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G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s Tensões principais G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s Tensão principal: é o vetor tensão (normal) em cortes (planos) onde não há tensão cisalhante. σp p p M M { { Tensão principal magnitude direção . σ= =p p pt TM M 64748 σ= p pt M 1=pM Os cortes (planos) onde as tensões principais são observadas são os cortes (planos) principais G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s Problemas de autovalores . σ= =p p pt TM M autovalores= magnitude das tensões principaisσ =p autovetores= caracterizam os cortes (planos) principais=pM ( ){ { matriz 3x3 3 13 1 . . . . xx σ σ= ⇒ − =p p p p pTM IM T I M 0 64748 Sistema de equações lineares homogêneo .⇒ =A x 0 G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s Se é inversível, a única solução de . é = =A A x 0 x 0 A −1A 2R 2R Mas precisamos de condições para que 0 seja solução do sistema homogêneo ≠pM { }Como??? garantindo que tenha núcleo ≠A 0 G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s 2 1 4 2 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠A : → 2 2A R R A -2 1 G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s 1 0 0 . 4 2 0 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 A x 1 1 1 2 0 4 2 0 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 x 0 1 0 1 1 4 2 1 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 x 1 1 1 3 1 4 2 1 6 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 x 1 1 1 0 2 4 2 2 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 x G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s ( ) Núcleo de conjunto de todos os elementos do espaço linear tal que . , se núcleo A = ∈ A A x = 0 x { }O núcleo de é se e somente se é não inversível≠A 0 A 1Observe que se det 0 não pode ser calculada det adj−= ⇒ =1A A A A G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s ( ) { } é inversível núcleo ⇔ =A A 0 A ( ) { }núcleo =A 0 −1A G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s ( ) { } não é inversível núcleo ⇔ ≠A A 0 ( )Portanto a condição para 0 requer que det . 0σ≠ − =p pM T I G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s Exemplo: 0 0 τ τ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠T 2 20. 0 0 σ τ σ τσ σ ττ σ τ σ − −⎛ ⎞− = ⇒ = + =⎜ ⎟− −⎝ ⎠ p p p p p p T I σ τ= ±p (autovalores) G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s Para σ τ= +p ( ).σ− =p pT I M 0 0 0 0 0 0 0 mx my τ τ τ τ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 0 0 0 0 mx mx my my mx my τ τ τ τ τ τ τ τ − − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ mx my= Para σ τ= −p mx my= − G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s Cisalhamento simples Usando o teorema de Cauchy τ τ x xx xy y yx yy t mx t my σ τ τ σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s 1 0 1 0 0 0 0 x x y y t t mx t t τ τ τ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 0 1 0 1 0 x x y y t t my t t τ τ τ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 0 1 0 0 0 0 x x y y t t mx t t τ τ τ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 0 1 0 1 0 x x y y t t my t t τ τ τ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s 2 2 2 02 2 2 02 2 2 2 2 2 x x y y t t m t t ττ τ τ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ θ Y’ X’ 45o 45o 2 2 τ 2 2 τ G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s x' 2 2Na direção x' 2 . 2 2 σ τ τ⇒ = = tensão normal= tensão cisalhante=0 τ 2 2 2 2 m ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ τ τ τ G A M M A – E N M – U n B G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s 1 σ 2σ 45o pM
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