Aula 06 2 programação linear

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AULA 06 (PARTE 02) 
 
PROGRAMAÇÃO 
LINEAR 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 
161 
 
PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Definição: 
 A programação linear é a parte da matemática que consiste em 
 resolver problemas através da otimização de uma função linear, 
 denominada como função objetivo, respeitando-se um sistema linear 
 de igualdade ou desigualdades que recebem o nome de restrições do 
 modelo. 
 
OBS: Restrição é aquilo que impede um melhor desempenho de um sistema e 
 representa normalmente limitações de recursos disponíveis ( capital, 
 mão de obra, recursos minerais ou fatores de produção) ou exigências e 
 condições que devem ser cumpridas no problema. 
 
 É importante entender, que devido a sua funcionalidade simples a 
programação linear é muito utilizada em resolução de problemas que envolvam 
um certo grau de complexidade. Em contabilidade é utilizado para: 
 
 Maximizar os lucros; 
 Dimensionar investimentos; 
 Aferir a quantidade de máquinas e equipamentos; 
 Minimizar custos, etc. 
 
OBJETIVOS DA PROGRAMAÇÃO LINEAR : 
 Reconhecer os problemas que são passíveis de análise pelo modelo; 
 Auxiliar o analista no estágio inicial da investigação; 
 Avaliar e interpretar inteligentemente os resultados; 
 Aplicar os resultados com a confiança que é adquirida somente com a 
compreensão dos problemas e dos resultados envolvidos. 
 
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PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (PPL) 
 
Para resolver um problema de programação linear, temos que estabelecer 
alguns critérios para a sua resolução: 
1º) Definição do objeto básico do problema; 
2º) Definição das variáveis envolvidas no problema; 
3º) Definição das restrições representadas pelas inequações matemáticas. 
 
OBS: Um problema pode apresentar dois tipos de soluções em seu 
 desenvolvimento: 
 
a) Solução Viável: Resultado das variáveis,contemplando as restrições; 
b) Solução Ótima: Representa o resultado da variável mais favorável. 
 
Num problema de programação linear com duas variáveis x e y o que se 
pretende é maximizar (ou minimizar) uma forma linear é dado pela seguinte 
fórmula: z = A x + B y 
onde: A e B são constantes reais não nulas e Z é o resultado operacional 
 A forma linear traduz a função linear nas variáveis x e y. 
 As variáveis x e y estão sujeitas a certas condições restritivas expressas por 
inequações lineares em x e y que traduzem as restrições do problema. 
 
 Basicamente os problemas envolvendo a programação linear,são 
classificados em função da quantidade de variáveis presentes.Devido, a 
este fato temos a sua divisão da seguinte maneira: 
1º) PROBLEMAS COM 2 VARIÁVEIS: 
 Resolução Gráfica; 
 Resolução por Análise Matemática; 
 
163 
 
2º) PROBLEMAS COM 3 OU MAIS VARIÁVEIS: 
 Resolução por Análise Matemática; 
 
Resolução Gráfica: 
 Esta técnica consiste em resolver um determinado 
 problema de programação linear com gráficos 
 cartesiano,o qual possui na função linear duas variáveis a 
 serem analisadas. 
 
 Veja: 
 y 
 
 
 
 s r 
 x 
Onde: 
 R e S = Representa uma função linear com 2 variáveis. 
 Exemplo: 
Uma fábrica de confecções produz dois modelos de camisas de luxo. Uma 
camisa do modelo A necessita de 1 metro de tecido, 4 horas de trabalho e 
custa R$20,00. Uma camisa do modelo B exige 1,5 metros de tecido, 3 horas 
de trabalho e custa R$16,00. Sabendo que a fábrica dispõe diariamente de 150 
metros de tecido, 360 horas de trabalho e que consegue vender tudo o que 
fabrica, quantas camisas de cada modelo será preciso fabricar para obter um 
rendimento máximo? 
Solução: 
Dados: 
Camisa A = x (necessita de 1metro de tecido e 4 horas trabalhadas) 
Camisa B = y (necessita de 1,5 metros de tecido e 3 horas trabalhadas) 
Ponto Solução: 
(X,Y) 
164 
 
Tempo de trabalho = 360 horas 
Comprimento do tecido disponível da fabrica diariamente = 150 m 
Temos por função linear( inequação): 
 x + 1,5y ≤ 150 
 4x + 3y ≤ 360 
 
Isolando y na 1º e 2º inequação, temos: 
 
y ≤ 150 – x y ≤ 360 - 4x 
 1,5 3 
 
 
A cada valor atribuído a variável x, teremos um valor proporcional a variável y. 
Quando ocorrerem dois valores iguais para a variável x e cada inequação 
obtiver o mesmo valor para variável y, teremos um ponto comum entre as duas 
funções lineares,o qual chamaremos de Ponto Solução (Resultado do 
Problema) 
 
Veja: 
 y 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
OBS: Os valores 150 e 360 são restrições apresentadas pelo problema. 
 
x y 
15 90 
30 80 
60 60 
150 0 
x y 
15 100 
30 80 
60 40 
90 0 
140 
120 
100 
80 
60 
40 
20 
 0 15 30 45 60 75 90 
 
 
 
Inequação 1 Inequação 2 
 
Inequação 1 Inequação 2 
 
(30,80) 
REGIÃO DE 
INTERESSE 
(REGIÃO VIÁVEL) 
165 
 
Resolução por Análise Matemática: 
 Para resolvermos analiticamente temos de aceitar algumas regras: 
 Se um problema de programação linear tem uma solução, esta está 
localizada num dos vértices da região admissível. 
 
 Se um problema de programação linear tem múltiplas soluções, pelo 
menos uma delas está localizada num dos vértices da região admissível. 
Em qualquer dos casos o valor correspondente da função linear é única. 
Exemplo: 
 Utilizando o exercício anterior, temos quatro vértices, os quais estão 
 dispostos em coordenadas da seguinte maneira:: (0,0), (0,100), (30,80) 
 e (90,0). 
 Para cada um dos pares teremos de obter o valor da função linear, eliminamos 
 o par (0,0). 
 
 Fazendo: z = A x + B y ; temos: 
 Z = 20x + 16y então fica: 
 (0,100) = z = 20(0) + 16(100) = 0 + 1.600 = R$ 1.600,00 
(30,80) = z = 20(30) + 16(80) = 600 + 1280 = R$ 1.880,00 
(90,0) = z = 20(90) + 16(0) = 1800 + 0 = R$ 1.800,00 
 
Portanto, o maior valor arrecadado pelas vendas das camisetas foi R$ 
1.880,00, quando foram produzidas 30 camisetas do modelo A e 80 camisetas 
do modelo B. 
 
OBS: Neste caso o Z pode ser representado por L, pois o problema questiona 
 a lucratividade das vendas,logo temos: 
 
 L(x,y) = 20x + 16y L(x,y) = R$ 1.880,00 
 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
.01) Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto 
 P1 é de R$ 1.000,00 e o lucro unitário de P2 é R$ 1.800. A empresa 
 precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para 
 fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para 
 isso é de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 
 unidadespara P1 e 30 unidades para P2. Construa o modelo de 
 programação linear que objetiva Maximizar o lucro. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Dados: 
P1: Lucro – R$ 1.000,00 
Tempo de produção P1: 20 horas 
Demanda Esperada P1: 40 unidades 
 
P2: Lucro – R$ 1.800,00 
Tempo de produção P2: 30 horas Tempo Disponível de Produção: 1200 horas 
Demanda Esperada P2: 30 unidades 
 
Temos: 
Unidade produzida do Produto P1: x Unidade produzida do Produto 
 
P2: y Função Objetivo: Maximizar: 1000x + 1.800y 
 
Restrições: (Tempo de Produção 1.200h), fica: 20x + 30y ≤ 1.200 
 
Demanda Esperada do Produto (P1: 40 unidades) ,fica: x ≤ 40 
 
Demanda Esperada do Produto (P2: 30 unidades), fica: y ≤ 30 
 
Logo: 
 
MAXIMIZAR LUCRO: 
 
 Max Z = 1000x + 1.800y 
 
Restrições: 20x + 30y ≤ 1.200 
 x ≤ 40 
 y ≤ 30 x , 
 x. y ≤ 0