gabarito_calculo3_exame_2013
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Exame de Ca´lculo III - 2013
Unifesp- 1o semestre - 03/09/2013
Nome: Turma:
Matr´\u131cula:
Assinatura:
Questa\u2dco Nota
1
2
3
4-7
Total
Instruc¸o\u2dces:
- Identifique com seu nome completo e sua turma a folha de respostas.
- Na\u2dco e´ permitido o uso de qualquer equipamento eletro\u2c6nico durante a prova.
- Na\u2dco sera\u2dco aceitas respostas sem justificativas.
- A prova pode ser feita a la´pis.
1a Questa\u2dco (a) Ache a expansa\u2dco das seguintes func¸o\u2dces:
i. (1,25 pontos) f(x) = ln(x+ 1) em uma se´rie de Taylor em torno de a = 0.
ii. (1,25 pontos)
f(x) =
{ \u22121 se x < 0
1 se x \u2265 0.
em uma se´rie de Fourier em x \u2208 [\u2212pi, pi].
(b) (0,7 pontos) Ache o intervalo de converge\u2c6ncia da se´rie
\u221e\u2211
n=0
(n+ 1)xn
n!
.
Resoluc¸a\u2dco:
(a) i. Calculando as derivadas:
f(x) = ln(x+ 1)\u21d2 f(0) = 1
f \u2032(x) =
1
x+ 1
\u21d2 f \u2032(0) = 1
f \u2032\u2032(x) =
\u22121
(x+ 1)2
\u21d2 f \u2032\u2032(0) = \u22121
f \u2032\u2032\u2032(x) =
2
(x+ 1)3
\u21d2 f \u2032\u2032\u2032(0) = 2
f iv(x) = \u2212 6
(x+ 1)4
\u21d2 f iv(0) = \u22126
1
Poderemos escreve\u2c6-las como sendo:
f(x) = ln(x+ 1), f (n)(x) =
(\u22121)n+1(n\u2212 1)!
(x+ 1)n
, n \u2265 1
\u2234 f (n)(0) = (\u22121)n+1(n\u2212 1)!
f(x) =
\u221e\u2211
n=0
f (n)(0)
xn
n!
=
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n+1(n\u2212 1)!
n!
xn =
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n+1x
n
n
.
Explicitamente temos os quatro primeiros termos na\u2dco nulos dados por
f(x) \u2248 x\u2212 x
2
2
+
x3
3
\u2212 x
4
4
+ . . .
ii.
a0 =
1
pi
\u222b 0
\u2212pi
(\u22121)dx+ 1
pi
\u222b pi
0
(+1)dx = 0
an =
1
pi
\u222b 0
\u2212pi
(\u22121)cos(nx)dx+ 1
pi
\u222b pi
0
(+1)cos(nx)dx = 0
bn =
1
pi
\u222b 0
\u2212pi
(\u22121)sen(nx)dx+ 1
pi
\u222b pi
0
(+1)sen(nx)dx =
2
pi
\u222b pi
0
sen(nx)dx =
{
4
npi
n \u131´mpar
0 n par
\u21d2 f(x) = 4
pi
\u221e\u2211
n \u131´mpar
(\u22121)n 1
n
sen(nx).
iii.
L = lim
n\u2192\u221e
an+1
an
= lim
n\u2192\u221e
xn+1(n+2)
(n+1)!
xn(n+1)
n!
= lim
n\u2192\u221e
|x| n+ 2
(n+ 1)!
n!
(n+ 1)
= |x| lim
n\u2192\u221e
(n+ 2)
(n+ 1)2
= |x| lim
n\u2192\u221e
(n+ 1) + 1
(n+ 1)2
= |x| lim
n\u2192\u221e
(
1
n+ 1
+
1
(n+ 1)2
)
= 0 < 1
portanto ela e´ uma se´rie convergente, qualquer valor de x.
2a Questa\u2dco (2,3 pontos) Resolva o problema de valor inicial:
y\u2032\u2032 + y\u2032 = x+ 1, y(0) = 0, y\u2032(0) = 1.
Vejamos a equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea associada
y\u2032\u2032 + y\u2032 = 0.
2
Usamos o fato que y = e\u3bbx e portanto a equac¸a\u2dco caracter´\u131stica sera´
\u3bb2 + \u3bb = 0
logo
\u3bb =
\u22121±\u221a1
2
= 0 ou \u2212 1.
Logo as soluc¸o\u2dces sera\u2dco dadas por {1, e\u2212x} ou seja
yh(x) = C1 + C2e
\u2212x.
Para a soluc¸a\u2dco particular, yp(x) iremos escolher, usando o me´todo dos coeficientes a`
determinar,
yp(x) = ax
2 + bx+ c
y\u2032p = 2ax+ b
y\u2032\u2032p = 2a
que substituindo na equac¸a\u2dco original temos
2a+ 2ax+ b = x+ 1\u21d2
{
2a = 1
2a+ b = 1
\u21d2 a = 1
2
, b = 0
logo
yp(x) =
x2
2
e a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco diferencial e´
y(x) = C1 + C2e
\u2212x +
x2
2
.
Para solucionar o P.V.I. devemos impor as condic¸o\u2dces iniciais dadas usando
y\u2032(x) = \u2212C2e\u2212x + x
y(0) = C1 + C2 = 0
y\u2032(0) = \u2212C2 = 1
C2 = \u22121, C1 = 1
portanto a soluc¸a\u2dco do P.V.I. e´
y(x) = 1\u2212 e\u2212x + x
2
2
.
3
3a Questa\u2dco Seja S uma superf´\u131cie dada pela metade de cima da superf´\u131cie de uma esfera x2 +
y2 + z2 = 9, com a normal apontado para fora, limitada por uma curva C, dada na
figura abaixo:
(a) (0,75 pontos) Integre a func¸a\u2dco vetorial ~F (x, y, z) = 2y~i + 3x~j \u2212 z2~k ao longo do
caminho C.
(b) (1,25 pontos) Calcule explicitamente a integral\u222b
S
\u222b
~\u2207× ~F · d~S,
sobre uma circunfere\u2c6ncia S delimitada pela mesma curva C.
(c) (0,5 pontos) Explique os resultados dos itens (a) e (b) usando um dos teoremas
integrais.
Resoluc¸a\u2dco: Parametrizamos a curva C
~r(t) = 3cos(t)~i+ 3sen(t)~j + 0~k, 0 \u2264 t \u2264 2pi\u222b
C
~F · d~r =
\u222b 2pi
0
~F (3cos(t), 3sen(t), 0) · (\u22123sen(t)~i+ 3cos(t)~j)dt
=
\u222b 2pi
0
(6sen(t)~i+ 9cos(t)~j) · (\u22123sen(t)~i+ 3cos(t)~j)
=
\u222b 2pi
0
(27cos2(t)\u2212 18sen2(t))dt = 9pi
Vamos calcular agora a integral \u222b
S
\u222b
~\u2207× ~F · d~S
em uma superf´\u131cie S dada por uma circunfere\u2c6ncia de raio 3 centrado na origem. Para
o sentido da curva C essa superf´\u131cie teria a normal na direc¸a\u2dco k\u2c6, logo\u222b
S
\u222b
~\u2207× ~F · n\u2c6dA =
\u222b
S
k\u2c6 · k\u2c6dA =
\u222b
S
\u222b
dA = 9pi.
onde usamos simplesmente a a´rea da circunfere\u2c6ncia.
Podemos ver que os resultados obtidos nos itens (a) e (b) sa\u2dco resultado do teorema
de Stokes.
4
4a Questa\u2dco (0,5 ponto) Considere a func¸a\u2dco vetorial
~F (x, y, z) = xzi\u2c6+ yzj\u2c6 + 3xyk\u2c6
e um caminho \u3b3 dado por um c´\u131rculo de raio 3, no plano xy, orientado no sentido
hora´rio. Assinale a alternativa INCORRETA:
(a) O teorema de Stokes nos diz que a integral na superf´\u131cie delimitada pelo c´\u131rculo
e com parametrizac¸a\u2dco
~r(u, v) = u cos(v)\u2c6i+ u sen(v)j\u2c6, 0 \u2264 v \u2264 2pi, 0 \u2264 u \u2264 3
e´ nula.
(b)
\u222e
\u3b3
~F · dr 6= 0
(c) Essa func¸a\u2dco na\u2dco e´ irrotacional.
(d) O divergente dessa func¸a\u2dco e´ 2z.
5a Questa\u2dco (0,5 pontos) Considere
y\u2032\u2032 \u2212 y = x+ 1
Assinale a alternativa correta:
(a) A soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea associada e´ yh = c1e
x + c2e
\u2212x.
(b) Usando as condic¸o\u2dces iniciais y(0) = \u22121 e y\u2032(0) = 1, a soluc¸a\u2dco do P.V.I. e´
y(x) = \u2212xex + x+ 1
(c) A relac¸a\u2dco de recorre\u2c6ncia do me´todo de soluc¸a\u2dco por se´ries de pote\u2c6ncias e´ an =
an\u22121
n
, n \u2265 4.
(d) Usando o me´todo de soluc¸a\u2dco por se´ries de pote\u2c6ncias teremos a2 =
1+a0
2
e a3 =
1+a1
6
.
6a Questa\u2dco (0,5 pontos) Considere as seguintes afirmac¸o\u2dces:
I- A se´rie de Fourier para f(x) = x, x \u2208 [\u2212pi, pi] e´ dada por f(x) = \u22122
pi
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n
n
cos(nx).
II- O intervalo de converge\u2c6ncia de
\u221e\u2211
n=0
(x\u2212 2)2n+1\u221a
n2 + 1
e´ (1, 3).
III- A integral de linha em um caminho \u3b3 dado por c´\u131rculo unita´rio fechado no
sentido anti-hora´rio,
\u222e
\u3b3
y
x2+y2
dx\u2212 x
x2+y2
dy e´ nula.
IV- (ey + yex)dx+ (xey + ex)dy = 0 e´ uma diferencial exata.
Assinale a alternativa CORRETA:
(a) Somente as proposic¸o\u2dces I e II sa\u2dco verdadeiras.
5
(b) Somente as proposic¸o\u2dces II e IV sa\u2dco verdadeiras.
(c) Somente as proposic¸o\u2dces III e IV sa\u2dco verdadeiras.
(d) Todas as proposic¸o\u2dces sa\u2dco verdadeiras.
(e) Todas as proposic¸o\u2dces sa\u2dco falsas.
7a Questa\u2dco (0,5 pontos) As se´ries
\u221e\u2211
n=1
ln(n)
n2
e
\u221e\u2211
n=1
n+
\u221a
n
n4 + n2 + 1
sa\u2dco respectivamente:
(a) Divergente e Convergente
(b) Divergente e Divergente
(c) Convergente e Convergente
(d) Convergente e Divergente
6