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gabarito_calculo3_exame_2013

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Exame de Ca´lculo III - 2013
Unifesp- 1o semestre - 03/09/2013
Nome: Turma:
Matr´ıcula:
Assinatura:
Questa˜o Nota
1
2
3
4-7
Total
Instruc¸o˜es:
- Identifique com seu nome completo e sua turma a folha de respostas.
- Na˜o e´ permitido o uso de qualquer equipamento eletroˆnico durante a prova.
- Na˜o sera˜o aceitas respostas sem justificativas.
- A prova pode ser feita a la´pis.
1a Questa˜o (a) Ache a expansa˜o das seguintes func¸o˜es:
i. (1,25 pontos) f(x) = ln(x+ 1) em uma se´rie de Taylor em torno de a = 0.
ii. (1,25 pontos)
f(x) =
{ −1 se x < 0
1 se x ≥ 0.
em uma se´rie de Fourier em x ∈ [−pi, pi].
(b) (0,7 pontos) Ache o intervalo de convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=0
(n+ 1)xn
n!
.
Resoluc¸a˜o:
(a) i. Calculando as derivadas:
f(x) = ln(x+ 1)⇒ f(0) = 1
f ′(x) =
1
x+ 1
⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) =
−1
(x+ 1)2
⇒ f ′′(0) = −1
f ′′′(x) =
2
(x+ 1)3
⇒ f ′′′(0) = 2
f iv(x) = − 6
(x+ 1)4
⇒ f iv(0) = −6
1
Poderemos escreveˆ-las como sendo:
f(x) = ln(x+ 1), f (n)(x) =
(−1)n+1(n− 1)!
(x+ 1)n
, n ≥ 1
∴ f (n)(0) = (−1)n+1(n− 1)!
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(0)
xn
n!
=
∞∑
n=0
(−1)n+1(n− 1)!
n!
xn =
∞∑
n=1
(−1)n+1x
n
n
.
Explicitamente temos os quatro primeiros termos na˜o nulos dados por
f(x) ≈ x− x
2
2
+
x3
3
− x
4
4
+ . . .
ii.
a0 =
1
pi
∫ 0
−pi
(−1)dx+ 1
pi
∫ pi
0
(+1)dx = 0
an =
1
pi
∫ 0
−pi
(−1)cos(nx)dx+ 1
pi
∫ pi
0
(+1)cos(nx)dx = 0
bn =
1
pi
∫ 0
−pi
(−1)sen(nx)dx+ 1
pi
∫ pi
0
(+1)sen(nx)dx =
2
pi
∫ pi
0
sen(nx)dx =
{
4
npi
n ı´mpar
0 n par
⇒ f(x) = 4
pi
∞∑
n ı´mpar
(−1)n 1
n
sen(nx).
iii.
L = lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
xn+1(n+2)
(n+1)!
xn(n+1)
n!
= lim
n→∞
|x| n+ 2
(n+ 1)!
n!
(n+ 1)
= |x| lim
n→∞
(n+ 2)
(n+ 1)2
= |x| lim
n→∞
(n+ 1) + 1
(n+ 1)2
= |x| lim
n→∞
(
1
n+ 1
+
1
(n+ 1)2
)
= 0 < 1
portanto ela e´ uma se´rie convergente, qualquer valor de x.
2a Questa˜o (2,3 pontos) Resolva o problema de valor inicial:
y′′ + y′ = x+ 1, y(0) = 0, y′(0) = 1.
Vejamos a equac¸a˜o homogeˆnea associada
y′′ + y′ = 0.
2
Usamos o fato que y = eλx e portanto a equac¸a˜o caracter´ıstica sera´
λ2 + λ = 0
logo
λ =
−1±√1
2
= 0 ou − 1.
Logo as soluc¸o˜es sera˜o dadas por {1, e−x} ou seja
yh(x) = C1 + C2e
−x.
Para a soluc¸a˜o particular, yp(x) iremos escolher, usando o me´todo dos coeficientes a`
determinar,
yp(x) = ax
2 + bx+ c
y′p = 2ax+ b
y′′p = 2a
que substituindo na equac¸a˜o original temos
2a+ 2ax+ b = x+ 1⇒
{
2a = 1
2a+ b = 1
⇒ a = 1
2
, b = 0
logo
yp(x) =
x2
2
e a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´
y(x) = C1 + C2e
−x +
x2
2
.
Para solucionar o P.V.I. devemos impor as condic¸o˜es iniciais dadas usando
y′(x) = −C2e−x + x
y(0) = C1 + C2 = 0
y′(0) = −C2 = 1
C2 = −1, C1 = 1
portanto a soluc¸a˜o do P.V.I. e´
y(x) = 1− e−x + x
2
2
.
3
3a Questa˜o Seja S uma superf´ıcie dada pela metade de cima da superf´ıcie de uma esfera x2 +
y2 + z2 = 9, com a normal apontado para fora, limitada por uma curva C, dada na
figura abaixo:
(a) (0,75 pontos) Integre a func¸a˜o vetorial ~F (x, y, z) = 2y~i + 3x~j − z2~k ao longo do
caminho C.
(b) (1,25 pontos) Calcule explicitamente a integral∫
S
∫
~∇× ~F · d~S,
sobre uma circunfereˆncia S delimitada pela mesma curva C.
(c) (0,5 pontos) Explique os resultados dos itens (a) e (b) usando um dos teoremas
integrais.
Resoluc¸a˜o: Parametrizamos a curva C
~r(t) = 3cos(t)~i+ 3sen(t)~j + 0~k, 0 ≤ t ≤ 2pi∫
C
~F · d~r =
∫ 2pi
0
~F (3cos(t), 3sen(t), 0) · (−3sen(t)~i+ 3cos(t)~j)dt
=
∫ 2pi
0
(6sen(t)~i+ 9cos(t)~j) · (−3sen(t)~i+ 3cos(t)~j)
=
∫ 2pi
0
(27cos2(t)− 18sen2(t))dt = 9pi
Vamos calcular agora a integral ∫
S
∫
~∇× ~F · d~S
em uma superf´ıcie S dada por uma circunfereˆncia de raio 3 centrado na origem. Para
o sentido da curva C essa superf´ıcie teria a normal na direc¸a˜o kˆ, logo∫
S
∫
~∇× ~F · nˆdA =
∫
S
kˆ · kˆdA =
∫
S
∫
dA = 9pi.
onde usamos simplesmente a a´rea da circunfereˆncia.
Podemos ver que os resultados obtidos nos itens (a) e (b) sa˜o resultado do teorema
de Stokes.
4
4a Questa˜o (0,5 ponto) Considere a func¸a˜o vetorial
~F (x, y, z) = xziˆ+ yzjˆ + 3xykˆ
e um caminho γ dado por um c´ırculo de raio 3, no plano xy, orientado no sentido
hora´rio. Assinale a alternativa INCORRETA:
(a) O teorema de Stokes nos diz que a integral na superf´ıcie delimitada pelo c´ırculo
e com parametrizac¸a˜o
~r(u, v) = u cos(v)ˆi+ u sen(v)jˆ, 0 ≤ v ≤ 2pi, 0 ≤ u ≤ 3
e´ nula.
(b)
∮
γ
~F · dr 6= 0
(c) Essa func¸a˜o na˜o e´ irrotacional.
(d) O divergente dessa func¸a˜o e´ 2z.
5a Questa˜o (0,5 pontos) Considere
y′′ − y = x+ 1
Assinale a alternativa correta:
(a) A soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea associada e´ yh = c1e
x + c2e
−x.
(b) Usando as condic¸o˜es iniciais y(0) = −1 e y′(0) = 1, a soluc¸a˜o do P.V.I. e´
y(x) = −xex + x+ 1
(c) A relac¸a˜o de recorreˆncia do me´todo de soluc¸a˜o por se´ries de poteˆncias e´ an =
an−1
n
, n ≥ 4.
(d) Usando o me´todo de soluc¸a˜o por se´ries de poteˆncias teremos a2 =
1+a0
2
e a3 =
1+a1
6
.
6a Questa˜o (0,5 pontos) Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
I- A se´rie de Fourier para f(x) = x, x ∈ [−pi, pi] e´ dada por f(x) = −2
pi
∞∑
n=1
(−1)n
n
cos(nx).
II- O intervalo de convergeˆncia de
∞∑
n=0
(x− 2)2n+1√
n2 + 1
e´ (1, 3).
III- A integral de linha em um caminho γ dado por c´ırculo unita´rio fechado no
sentido anti-hora´rio,
∮
γ
y
x2+y2
dx− x
x2+y2
dy e´ nula.
IV- (ey + yex)dx+ (xey + ex)dy = 0 e´ uma diferencial exata.
Assinale a alternativa CORRETA:
(a) Somente as proposic¸o˜es I e II sa˜o verdadeiras.
5
(b) Somente as proposic¸o˜es II e IV sa˜o verdadeiras.
(c) Somente as proposic¸o˜es III e IV sa˜o verdadeiras.
(d) Todas as proposic¸o˜es sa˜o verdadeiras.
(e) Todas as proposic¸o˜es sa˜o falsas.
7a Questa˜o (0,5 pontos) As se´ries
∞∑
n=1
ln(n)
n2
e
∞∑
n=1
n+
√
n
n4 + n2 + 1
sa˜o respectivamente:
(a) Divergente e Convergente
(b) Divergente e Divergente
(c) Convergente e Convergente
(d) Convergente e Divergente
6

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