gabarito_calculo3_P2_2013

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Segunda Prova de Ca´lculo III - 2013
Unifesp- 1o semestre - 31/07/2013
Nome: Turma:
Matr´ıcula:
Assinatura:
Questa˜o Nota
1
2
3
4
5
6
Total
Instruc¸o˜es:
- Identifique com seu nome completo e sua turma a folha de respostas.
- Na˜o e´ permitido o uso de qualquer equipamento eletroˆnico durante a prova.
- Na˜o sera˜o aceitas respostas sem justificativas.
- A prova pode ser feita a la´pis.
1a Questa˜o (a) (1,0 pontos) Verifique a convergeˆncia das se´ries nume´ricas, verificando todas as
condic¸o˜es do teste de convergeˆncia utilizado:
i.
∞∑
n=1
1√
n
ii.
∞∑
n=1
(−1)n√
n
(b) (1,0 pontos) Determine o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(−1)n
3n
√
n
xn.
(c) (1,0 pontos) Ache o intervalo de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(−1)n
3n
√
n
(x+
1)n.
Resoluc¸a˜o
(a) i. Diverge, pois pelo teste da comparac¸a˜o 0 < 1
n
< 1√
n
e
∞∑
n=1
1
n
e´ a se´rie
harmoˆnica.
ii. Converge pelo crite´rio das se´ries alternadas, pois 1√
n
e´ descrescente
an+1 =
1√
n+ 1
<
1√
n
= an ⇒ n < n+ 1
1
e
lim
n→∞
1√
n
= 0.
(b) Seja an =
(−1)n
3n
√
n
xn. Enta˜o
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣ |x|n+13n+1√n+ 1 3n
√
n
|x|n
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣13
√
n
n+ 1
x
∣∣∣∣
=
|x|
3
√
lim
n→∞
n
n+ 1
=
|x|
3
Logo, pelo teste da raza˜o, conclu´ımos que a se´rie dada e´ convergente se |x|
3
< 1
e divergente se |x|
3
> 1. Ou seja o raio de convergeˆncia e´ 3.
(c) Pelo item anterior, temos que |x+ 1| < 3 enta˜o −3 < x+ 1 < 3 ou −4 < x < 2,
para que a se´rie seja convergente. Se x = 2 temos a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n
3n
√
n
3n =
∞∑
n=1
(−1)n√
n
que e´ convergente. Se x = 4 temos a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n
3n
√
n
(−3)n =
∞∑
n=1
(−1)n(−1)n√
n
=
∞∑
n=1
1√
n
divergente. Logo temos I = (−4, 2].
2
2a Questa˜o Use o crite´rio indicado e investigue a convergeˆncia das se´ries:
(a) (1,0 ponto)
∞∑
n=1
n
n4 + n2 − 1 (Crite´rio da comparac¸a˜o)
(b) (1,0 ponto)
∞∑
n=1
(
3n
2n+ 1
+
(−1)n
n
)
(Crite´rio do termo geral )
Resoluc¸a˜o
(a) E´ convergente pois temos
an =
n
n4 + n2 − 1 ≤
n
n4
=
1
n3
= bn
onde
∞∑
n=1
1
n3
e´ uma se´rie p convergente.
(b) E´ divergente pois
lim
n→∞
an = lim
n→∞
3n
2n+ 1
+
(−1)n
n
= lim
n→∞
3n
2n+ 1
+ lim
n→∞
(−1)n
n
= 3/2 6= 0.
3a Questa˜o (1,0 pontos) Escreva explicitamente os cinco primeiros termos da se´rie de Taylor gerada
por f(x) =
√
x em torno de a = 1.
Resoluc¸a˜o: Calculando as derivadas
f(x) =
√
x⇒ f(a) = f(1) = 1
f ′(x) =
1
2
√
x
⇒ f ′(a) = f ′(1) = 1
2
f ′′(x) = − 1
4 3
√
x
⇒ f ′′(a) = f ′′(1) = −1
4
f ′′′(x) =
3
8 5
√
x
⇒ f ′′′(a) = f ′′′(1) = 3
8
f iv(x) = − 15
16 7
√
x
⇒ f iv(a) = f iv(1) = −15
16
Os cinco primeiros termos explicitamente sera˜o
f(x) = 1 +
1
2
(x− 1)− 1
8
(x− 1)2 + 1
16
(x− 1)3 − 5
128
(x− 1)4 + . . .
4a Questa˜o (1,5 pontos) Determine a se´rie de Fourier e escreva explicitamente seus cinco primeiros
termos para a func¸a˜o
f(x) =
{
0 se −pi ≤ x ≤ 0
1 se 0 < x ≤ pi , f(x+ 2pi) = f(x)
3
Resoluc¸a˜o: Calculando os coeficientes teremos (lembrando que L = pi):
a0 =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x)dx =
1
pi
∫ pi
0
dx =
1
pi
x
∣∣∣∣pi
0
= 1
an =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x)cos
(npix
pi
)
dx =
1
pi
∫ pi
0
cos(nx)dx =
1
npi
sen(nx)
∣∣∣∣pi
0
= 0
bn =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x)sen
(npix
pi
)
dx =
1
pi
∫ pi
0
sen(nx)dx = − 1
npi
cos(nx)
∣∣∣∣pi
0
=
1
npi
[cos(npi)− 1] =
{
0 se n par
−2
npi
se n impar
logo teremos
f(x) =
1
2
+
∞∑
n=1
1
npi
[cos(npi)− 1] sen(nx).
Logo seus cinco primeiros termos sera˜o explicitamente
f(x) =
1
2
− 2
pi
sen(x)− 2
3pi
sen(3x)− 2
5pi
sen(5x)− 2
7pi
sen(7x) + . . .
5a Questa˜o (a) (1,5 pontos) Ache a se´rie de Fourier para f(x) = |x|, x ∈ [−pi, pi].
(b) (1,0 pontos) Use a identidade de Parseval e o ı´tem anterior para verificar que
∞∑
n impar
1
n4
=
pi4
96
.
Resoluc¸a˜o:
(a) Nesse caso L = pi. Logo teremos os seguintes coeficientes de Fourier:
a0 =
1
pi
∫ pi
−pi
|x|dx = − 1
pi
∫ 0
−pi
xdx+
1
pi
∫ pi
0
x dx = − 1
pi
x2
2
∣∣∣∣0
−pi
+
1
pi
x2
2
∣∣∣∣pi
0
= pi
an =
1
pi
∫ pi
−pi
|x|cos
(npix
pi
)
dx = − 1
pi
∫ 0
−pi
xcos(nx)dx+
1
pi
∫ pi
0
xcos(nx)dx
= − 1
pi
(
���
���
��:0x
n
sen(nx)
∣∣∣0
−pi
− 1
n
∫ 0
−pi
sen(nx)dx
)
+
1
pi
(
���
���
��:0x
n
sen(nx)
∣∣∣0
−pi
− 1
n
∫ 0
−pi
sen(nx)dx
)
= − 1
n2pi
cos(nx)|0−pi +
1
n2pi
cos(nx)
∣∣∣∣pi
0
=
1
n2pi
(−1 + (−1)n + (−1)n − 1)
4
=
2
n2pi
[(−1)n − 1] =
{
0 se n par
− 4
pin2
se n impar
bn =
1
pi
∫ pi
−pi
|x|sen(nx)dx = 0
onde na u´ltima integral e´ so´ usar o fato que temos uma func¸a˜o ı´mpar integrada
em um intervalo sime´trico. Usamos tambe´m o fato que cos(npi) = (−1)n. Logo
teremos
f(x) =
pi
2
− 4
pi
∞∑
n impar
1
n2
cos(nx).
(b) Usando a identidade de Parseval teremos
(pi)2
2
+
∞∑
n impar
(
− 4
pi
)
1
n4
=
1
pi
∫ pi
−pi
|x|2dx = 1
pi
x3
3
∣∣∣∣pi
−pi
=
2
3
pi2
⇒
∞∑
n impar
1
n4
=
pi2
16
(
2
3
pi2 − pi
2
2
)
=
pi4
96
.
6a Questa˜o (0,6 pontos) Ache usando o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, as duas Equac¸o˜es Dife-
renciais Ordina´rias relacionadas a Equac¸a˜o Diferencial Parcial:
∂2u
∂t2
=
∂2u
∂x2
.
Resoluc¸a˜o Pelo me´todo de separac¸a˜o de varia´veis:
u(x, t) = X(x)T (t)
utt = XT
′′, uxx = X ′′T ;
XT ′′ = X ′′T,
XT ′′
XT
=
X ′′T
XT
,
T ′′
T
=
X ′′
X
= −λ
portanto {
T ′′ = −λT
−X ′′ = λX
onde λ e´ uma constante.
5