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Matema´tica Discreta – EP – Semana 2 – 2011/1
Caro aluno, aqui esta´ o EP referente a Aula 2 do Mo´dulo 0. Este EP conte´m as resoluc¸o˜es dos
exerc´ıcios propostos na Aula 2.
Soluc¸o˜es dos exerc´ıcios
So´ estude estas soluc¸o˜es apo´s haver, realmente, tentado resolver os exerc´ıcios e, caso na˜o tenha
conseguido, procurado ajuda com os tutores da disciplina e/ou com outros alunos.
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 1.1
(i) A proposic¸a˜o 1 e´ um nu´mero primo. e´ F . De fato, um nu´mero natural na˜o nulo e´ primo se, e
somente se, ele tem exatamente dois divisores (positivos) pro´prios. Como o u´nico divisor (positivo)
de 1 e´ o 1, ele na˜o e´ primo.
(ii) A proposic¸a˜o 102 < 210. e´ V . De fato, sabemos que 102 = 100, que 210 = 1.024 e que
100 < 1.024.
(iii) A proposic¸a˜o
√
3 e´ um nu´mero irracional. e´ V . Uma justificativa para esta afirmac¸a˜o e´
baseada em que a raiz quadrada de qualquer nu´mero primo e´ um nu´mero irracional. Como 3 e´
primo,
√
3 e´ irracional.
(iv) A proposic¸a˜o eipi + 1 = 0. e´ V . Esta e´ a famosa identidade de Euler, considerada por
muitos como a mais bela de toda a matema´tica. Ela relaciona de maneira espetacular os quatro
nu´meros mais famosos: o nu´mero e, que a base dos logaritmos naturais, o nu´mero i, que e´ a
unidade imagina´ria, e os nu´meros 1 e 0. Ale´m disso, ela utiliza as treˆs operac¸o˜es elementares:
adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o e potenciac¸a˜o.
(v) A proposic¸a˜o A probabilidade de que chova amanha e´ 1, 5. e´ F . Uma justificativa para esta
afirmac¸a˜o e´ baseada em que a probabilidade de qualquer evento e´ um nu´mero entre 0 e 1 e que
1 < 1, 5.
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 2.1
(i) Um esquema de simbolizac¸a˜o para a proposic¸a˜o e´:
p : 2 > 0.
q : 2 > 1.
r : 2 > 3.
Baseados neste esquema, podemos simbolizar a proposic¸a˜o como (p ∧ q) ∨ r.
Agora, observe que 2 > 0. , 2 > 1. e 2 > 3. sa˜o, respectivamente, V , V e F . Assim,
temos o seguinte diagrama para a determinac¸a˜o do valor de verdade da proposic¸a˜o:
p q r p ∧ q (p ∧ q) ∨ r
V V F V F
1
Logo, a proposic¸a˜o e´ F .
(ii) Um esquema de simbolizac¸a˜o para a proposic¸a˜o e´:
p : −2 < −1.
q : (−2)2 ≥ 22.
Baseados neste esquema, podemos simbolizar a proposic¸a˜o como p ∧ (∼ q).
Agora, observe que −2 < −1. e (−2)2 ≥ 22. sa˜o ambas V . Assim, temos o seguinte
diagrama para a determinac¸a˜o do valor de verdade da proposic¸a˜o:
p q ∼ q p ∧ (∼ q)
V V F F
Logo, a proposic¸a˜o e´ F .
Uma soluc¸a˜o alternativa correta e´ a seguinte: Um esquema de simbolizac¸a˜o para a proposic¸a˜o
e´:
p : −2 < −1.
q : (−2)2 > 22.
r : (−2)2 = 22.
Baseados neste esquema, podemos simbolizar a proposic¸a˜o como p ∧ (∼ (q ∨ r)).
Agora, observe que −2 < −1. , (−2)2 > 22. e (−2)2 = 22. sa˜o V , F e V , respectivamente.
Assim, temos o seguinte diagrama para a determinac¸a˜o do valor de verdade da proposic¸a˜o:
p q r q ∨ r ∼ (q ∨ r) p ∧ (∼ (q ∨ r))
V F V V F F
Logo, a proposic¸a˜o e´ F .
(iii) Um esquema de simbolizac¸a˜o para a proposic¸a˜o e´:
p : 10 e´ par.
q : 10 e´ racional.
Baseados neste esquema, podemos simbolizar a proposic¸a˜o como (∼ p) ∨ (∼ q).
Agora, observe que 10 e´ par. e 10 e´ racional sa˜o V e F , respectivamente. Assim, temos o
seguinte diagrama para a determinac¸a˜o do valor de verdade da proposic¸a˜o:
p q ∼ p ∼ q (∼ p) ∨ (∼ q)
V F F V V
Logo, a proposic¸a˜o e´ V .
(iv) Um esquema de simbolizac¸a˜o para a proposic¸a˜o e´:
p : 4 < 3.
q : 2 e´ par.
r :
√
4 < 3.
Baseados neste esquema, podemos simbolizar a proposic¸a˜o como p ∨ (q → r).
Agora, observe que 4 < 3 , 2 e´ par e
√
4 < 3 sa˜o F , V e V , respectivamente. Assim,
temos o seguinte diagrama para a determinac¸a˜o do valor de verdade da proposic¸a˜o:
p q r q → r p ∨ (q → r)
F V V V V
Logo, a proposic¸a˜o e´ V .
(v) Simbolizando e fazendo o esquema, temos que a proposic¸a˜o e´ F .
2
(vi) Simbolizando e fazendo o esquema, temos que a proposic¸a˜o e´ V .
(vii) Simbolizando e fazendo o esquema, temos que a proposic¸a˜o e´ F .
(viii) Simbolizando e fazendo o esquema, temos que a proposic¸a˜o e´ V .
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 4.1
(a) Em primeiro lugar, observe que como p∧ q e´ V , temos que p e q sa˜o ambas V . Agora, temos:
(i) De um lado, temos p ∨ q e´ V ; q ∨ r e´ V ; e (p ∨ q) ∧ (q ∨ r) e´ V .
Do outro, temos p e´ V .
Assim, [(p ∨ q) ∧ (q ∨ r)]→ p e´ V .
Observe que p e´ V ja´ e´ suficiente para concluirmos que [(p ∨ q) ∧ (q ∨ r)]→ p e´ V .
(ii) Temos ∼ q e´ F ; (∼ q) ∧ r e´ F ; ∼ ((∼ q) ∧ r) e´ V ; e ∼ (∼ ((∼ q) ∧ r)) e´ F .
Isto ja´ e´ suficiente para concluirmos que (∼ (∼ ((∼ q) ∧ r)))→ (∼ (∼ p)) e´ V .
(iii) Temos ∼ p e´ F .
Isto ja´ e´ suficiente para concluirmos que (∼ p) ∧ (∼ q) e´ F .
Isto ja´ e´ suficiente para concluirmos que (∼ (∼ (∼ (p ∧ (∼ q))))) ∧ ((∼ p) ∧ (∼ q)) e´ F .
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 5.1
Construindo as tabelas verdade e classificando as proposic¸o˜es, como explicado nas Sec¸o˜es 4 e
5 da Aula 2 do Mo´dulo 0, temos:
(i) A proposic¸a˜o e´ uma tautologia, pois e´ V em todas as suas interpretac¸o˜es.
(ii) A proposic¸a˜o na˜o e´ uma tautologia, pois e´ F quando p e q sa˜o ambas F .
(iii) A proposic¸a˜o na˜o e´ uma tautologia, pois e´ F quando p e q sa˜o ambas V .
(iv) A proposic¸a˜o na˜o e´ uma tautologia, pois e´ F quando p e q sa˜o ambas F .
(vi) A proposic¸a˜o e´ uma tautologia, pois e´ V em todas as suas interpretac¸o˜es.
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 6.1
(a) Construindo as tabelas verdade das proposic¸o˜es como explicado na Sec¸a˜o 6 da Aula 2 do Mo´dulo
0, temos:
(i) As proposic¸o˜es na˜o sa˜o equivalentes.
Elas assumem valores de verdade diferentes quando p e´ V e q e´ F .
(ii) As proposic¸o˜es sa˜o equivalentes, pois (p↔ q)↔ ((p→ q) ∧ (p→ q)) e´ uma tautologia.
Esta equivaleˆncia mostra que uma biimplicac¸a˜o pode ser reescrita como uma conjunc¸a˜o cujas
proposic¸o˜es componentes sa˜o implicac¸o˜es.
(iii) As proposic¸o˜es sa˜o equivalentes, pois ((p→ (q ∧ r))↔ ((p→ q)∧ (p→ r)) e´ uma tautologia.
(iv) As proposic¸o˜es sa˜o equivalentes, pois (p→ (q ∨ r))↔ ((p→ q) ∨ (q → q)) e´ uma tautologia..
(v) As proposic¸o˜es na˜o sa˜o equivalentes.
3
Elas assumem valores de verdade diferentes quando p e´ F e, q e r sa˜o V .
(b) Como o enunciado afirma, cada item conte´m duas proposic¸o˜es equivalentes. Construa as tabelas
verdade e confira esta afirmac¸a˜o.
(i) Esta equivaleˆncia garante que a ordem em que as duas proposic¸o˜es componentes esta˜o escritas
em uma conjunc¸a˜o na˜o e´ relevante para a sua avaliac¸a˜o.
(ii) Esta equivaleˆncia garante que a ordem em que as duas proposic¸o˜es componentes esta˜o escritas
em uma disjunc¸a˜o na˜o e´ relevante para a sua avaliac¸a˜o.
(iii) Esta equivaleˆncia garante que a negac¸a˜o de uma disjunc¸a˜o pode ser reescrita como uma
conjunc¸a˜o.
(iv) Esta equivaleˆncia garante que a implicac¸a˜o de duas proposic¸o˜es pode ser reescrita como uma
disjunc¸a˜o.
(v) Esta equivaleˆncia garante que a negac¸a˜o de uma implicac¸a˜o pode ser reescrita como uma
conjunc¸a˜o.
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