Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Matema´tica Discreta – EP – Semana 2 – 2011/1 Caro aluno, aqui esta´ o EP referente a Aula 2 do Mo´dulo 0. Este EP conte´m as resoluc¸o˜es dos exerc´ıcios propostos na Aula 2. Soluc¸o˜es dos exerc´ıcios So´ estude estas soluc¸o˜es apo´s haver, realmente, tentado resolver os exerc´ıcios e, caso na˜o tenha conseguido, procurado ajuda com os tutores da disciplina e/ou com outros alunos. Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 1.1 (i) A proposic¸a˜o 1 e´ um nu´mero primo. e´ F . De fato, um nu´mero natural na˜o nulo e´ primo se, e somente se, ele tem exatamente dois divisores (positivos) pro´prios. Como o u´nico divisor (positivo) de 1 e´ o 1, ele na˜o e´ primo. (ii) A proposic¸a˜o 102 < 210. e´ V . De fato, sabemos que 102 = 100, que 210 = 1.024 e que 100 < 1.024. (iii) A proposic¸a˜o √ 3 e´ um nu´mero irracional. e´ V . Uma justificativa para esta afirmac¸a˜o e´ baseada em que a raiz quadrada de qualquer nu´mero primo e´ um nu´mero irracional. Como 3 e´ primo, √ 3 e´ irracional. (iv) A proposic¸a˜o eipi + 1 = 0. e´ V . Esta e´ a famosa identidade de Euler, considerada por muitos como a mais bela de toda a matema´tica. Ela relaciona de maneira espetacular os quatro nu´meros mais famosos: o nu´mero e, que a base dos logaritmos naturais, o nu´mero i, que e´ a unidade imagina´ria, e os nu´meros 1 e 0. Ale´m disso, ela utiliza as treˆs operac¸o˜es elementares: adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o e potenciac¸a˜o. (v) A proposic¸a˜o A probabilidade de que chova amanha e´ 1, 5. e´ F . Uma justificativa para esta afirmac¸a˜o e´ baseada em que a probabilidade de qualquer evento e´ um nu´mero entre 0 e 1 e que 1 < 1, 5. Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 2.1 (i) Um esquema de simbolizac¸a˜o para a proposic¸a˜o e´: p : 2 > 0. q : 2 > 1. r : 2 > 3. Baseados neste esquema, podemos simbolizar a proposic¸a˜o como (p ∧ q) ∨ r. Agora, observe que 2 > 0. , 2 > 1. e 2 > 3. sa˜o, respectivamente, V , V e F . Assim, temos o seguinte diagrama para a determinac¸a˜o do valor de verdade da proposic¸a˜o: p q r p ∧ q (p ∧ q) ∨ r V V F V F 1 Logo, a proposic¸a˜o e´ F . (ii) Um esquema de simbolizac¸a˜o para a proposic¸a˜o e´: p : −2 < −1. q : (−2)2 ≥ 22. Baseados neste esquema, podemos simbolizar a proposic¸a˜o como p ∧ (∼ q). Agora, observe que −2 < −1. e (−2)2 ≥ 22. sa˜o ambas V . Assim, temos o seguinte diagrama para a determinac¸a˜o do valor de verdade da proposic¸a˜o: p q ∼ q p ∧ (∼ q) V V F F Logo, a proposic¸a˜o e´ F . Uma soluc¸a˜o alternativa correta e´ a seguinte: Um esquema de simbolizac¸a˜o para a proposic¸a˜o e´: p : −2 < −1. q : (−2)2 > 22. r : (−2)2 = 22. Baseados neste esquema, podemos simbolizar a proposic¸a˜o como p ∧ (∼ (q ∨ r)). Agora, observe que −2 < −1. , (−2)2 > 22. e (−2)2 = 22. sa˜o V , F e V , respectivamente. Assim, temos o seguinte diagrama para a determinac¸a˜o do valor de verdade da proposic¸a˜o: p q r q ∨ r ∼ (q ∨ r) p ∧ (∼ (q ∨ r)) V F V V F F Logo, a proposic¸a˜o e´ F . (iii) Um esquema de simbolizac¸a˜o para a proposic¸a˜o e´: p : 10 e´ par. q : 10 e´ racional. Baseados neste esquema, podemos simbolizar a proposic¸a˜o como (∼ p) ∨ (∼ q). Agora, observe que 10 e´ par. e 10 e´ racional sa˜o V e F , respectivamente. Assim, temos o seguinte diagrama para a determinac¸a˜o do valor de verdade da proposic¸a˜o: p q ∼ p ∼ q (∼ p) ∨ (∼ q) V F F V V Logo, a proposic¸a˜o e´ V . (iv) Um esquema de simbolizac¸a˜o para a proposic¸a˜o e´: p : 4 < 3. q : 2 e´ par. r : √ 4 < 3. Baseados neste esquema, podemos simbolizar a proposic¸a˜o como p ∨ (q → r). Agora, observe que 4 < 3 , 2 e´ par e √ 4 < 3 sa˜o F , V e V , respectivamente. Assim, temos o seguinte diagrama para a determinac¸a˜o do valor de verdade da proposic¸a˜o: p q r q → r p ∨ (q → r) F V V V V Logo, a proposic¸a˜o e´ V . (v) Simbolizando e fazendo o esquema, temos que a proposic¸a˜o e´ F . 2 (vi) Simbolizando e fazendo o esquema, temos que a proposic¸a˜o e´ V . (vii) Simbolizando e fazendo o esquema, temos que a proposic¸a˜o e´ F . (viii) Simbolizando e fazendo o esquema, temos que a proposic¸a˜o e´ V . Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 4.1 (a) Em primeiro lugar, observe que como p∧ q e´ V , temos que p e q sa˜o ambas V . Agora, temos: (i) De um lado, temos p ∨ q e´ V ; q ∨ r e´ V ; e (p ∨ q) ∧ (q ∨ r) e´ V . Do outro, temos p e´ V . Assim, [(p ∨ q) ∧ (q ∨ r)]→ p e´ V . Observe que p e´ V ja´ e´ suficiente para concluirmos que [(p ∨ q) ∧ (q ∨ r)]→ p e´ V . (ii) Temos ∼ q e´ F ; (∼ q) ∧ r e´ F ; ∼ ((∼ q) ∧ r) e´ V ; e ∼ (∼ ((∼ q) ∧ r)) e´ F . Isto ja´ e´ suficiente para concluirmos que (∼ (∼ ((∼ q) ∧ r)))→ (∼ (∼ p)) e´ V . (iii) Temos ∼ p e´ F . Isto ja´ e´ suficiente para concluirmos que (∼ p) ∧ (∼ q) e´ F . Isto ja´ e´ suficiente para concluirmos que (∼ (∼ (∼ (p ∧ (∼ q))))) ∧ ((∼ p) ∧ (∼ q)) e´ F . Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 5.1 Construindo as tabelas verdade e classificando as proposic¸o˜es, como explicado nas Sec¸o˜es 4 e 5 da Aula 2 do Mo´dulo 0, temos: (i) A proposic¸a˜o e´ uma tautologia, pois e´ V em todas as suas interpretac¸o˜es. (ii) A proposic¸a˜o na˜o e´ uma tautologia, pois e´ F quando p e q sa˜o ambas F . (iii) A proposic¸a˜o na˜o e´ uma tautologia, pois e´ F quando p e q sa˜o ambas V . (iv) A proposic¸a˜o na˜o e´ uma tautologia, pois e´ F quando p e q sa˜o ambas F . (vi) A proposic¸a˜o e´ uma tautologia, pois e´ V em todas as suas interpretac¸o˜es. Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 6.1 (a) Construindo as tabelas verdade das proposic¸o˜es como explicado na Sec¸a˜o 6 da Aula 2 do Mo´dulo 0, temos: (i) As proposic¸o˜es na˜o sa˜o equivalentes. Elas assumem valores de verdade diferentes quando p e´ V e q e´ F . (ii) As proposic¸o˜es sa˜o equivalentes, pois (p↔ q)↔ ((p→ q) ∧ (p→ q)) e´ uma tautologia. Esta equivaleˆncia mostra que uma biimplicac¸a˜o pode ser reescrita como uma conjunc¸a˜o cujas proposic¸o˜es componentes sa˜o implicac¸o˜es. (iii) As proposic¸o˜es sa˜o equivalentes, pois ((p→ (q ∧ r))↔ ((p→ q)∧ (p→ r)) e´ uma tautologia. (iv) As proposic¸o˜es sa˜o equivalentes, pois (p→ (q ∨ r))↔ ((p→ q) ∨ (q → q)) e´ uma tautologia.. (v) As proposic¸o˜es na˜o sa˜o equivalentes. 3 Elas assumem valores de verdade diferentes quando p e´ F e, q e r sa˜o V . (b) Como o enunciado afirma, cada item conte´m duas proposic¸o˜es equivalentes. Construa as tabelas verdade e confira esta afirmac¸a˜o. (i) Esta equivaleˆncia garante que a ordem em que as duas proposic¸o˜es componentes esta˜o escritas em uma conjunc¸a˜o na˜o e´ relevante para a sua avaliac¸a˜o. (ii) Esta equivaleˆncia garante que a ordem em que as duas proposic¸o˜es componentes esta˜o escritas em uma disjunc¸a˜o na˜o e´ relevante para a sua avaliac¸a˜o. (iii) Esta equivaleˆncia garante que a negac¸a˜o de uma disjunc¸a˜o pode ser reescrita como uma conjunc¸a˜o. (iv) Esta equivaleˆncia garante que a implicac¸a˜o de duas proposic¸o˜es pode ser reescrita como uma disjunc¸a˜o. (v) Esta equivaleˆncia garante que a negac¸a˜o de uma implicac¸a˜o pode ser reescrita como uma conjunc¸a˜o. 4
Compartilhar