Aula 06 1 calculo matricial

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AULA 6 
CÁLCULO MATRICIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 
135 
 
CÁLCULO MATRICIAL 
 
MATRIZ 
Definição: 
 É todo processo matemático que organiza valores numéricos em 
uma sequência de linhas e colunas, estabelecendo uma ordem de localização 
para cada número. A interação operacional destes números com variáveis gera 
um cálculo matricial. 
 Em outras palavras, podemos afirmar que o cálculo matricial é oriundo 
da interação entre operações básicas da matemática dos valores 
numéricos e de letras (variáveis), os quais estão dispostos em linhas e 
colunas de uma matriz,a qual podemos chamar de tabela de valores. 
Veja: 
 Seja uma matriz A m x n , onde i = linha, j = coluna e a Є |R(Conjunto 
 dos Números Reais), temos então: 
A m x n = aij ∀m Є |N (Conjunto dos Números Naturais/ |N = 0,1,2,...) 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES 
 Uma matriz pode se apresentar de várias formas, associada na 
organização de suas linhas , colunas e características em especial. Devido a 
estes fatos, podemos classificar as matrizes em: 
 Matriz Linha 
 Matriz Coluna 
 Matriz Nula 
 Matriz Diagonal 
 Matriz Triangular 
A matriz A m x n é dita como matriz quadrada,pois a quantidade de 
linhas e colunas apresentadas são iguais, isto é, m = n 
 
 
 136 
 
 Matriz Transposta 
 Matriz Quadrada 
 Matriz Identidade. 
OBS: O nosso foco de estudo será concentrado na Matriz Quadrada e Matriz 
 Identidade. 
 
 MATRIZ QUADRADA 
Para representar uma matriz quadrada,devemos considerar que i = j , isto é, 
que a quantidade de linhas seja igual a quantidade de colunas, logo podemos 
afirmar que os pares (1,1) ; (2,2) ; (3,3) ; (4,4) ; ...(n,n) pertencem a uma matriz 
quadrada. Entretanto,temos o par (0,0) que um caso especial de matriz,ou 
melhor dizendo, nenhuma linha e nenhuma coluna representa uma matriz 
nula. 
OBS: Os valores que devemos considerar para as matrizes quadradas sempre 
 serão valores inteiros e positivos, é claro, diferente de zero. 
Portanto, seja a matriz: 
 
 A m x n = A1x1 , dizemos que esta matriz é de ordem 1 ou de 1º ordem; 
 A m x n = A 2x2 , dizemos que esta matriz é de ordem 2 ou de 2º ordem; 
 A m x n = A 3x3, dizemos que esta matriz é de ordem 3 ou de 3º ordem; 
 E assim por em diante. 
 
 Visualmente, temos: 
 
 
 Fonte: <http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/11/matrizes3.jpg> 
A m x n = 
137 
 
 
Para exemplificar o nosso entendimento a respeito de uma matriz quadrada, 
temos uma matriz B de ordem 3 da seguinte maneira: 
 
 B3x3 = 2 0 -1 ou B3x3 = b11 b12 b13 
 5 1 3 b21 b22 b23 
 - 6 7 4 b31 b32 b33 
Por princípio de igualdade, podemos afirmar que: 
b11 = 2 b21 = 5 b31 = - 6 
b12 = 0 b22 = 1 b32 = 7 
b13 = -1 b23 = 3 b33 = 4 
OBS: Os valores dos termos matriciais (bij), poderão assumir valores 
 negativos ou decimais, mas a ordem matricial (A m x m), somente valores 
 inteiros e positivos. 
 
MATRIZ IDENTIDADE 
 
É uma matriz quadrada de ordem n sendo que n ≥ 2, onde os elementos que 
pertencem à diagonal principal são sempre iguais a 1 e os outros elementos 
que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. 
 
Essa matriz possui uma representação, sempre que for indicar uma matriz 
identidade pode-se escrever In. 
 
Por exemplo: 
Uma matriz identidade de ordem 2, será sempre escrita da seguinte forma: 
 
 
138 
 
 
Uma matriz identidade de ordem 3, será sempre escrita da seguinte forma: 
 
 I3 = 
 
 
 ÁLGEBRA MATRICIAL 
Definição: 
 É todo cálculo matemático que envolve uma matriz com equações 
lineares, formando um sistema de equações algébrico,isto é,equações com as 
suas respectivas variáveis. A resolução deste sistema de equações lineares 
ocorre através dos cálculos matriciais. 
 
Um sistema de equações lineares pode ser representado por notação algébrica 
ou por notação matricial 
Considere. por exemplo, o sistema de equações a seguir. 
a11X1 + a12X2 + a13X3 = b1 
a21X1 + a22X2 + a23X3 = b2 
a31X1 + a32X2 + a33X3 = b3 
Esse sistema de equações pode ser representado por uma matriz e dois 
vetores coluna como segue: 
 
 
 
 
 
a11 a12 a13 X1 = 
 
a21 a22 a23  X2 = 
 
a31 a32 a33 
 
X3 = 
 
 
b1 
b2 
b3 
 1 0 0 
 0 1 0 
 0 0 1 
139 
 
Assim, temos na ordem em que aparecem: 
• Uma matriz de três linhas e três colunas representando os coeficientes das 
 variáveis, 
• Um vetor coluna de três linhas representando as três variáveis, ou incógnitas: 
• Um vetor coluna de três linhas representando as constantes. 
Para verificar que a expressão acima é equivalente a anterior basta efetuar a 
multiplicação indicada, ou seja, da matriz pelo primeiro vetor coluna. Assim, 
temos: 
 a11X1 + a12X2 + a13X3 
a21X1 + a22X2 + a23X3 
a31X1 + a32X2 + a33X3 
 
 
De maneira geral, equações lineares são expressas em forma matricial da 
seguinte maneira: 
 
 
 As referidas equações podem ser escritas da seguinte forma resumida: 
A . X = B 
 
Onde: A = A matriz dos coeficientes, 
 X = O vetor coluna das variáveis, 
 B= O vetor coluna das constantes. 
 
 
 
=
= 
b1 
b2 
b3 
140 
 
 
Se a álgebra matricial admitisse a operação de divisão nos mesmos moldes 
como é utilizada pela álgebra, seria bastante simples obter a solução para a 
expressão acima. 
Como não é possível a divisão de forma direta em álgebra matricial, é 
necessária a existência de um processo que permita obter resultados 
semelhantes. Assim, se tivéssemos a expressão: 
 
AB = C 
e multiplicássemos ambos os membros dessa expressão por 1/A (inverso de A) 
ou A-1 
Teríamos: B = 1 x C 
 A 
 
Dessa forma, com a operação de multiplicação, possível em álgebra matricial, 
e com utilização de um termo matricial que possua propriedades semelhantes 
ao inverso, torna-se viável a solução da questão. Em álgebra matricial existe 
esse termo denominado de inversa, que é notado por um expoente negativo. 
 
Por exemplo: 
 inversa de A = A -1 
A inversa tem a seguinte propriedade: 
A . A-1 = 1 ( Matriz Identidade) 
Ou seja, a inversa de A multiplicada por A resulta na matriz-identidade 
representada por 1. Como demonstramos anteriormente,uma matriz identidade 
é uma matriz quadrada (aquela cujo número de linhas é igual ao número de 
colunas), que possui o número 1 na diagonal principal e zero no restante. 
 
 1 0 0 
 Exemplo: I3x3 = 0 1 0 
 0 0 1 
 Diagonal Principal ! 
141 
 
Deve-se ressaltarque na multiplicação matricial a matriz-identidade tem 
propriedades semelhantes ao número 1 da multiplicação regular. Assim, 
qualquer matriz multiplicada por uma matriz-identidade tem, como seu produto, 
a matriz original. 
Com base no que foi explicado, para resolver a expressão representativa do 
caso em estudo, ou seja: 
A . X = B 
bastaria multiplicar pela inversa ambos os membros da expressão, ou seja: 
A-1. AX = A-1 .B resultando em: I.X = A-1.B ou X = A-1.B 
Em resumo, para solucionar a nossa questão, que é a de encontrar o valor das 
variáveis, bastaria determinar o valor da matriz-inversa dos coeficientes (A) e 
multiplicar esse resultado pela matriz das constantes (B). 
Entretanto, resta ainda um problema adicional, qual seja o de como determinar 
a matriz-inversa, para isso vamos lembra um pouco como realizamos uma 
multiplicação entre duas matrizes. 
 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
Para multiplicarmos uma matriz A m x n por outra matriz B r x s, é necessário que o 
número de coluna da 1º matriz seja igual ao número de linhas da segunda 
matriz,no nosso caso temos: 
 
 A m x n . B r x s ,ou melhor dizendo, n = r 
 
OBS: Quando efetuamos a multiplicação de duas matrizes,automaticamente o 
 seu resultado será igual a uma terceira matriz, sendo que esta terá o seu 
 formato pela quantidade de linhas da 1º matriz e a quantidade de coluna 
 da 2º matriz. 
 
Condição 
Necessária ! 
! 
142 
 
Portanto, temos que: 
A m x n . B r x s = C m x s 
 
 
Exemplo: Sejam A 3x2 e B 2x4 matrizes, então o produto delas gera uma 
 matriz C da seguinte ordem: 
 A 3x2 . B 2x4 = C3x 4 
 
PROCEDIMENTO DE MULTIPLICAÇÃO DE DUAS MATRIZES 
 
Como explicamos anteriormente, o resultado da multiplicação de duas matrizes 
irá gerar uma terceira matriz. Para que ocorra essa multiplicação dentro das 
condições necessárias, devemos efetuar a multiplicação dos membros da linha 
da 1º matriz pelos membros da coluna da 2º matriz, onde os elementos devem 
ser somados, constituindo um único item posicional da matriz. 
 Em outras palavras, linha da 1º matriz multiplica pela coluna da 2º 
matriz, de maneira sucessiva. O resultado de cada multiplicação, deverá 
ser somado a posição matricial (a11, a12...,) 
Exemplo: 2 3 -3 1 
 Seja as matrizes C 2x2 = 1 5 e D 2x2 = 4 0 
 
 Temos: 2 . -3 + 3 . 4 = - 6 + 12 = 6 
 2 . 1 + 3 . 0 = 2 + 0 = 2 
 1 .-3 + 5 . 4 = -3 + 20 = 17 
 1 . 1 + 5 . 0 = 1 + 0 = 1 
 
 
143 
 
 
 C1 C2 
Logo, fica: 
 6 2 L1 
C2x2 . D2x2 = E2x2 = 17 1 L2 
 
Podemos deduzir por demonstração que: 
L1.C1 = L1 
L2.C2 = L2 
 
MÉTODO ALAN CARTER DE MULTIPLICAÇÃO DE DUAS MATRIZES: 
Como a multiplicação de duas matrizes requer muita atenção e paciência, pois 
o processo é trabalhoso, o qual possui alguma possibilidade de errar em algum 
momento das operações inseridas; é de extrema importância que consigamos 
agilizar o processo e evitar a probabilidade de erros que possam ocorrer 
durante a operação matricial.Co isso, foi criado o método prof. Alan Carter ou 
também conhecido como método da Cruz. 
Esse método consiste em multiplicar duas matrizes de maneira direta, sem 
precisar de utilizar o processo L.C = L ( Linha x Coluna = Linha). Neste caso, o 
posicionamento matricial fica extremamente direcionado, pois anula a 
possibilidade de troca do posicionamento dos elementos matriciais. Para que 
possamos compreender melhor,utilizaremos o exemplo anterior. 
 
Veja: x 
 
 2.(-3) + 3.4 2.1 + 3. 0 = 6 2 
 1.(-3) + 5.4 1.1 + 5. 0 17 1 
 
2 3 
1 5 
 - 3 1 
 4 0 
144 
 
CALCULO DA MATRIZ INVERSA 
 
Para acharmos uma matriz inversa de uma matriz dada, é necessário efetuar a 
multiplicação entre essas duas matrizes e igualar a matriz identidade. O cálculo 
da matriz inversa somente poderá ser realizado se a matriz dada for de ordem 
quadrada, isto é, se a quantidade de linhas for igual a quantidade de colunas. 
Além disso, devemos seguir a fórmula da matriz inversa: 
 Anxn . A-1nxn = I 
 Para compreendermos melhor,usaremos uma exemplificação para a fórmula 
mencionada anteriormente. 
Veja: 
 Seja uma matriz A2x2 = 2 1 , com A-1 = a b 
 3 0 c d 
 
Onde temos: Anxn . A-1nxn = I 2 1 a b 1 0 
 3 0 c d 0 1 
 
 
Utilizando o método do prof. Alan Carter, temos: 
 
 
 
 x 
 
 2a + 1c 2b + 1d = 
 3a + 0c 3b + 0d 
 
Como a multiplicação da matriz A pela sua inversa resultou em uma terceira 
matriz com várias incógnitas, devemos igualar a matriz encontrada com a 
matriz identidade, fazendo uma igualdade entre os cofatores matriciais de cada 
matriz nas suas respectivas posições. 
 
= 
2 1 
3 0 
a b 
c d 
2a + c 2b + d 
 3a 3b 
145 
 
Portanto, temos: 
 
 
 = 
 
 
Com isso, obtemos um sistema de equações lineares: 
 
 2a + c = 1 
 3a = 0 
 2b + d = 0 
 3b = 1 
 
 
 
Sendo A-1 = , então a matriz inversa fica: A-1 = 
 
 
 
SISTEMA LINEAR 
 
Definição: 
 É toda equação que possuem variáveis e apresenta na seguinte 
forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes 
reais e o termo independente e representado pelo número real b. 
 
 Em outras palavras, podemos dizer que um conjunto de p equações 
lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p 
equações e n incógnitas. 
 
 
2a + c 2b + d 
 3a 3b 
1 0 
0 1 
Resolvendo o sistema, temos: 
3a = 0 a = 0/3 a = 0 
2(0) + c = 1 c = 1 
3b = 1 b = 1/3 
2(1/3) + d = 0 d = - 2/3 
a b 
c d 
0 1/3 
1 - 2/3 
146 
 
Exemplos: 
 
Sistema linear com duas equações e duas variáveis. 
x + y = 3 
x – y = 1 
 
Sistema linear com duas equações e três variáveis. 
2x + 5y – 6z = 24 
x – y + 10z = 30 
 
Sistema linear com três equações e três variáveis. 
x + 10y – 12z = 120 
4x – 2y – 20z = 60 
–x + y + 5z = 10 
 
Sistema linear com três equações e quatro variáveis. 
x – y – z + w = 10 
2x + 3y + 5z – 2w = 21 
4x – 2y– z + w = 16 
 
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
 
Dado o sistema: 
 x + y = 3 
 x – y = 1 
Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz 
as duas equações do sistema linear. Observe: 
 x = 2 e y = 1 
então: 
2 + 1 = 3 3 = 3 
2 – 1 = 1 1 = 1 
 
147 
 
Exemplo2: 
Dado o sistema: 
 2x + 2y + 2z = 20 
 2x – 2y + 2z = 8 
 2x – 2y – 2z = 0 
 
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele 
satisfaz as três equações do sistema linear. 
 Veja: 
2 . 5 + 2 . 3 + 2 . 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 20 
2 . 5 – 2 . 3 + 2 . 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 8 
2 .5 – 2 .3 – 2 . 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0 
 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
 
Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções 
apresentadas por ele. 
SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução. 
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções. 
SI – Sistema Impossível – não possui solução. 
 
Esquematizando o sistema linear, temos: 
 
 148 
 
 
Exemplos: 
 
1º) Um sistema é possível e determinado(SPD), quando apresenta apenas uma 
 solução para cada variável. Observe: 
 x + y = 8 
 x – y = 4 
 Neste caso, temos uma solução possível para a variável x e outra solução 
 possível para variável y. Temos, então: Solução: {6,2} 
 
2º) Um sistema é possível e indeterminado(SPI),quando apresenta várias 
 soluções para cada variável. Observe: 
 x + y = 15 
 0.x + 0.y = 0 
 
3º) Um sistema é dito como impossível, quando não temos nenhuma solução 
 para as variáveis que satisfaça as condições das equações lineares. 
 x + y = 12 
 x + y = 15 
 
TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
 
Um sistema linear pode ser resolvido por várias maneiras,mas a utilização de 
cada técnica depende muito do próprio sistema,isto é, de quantas equações e 
variáveis envolvidas. Para isso, apontamos algumas técnicas mais utilizadas 
para resolução de um sistema linear, as quais são: 
 
 Método da Substituição; 
 Método da Comparação; 
 Método da Adição; 
 Método da Regra de Cramer. 
 Método da Fatoração de Matrizes ou Eliminação de Gauss; 
Esses métodos são conhecidos 
como: 
METODO DIRETO 
149 
 
Para os Métodos de Substituição,Comparação e Adição usaremos um exemplo 
único,o qual será passivo de comparação entre os próprios métodos. 
Exemplo: 
 x + y = 5 
 x – y = 3 
 
Método de Substituição: 
 
Devemos escolher uma variável de uma das equações dadas, e isolar a 
mesma. No nosso caso, iremos isolar a variável x da 1º equação. 
Temos, então: 
 x = 5 – y 
Devemos substituir essa variável isolada(x) na segunda equação,no lugar da 
própria variável x e repetir o resto da equação. 
Fica: 
 x – y = 3 
 (5 – y) – y = 3 
 5 –y – y = 3 
 
5 -2y = 3 
-2y = 3 – 5 
-2y = -2 (. -1) 
2y = 2 
y= 2/2 
y = 1 
 
Método de Comparação 
 
Neste método, devemos escolher uma variável e isolar ela nas duas equações. 
Após o isolamento, devemos comparar os seus valores pelo princípio da 
igualdade. 
Após ter achado o valor da variável y, 
devemos substituir esse valor na primeira 
equação isolada. Temos, então: 
 x = 5 – y 
 x = 5 – 1 
 x = 4 
150 
 
Isolaremos a variável x,logo temos: 
1º Equação: x = 5 – y 
2º Equação: x = 3 + y 
 
Comparando x = x, fica: 5 – y = 3 + y 
Temos: 
 5- 3 = y +y 
 2 = 2y 
 y = 1 
Substituindo o valor da variável y em qualquer equação do sistema,temos: 
 x = 5 – y 
 x = 5 – 1 
 x = 4 
 
Método da Adição 
 
Para utilizarmos o método da adição,demos somar as duas equações e o 
resultado desta operação,deverá anular uma variável. Veja: 
 
+ x + y = 5 
 x – y = 3 
 2x = 8 
Logo, fica: 
 2x = 8 
 x = 8/2 
 x = 4 
OBS: Esses três métodos(Substituição,Comparação e Adição),são muito 
 utilizados quando o sistema é composto por 2 equações e duas 
 variáveis,caso contrário, o recomendável é a utilização da técnica da 
 Eliminação Gaussiana ou a Regra de Cramer. 
 
Após ter achado o valor de uma 
variável, devo substituir este em 
qualquer equação do sistema: 
Veja: x + y = 5 
 4 + y = 5 
 y = 1 
 
151 
 
 
Método da Fatoração de Matrizes ou Eliminação de Gauss ou Método do 
Escalonamento 
 
Esse método consiste em achar a matriz inversa de uma matriz dada. A sua 
aplicabilidade consiste na fatoração ou eliminação do sistema dado, através de 
operações matemáticas elementares. 
Exemplo: Dado o sistema: 
 2x + 1y – 3z = -1 
-1x + 3y + 2z = 12 
 3x + 1y – 3z = 0 
 Devemos trabalhar apenas com os coeficiente numéricos,isolando eles do 
sistema. Além disso, devemos incluir os valores dos coeficientes constantes 
dentro de uma matriz. 
Veja: 
 
 2 1 -3 -1 
A3x4 = -1 3 2 12 
 3 1 -3 0 
 
Devemos separar a última coluna, para obtermos uma matriz quadrada. 
 
 2 1 -3 -1 
 -1 3 2 12 
 3 1 -3 0 
 
Os valores que estão em destaque são os vetores(elementos) matriciais 
respectivamente: 
 a21 = -1 ; a31 = 3 e a32 = 1 Deverão ser anulados,para formarmos uma 
matriz triangular superior. Para isso, devemos utilizar operações com as linhas 
da Matriz. 
 
152 
 
Para zerar a21 = -1 ,temos: 
 L2 = L1 + 2L2 ,fica: 
 L2 = (2 1 -3 -1) + 2(-1 3 2 12) = (2 1 -3 -1) + ( -2 6 4 24) = 
 L2 = ( 0 7 1 23) 
 
Para zerar a31 = 3 ,temos: 
L3 = 3L1 – 2L3 
L3 = 3( 2 1 - 3 -1) - 2( 3 1 -3 0) = (6 3 -9 -3) + ( -6 -2 +6 0) = 
L3 = (0 1 -3 -3) 
 
Para zerar a32 = 1 ,temos: 
 L3 = L2 – 7L3 OBS: Devemos utilizar a L2 e L3 já alteradas,isto é: 
L2 =(0 7 1 23) e L3 = (0 1 -3 -3), logo, fica: 
L3 = (0 7 1 23) - 7(0 1 -3 -3) = (0 7 1 23) + (0 -7 21 21) = 
L3 = ( 0 0 22 44 ) 
Com isso, a nossa nova matriz fica: 
 
 2 1 -3 -1 
 0 7 1 23 
 0 0 22 44 
 
Podemos então, multiplicar os coeficientes numéricos pelas variáveis (x, y e z) 
respectivamente, além disso, devemos igualar estes resultados com os 
coeficientes constantes,obtendo assim um sistema linear mais simplificado. 
Temos: 
 2x + y - 3z = -1 
 7y + z = 23 
 22z = 44 
 Utilizando a última equação,fica: 
 22z = 44 
 z = 44/22 
 z = 2 
153 
 
Substituindo o valor da variável z na 2º Equação,temos: 
 7y + z = 23 
 7y + 2 = 23 
 7y = 23 – 2 
 7y = 21 
 y = 21/7 
 y = 3 
Para calcular a variável x, devemos substituir o valor das duas variáveis 
encontradas na 1º equação 
2x + y - 3z = -1 
2x + 3 - 3(2) = -1 
2x -3 = -1 x = 1 
Assim, a solução para o sistema linear é: 1,3,2 
 
 
Método da Regra de Cramer 
 
 A regra de Cramer é utilizado para resolver sistema lineares,com a utilização 
de determinantes. Devido a este fato,é de suma importância que o sistema 
tenha um formato de matriz quadrada. 
Exemplo: 
 3x + y = 9 
 2x + 3y = 13 
Logo, temos uma matriz A2x2, da seguinte forma: 
 3 1 x 9 
 2 3 y = 13 
 
Para calcular a variável x ,devemos dividir o resultado do determinante da 
matriz B 9 1 pelo resultado do determinante da matriz A. 3 1 
 13 3 2 3 
 
154 
 
 
Temos: 
 x = det B 
 det A 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular a variável y, devemos dividir o resultado do determinante da 
matriz C 3 9 pelo resultado do determinante da matriz A. 3 1 
 2 13 2 3 
 
Temos: 
 
 y = det C 
 det A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a resolução doi sistema é 2 ; 3 
 
 
 
 
 9 1 
 13 3 9 . 3 – 13 . 1 27 - 13 14 
 3 1 3 . 3 - 2 . 1 9 - 2 7 
 2 3 
= 2 = = X = 
== 
 3 9 
 2 13 3 . 13 – 2 . 9 39 - 18 21 
 3 1 3 . 3 - 2 . 1 9 - 2 7 
 2 3 
y = = 
= = = 3 
155 
 
 
APLICABILIDADE DO CÁLCULO MATRICIAL 
 
Devemos compreender que uma matriz é uma tabela de valores, e que as 
operações que relacionam os elementos matriciais resultam em um sistema 
matemático o qual denominamos de cálculo matricial. É importante sabermos 
que o cálculo matricial é aplicado em grande escala nas empresas e com um 
certo grau de exclusividade nos setores de administração, contabilidade e 
logística entre outros. 
Com isso, a sua funcionalidade fica mais perceptível nas tomadas de decisões 
que buscam otimizar os resultados, elevando os lucros operacionais e 
diminuindo as despesas consequentemente. 
 
Para que possamos entender melhor a sua aplicabilidade funcional, usaremos 
um exemplo para descrever os seus resultados obtidos. 
 
Exemplo 
 Uma empresa pretende aumentar o seu faturamento mensal. Devido 
 a este fato, estabeleceu algumas metas de vendas a serem alcança- 
 das pelos seus vendedores. Estes funcionários deveram vender pro- 
 tos A, B e C, sendo que o produto A será comercializado em R$ 
 9,00 o produto B em R$ 12,00 e o produto C em R$7,00. Sabe-se que 
 no final do mês foi feito um levantamento sobre as vendas e foi 
 contabilizado um lucro de R$ 24.000,00. O custo total de fabricação 
 destes produtos foi de R$ 3.020,00 e o custo de produção do produto 
 A equivale a um terço do produto C.Portanto,quantos produtos essa 
 essa empresa vendeu ao final do mês e qual dos produtos que obteve 
 a maior arrecadação financeira ? 
 
 
 
 
156 
 
Temos: 
 A , B e C = Variáveis, onde: 
 
 A + B + C = 3.020 
 9A + 12B + 7C = 24.000 
 A = C/3 
 
Substituindo a 3 º Equação na 1º e na 2º Equação, temos: 
 C/3 + B + C = 3.000 
 [ B + 4C/3 = 3.020 ] 4º Equação 
 
 9(C/3) + 12B + 7C = 24.000 
 12B + 10C = 24.000 
 [12B + 10C = 24.000 ] 5º Equação 
 Arrumando o sistema, temos: 
 B + 4C/3 = 3.020 
 12B + 10C = 24.000 
 
 Utilizando o sistema de substituição, isolaremos a variável B da 1º equação: 
 B = 3.020 – 4C/3 , substituindo na 2º Equação, temos: 
 
 12(3.020 – 4C/3) + 10C = 24.000 
 36.240 – 16C + 10C = 24.000 
 C = 2040 peças 
Logo, a variável B será: 
 
 B = 3020 – 4C/3 
 B = 3020 – 4(3020/3) 
 B = 3020 – 2720 
 B = 300 peças 
 
 
157 
 
 
 Como A = C/3, temos: 
 A= 2040/3 
 A = 680 peças 
 
Logo, foram vendidas ao todo : 2040 + 300 + 680 = 3020 peças 
Devido a quantidade vendida, o produto C obteve a maior arrecadação 
financeira,num total de 7.(2040) = R$ 14.280,00 
 
Transformando, o sistema em matriz temos: 
 
 1 1 1 A 3.020 
 9 12 7 . B = 24.000 
 1 0 -1/3 C 0 
 
OBS: A resolução desta operação matricial, irá resultar em um sistema 
 linear, conforme apresentado na resolução anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
158 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: 
"Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando 
somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior 
somam 39 anos." Qual a idade de Júnior? 
a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos e) 10 anos 
 
02) (PUCCAMP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um 
dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes 
igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, 
ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que 
fazia prova nessa sala era 
a) 96 b) 98 c) 108 d) 116 e) 128 
 
03) (UFG 2007) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, um trabalhador 
percorre 550 km por mês. Para isso, em alguns dias, ele utiliza um 
automóvel e, em outros, uma motocicleta. Considerando que o custo do 
quilômetro rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 7 centavos para 
a motocicleta, calcule quantos quilômetros o trabalhador deve andar em 
cada um dos veículos, para que o custo total mensal seja de R$ 70,00. 
 
04) Resolva o sistema linear, pelo método mais conveniente. 
 a) 








18325
6
1132
zyx
zyx
zyx
 
05) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas pelo Método da Regra de Cramer 
a) 








3233
932
22
zyx
zyx
zyx
 b) 








03
05
010
zy
zx
yx
 
 
159 
 
06)(PEBII-SP) Em um artigo da Revista do Professor de Matemática, o 
 professor Elon Lages Lima justifica a importância do estudo de sistemas 
 lineares e discute o equívoco em se utilizar a Regra de Cramer para 
 discutir se um sistema é possível ou impossível. Dessa forma, o professor 
 aconselha a resolver sistemas por escalonamento ou interpretação 
 geométrica. No artigo, o professor Elon cita o sistema: 
 
Pode-se afirmar que o sistema é: 
a) impossível. 
b) possível e indeterminado. 
c) possível e determinado com uma solução nula. 
d) possível e determinado com o produto das soluções igual a 28. 
e) possível e determinado com a soma das soluções igual a 15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
160 
 
GABARITO 
 
01- C 
 
02- C 
 
03-Automóvel = 85,77 Km e Motocicleta = 464,23 Km 
 
04- x = 1 ; y = 2 e z = 3 
 
05- a) (1,2,3) b) (6,4,1) 
 
 06- Representando o sistema em Matriz,temos: 
 
Observe que: 
 L2 da matriz foi multiplicada por -1/2 e 
 L3 foi multiplicada por -1/3. 
 
Em seguida, L2 foi substituída pela sua soma com L1 
L3 foi substituída pela sua soma com a L1. 
Assim, temos o sistema dado transformado num sistema equivalente. 
 
No sistema equivalente, na terceira equação 0x + 0y + 0z = -1/3, temos uma 
contradição, pois o produto de qualquer número por zero é igual a zero. 
 Assim, o sistema dado não tem solução, ou seja, é impossível (alternativa A).