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Matema´tica Discreta – AP3 – 2011/1 Resoluc¸o˜es 1. (2,0) Determinar a negac¸a˜o da seguinte proposic¸a˜o: Se 2 e´ par e 2 e´ positivo, enta˜o 2 e´ ı´mpar. Resoluc¸a˜o: Temos o seguinte esquema de simbolizac¸a˜o (0,5): p : 2 e´ par. q : 2 e´ positivo. r : 2 e´ ı´mpar. Assim, a proposic¸a˜o pode ser simbolizada por (0,5): (p ∧ q)→ r A negac¸a˜o da proposic¸a˜o simbolizada e´ dada por: ∼ [(p ∧ q)→ r] que e´ equivalente a (0,5) (p ∧ q) ∧ (∼ r) Assim, a negac¸a˜o da proposic¸a˜o e´ 2 e´ par e 2 e´ positivo e 2 na˜o e´ ı´mpar Que pode ser escrita tambe´m como 2 e´ par e 2 e´ positivo e 2 e´ par Que e´ o mesmo que dizer (0,5) 2 e´ par e 2 e´ positivo 1 2. (2,5) Quantos nu´meros com cinco algarismos distintos podemos construir com os algarismos 1, 3, 5, 7, 9, de forma que os algarismos 1 e 3 estejam sempre juntos? Resoluc¸a˜o: Para formar um tal nu´mero podemos executar duas tarefas (0,5 + 0,5): t1 : formar uma permutac¸a˜o p dos nu´meros 1 e 3 t2 : formar uma permutac¸a˜o dos elementos p, 5, 7 e 9 Temos que t1 pode ser executada de 2! = 2 maneiras (0,5); t2 pode ser executada de 4! = 24 maneiras (0,5). Assim, pelo PM, existem 2× 24 = 48 nu´meros (0,5). ou, alternativamente: Para formar um tal nu´mero podemos executar duas tarefas (0,5 + 0,5): t1 : formar uma permutac¸a˜o dos nu´meros 3, 5, 7 e 9 t2 : escolher uma posic¸a˜o ao lado do 1 para o 3 Temos que t1 pode ser executada de 4! = 24 maneiras (0,5); t2 pode ser executada de 2! = 2 maneiras (0,5). Assim, pelo PM, existem 24× 2 = 48 nu´meros (0,5). 2 3. Quatro pessoas sa˜o escolhidas ao acaso num grupo formado por Ka´tia e mais 9 pessoas. (a) (2,5) Qual e´ a probabilidade que Ka´tia fac¸a parte do grupo escolhido? (b) (1,0) Qual e´ a probabilidade que Ka´tia na˜o fac¸a parte do grupo escolhido? Resoluc¸a˜o: (a) O espac¸o amostral Ω e´ o conjunto de todas as combinac¸o˜es dos 10 elementos, tomados 4 a 4. Assim, temos que n(Ω) = C(10, 4) (0,5). O evento A considerado e´ o subconjunto de Ω formado pelas combinac¸o˜es que possuem Ka´tia como elemento. Para formar um elemento de A, podemos executar duas tarefas (0,5 + 0,5): t1 : escolher Ka´tia para fazer parte da combinac¸a˜o t2 : escolher 3 pessoas diferentes de Ka´tia para formar a combinac¸a˜o Temos que t1 pode ser executada de 1 maneira; t2 pode ser executada de C(9, 3) maneiras (0,5). Assim, pelo PM, n(A) = 1× C(9, 3). Finalmente, temos que P (A) = n(A) n(Ω) = C(9, 3) C(10, 4) = 9×8×7 3! 10×9×8×7 4! = 4 10 = 0, 4 (0,5). (b) O espac¸o amostral e´ o mesmo do item A e o evento B considerado e´ o complementar do evento A (0,5). Assim, pela Propriedade do Evento Complementar, temos P (B) = 1−P (A) = 1− C(9, 3) C(10, 4) = 1− 0, 4 = 0, 6 (0,5). 3 4. (2,0) Seis pessoas, incluindo Ka´tia, Regina e Viviane, formam uma fila ao acaso. Qual e´ a probabilidade de Viviane estar imediatamente atra´s de Regina, dado que Ka´tia e´ a u´ltima da fila? Resoluc¸a˜o: Considere os eventos: A : Ka´tia e´ a u´ltima da fila B : Regina esta´ imediatamente atra´s de Viviane Queremos calcular a probabilidade condicional P (B|A). Para formar uma fila em A, podemos executar duas tarefas: t1 : colocar Ka´tia em u´ltimo lugar na fila t2 : formar uma permutac¸a˜o com as cinco pessoas restantes para completar a fila Temos que t1 pode ser executada de 1 maneira; t2 pode ser executada de 5! maneiras. Assim, pelo PM, n(A) = 1× 5! = 120 (0,5). Para formar uma fila em B ∩A, podemos executar treˆs tarefas: t1 : formar uma permutac¸a˜o de Regina com as outras treˆs pessoas que na˜o sa˜o nem Ka´tia nem Viviane t2 : colocar Viviane imediatamente atra´s de Regina t3 : colocar Ka´tia no fim da fila Temos que t1 pode ser executada de 4! maneiras; t2 pode ser executada de 1 maneira; t3 pode ser executada de 1 maneira (0,5). Assim, pelo PM, n(B ∩A) = 4!× 1× 1 = 24. Logo, P (B|A) = n(B ∩A) n(A) = 24 120 = 1 5 (0,5). ou, alternativamente: Considere os eventos: A : Ka´tia e´ a u´ltima da fila B : Regina esta´ imediatamente atra´s de Viviane Queremos calcular a probabilidade condicional P (B|A). Para formar uma fila em A, podemos executar duas tarefas: t1 : colocar Ka´tia em u´ltimo lugar na fila t2 : formar uma permutac¸a˜o com as cinco pessoas restantes para completar a fila Temos que t1 pode ser executada de 1 maneira; t2 pode ser executada de 5! maneiras. Assim, pelo PM, n(A) = 1× 5! = 120 (0,5). Considere, agora, os seguintes eventos de A: B1 : Regina e´ a primeira e Viviane e´ a segunda da fila B2 : Regina e´ a segunda e Viviane e´ a terceira da fila B3 : Regina e´ a terceira e Viviane e´ a quarta da fila B4 : Regina e´ a quarta e Viviane e´ a quinta da fila Temos que B1, B2, B3, B4 sa˜o uma partic¸a˜o de B ∩A. Assim, n(B ∩A) = n(B1) + n(B2) + n(B3) + n(B4). 4 Para formar uma fila em B1, podemos executar treˆs tarefas: t1 : colocar Regina em primeiro lugar na fila t2 : colocar Viviane em segundo lugar na fila t3 : formar uma permutac¸a˜o com as treˆs pessoas restantes para completar a fila t4 : colocar Ka´tia no sexto lugar da fila Temos que t1 pode ser executada de 1 maneira; t2 pode ser executada de 1 maneira; t3 pode ser executada de 3! maneiras e t4 pode ser executada de 1 maneira. (0,5). Assim, pelo PM, n(B1) = 1× 1× 3!× 1 = 6. De maneira ana´loga, temos que n(B2) = n(B3) = n(B4) = 6. Logo, n(B∩A) = 6+6+6+6 = 24 (0,5). Logo, P (B|A) = n(B ∩A) n(A) = 24 120 = 1 5 (0,5). 5
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