem ao mesmo tempo. A primeira 
operação é o recebimento das prestações pagas pelo tomador, cujo fluxo de caixa segue 
abaixo. 
 
Assim que as prestações são recebidas elas são aplicadas a uma taxa de 1,7% a.m, 
prevalecendo o fluxo de caixa abaixo. 
 
As aplicações das prestações geram um montante que é recuperado em t = 60. Este 
montante foi gerado a partir do emprego do capital inicial de R$50.000,00 e é com base 
nele que se deve calcular a taxa de juro efetiva obtida pelo credor. 
Passo 2 Cálculo do valor das prestações 
No sistema Price, as prestações são fixas no tempo e o valor presente da série que 
compõem é equivalente ao principal da dívida. Sendo, pois, R o valor da prestação, tem-
se: 
R = P଴ ቆ i(1 + i)୘(1 + i)୘ − 1ቇ = 50.000ቆ0,019(1 + 0,019)଺଴(1 + 0,019)଺଴ − 1 ቇ = 1403,784106 
Passo 3 Cálculo do valor do montante obtido pelo credor em t = 60 
O credor aplica, em cada um dos períodos, um valor equivalente ao calculadono passo 
anterior. Determinar o montante correspondente à soma dos valores gerados com cada 
VP(A) = P(0)
0 1 2 3 ... 60
↓ ↓ ↓ ↓
R = A + J R = A + J R = A + J R = A + J
R = A + J R = A + J R = A + J R = A + J
↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 3 ... 60
↓
50.000
Montante = VF
0 1 2 3 ... 60
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
50000 R = A + J R = A + J R = A + J R = A + J
13 
 
aplicação é equivalente a calcular o valor futuro da série de aplicações. O que é feito a 
partir do cálculo a seguir. 
VF = Rቆ(1 + i)୘ − 1
݅
ቇ = 1403,784106ቆ(1 + 0,017)଺଴ − 10,017 ቇ = ܴ$	144.467,70 
Passo 4 Cálculo da taxa de juro para o período completo (60 meses) 
A taxa de juro obtida pelo credor, considerando-se como horizonte todo o período de 60 
meses, é calculada a partir de: 
i = VF/C0 – 1 = 144.467,70/50.000 – 1 = 188,9354% 
 
Passo 5 Cálculo da taxa mensal equivalente 
Para obter a taxa de juro mensal equivalente, basta calcular im = (1+i)1/60 – 1 = 
0,017841. 
Passo 6 Tabela Price para a quitação da dívida 
t 
Juro Amortização Prestação Saldo devedor 
[A = iD(t-1)] [B = C - A] [C] [D = D(t-1) - B] 
J(t) = iP(t-1) A(t) = R(t) - J(t) R(t) = P(0).FRC P(t) = P(t-1) - A(t) 
0 50.000,00 
1 950,00 453,78 1.403,78 49.546,22 
2 941,38 462,41 1.403,78 49.083,81 
3 932,59 471,19 1.403,78 48.612,62 
4 923,64 480,14 1.403,78 48.132,47 
5 914,52 489,27 1.403,78 47.643,21 
6 905,22 498,56 1.403,78 47.144,64 
7 895,75 508,04 1.403,78 46.636,61 
8 886,10 517,69 1.403,78 46.118,92 
9 876,26 527,52 1.403,78 45.591,39 
10 866,24 537,55 1.403,78 45.053,85 
... ... ... ... ... 
60 26,17 1.377,61 1.403,78 0 
Total 34.227,05 50.000,00 84.227,05 
 
 
 
 
 
14 
 
2 Análise de projetos 1, critério do VPL para projetos com durações 
equivalentes 
2.1 Teoria 
É comum que as séries de receitas e despesas não sejam uniformes, i.e., que pelo um 
dos fluxos que as compõem seja diferente dos demais. Quando tal diferenciação se 
limita a apenas um dos fluxos, os demais podem ser tratados como um ou duas séries 
uniformes. Neste caso, as fórmulas empregadas para séries uniformes continuam sendo 
válidas e suficientes para calcular o resultado financeiro. Porém, caso a diferenciação se 
estenda a boa parte dos fluxos, tais fórmulas deixam de se aplicar. 
Contudo, os critérios do valor presente e do valor futuro (nota de aula 3) continuam 
válidos e suficientes. O que, tem duas implicações principais: 
1 Para determinar se um investimento produtivo ou uma concessão de crédito são 
economicamente vantajosos, basta calcular o valor presente líquido de seu fluxo de 
caixa e comparar com o investimento inicial; 
2 Para determinar o valor acumulado a partir de aplicações periódicas (mesmo que 
de valor variável) realizadas durante um intervalo de tempo, deve-se somar o valor 
futuro de cada aplicação; 
Por hora, cabe concentrar na primeira implicação, a qual pode ser denominada por 
“critério do valor presente líquido (VPL)”. É consensual entre analistas de investimento 
que um VPL positivo indica que o investimento é economicamente vantajoso. Para 
porque isso é correto, basta considerar a definição formal e geral de VPL, como segue. 
ܸܲܮ = ෍ ܴܮ௧(1 + ݅)௧ே
௜ୀଵ
− ܲ 
Em que RL é a receita líquida gerada no t-ésimo período e P é o investimento (ou 
capital) inicial. Sempre que VPL > 0, tem-se ∑ ோ௅೟(ଵା௜)೟ே௜ୀଵ > ܲ, i.e., o valor presente da 
série de receitas líquidas é superior ao valor do capital investido. Isso significa que, para 
gerar (emular) a série de receitas líquidas a partir de uma série de aplicações financeiras 
seria necessário possuir um capital inicial superior ao investido. Ou seja, as aplicações 
financeiras requerem um maior capital para gerar a mesma série de receitas líquidas. 
Isso indica, pois, que o investimento em questão, o qual efetivamente gera o fluxo de 
receitas líquidas, é superior do que uma aplicação financeira e deve, pois, ser realizado. 
Conclui-se, portanto, que um VPL positivo é equivalente a um fluxo de receitas líquidas 
superior ao valor do capital inicial. Ambos indicam que o investimento é 
economicamente vantajoso e deve ser realizado. 
Alguns autores (como, por exemplo, Blank e Tarquin, 2011) tomam por base um 
critério menos restritivo para a decisão de realização de um investimento. Eles 
estabelecem que um investimento deve ser realizado não apenas quando o VPL é 
15 
 
positivo, mas também quando o VPL é nulo. Um VPL não-negativo, VPL ≥ 0, basta, 
pois. 
A análise do VPL é uma técnica para comparar projetos de investimento alternativos. 
Assim como outras técnicas a serem vistas adiante (TIR e payback), a análise de VPL 
fornece um critério para selecionar um dentre múltiplos projetos de investimento. Tal 
critério estabelece que se deve selecionar o projeto com maior VPL. 
2.2 Exercícios 
1 (Bueno et al, 2011, 6.4) Uma máquina encontra-se à venda pelo preço de 
$45.000,00 e possui um custo anual de operação de $5.000,00. A vida útil da máquina é 
de dez anos, e ela promete um fluxo anual de receitas de $15.000,00. Sabendo que o 
valor residual da máquina é de $5.000,00, calcular o VPL do investimento, supondo as 
seguintes taxas de juro anuais: 10%, 15% e 20%. 
R: Este exercício requer a visualização do fluxo de caixa referente à vida útil da 
máquina, tal como segue. 
 
Calculando a receita líquida em cada período, i.e., deduzindo da receita a despesa 
operacional, o fluxo de caixa passa a: 
 
O VPL correspondente ao fluxo de caixa líquido acima é: 
ܸܲܮ(݅) = ෍ ܴܮ௧(1 + ݅)௧ே
௜ୀଵ
− ܲ = ෍ 10.000(1 + ݅)௧ଵ଴
௜ୀଵ
+ 5.000(1 + ݅)ଵ଴ − 45.000 
O valor do somatório pode ser facilmente calculado, uma vez que se trata do VPL de 
uma série uniforme. De fato: 
$15.000 $15.000 $15.000 $15.000 + $5.000
VPL? ↑ ↑ ↑ ↑ Ano
...
0 1 2 3 10
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
$45.000 $5.000 $5.000 $5.000 $5.000
$10.000 $10.000 $10.000 $10.000 + $5.000
VPL? ↑ ↑ ↑ ↑ Ano
...
0 1 2 3 10
↓
$45.000
16 
 
෍
10.000(1 + ݅)௧ଵ଴
௜ୀଵ
= 10.000ቆ(1 + i)ଵ଴ − 1i(1 + i)ଵ଴ ቇ = ܸܲ(݅, 10.000,10) 
Portanto: 
ܸܲܮ(݅) = ܸܲ(݅, 10.000,10) + 5.000(1 + ݅)ଵ଴ − 45.000 
E, com auxílio do Excel, chega-se a: 
VPL(0,1) = R$ 18.373,39 
VPL(0,15) = R$ 6.423,61 
VPL(0,2) = -R$ 2.267,75 
Conclui-se, pois, que para taxas de juro de 10 e 15% a.a., a compra da máquina é 
economicamente vantajosa, o mesmo não sendo verdade quando a taxa de juro é de 
20% a.a. 
Nota: valor residual, ou “salvage value”, é o valor do ativo ao final de sua vida útil 
(valor terminal) e pode ser positivo se transferir o ativo para outrem gera receita ou 
negativo se tal transferência é custosa (Newnan et al., 2004, p.51). 
2 (Blank e Tarquin, 2011, Ex. 5.7) Uma empresa que fabrica interruptores de 
membrana magnética investiga duas possibilidades de produção cujos fluxos de caixa 
são apresentados abaixo. Qual deve ser selecionado considerando-se uma taxa de juro 
de 10% a.a.? 
 Projeto 1 Projeto 2 
Custo inicial -30 0 
Custo operacional anual -5 -2 
Receita anual 14 3,1 
Valor residual 2 0 
Vida útil (anos) 5 5 
 
R: São apresentadas duas maneiras de resolver, uma semi-manual e outra 
computadorizada. 
(A) Solução semi-manual 
O primeiro passo consiste em elaborar o diagrama de fluxo de caixa para os dois 
projetos e então calcular o VPL de cada um. Isso é feito no segue. 
Passo 1, VPL do projeto 1 
 
17 
 
 
Fluxo de caixa, projeto 1 
 
O fluxo de caixa líquido é, pois: 
 
Com isso, temos: VPL(projeto 1) = −30 + ଽ
ଵା௜
+ ଽ(ଵା௜)మ + ⋯+ ଽ(ଵା௜)ఱ + ଶ(ଵା௜)ఱ =
ܸܲ(݅, 9,5) + ଵ(ଵା௜)ఱ − 30 = 9 ቀ(ଵା୧)ఱିଵ୧(ଵା୧)ఱ ቁ + ଶ(ଵା௜)ఱ − 30. O que, com uma taxa de 10% 
a.a., passa a: VPL(projeto 1) = 9 ቀ(ଵା଴,ଵ)ఱିଵ
୧(ଵା଴,ଵ)ఱ ቁ + ଶ(ଵା଴,ଵ)ఱ − 30 =$5,36 
Passo 2, VPL do projeto 2Fluxo de caixa, projeto 2 
 
Fluxo de caixa líquido, projeto 2 
 
$14 $14 $14 $14 + $2
VPL? ↑ ↑ ↑ ↑
...
0 1 2 3 5
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
$30 $5 $5 $5 $5
$9 $9 $9 $11
VPL? ↑ ↑ ↑ ↑
...
0 1 2 3 5
↓
$30
$3,1 $3,1 $3,1 $3,1
VPL? ↑ ↑ ↑ ↑
...
0 1 2 3 5
↓ ↓ ↓ ↓
$2 $2 $2 $2
$1,1 $1,1 $1,1 $1,1
VPL? ↑ ↑ ↑ ↑
...
0 1 2 3 5
18 
 
Assim, VPL(projeto 2) = ଵ,ଵ
ଵା௜
+ ଵ,ଵ(ଵା௜)మ + ⋯+ ଵ,ଵ(ଵା௜)ఱ = 1,1 ቀ(ଵା଴,ଵ)ఱିଵ୧(ଵା଴,ଵ)ఱ ቁ = $4,17. 
Passo 3, decisão 
O projeto 2 deve ser escolhido pois apresenta o maior VPL. 
(B) Solução computadorizada 
Trata-se de utilizar o Excel ® para calcular os VPLs dos dois projetos. Isso pode ser 
feito a partir dos passos a seguir. 
Passo 1, elaborar uma tabela com os fluxos de caixa líquidos dos dois projetos. Tal 
tabela, como se pode ver a seguir, pode ser estruturada com os projetos nas colunas e os 
períodos de tempo nas linhas. 
Ano Projeto 1 Projeto 2 
0 -30 0 
1 9 1,1 
2 9 1,1 
3 9 1,1 
4 9 1,1 
5 11 1,1 
VPL Excel R$ 5,36 R$ 4,17 
 
Passo 2, utilizar a função “VPL” (ou VPN se o software está na língua inglesa). Há um 
cuidado fundamental ao utilizar esta função. Ela considera que o período em que ocorre 
a primeira receita líquida corresponde a t = 1, ou seja, trata-se do final do primeiro 
período. Se, portanto, fluxos que ocorrem em t = 0 forem incorporados à fórmula, eles 
serão descontados pela taxa de juro, tal como se ocorressem ao final de t = 1, o que é 
equivocado. Para evitar este erro, não se deve incluir os fluxos que ocorrem em t = 0 na 
função VPL, e, portanto, apenas fluxos que ocorrem de t = 1 a t = T (período final) 
devem ser incluídos. A incorporação dos fluxos de t = 0 deve ser feita somando tais 
fluxos ao resultado da função VPL, tomando o cuidado de que todos os fluxos devem 
ser receitas líquidas e, portanto, os sinais dos fluxos são importantes. I.e., fluxos 
positivos serão somados e fluxos negativos deduzidos. 
A sintaxe da função VPL é a seguinte: VPL(taxa, série(t=1,t=T)), com taxa = taxa de 
juro e série = células com a série de fluxos de receita líquida de um dado projeto, 
dispostos em ordem crescente de períodos de tempo e iniciando em t = 0. Para calcular, 
portanto, o VPL de uma série basta entrar no excel VPL(taxa,série(t=1,t=T)) + 
fluxo(t=0), com fluxo(t=0) representando a receita líquida que ocorre em t = 0. 
 
 
19 
 
 
3 (Blank e Tarquin, 2011, Ex. 5.8) O administrador de uma planta de 
processamento de alimentos enlatados deve decidir entre duas máquinas de selagem. A 
máquina A tem um custo inicial de $42.000,00 e um custo anual operacional de 
$28.000,00 e uma vida útil de 4 anos. A máquina B tem custo inicial de $51.000,00 e 
custo operacional anual de $17.000,00 com vida útil também de 4 anos. Qual máquina 
deve ser selecionada a uma taxa de juro de 10%? 
R: será apresentada uma solução semi-manual que combina elementos das duas 
estratégias de solução aplicadas no exercício anterior. 
Passo 0, elaboração da tabela com os dados do problema 
Este primeiro passo é necessário mesmo que seja utilizada uma planilha eletrônica. Ele 
tem como objetivo central extrair do enunciado os valores das variáveis necessários à 
resolução do problema. 
 Máquina 1 Máquina 2 
Taxa de juro a.a [comum] 0,10 0,10 
Custo inicial 42.000,00 51.000,00 
Custo operacional anual 28.000,00 17.000,00 
Receita anual Não informado Não informado 
Valor residual 0 0 
Vida útil (anos) 4 4 
 
Passo 1, elaboração da tabela com fluxo de caixa líquido 
Este problema tem uma característica específica a uma categoria de problemas de 
decisão de investimento. Dispõe-se apenas dos fluxos de despesa, o que é comum para 
decisões de investimento referentes a componentes de uma estrutura produtiva, como 
máquinas, equipamentos, instalações e materiais. Neste caso, o critério de decisão não 
poderia ser mais intuitivo, trata-se de adquirir a opção com menor custo dentre todas as 
opções para o componente disponíveis no mercado. 
Porém, alguns componentes não apresentam apenas o custo de aquisição, ou custo 
inicial, mas também o custo de operação e manutenção e, eventualmente, um valor 
residual (p.ex., valor de sucata). Neste caso, o critério básico sofre uma pequena 
sofisticação: deve ser escolhido o componente com menor valor presente para o fluxo 
de despesas. O que é equivalente a selecionar o componente com maior VPL 
considerando-se os fluxos de despesa como fluxos negativos de receita líquida. Com 
base neste princípio é possível elaborar uma tabela de fluxos de caixa líquidos tal como 
foi feito no exercício anterior. O resultado está na tabela a seguir. 
 
20 
 
 
Ano Máquina 1 Máquina 2 
0 - 42.000,00 - 51.000,00 
1 - 28.000,00 - 17.000,00 
2 - 28.000,00 - 17.000,00 
3 - 28.000,00 - 17.000,00 
4 - 28.000,00 - 17.000,00 
 
Passo 2, cálculo dos VPLs 
Os VPLs podem ser calculados como segue: 
VPL(máquina 1) = 
−42.000 − ଶ଼.଴଴଴
ଵା௜
−⋯−
ଶ଼.଴଴଴(ଵା௜)ర = −42.000 − 28.000 ቀ(ଵା଴,ଵ)రିଵ୧(ଵା଴,ଵ)ర ቁ = −ܴ$	130.756,23 
VPL(máquina 2) = 
−51.000 − ଵ଻.଴଴଴
ଵା௜
−⋯−
ଵ଻.଴଴଴(ଵା௜)ర = −51.000 − 17.000 ቀ(ଵା଴,ଵ)రିଵ୧(ଵା଴,ଵ)ర ቁ = −ܴ$	104.887,71 
Passo 3, decisão 
A máquina que apresenta o menor custo (maior VPL) é a 2, esta é a máquina que deve 
ser adquirida. 
4 (Engenharia Econômica, prof. Hildo Meirelles, UFSCAR, lista 3, ex.2) A perda 
de calor através das paredes de um sistema de aquecimento significa um custo anual de 
$ 800 mil. Um sistema de isolamento que reduzirá esta perda em 33% pode ser 
instalado por $ 500 mil. Também está disponível outro sistema que reduziria a perda em 
15% e pode ser instalado por $ 300 mil. Determine se algum sistema de isolamento 
deve ser usado. Considere que o sistema será usado por 8 anos, e que a TMAR seja 5% 
aa. 
Nota: por TMAR se entende a “taxa mínima atrativa de retorno” (ou “taxa de retorno 
atrativa mínima”), i.e., trata-se da taxa composta mínima de retorno que é aceita pelo 
investidor. É o que os exercícios deste curso se referem como taxa de juros. 
R: A redução da perda de calor corresponde ao benefício proporcionado pelos sistemas. 
Há duas maneiras de incorporar este benefício na análise de VPL, sendo que as duas 
conduzem à mesma decisão. A primeira consiste em considerar que a perda anual 
evitada por cada sistema é tal como uma receita anual, pois se trata de um prejuízo 
evitado e, portanto, representa uma economia de dinheiro, um fluxo positivo. Esta 
abordagem será denominada “benefício anual”. A segunda maneira consiste em 
incorporar a perda enfrentada em cada sistema como uma despesa anual e será referida 
como “abordagem do custo anual”. 
21 
 
Passo 0, tabela de dados 
Tabela 1, abordagem do “benefício anual” 
 Sistema 1 Sistema 2 
Taxa de juro a.a [comum] 0,05 0,05 
Custo inicial 500.000,00 300.000,00 
Custo operacional anual 0 0 
Benefício anual 266.666,67 120.000,00 
Valor residual 0 0 
Vida útil (anos) 8 8 
 
Tabela 2, abordagem da “despesa anual” 
 Sistema 1 Sistema 2 
Taxa de juro a.a [comum] 0,05 0,05 
Custo inicial 500.000,00 300.000,00 
Custo operacional anual 533.333,33 680.000,00 
Receita anual 0 0 
Valor residual 0 0 
Vida útil (anos) 8 8 
 
Passo 1, fluxos de caixa líquidos 
Tabela 3, abordagem do “benefício anual” 
Ano Sistema 1 Sistema 2 
0 - 500.000,00 - 300.000,00 
1 266.666,67 120.000,00 
2 266.666,67 120.000,00 
3 266.666,67 120.000,00 
4 266.666,67 120.000,00 
5 266.666,67 120.000,00 
6 266.666,67 120.000,00 
7 266.666,67 120.000,008 266.666,67 120.000,00 
 
 
 
 
 
22 
 
Tabela 4, abordagem do “custo anual” 
Ano Máquina 1 Máquina 2 
0 - 500.000,00 - 300.000,00 
1 - 533.333,33 - 680.000,00 
2 - 533.333,33 - 680.000,00 
3 - 533.333,33 - 680.000,00 
4 - 533.333,33 - 680.000,00 
5 - 533.333,33 - 680.000,00 
6 - 533.333,33 - 680.000,00 
7 - 533.333,33 - 680.000,00 
8 - 533.333,33 - 680.000,00 
 
Passo 2, cálculo dos VPLs 
(a) Abordagem do benefício anual 
VPL(sistema 1) = 
 −500.000 + ଶ଺଺.଺଺଺,଺଻
ଵା௜
+ ⋯+ ଶ଺଺.଺଺଺,଺଻(ଵା௜)ఴ = −500.000− 266.666,67 ቀ(ଵା଴,଴,ହ)ఴିଵ୧(ଵା଴,଴ହ)ఴ ቁ =
ܴ$	1.223.523,40. 
VPL(sistema 2) = 
−300.000 + ଵଶ଴.଴଴଴
ଵା௜
+ ⋯+ ଵଶ଴.଴଴଴(ଵା௜)ఴ = −300.000 + 120.000 ቀ(ଵା଴,଴ହ)ఴିଵ୧(ଵା଴,଴ହ)ఴ ቁ =
ܴ$	475.585,53. 
(b) Abordagem do custo anual 
VPL(sistema 1) = 
 −500.000− ହଷଷ.ଷଷଷ,ଷଷ
ଵା௜
−⋯−
ହଷଷ.ଷଷଷ,ଷଷ(ଵା௜)ఴ = −500.000− 533.333,33 ቀ(ଵା଴,଴,ହ)ఴିଵ୧(ଵା଴,଴ହ)ఴ ቁ =
−ܴ$	3.947.046,81. 
VPL(sistema 2) = 
−300.000− ଺଼଴.଴଴଴
ଵା௜
−⋯−
଺଼଴.଴଴଴(ଵା௜)ఴ = −300.000 + 680.000 ቀ(ଵା଴,଴ହ)ఴିଵ୧(ଵା଴,଴ହ)ఴ ቁ =
−ܴ$	4.694.984,68. 
Passo 3, decisão 
O sistema 1 deve ser escolhido pois apresenta o maior VPL sob as duas abordagens 
utilizadas para interpretar o problema.