Tratamentos Térmicos de Materiais Metálicos

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TRATAMENTOS TÉRMICOS E DE
SUPERFÍCIE
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1. RECOZIMENTO DE MATERIAS METÁLICOS (FERROSOS E NÃO-
FERROSOS, MATERIAIS PUROS E LIGAS)
1.1 Deformação Elástica dos Materiais Metálicos
No regime elástico, a deformação é proporcional à deformação do material. A
relação de proporcionalidade é chamada de módulo de elasticidade ou módulo de Young. O
módulo de elasticidade é característico para cada material, mas em alguns metais ele
depende da direção cristalina (direções mais densas apresentam maior módulo de
elasticidade em relação a direções menos densas). A figura 1 mostra a representação
esquemática da deformação elástica.
Figura 1. Representação esquemática de deformação elástica.
Para sólidos perfeitamente elásticos, o regime elástico pode ser descrito por uma
reta e as curvas de carregamento e descarregamento são idênticas. Este comportamento é
característico de materiais metálicos e cerâmicos. No caso da borracha, a tensão σ e a
deformação ε não são proporcionais, mas uma vez eliminada a força externa a deformação
retorna a zero.
1.2 Plasticidade dos materiais metálicos.
As deformações plásticas correspondem às deformações irreversíveis que ocorrem
no metal durante o processo de deformação, isto é, após um processo de conformação
mecânica a deformação permanente que fica no material corresponde à deformação
plástica. A importância da deformação plástica nos materiais metálicos está ligada
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principalmente com os processos de conformação mecânica tais como, laminação, extrusão,
forjamento, estampagem e etc. A deformação plástica ocorre, principalmente, devido ao
deslizamento de planos cristalinos. Esse deslocamento é favorecido pela presença de
discordâncias. A figura 2 mostra esquematicamente a deformação por escorregamento.
Figura 2. Deformação por escorregamento.
A figura 3 apresenta esquema de movimentação de discordâncias em cunha e sua
semelhança com o movimento de uma centopéia.
Figura 3. Esquema de movimentação de discordâncias durante a deformação plástica. O
movimento da discordância é semelhante ao de uma centopéia.
1.2.1 Encruamento.
A maior parte da energia gasta nos processos de conformação a frio é perdida na
forma de calor. Apenas 2 a 10% dessa energia é armazenada na forma de defeitos
cristalinos.
A conformação causa um aumento de defeitos cristalinos, e por conseqüência um
aumento de dureza do material metálico. A introdução de defeitos cristalinos,
principalmente discordâncias, durante o processo de deformação a frio e o aumento de
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dureza do metal deformado (em relação ao não-deformado) causa o chamado encruamento.
As figuras 4 e 5 mostram microestruturas de materiais metálicos que sofreram deformação
plástica e que se apresentam encruados. O aumento de propriedades mecânicas devido ao
encruamento é apresentado na figura 6.
Figura 4. Material policristalino (a) antes da deformação plástica e (b) depois da
deformação plástica (microestrutura de grãos alongados).
Figura 5. Linhas de deformação dentro dos grãos de uma chapa de cobre encruada.
1.3 Tratamento térmico de recozimento.
Os efeitos do encruamento (aumento na quantidade de defeitos cristalinos, como as
discordâncias e o conseqüente aumento de dureza e resistência do material metálico) podem
ser eliminados, ou pelo menos reduzidos, pois a eliminação de defeitos é um processo
termicamente ativado, isto é, são favorecidos em temperaturas elevadas onde a difusão dos
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átomos é favorecida. O esquema da figura 7 ilustra o que ocorre durante o tratamento
térmico de recozimento.
Figura 6. Aumento da resistência à tração e diminuição de ductilidade de chapas de cobre e
ligas de cobre após encruamento.
Figura 7 . Tratamento térmico de recozimento. (a) Início do processo. (b) 50% do
processo. (c) Processo concluído.
Os materiais metálicos podem ser deformados tanto a quente como a frio. Durante o
processo de deformação a quente os defeitos são criados e logo após são eliminados. Com
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isso pode-se obter durante o processo de deformação a quente uma microestrutura
recristalizada, isto é, com tamanho de grãos menor do que o material de partida e sem
dureza elevada pela deformação plástica. Já durante o processo de deformação a frio, a
microestrutura resultante é a de uma material encruado. Isto significa que esse metal ou liga
possui uma grande quantidade de defeitos e tem um aumento de resistência. No entanto, se
for conveniente, esse encruamento pode ser eliminado. Isto é feito durante um tratamento
térmico de recozimento. O recozimento consiste em colocar o material em uma
temperatura acima da temperatura de recristalização por períodos de tempo que vão de
minutos a poucas horas.
Existe uma temperatura em especial que caracteriza diminuição do encruamento
durante o recozimento. Essa temperatura é chamada de temperatura de recristalização, e
se caracteriza por ser a temperatura na qual é necessária 1 hora para que o processo de
recristalização se inicie e termine em um metal ou liga. As temperaturas típicas de
recristalização para metais e ligas estão entre 1/3 e ½ do ponto de fusão dos mesmos. É
importante ressaltar que essa temperatura de recristalização depende de vários fatores tais
como: pureza da liga (a recristalização ocorre mais rapidamente em metais puros do que em
ligas), grau de deformação (energia armazenada na forma de defeitos cristalinos). A
influência da temperatura no processo de eliminação do encruamento é apresentada na
figura 8.
É importante comentar que se a conformação mecânica do metal ou liga for
realizada acima da temperatura de recristalização essa conformação é chamada de
deformação a quente. Portanto, a temperatura de recristalização separa a deformação a
quente da deformação a frio.
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Figura 8. Influencia da temperatura do tratamento térmico na resistência e na ductilidade
de um latão.
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2. TRATAMENTOS TÉRMICOS DE MATERIAIS METÁLICOS FERROSOS E
NÃO-FERROSOS.
2.1 Tratamentos Térmicos de Materiais Ferrosos.
Os materiais ferrosos são os materiais compostos a base de ferro. Esses materiais
são basicamente os aços e os ferros fundidos.
Tanto os aços como os ferros fundidos têm como composição base o ferro e
carbono. Definem-se aços como sendo ligas compostas por ferro e teores de carbono de até
2% em peso. Já os ferros fundidos, possuem teores acima de 2% em peso de carbono.
Usualmente os teores de carbono são sempre inferiores a 2% nos aços e bastante superiores
a 2% nos ferros fundidos A figura 9 mostra um diagrama Fe-C e a figura 10 mostra
microestruturas características de aços para construção mecânica e ferros fundidos.
Figura 9. Diagrama Fe-C esquemático.
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(a) (b)
Figura 10. Microestruturas características de (a) aço para construção mecânica (1030) e (b)
ferro fundido cinzento.
As regiões escuras da figura 10 (a) correspondem a um composto chamado perlita e
as regiões claras correspondem a uma fase chamada ferrita. A ferrita tem estrutura cristalina
CCC e tem baixa solubilidade do carbono. Já a perlita, é composta de 2 fases (a ferrita e a
cementita). A cementita é um carboneto de ferro (Fe3C), o qual é uma fase dura e frágil. A
ferrita e cementita na perlita estão dispostas na forma de lamelas, como mostra a figura 11.
Já na figura 10 (b), as regiões escuras são de grafita e as regiões claras, como nos aços, são
de ferrita. A morfologia da grafita pode ser alterada em função do tratamento térmico e pela
adição de inoculantes.
Figura 11. Lamelas alternadas de ferrita e cementita formando a perlita.
Existem vários tipos de aços. Dentre eles estão os:
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1. Aços carbono (não possuem elementos de liga, além do carbono).
2. Aços baixa liga (possuem elementos de liga para melhorar a temperabilidade ou
propriedades mecânicas).
3. Aços ferramenta (são aços que possuem elevados teores de elementos de liga,
principalmente formadores de carbonetos e nitretos).
4. Aços inoxidáveis (apresentam elevados teores de elementos de liga, sua principal
propriedade é a resistência à corrosão. O principal elemento de liga dos aços
inoxidáveis é o cromo. A resistência à corrosão desses aços é promovida pela
formação de óxidos de cromo na superfície do metal. Esses óxidos formam uma
película aderente e contínua, semelhante à formada no alumínio).
A primeira diferenciação que se faz dos aços neste texto é pela composição química. Os
elementos de liga, bem como a quantidade de elementos de liga adicionada, vão depender
da aplicação do aço, isto é, do requisito mais importante a ser levado em conta no projeto.
Este requisito pode ser mecânico, econômico ou ligado ao ambiente (aços inoxidáveis). A
outra diferenciação que deve ser feita quanto se pensa em aços (na verdade nos materiais
metálicos) é com relação ao tratamento térmico realizado. Por exemplo, um aço 1045
resfriado rapidamente é duro e frágil e um aço 1045 (mesma composição química) resfriado
lentamente apresenta elevada tenacidade. A figura 12 ilustra a microestrutura de dois aços
resfriados com diferentes taxas de resfriamento.
A fase que aparece nas micrografias dos aços temperados chama-se martensita. Essa
fase resulta da transformação da austenita, que não é estável na temperatura ambiente,
durante o resfriamento rápido dos aços. Cabe aqui uma observação, a maioria dos
tratamentos térmicos realizados em aços parte da existência de austenita. Austenita é uma
fase CFC, que está presente nos aços carbono acima de 723o C. Em análise simplificada, o
resfriamento lento a partir da austenita resulta em ferrita e perlita e o resfriamento rápido a
partir da austenita resulta em martensita.
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Composição química (porcentagem em peso) Aço 1045
C Mn P, max S, max Si Ni Cr Mo Outros elementos
0,43-0,50 0,60-0,90 0,040 0,050 - - - - -
Normalizado
500X
Temperado
500X
Composição química (porcentagem em peso) Aço 4140
C Mn P, max S, max Si Ni Cr Mo Outros
elementos
0,38-0,43 0,75-1,00 0,035 0,040 0,20-0,35 - 0,80-1,10 0,15-0,25 -
Normalizado
500X
Temperado
750X
Figura 12. Micrografias dos aços 1045 e 4140 normalizados e temperados.
Algumas formas de tratamentos térmicos que podem ser realizados nos aços são
apresentados na forma curvas de resfriamento contínuo nas figuras 13, 14 e 15.
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1. Recozimento. Os tratamentos térmicos de recozimento podem objetivar a diminuição do
encruamento e causar uma diminuição de dureza do material metálico. No caso específico
dos aços o recozimento também caracteriza-se por um resfriamento lento (algumas horas,
dependendo do tamanho da peça) a partir de uma temperatura onde exista 100% de
austenita, essa temperatura dependerá da composição do aço. O produto dessa reação é a
formação de ferrita e de perlita. O diagrama de resfriamento contínuo apresentado na
figura 13 ilustra o tratamento térmico de recozimento. Existe também uma outra forma de
tratamento térmico de recozimento, que na verdade é a chamada esferoidização da perlita.
Esse tratamento consiste em tratar o aço em uma temperatura em torno da temperatura
eutetóide (723oC) por várias horas.
A tensão de resistência de um material recozido pode ser calculada de maneira
aproximada pela seguinte relação:
Tensão de resistência = 
100
perlita 120000% ferrita 40000% +
Figura 13. Tratamento térmico de Recozimento. A indica a austenita, M a martensita, P a
perlita e F a ferrita.
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2. Normalização. O tratamento térmico de normalização é realizado de forma semelhante
ao tratamento térmico de recozimento. A normalização caracteriza-se por um resfriamento
relativamente lento (alguns minutos, dependendo do tamanho da peça) a partir de uma
temperatura onde exista 100% de austenita, essa temperatura dependerá da composição do
aço. O produto dessa reação é a formação de ferrita e de perlita. O diagrama de
resfriamento contínuo apresentado na figura 14 ilustra o tratamento térmico de
normalização.
Figura 14. Tratamento térmico de Normalização. A indica a austenita, M a martensita, P a
perlita e F a ferrita.
3. Têmpera. A tempera, ao contrário do recozimento e da normalização, objetiva a
formação de uma fase chamada martensita, que é dura e frágil. A tempera caracteriza-se por
um resfriamento rápido (alguns segundos)a partir de uma temperatura onde exista 100% de
austenita, essa temperatura dependerá da composição do aço O diagrama de resfriamento
contínuo apresentado na figura 15 ilustra o tratamento térmico de têmpera.
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Figura 15. Tratamento térmico de Têmpera. A indica a austenita, M a martensita, P a
perlita e F a ferrita.
A tabela 1 a apresenta as dureza de aços recozidos, normalizados e temperados.
Tabela 1. Dureza de aços recozidos, normalizados e temperados.
Aço
%Carbono
Dureza Brinell
Aço Recozido
Dureza Brinell
Aço Normalizado
Dureza Brinell
Aço Temperado
0,01 90 90 90
0,20 115 120 229
0,40 145 165 429
0,60 190 220 555
0,80 220 260 682
1,00 195 295 Acima de 682 + formação de trincas
1,20 200 315 Acima de 682 + formação de trincas
1,40 215 300 Acima de 682 + formação de trincas
A figura 16 apresenta curvas de resfriamento contínuo, com diferentes taxas de
resfriamento em um corpo de prova de ensaio Jominy.
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Figura 16. Curvas de resfriamento contínuo, com diferentes taxas de resfriamento em um
corpo de prova de ensaio Jominy.
2.2 Tratamentos Térmicos de Materiais Não-Ferrosos.
Os materiais não-ferrosos são os materiais metálicos diferentes dos aços e dos ferros
fundidos. De um modo geral, os materiais não-ferrosos são bem descritos em termos de
microestrutura pelos diagramas de fase, e portanto, também em termos de propriedades.
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Não são necessários diagramas de resfriamento contínuo como no caso dos aços. Podemos
dividir os materiais não-ferrosos de várias formas, duas delas são:
1. Composição química. Os materiais não-ferrosos são muito utilizados na forma de
metais, como na forma de ligas. Por exemplo, o alumínio.
2. Processos de fabricação. Ligas eutéticas são muito utilizadas em fundição. Essas
ligas não apresentam boa conformabilidade, mas apresentam baixo ponto de fusão,
o que facilita seu processamento. Peças de formas complexas são usualmente
fabricadas por fundição. Já as ligas endurecíveis por precipitação, são bastante
utilizadas em processos onde existe necessidade de conformação mecânica e/ou
tratamentos térmicos.
Os tratamentos térmicos realizados em materiais não-ferrosos são um pouco diferentes
dos que são realizados nos aços. A exceção está aços inoxidáveis ferríticos e austeníticos,
nos quais são feitos tratamentos térmicos semelhantes aos dos materiais não-ferrosos. Os
tratamentos térmicos que são realizados nos materiais não-ferrosos e nos aços inoxidáveis
são:
1. Recozimento. Os tratamentos térmicos de recozimento podem objetivar a diminuição do
encruamento e causar uma diminuição de dureza do material metálico.
2. Homogeneização. Esse tratamento térmico visa homogeneizar a composição química do
material. Esse tratamento é comumente realizado em peças fundidas e seu tempo de
duração é bastante longo, podendo chegar a dias.
3. Solubilização. Esse tratamento térmico visa a eliminação de precipitados no material.
Esse tratamento é freqüentemente realizado em aços inoxidáveis, embora seja uma liga
ferrosa.
4. Envelhecimento. Esse tratamento visa o oposto da solubilização. O tratamento térmico
de evelhecimento (ou recozimento isotérmico) visa a formação de precipitados que
melhoram as propriedades mecânicas do material.
Existe um tipo de tratamento térmico que é comum aos materiais ferrosos e não-
ferrosos. Esse tratamento é conhecido como alívio de tensões e visa eliminar tensões
residuais, causadas por diferentes motivos (soldagem, conformação mecânica).
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2.3 Tratamentos Superficiais
Os tratamentos térmicos superficiais envolvem alterações microestruturais e, por
conseqüência, nas propriedades mecânicas apenas de parte da peça ou componente, em
especial da superfície da mesma. Exemplos de aplicação: dentes de engrenagens, eixos,
mancais, fixadores, ferramentas e matrizes. Estes processos aumentam a dureza superficial,
resistência à fadiga e desgaste sem perda de tenacidade da peça ou componente.
Basicamente os tratamentos térmicos superficiais consistem em aquecer o componente ou
peça em atmosfera rica em determinados elementos tais como carbono, nitrogênio ou boro.
1. Cementação.
É utilizada em aços carbono ou ligados com baixos teores de carbono (até 0,2%). O aço é
aquecido entre 870-950oC em atmosfera rica em carbono. O processo de cementação segue
a seguinte reação:
Fe + 2CO → Fe(C) + CO2
A atmosfera rica em carbono pode ser fornecida basicamente por gás, ou por um banho
(líquido) de sais. Neste último caso, além da incorporação do carbono, pode também ser
incorporado à superfície da peça também nitrogênio. Nesse caso a reação é dada por:
2NaCN + O2 → 2NaNCO
4NaNCO → Na2CO3 + CO + 2N
2. Nitretação.
É utilizada em aços carbono ou ligados, aço ferramenta e aços inoxidáveis. O aço é
aquecido entre 500-600oC em atmosfera rica em nitrogênio. Quando a atmosfera é gasosa o
gás utilizado contém amônia, que dissociada gera o nitrogênio. Outra forma de se obter o
nitrogênio dissociado, a partir do N2, pela formação de um plasma. Esse processo consiste
em colocar uma mistura de gases em um recipiente onde foi existe vácuo. Nesse recipiente
é estabelecida uma diferença de potencial, produzindo ionização dos gás nitrogênio. Esse
processo tem como vantagens menores problemas ambientais, melhor estabilidade
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dimensional e melhor controle da camada nitretada, além da utilização de menores
temperaturas.
3. Jateamento com Granalhas.
O jateamento com granalhas é um processo de trabalho a frio, que consiste em projetar
granalhas com alta velocidade (entre 20 e 100 m/s) contra uma superfície de um material
metálico. A granalha atua como se fosse um pequeno martelo sobre a superfície metálica
causando deformação plástica. Esse processo de deformação superficial é largamente
utilizado para introduzir tensões residuais de compressão na superfície, as quais melhoram
as propriedades mecânicas dos componentes em serviço, em especial, aumentam a vida em
fadiga.
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ANEXOS
1. Transformações de fase em materiais metálicos.
A figura 1 apresenta um diagrama Eutético e a figura 2 apresenta um diagrama Eutético
esquemático.
Figura 1. Diagrama Eutético L → α + β
 Líquido eutético (Le)
Ttrat.térm. Solubilização
 Tsolubilização
Ttrat. térm. Envelhecimento
Figura 2. Diagrama eutético esquemático. X1, composição da liga, X2 solubilidade
máxima de B em A, X3 solubilidade máxima de A em B.
��������� 	�
��
L + αα L + ββ
αα + ββ
ββ
αα
A BX2 X3 X1
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Reação eutética:
L→α + β
Reação eutetóide:
γ→α + β
Reação de precipitação (tratamento térmico de envelhecimento)
α→α + β
2. Difusão.
Difusão é um fenômeno de movimentação de átomos. No estado líquido os átomos
movimentam-se ao acaso. No estado sólido os átomos dos materiais metálicos podem
movimentar-se principalmente de duas formas de duas formas. Essas formas são por
interstícios e por troca com lacunas.
Átomos intersticiais (átomos pequenos: H, C, N, O, B) difundem pelos interstícios.
Átomos do metal e átomos substitucionais difundem por troca com lacunas. O esquema da
figura 3 ilustra os tipos de movimentação atômica.
O movimento dos átomos é termicamente ativado, isto é, quanto maior a temperatura maior
é a movimentação dos átomos. A relação matemática que descreve essa movimentação é
dada pelo coeficiente de difusão de um átomo em uma liga ou nele mesmo (D). Essa
relação é dada a seguir.
)exp(0 RT
QDD −= (m2/s)
Onde D é o coeficiente de difusão de um elemento na liga ou no próprio metal. D0 é uma
constante independente da temperatura, Q é uma energia de ativação para a difusão (J/mol,
cal/mol ou eV/átomo), R é constante dos gases (8,31 J/mol K, 1,987 cal/mol K ou 8,62x10-5
eV/ átomo K) e T é a temperatura em Kelvin (K).
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(a) Troca com lacunas
(b) Movimentação por interstícios
Figura 3. Difusão de átomos intersticiais e substitucionais.
A tabela 1 a seguir apresenta alguns resultados de coeficientes de difusão.
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Tabela 1. Resultados de coeficientes de difusão.
Exercícios.
1. Calcule o coeficiente de difusão do carbono no γ-Fe (CFC) a 1000 oC.
Sabendo que )exp(0 RT
QDD −= com os dados da tabela acima tem-se:
)
127331,8
141520
exp(21,0
x
D −= D=3,25x10-7 cm2/s
2. Calcule o coeficiente de difusão do carbono no α-Fe (CCC) a 600 oC.
Sabendo que )exp(0 RT
QDD −= com os dados da tabela acima tem-se:
)
87331,8
75780
exp(0079,0
x
D −=
 D=2,29x10-7 cm2/s
3. Calcule o coeficiente de difusão do γ-Fe (CFC) no α-Fe (CCC) a 900 oC.
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Sabendo que )exp(0 RT
QDD −= com os dados da tabela acima tem-se:
γ-Fe (CFC) )
117331,8
141520
exp(21,0
x
D −=
 D=1,03x10-7 cm2/s
α-Fe (CCC) )
117331,8
75780
exp(0079,0
x
D −= D=33,2x10-7 cm2/s
4. Calcule o coeficiente de difusão do cobre no níquel a 600oC.
Sabendo que )exp(0 RT
QDD −= com os dados da tabela acima tem-se:
)
87331,8
124770
exp(1065 6
x
xD −= −
 D=2,21x10-12 cm2/s
5. Calcule o coeficiente de difusão do níquel no cobre a 600oC.
Sabendo que )exp(0 RT
QDD −= com os dados da tabela acima tem-se:
)
87331,8
148640
exp(001,0
x
D −= D=1,26x10-12 cm2/s
Primeira Lei de Fick. A difusão pode ser tratada matematicamente de duas formas. O
primeiro tratamento fica estabelecido para condições estacionárias onde o fluxo de átomos
é dado por:
)(
dx
dCDJ x −=
O gradiente de concentração 
dx
dC
nesse caso é igual a 
BA
BA
xx
CC
−
−
. D é o coeficiente de
difusão.
A figura 4 ilustra a ocorrência do fluxo de átomos na direção x.
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Figura 4. Difusão em estado estacionário através de uma placa e perfil linear de
concentração na placa.
Exercícios.
1. Uma placa de ferro é exposta a uma atmosfera rica em carbono de um lado e a uma
atmosfera pobre em carbono do outro a 700oC. Se a condição de estado estacionário for
alcançada, calcule o fluxo de carbono através da placa nas posições 5 e 10 mm dentro da
placa, sabendo-se que as concentrações de carbono nessas posições são 1,2 e 0,8 kg/m3,
respectivamente. Assuma que o coeficiente de difusão do carbono no ferro nesta
temperatura é 3x10-11 m2/s.
Sabendo-se que:
)(
dx
dCDJ x −=
O gradiente de concentração 
dx
dC
nesse caso é igual a 
BA
BA
xx
CC
−
−
. D é o coeficiente de
difusão.
)(
BA
BA
x
xx
CC
DJ
−
−
−= )
10)105(
8,02,1(103 311 −−
−
−
−= xJ x Jx=2,4x10-9 kg/m2s
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2. A purificação do hidrogênio é feita pro difusão através de uma lâmina de paládio.
Considere uma lâmina de 5 mm de espessura com área de 0,2m2 a 500oC. Considere o
coeficiente de difusão do hidrogênio no paládio a 500oC como sendo 1x10-8 m2/s. As
concentrações de hidrogênio nos dois lados das lâminas são respectivamente 2,4 e 0,6 kg/
m3. Considere que o estado estacionário foi atingido e calcule a quantidade hidrogênio que
passa pela placa em 1 hora.
Sabendo-se que:
)(
dx
dCDJ x −=
O gradiente de concentração 
dx
dC
nesse caso é igual a 
BA
BA
xx
CC
−
−
. D é o coeficiente de
difusão.
)(
BA
BA
x
xx
CCDJ
−
−
−= )
10)50(
6,04,2(101 38 −−
−
−
−= xJ x Jx=3,6x10-6 kg/m2s
Jx=3,6x10-6 kg/m2s
Placa de 0,2 m2 , 1 hora tem 3600 segundos logo:
kgx
sxm
kg
x
9
2
6 105
36002,0
106,3 −− = de Hidrogênio
Em 1 g de hidrogênio existem 6,02x1023 átomos. Logo:
1 ------ 6,02x1023
5x10-9------ átomos
átomos= 3,01x1015
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 Segunda Lei de Fick. O segundo tratamento para a difusão fica estabelecido para
condições não-estacionárias (perfil de concentração varia com o tempo) é dado por:
)(
x
CD
xt
C
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
, mas se considerarmos que o coeficiente de difusão é independente da
composição química tem-se que:
)( 2
2
x
CD
t
C
∂
∂
=
∂
∂
Essa equação diferencial é conhecida como segunda lei de Fick. As figuras 5 e 6 mostram
perfis de concentração para o estado não-estacionário em diferentes períodos de tempo.
Figura 5. Perfis de concentração para condições não-estacionáriasem diferentes períodos
de tempo (Enriquecimento da superfície em soluto - Cementação, Nitretação).
Figura 6. Perfis de concentração para condições não-estacionárias em diferentes períodos
de tempo (Empobrecimento da superfície em soluto - Descarbonetação).
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Soluções para a segunda lei de Fick são possíveis desde que estabelecidas algumas
condições. Uma dessas soluções tem muita aplicação em tratamentos termo-químicos.
Considera-se uma placa semi-infinita, cuja concentração de soluto na superfície é mantida
constante. Para as seguintes condições de contorno t=0, C=C0 em 0 ≤ x ≤ ∞ e para t > 0,
C=C0 em x=0 e C=C0 em x=∞ tem-se:
)
2
(1
Dt
x
erf
CoCs
CoCx
−=
−
−
C0 é concentração inicial de soluto na liga, Cs é a concentração de soluto na superfície, Cx
é a concentração de soluto na posição x, D é o coeficiente de difusão e t é tempo.
)
2
(
Dt
x
erf
 é a integral normalizada de probabilidade ou função erro de Gauss, o valor de
z, comumente usado é dado por 
Dt
x
2
. A função erro de Gauss é definida como:
∫ −= Z y dyezerf 0 22)( pi onde )2( Dt
x
erf é a variável z.
Uma situação freqüente que pode ser equacionada utilizando a segunda lei de Fick é para o
caso onde há um empobrecimento em soluto na superfície. Isso pode ocorrer durante
tratamentos térmicos em temperaturas elevadas. Existem dois exemplos bastante comuns
que são a descarbonetação e de dezincificação em latões. Nestes casos, a segunda lei de
Fick tem a seguinte solução:
)
2
()()(
Dt
x
erfCsCoCsCx −=−
Os valores da função erro de Gauss são tabelados e são apresentados na tabela 2.
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Tabela 2. Tabulação da função erro de Gauss.
z erf(z) z erf(z)
0 0 0,85 0,7707
0,025 0,0282 0,90 0,7969
0,05 0,0564 0,95 0,8209
0,10 0,1125 1,0 0,8427
0,15 0,1680 1,1 0,8802
0,20 0,2227 1,2 0,9103
0,25 0,2763 1,3 0,9340
0,30 0,3286 1,4 0,9523
0,35 0,3794 1,5 0,9661
0,40 0,4284 1,6 0,9763
0,45 0,4755 1,7 0,9838
0,50 0,5205 1,8 0,9891
0,55 0,5633 1,9 0,9928
0,60 0,6039 2,0 0,9953
0,65 0,6420 2,2 0,9981
0,70 0,6778 2,4 0,9993
0,75 0,7112 2,6 0,9998
0,80 0,7421 2,8 0,9999
Exercícios.
1. Determine o tempo necessário para que um aço contento 0,2% em peso de carbono
tenha, numa posição 2 mm abaixo da superfície, um teor de carbono de 0,45%. Durante o
tratamento de cementação realizado a 1000 0C, o teor de carbono na superfície foi mantido
em 1,3%. O coeficiente de difusão do carbono neste aço é dado pela expressão:
)
987,1
32400
exp(10 5
T
D −= − ; (m2/s).
Na temperatura de 1000 0C, D=2,74x10-11 m2/s.
Temos enriquecimento da superfície em carbono, logo )
2
(1
Dt
x
erf
CoCs
CoCx
−=
−
−
,
substituindo os valores tem-se )
1074,22
102(1
2,03,1
2,045,0
11
3
tx
x
erf
−
−
−=
−
−
,
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)
1074,22
102(
11
3
tx
x
erf
−
−
=0,7222 Para esse valor 
Dt
x
z
2
= = 0,7678
7678,0
1074,22
102
11
3
=
−
−
tx
x
 t= 13,2 horas
2. Nitrogênio de uma fase gasosa difunde em uma placa de ferro puro a 675 0C. Se a
concentração de nitrogênio na superfície for mantida em 0,2% em peso de nitrogênio, qual
será a concentração de nitrogênio 2 mm abaixo da superfície da placa após 25 horas. O
coeficiente de difusão do nitrogênio no ferro a 675 0C é D=1,9x10-11 m2/s.
Temos enriquecimento da superfície em nitrogênio, logo )
2
(1
Dt
x
erf
CoCs
CoCx
−=
−
−
,
substituindo os valores tem-se )
90000109,12
102(1
02,0
0
11
3
−
−
−=
−
−
x
x
erfCx ,
)7647,0(erf = 0,7203 Para esse valor 7203,01
02,0
0
−=
−
−xC
 ; Cx=0,056 % em peso
de nitrogênio.
7678,0
1074,22
102
11
3
=
−
−
tx
x
 t= 13,2 horas
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BIBLIOGRAFIA
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São Paulo.
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Editora Edgar Blücher Ltda. 1982. São Paulo.
3. Amauri Garcia; J. A. Spim, C. A. dos Santos. Ensaios dos Materiais. LTC. 2000. Rio de
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4. Angelo Fernando Padilha. Materiais de Engenharia-Microestrutura e Propriedades.
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edição. John Willey. 1997. USA.
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