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Exame de Ca´lculo III - 2013 Unifesp- 1o semestre - 03/09/2013 Nome: Turma: Matr´ıcula: Assinatura: Questa˜o Nota 1 2 3 4-7 Total Instruc¸o˜es: - Identifique com seu nome completo e sua turma a folha de respostas. - Na˜o e´ permitido o uso de qualquer equipamento eletroˆnico durante a prova. - Na˜o sera˜o aceitas respostas sem justificativas. - A prova pode ser feita a la´pis. 1a Questa˜o (a) Ache a expansa˜o das seguintes func¸o˜es: i. (1,25 pontos) f(x) = ln(x+ 1) em uma se´rie de Taylor em torno de a = 0. ii. (1,25 pontos) f(x) = { −1 se x < 0 1 se x ≥ 0. em uma se´rie de Fourier em x ∈ [−pi, pi]. (b) (0,7 pontos) Ache o intervalo de convergeˆncia da se´rie ∞∑ n=0 (n+ 1)xn n! . Resoluc¸a˜o: (a) i. Calculando as derivadas: f(x) = ln(x+ 1)⇒ f(0) = 1 f ′(x) = 1 x+ 1 ⇒ f ′(0) = 1 f ′′(x) = −1 (x+ 1)2 ⇒ f ′′(0) = −1 f ′′′(x) = 2 (x+ 1)3 ⇒ f ′′′(0) = 2 f iv(x) = − 6 (x+ 1)4 ⇒ f iv(0) = −6 1 Poderemos escreveˆ-las como sendo: f(x) = ln(x+ 1), f (n)(x) = (−1)n+1(n− 1)! (x+ 1)n , n ≥ 1 ∴ f (n)(0) = (−1)n+1(n− 1)! f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(0) xn n! = ∞∑ n=0 (−1)n+1(n− 1)! n! xn = ∞∑ n=1 (−1)n+1x n n . Explicitamente temos os quatro primeiros termos na˜o nulos dados por f(x) ≈ x− x 2 2 + x3 3 − x 4 4 + . . . ii. a0 = 1 pi ∫ 0 −pi (−1)dx+ 1 pi ∫ pi 0 (+1)dx = 0 an = 1 pi ∫ 0 −pi (−1)cos(nx)dx+ 1 pi ∫ pi 0 (+1)cos(nx)dx = 0 bn = 1 pi ∫ 0 −pi (−1)sen(nx)dx+ 1 pi ∫ pi 0 (+1)sen(nx)dx = 2 pi ∫ pi 0 sen(nx)dx = { 4 npi n ı´mpar 0 n par ⇒ f(x) = 4 pi ∞∑ n ı´mpar (−1)n 1 n sen(nx). iii. L = lim n→∞ an+1 an = lim n→∞ xn+1(n+2) (n+1)! xn(n+1) n! = lim n→∞ |x| n+ 2 (n+ 1)! n! (n+ 1) = |x| lim n→∞ (n+ 2) (n+ 1)2 = |x| lim n→∞ (n+ 1) + 1 (n+ 1)2 = |x| lim n→∞ ( 1 n+ 1 + 1 (n+ 1)2 ) = 0 < 1 portanto ela e´ uma se´rie convergente, qualquer valor de x. 2a Questa˜o (2,3 pontos) Resolva o problema de valor inicial: y′′ + y′ = x+ 1, y(0) = 0, y′(0) = 1. Vejamos a equac¸a˜o homogeˆnea associada y′′ + y′ = 0. 2 Usamos o fato que y = eλx e portanto a equac¸a˜o caracter´ıstica sera´ λ2 + λ = 0 logo λ = −1±√1 2 = 0 ou − 1. Logo as soluc¸o˜es sera˜o dadas por {1, e−x} ou seja yh(x) = C1 + C2e −x. Para a soluc¸a˜o particular, yp(x) iremos escolher, usando o me´todo dos coeficientes a` determinar, yp(x) = ax 2 + bx+ c y′p = 2ax+ b y′′p = 2a que substituindo na equac¸a˜o original temos 2a+ 2ax+ b = x+ 1⇒ { 2a = 1 2a+ b = 1 ⇒ a = 1 2 , b = 0 logo yp(x) = x2 2 e a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ y(x) = C1 + C2e −x + x2 2 . Para solucionar o P.V.I. devemos impor as condic¸o˜es iniciais dadas usando y′(x) = −C2e−x + x y(0) = C1 + C2 = 0 y′(0) = −C2 = 1 C2 = −1, C1 = 1 portanto a soluc¸a˜o do P.V.I. e´ y(x) = 1− e−x + x 2 2 . 3 3a Questa˜o Seja S uma superf´ıcie dada pela metade de cima da superf´ıcie de uma esfera x2 + y2 + z2 = 9, com a normal apontado para fora, limitada por uma curva C, dada na figura abaixo: (a) (0,75 pontos) Integre a func¸a˜o vetorial ~F (x, y, z) = 2y~i + 3x~j − z2~k ao longo do caminho C. (b) (1,25 pontos) Calcule explicitamente a integral∫ S ∫ ~∇× ~F · d~S, sobre uma circunfereˆncia S delimitada pela mesma curva C. (c) (0,5 pontos) Explique os resultados dos itens (a) e (b) usando um dos teoremas integrais. Resoluc¸a˜o: Parametrizamos a curva C ~r(t) = 3cos(t)~i+ 3sen(t)~j + 0~k, 0 ≤ t ≤ 2pi∫ C ~F · d~r = ∫ 2pi 0 ~F (3cos(t), 3sen(t), 0) · (−3sen(t)~i+ 3cos(t)~j)dt = ∫ 2pi 0 (6sen(t)~i+ 9cos(t)~j) · (−3sen(t)~i+ 3cos(t)~j) = ∫ 2pi 0 (27cos2(t)− 18sen2(t))dt = 9pi Vamos calcular agora a integral ∫ S ∫ ~∇× ~F · d~S em uma superf´ıcie S dada por uma circunfereˆncia de raio 3 centrado na origem. Para o sentido da curva C essa superf´ıcie teria a normal na direc¸a˜o kˆ, logo∫ S ∫ ~∇× ~F · nˆdA = ∫ S kˆ · kˆdA = ∫ S ∫ dA = 9pi. onde usamos simplesmente a a´rea da circunfereˆncia. Podemos ver que os resultados obtidos nos itens (a) e (b) sa˜o resultado do teorema de Stokes. 4 4a Questa˜o (0,5 ponto) Considere a func¸a˜o vetorial ~F (x, y, z) = xziˆ+ yzjˆ + 3xykˆ e um caminho γ dado por um c´ırculo de raio 3, no plano xy, orientado no sentido hora´rio. Assinale a alternativa INCORRETA: (a) O teorema de Stokes nos diz que a integral na superf´ıcie delimitada pelo c´ırculo e com parametrizac¸a˜o ~r(u, v) = u cos(v)ˆi+ u sen(v)jˆ, 0 ≤ v ≤ 2pi, 0 ≤ u ≤ 3 e´ nula. (b) ∮ γ ~F · dr 6= 0 (c) Essa func¸a˜o na˜o e´ irrotacional. (d) O divergente dessa func¸a˜o e´ 2z. 5a Questa˜o (0,5 pontos) Considere y′′ − y = x+ 1 Assinale a alternativa correta: (a) A soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea associada e´ yh = c1e x + c2e −x. (b) Usando as condic¸o˜es iniciais y(0) = −1 e y′(0) = 1, a soluc¸a˜o do P.V.I. e´ y(x) = −xex + x+ 1 (c) A relac¸a˜o de recorreˆncia do me´todo de soluc¸a˜o por se´ries de poteˆncias e´ an = an−1 n , n ≥ 4. (d) Usando o me´todo de soluc¸a˜o por se´ries de poteˆncias teremos a2 = 1+a0 2 e a3 = 1+a1 6 . 6a Questa˜o (0,5 pontos) Considere as seguintes afirmac¸o˜es: I- A se´rie de Fourier para f(x) = x, x ∈ [−pi, pi] e´ dada por f(x) = −2 pi ∞∑ n=1 (−1)n n cos(nx). II- O intervalo de convergeˆncia de ∞∑ n=0 (x− 2)2n+1√ n2 + 1 e´ (1, 3). III- A integral de linha em um caminho γ dado por c´ırculo unita´rio fechado no sentido anti-hora´rio, ∮ γ y x2+y2 dx− x x2+y2 dy e´ nula. IV- (ey + yex)dx+ (xey + ex)dy = 0 e´ uma diferencial exata. Assinale a alternativa CORRETA: (a) Somente as proposic¸o˜es I e II sa˜o verdadeiras. 5 (b) Somente as proposic¸o˜es II e IV sa˜o verdadeiras. (c) Somente as proposic¸o˜es III e IV sa˜o verdadeiras. (d) Todas as proposic¸o˜es sa˜o verdadeiras. (e) Todas as proposic¸o˜es sa˜o falsas. 7a Questa˜o (0,5 pontos) As se´ries ∞∑ n=1 ln(n) n2 e ∞∑ n=1 n+ √ n n4 + n2 + 1 sa˜o respectivamente: (a) Divergente e Convergente (b) Divergente e Divergente (c) Convergente e Convergente (d) Convergente e Divergente 6
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