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AP3-MD-2011-1-gab

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Matema´tica Discreta – AP3 – 2011/1
Resoluc¸o˜es
1. (2,0) Determinar a negac¸a˜o da seguinte proposic¸a˜o:
Se 2 e´ par e 2 e´ positivo, enta˜o 2 e´ ı´mpar.
Resoluc¸a˜o:
Temos o seguinte esquema de simbolizac¸a˜o (0,5):
p : 2 e´ par.
q : 2 e´ positivo.
r : 2 e´ ı´mpar.
Assim, a proposic¸a˜o pode ser simbolizada por (0,5):
(p ∧ q)→ r
A negac¸a˜o da proposic¸a˜o simbolizada e´ dada por:
∼ [(p ∧ q)→ r]
que e´ equivalente a (0,5)
(p ∧ q) ∧ (∼ r)
Assim, a negac¸a˜o da proposic¸a˜o e´
2 e´ par e 2 e´ positivo e 2 na˜o e´ ı´mpar
Que pode ser escrita tambe´m como
2 e´ par e 2 e´ positivo e 2 e´ par
Que e´ o mesmo que dizer (0,5)
2 e´ par e 2 e´ positivo
1
2. (2,5) Quantos nu´meros com cinco algarismos distintos podemos construir com os algarismos
1, 3, 5, 7, 9, de forma que os algarismos 1 e 3 estejam sempre juntos?
Resoluc¸a˜o:
Para formar um tal nu´mero podemos executar duas tarefas (0,5 + 0,5):
t1 : formar uma permutac¸a˜o p dos nu´meros 1 e 3
t2 : formar uma permutac¸a˜o dos elementos p, 5, 7 e 9
Temos que t1 pode ser executada de 2! = 2 maneiras (0,5); t2 pode ser executada de 4! = 24
maneiras (0,5).
Assim, pelo PM, existem 2× 24 = 48 nu´meros (0,5).
ou, alternativamente:
Para formar um tal nu´mero podemos executar duas tarefas (0,5 + 0,5):
t1 : formar uma permutac¸a˜o dos nu´meros 3, 5, 7 e 9
t2 : escolher uma posic¸a˜o ao lado do 1 para o 3
Temos que t1 pode ser executada de 4! = 24 maneiras (0,5); t2 pode ser executada de 2! = 2
maneiras (0,5).
Assim, pelo PM, existem 24× 2 = 48 nu´meros (0,5).
2
3. Quatro pessoas sa˜o escolhidas ao acaso num grupo formado por Ka´tia e mais 9 pessoas.
(a) (2,5) Qual e´ a probabilidade que Ka´tia fac¸a parte do grupo escolhido?
(b) (1,0) Qual e´ a probabilidade que Ka´tia na˜o fac¸a parte do grupo escolhido?
Resoluc¸a˜o:
(a) O espac¸o amostral Ω e´ o conjunto de todas as combinac¸o˜es dos 10 elementos, tomados 4
a 4.
Assim, temos que n(Ω) = C(10, 4) (0,5).
O evento A considerado e´ o subconjunto de Ω formado pelas combinac¸o˜es que possuem Ka´tia
como elemento. Para formar um elemento de A, podemos executar duas tarefas (0,5 + 0,5):
t1 : escolher Ka´tia para fazer parte da combinac¸a˜o
t2 : escolher 3 pessoas diferentes de Ka´tia para formar a combinac¸a˜o
Temos que t1 pode ser executada de 1 maneira; t2 pode ser executada de C(9, 3) maneiras
(0,5).
Assim, pelo PM, n(A) = 1× C(9, 3).
Finalmente, temos que P (A) =
n(A)
n(Ω)
=
C(9, 3)
C(10, 4)
=
9×8×7
3!
10×9×8×7
4!
=
4
10
= 0, 4 (0,5).
(b) O espac¸o amostral e´ o mesmo do item A e o evento B considerado e´ o complementar do
evento A (0,5).
Assim, pela Propriedade do Evento Complementar, temos P (B) = 1−P (A) = 1− C(9, 3)
C(10, 4)
=
1− 0, 4 = 0, 6 (0,5).
3
4. (2,0) Seis pessoas, incluindo Ka´tia, Regina e Viviane, formam uma fila ao acaso. Qual e´ a
probabilidade de Viviane estar imediatamente atra´s de Regina, dado que Ka´tia e´ a u´ltima
da fila?
Resoluc¸a˜o:
Considere os eventos:
A : Ka´tia e´ a u´ltima da fila
B : Regina esta´ imediatamente atra´s de Viviane
Queremos calcular a probabilidade condicional P (B|A).
Para formar uma fila em A, podemos executar duas tarefas:
t1 : colocar Ka´tia em u´ltimo lugar na fila
t2 : formar uma permutac¸a˜o com as cinco pessoas restantes para completar a fila
Temos que t1 pode ser executada de 1 maneira; t2 pode ser executada de 5! maneiras.
Assim, pelo PM, n(A) = 1× 5! = 120 (0,5).
Para formar uma fila em B ∩A, podemos executar treˆs tarefas:
t1 : formar uma permutac¸a˜o de Regina com as outras treˆs pessoas
que na˜o sa˜o nem Ka´tia nem Viviane
t2 : colocar Viviane imediatamente atra´s de Regina
t3 : colocar Ka´tia no fim da fila
Temos que t1 pode ser executada de 4! maneiras; t2 pode ser executada de 1 maneira; t3
pode ser executada de 1 maneira (0,5).
Assim, pelo PM, n(B ∩A) = 4!× 1× 1 = 24.
Logo, P (B|A) = n(B ∩A)
n(A)
=
24
120
=
1
5
(0,5).
ou, alternativamente:
Considere os eventos:
A : Ka´tia e´ a u´ltima da fila
B : Regina esta´ imediatamente atra´s de Viviane
Queremos calcular a probabilidade condicional P (B|A).
Para formar uma fila em A, podemos executar duas tarefas:
t1 : colocar Ka´tia em u´ltimo lugar na fila
t2 : formar uma permutac¸a˜o com as cinco pessoas restantes para completar a fila
Temos que t1 pode ser executada de 1 maneira; t2 pode ser executada de 5! maneiras.
Assim, pelo PM, n(A) = 1× 5! = 120 (0,5).
Considere, agora, os seguintes eventos de A:
B1 : Regina e´ a primeira e Viviane e´ a segunda da fila
B2 : Regina e´ a segunda e Viviane e´ a terceira da fila
B3 : Regina e´ a terceira e Viviane e´ a quarta da fila
B4 : Regina e´ a quarta e Viviane e´ a quinta da fila
Temos que B1, B2, B3, B4 sa˜o uma partic¸a˜o de B ∩A. Assim, n(B ∩A) = n(B1) + n(B2) +
n(B3) + n(B4).
4
Para formar uma fila em B1, podemos executar treˆs tarefas:
t1 : colocar Regina em primeiro lugar na fila
t2 : colocar Viviane em segundo lugar na fila
t3 : formar uma permutac¸a˜o com as treˆs pessoas restantes para completar a fila
t4 : colocar Ka´tia no sexto lugar da fila
Temos que t1 pode ser executada de 1 maneira; t2 pode ser executada de 1 maneira; t3 pode
ser executada de 3! maneiras e t4 pode ser executada de 1 maneira. (0,5).
Assim, pelo PM, n(B1) = 1× 1× 3!× 1 = 6.
De maneira ana´loga, temos que n(B2) = n(B3) = n(B4) = 6. Logo, n(B∩A) = 6+6+6+6 =
24 (0,5).
Logo, P (B|A) = n(B ∩A)
n(A)
=
24
120
=
1
5
(0,5).
5

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