Aula14_tensoes_principais

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G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
Tensões principais
G A M M A – E N M – U n B
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Tensão principal: é o vetor tensão (normal) em cortes (planos) 
 onde não há tensão cisalhante.
σp p
p
M
M
{ {
Tensão principal
magnitude direção
. σ= =p p pt TM M
64748
σ= p pt M
1=pM
Os cortes (planos) onde as 
tensões principais são 
observadas são os cortes 
(planos) principais
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Problemas de autovalores
. σ= =p p pt TM M
 autovalores= magnitude das tensões principaisσ =p
 autovetores= caracterizam os cortes (planos) principais=pM
( ){ {
matriz 3x3
3 13 1
. . . .
xx
σ σ= ⇒ − =p p p p pTM IM T I M 0
64748
Sistema de equações lineares homogêneo .⇒ =A x 0
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Se é inversível, a única solução de . é = =A A x 0 x 0
A
−1A
2R
2R Mas precisamos de condições
para que 0 seja solução
do sistema homogêneo
≠pM
{ }Como??? garantindo que tenha núcleo ≠A 0
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2 1
4 2
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠A : →
2 2A R R
A
-2
1
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1 0 0
.
4 2 0 0
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
A x
1 1 1 2
0 4 2 0 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
x
0 1 0 1
1 4 2 1 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
x
1 1 1 3
1 4 2 1 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
x
1 1 1 0
2 4 2 2 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
x
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( )
Núcleo de conjunto de todos os elementos do espaço
linear tal que . , se núcleo A
=
∈
A
A x = 0 x
{ }O núcleo de é se e somente se é não inversível≠A 0 A
1Observe que se det 0 não pode ser calculada
det
adj−= ⇒ =1A A A
A
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( ) { } é inversível núcleo ⇔ =A A 0
A
( ) { }núcleo =A 0
−1A
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( ) { } não é inversível núcleo ⇔ ≠A A 0
( )Portanto a condição para 0 requer que det . 0σ≠ − =p pM T I
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Exemplo: 0
0
τ
τ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠T
2 20. 0
0
σ τ σ τσ σ ττ σ τ σ
− −⎛ ⎞− = ⇒ = + =⎜ ⎟− −⎝ ⎠
p p
p p
p p
T I
σ τ= ±p (autovalores)
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Para σ τ= +p
( ).σ− =p pT I M 0
0 0 0
0 0 0
mx
my
τ τ
τ τ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
0 0
0 0
mx mx my
my mx my
τ τ τ τ
τ τ τ τ
− − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
mx my=
Para σ τ= −p
mx my= −
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Cisalhamento simples
Usando o teorema de Cauchy τ
τ
x xx xy
y yx yy
t mx
t my
σ τ
τ σ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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1 0 1 0
0 0 0
x x
y y
t t
mx
t t
τ
τ τ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0 0 0
1 0 1 0
x x
y y
t t
my
t t
τ τ
τ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 0 1 0
0 0 0
x x
y y
t t
mx
t t
τ
τ τ
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0 0 0
1 0 1 0
x x
y y
t t
my
t t
τ τ
τ
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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2 2 2
02 2 2
02 2 2
2 2 2
x x
y y
t t
m
t t
ττ
τ τ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ θ
Y’
X’
45o
45o
2
2
τ
2
2
τ
G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
x'
2 2Na direção x' 2 .
2 2
σ τ τ⇒ = =
tensão normal=
tensão cisalhante=0
τ
2
2
2
2
m
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
τ τ
τ
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1 σ
2σ
45o pM