Aula 6 e 7 - Escoamento Uniforme em Condutos

Prévia do material em texto

ESCOAMENTO EM 
CONDUTOS PARA FLUIDOS 
REAIS
Bernoulli para Fluidos Ideais e Reais
Escoamento Uniforme e Camada Limite
Perdas de Carga Contínua
Perdas de Carga Localizada
FLUIDO IDEAL versus FLUIDO REAL (relembrando....)
U
LP
LE
1 2
FLUIDO IDEAL
D
P1/γ P2/γ
Plano 
Referência
z1 z2
U1²/2g U2²/2g
LP
1 2
U
FLUIDO REAL
D
P1/γ P2/γ
Plano 
Referência
z1 z2
aU1²/2g
aU2²/2g
LEhP
L
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
FLUIDO IDEAL versus FLUIDO REAL (relembrando....)
 Fluido ideal (s/ viscosidade)
 Fluido real (c/ viscosidade)
..
22
2
22
2
2
11
1 ELcte
g
UP
z
g
UP
z   21
2
22
2
2
11
1
22
 h
g
UP
z
g
UP
z aa
Onde h1-2 é a perda de carga entre a seção 1 e a seção 2
Lembrando que para um fluido ideal v=U e a=1.
MAS COMO DETERMINAR A PERDA DE CARGA???
H1 H2
H1 H2
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
 Para resolver problemas com fluidos reais temos que determinar a perda de carga
(h);
 Perda de carga é a perda de energia que ocorre ao longo do escoamento;
 As perdas de carga podem ser PERDAS CONTÍNUAS e PERDAS LOCALIZADAS.
Z = 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑧 +
𝑃
𝛾
= 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑧 +
𝑃
𝛾
+
𝑈2
2𝑔
= 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 = 𝐻
Lembrando.....
PERDA DE CARGA
Carga total
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
 São provocadas pela viscosidade e pela rugosidade das paredes da tubulação;
 Lembrando que a viscosidade é a propriedade física dos fluidos que origina o
aparecimento de tensões tangenciais na superfície de contato entre elementos de
fluido adjacentes dotados de velocidades distintas;
 As perdas de carga contínuas ocorrem pela dissipação de calor produzida ao longo
do próprio processo de escoamento – pelo atrito com as paredes e pelo atrito entre
as próprias ‘camadas’ do líquido.
 Todo fluido real que escoa perde energia (carga)
PERDA DE CARGA CONTÍNUAS
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
 Veremos que a perda de carga contínua depende fortemente do número de Reynolds
 Lembrar da experiência de Reynolds (filete de
tinta no fluxo;
 Laminar: partículas movem-se ao longo de
trajetórias bem definidas, como um
escoamento em lâminas ou camadas.
(viscosidade alta ou velocidade baixa)
 Turbulento: movimento aleatório e caótico
das partículas, surgindo componentes
transversais na velocidade (escoamentos de
problemas reais com água)
𝑅𝑒 =
𝜌. 𝑈. 𝐷
𝜇
=
𝑈. 𝐷
𝜐
Escoamento laminar: Re < 2000
Escoamento turbulento: Re > 4000
Escoamento de transição: 2000 < Re < 4000
VEREMOS QUE QUANTO MENOR O REYNOLS (mais viscoso) MAIOR A PERDA DE CARGA
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
PERDA DE CARGA CONTÍNUAS e NÚMERO DE REYNOLDS
 Conceito originalmente introduzido por Ludwig Prandtl em 1904, marcando o começo
da era modera da mecânica do fluidos;
 As tensões tangenciais que surgem em fluidos viscosos (reais) se originam nas fronteiras
sólidas (velocidade nula no contato sólido e gradiente de velocidade, formando um
“perfil” de velocidades no conduto;
 Dentro da camada limite, aparecem os efeitos dos contornos sólidos, e portanto, por
conta da viscosidade do fluido, surgem os gradientes de velocidade, e as tensões de
cisalhamento.
 Fora da camada limite, o efeito do contorno sólido ainda não foi sentido, e não há
tensões de cisalhamento. Portanto o fluido comporta-se como um fluido ideal
CAMADA LIMITE
PORTANTO, SEM 
CONTORNO SÓLIDO 
NÃO HÁ PERFIL DE 
VELOCIDADES!!
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
ESCOAMENTO LAMINAR
ESCOAMENTO TURBULENTO
Estabelecimento do fluxo Fluxo estabelecido (ESCOAMENTO UNIFORME)
Camada limite Perfil de velocidade
Estabelecimento do fluxo Fluxo estabelecido (ESCOAMENTO UNIFORME)
Sub-camada laminar
Camada limite
Perfil de velocidade
CAMADA LIMITE EM CONDUTOS
Perfil de velocidades 
uniforme
(sem contornos sólidos)
Perfil de velocidades 
uniforme
(sem contornos sólidos)
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
 É a classificação do escoamento com relação à variação da trajetória das partículas
no espaço (ao longo do escoamento)
 Escoamento uniforme: linhas de corrente não variam ao longo do escoamento
 Escoamento variado: linhas de corrente variam ao longo do escoamento
ESCOAMENTO UNIFORME (relembrando.....)
Escoamento variado
Escoamento uniforme
 Na prática um fluxo é uniforme se estiver fluindo à vazão constante durante um certo
comprimento sem nenhum obstáculo ao fluxo. Todo o obstáculo (curvas, transições,
estrangulamentos, etc.) provoca uma região de escoamento variado a montante e
a jusante.
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
 Equação de Darcy-Weissbach
Onde: 
L = comprimento do conduto (m);
D = diâmetro do conduto (m)
U = velocidade média do escoamento (m/s);
g = aceleração da gravidade (m/s²);
f = coeficiente de perda de carga (“fator de atrito”/”fator de resistência”)
∆ℎ𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑈2
2𝑔
PERDA DE CARGA CONTÍNUA
EQUAÇÃO GERAL DA RESISTÊNCIA EM CONDUTOS
VÁLIDA APENAS PARA ESCOAMENTO UNIFORME!!
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
 Outra maneira de expressar a equação universal de perda de carga é 
através da perda de carga específica ou perda de carga unitária “J”:
 Considerando a equação da continuidade e a área do círculo, podemos 
escrever a seguinte equação para a perda de carga unitária:
J = 𝑓
1
𝐷
𝑈2
2𝑔
J =
∆ℎ𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎
𝐿
J =
8𝑓
𝜋2𝑔
𝑄2
𝐷5
PERDA DE CARGA CONTÍNUA
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
Escoamento Uniforme em Condutos
PERDA DE CARGA CONTÍNUA
MAS COMO CALCULAR O FATOR DE ATRITO f ?????
 O fator de atrito ‘f’ é um adimensional;
 Verificou-se experimentalmente que ele depende das características do 
escoamento e das características do tubo.
∆ℎ𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑈2
2𝑔
PARA REGIME LAMINAR (Re<2000) Lembrando que 𝑅𝑒 =
𝑈.𝐷
𝜈
Substituindo na equação de Darcy-Weissbach
𝐽 =
32. 𝜈
𝑔. 𝐷2
𝑓 =
64
𝑅𝑒
DETERMINAÇÃO DO FATOR DE ATRITO f – REGIME LAMINAR
(equação de Hagen-Poiseuille)
 Pela simplicidade da modelagem matemática, foi possível determinar a perda de
carga contínua de maneira analítica:
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
DETERMINAÇÃO DO FATOR DE ATRITO f – REGIME TURBULENTO
PARA REGIME TURBULENTO (Re>4000)
 Determinação de ‘f’ é consideravelmente mais complexa, devido às características do
escoamento;
 No escoamento turbulento as partículas possuem componentes aleatórios de
velocidade, tornando muito complexa a análise analítica;
 A influência da rugosidade das paredes do conduto nos escoamentos turbulentos varia
com a ordem de grandeza desta última (altura de rugosidade – “k”) em relação à
espessura da subcamada laminar.
 Diversos autores propuseram equações para a determinação de ‘f’ para cada tipo de
tubo (liso, rugoso, transição), baseado em dados EXPERIMENTAIS
TUBOS HIDRAULICAMENTE 
LISOS
TUBOS HIDRAULICAMENTE 
RUGOSOS
TRANSIÇÃO
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
 A expressão recomendada para o cálculo de “f” é a de Colebrook-White:
1
𝑓
= −2. log
 𝑘 𝐷
3,7
+
2,51
𝑅𝑒. 𝑓
Mas existe um problema: o coeficiente ‘f’ está implícito na equação!!!!
 A expressão de Colebrook-White foi inicialmente desenvolvida para tubos
comerciais com ênfase na zona de transição entre os escoamentos
hidraulicamente liso e rugoso. Possui boa aderência aos resultados
experimentais e analíticos para todas os tipos de escoamento turbulento.
DETERMINAÇÃO DO FATOR DE ATRITO f – REGIME TURBULENTO
Escoamento em Condutos para FluidosReais
 Devido à dificuldade encontrada anteriormente para o cálculo implícito de ‘f’ através
da equação de Colebrook-White, o engenheiro americano Moody propôs em 1944 a
utilização de diagrama, para os regimes laminar e turbulento.
 O diagrama de Moody é muito conhecido e durante muitos anos foi muito útil para o
cálculo do fator ‘f’, antes do advindo das calculadoras modernas.
 Atualmente, foram desenvolvidas expressões explícitas para o cálculo do fator ‘f’,
válidas dentro de certas faixas de domínio, e que podem substituir o uso do diagrama
de Moody.
𝑓 =
1,325
𝑙𝑛 𝑘 3,7.𝐷 + 
5,74
𝑅𝑒0,9
2 (Swamee e Jain)
1
𝑓
= −2. 𝑙𝑜𝑔
 𝑘 𝐷
3,7
+
5,13
𝑅𝑒0,89
(Barr)
5. 103 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 108
10−6 ≤ 𝑒 𝐷 ≤ 10
−2
𝑅𝑒 ≥ 105
ATENÇÃO!! Nos exercícios, se não estiver indicado qual equação utilizar, sempre deve ser
utilizado a equação de Colebrook-White e o diagrama de Moody
DETERMINAÇÃO DO FATOR DE ATRITO f – REGIME TURBULENTO
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
DIAGRAMA DE MOODY
DETERMINAÇÃO DO FATOR DE ATRITO f – REGIME TURBULENTO
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
CARACTERÍSTICAS DA TUBULAÇÃO
Rugosidade k (mm)
Mínima Usual Máxima
1. Tubos de aço, juntas soldadas, interior contínuo
Grandes incrustações ou tuberculizações 2,4 7 12,2
Tuberculização geral de 1 a 3 mm 0,9 1,5 2,4
Pintura à brocha, com asfalto, esmalte ou betume 0,3 0,6 0,9
Leve enferrujamento 0,15 0,2 0,3
Revestimento obtido por imersão em asfalto quente 0,06 0,1 0,15
Revestimento com argamassa de cimento obtida por 
centrifugação 0,05 0,1 0,15
Tubo revestido de esmalte 0,01 0,06 0,3
2. Tubos de concreto
Superfície obtida por centrifugação 0,15 0,3 0,5
Superfície interna bastante lisa, executado com 
formas metálicas 0,06 0,1 0,18
3. Tubos de cimento amianto 0,015 0,025
4. Tubos de ferro fundido
Ferro galvanizado, fundido revestido 0,06 0,15 0,3
Ferro fundido, não revestido, novo 0,25 0,5 1
Ferro fundido com corrosão 1 1,5 3
Ferro fundido com depósito 1 2 4
5. Latão, cobre, chumbo 0,004 0,007 0,01
6. Tubos de plástico - PVC 0,0015 0,06
Valores usuais da rugosidade das paredes (k) dos tubos
DETERMINAÇÃO DO FATOR DE ATRITO f – REGIME TURBULENTO
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
Exercício de Aplicação 1 
No sistema abaixo, determinar o nível da água no reservatório (d = 1,0; n = 10-6 m²/s). A
vazão é de 5 l/s. Após, determinar o resultado caso o fluido fosse um fluido ideal.
ZR = ?
0,0 m
Descarga 
na 
atmosfera
Resposta = 2,28 m - p/ fluido ideal = 0,33 m
Exercício de Aplicação 2 
Determinar o desnível máximo entre os reservatórios abaixo figurados para que o
escoamento ainda se dê em regime laminar (óleo: n = 10-4 m²/s)
Resposta = hmáx = 6,52 m
Exercício de Aplicação 3 
No trecho de escoamento de água (d = 1,0; n = 10-6 m²/s) indicado abaixo a pressão se
mantém constante ao longo do tubo. Determinar: a) a vazão; b) a pressão no trecho
considerado.
Reposta: 28,6 l/s P=91.475 Pa
35 m
15 m
25 m
Exercício de Aplicação 4 
Deseja-se aumentar a capacidade de transporte de água (δ = 1,0; υ = 10-6 m²/s), do
reservatório R1 para o reservatório R2 em 100 l/s, substituindo o tubo existente (D=25 cm) por
outro constituído do mesmo material, porém, de maior diâmetro. Desprezando as perdas
de carga localizadas e considerando as demais informações abaixo, determinar o novo
diâmetro.
18 m
2 m
R1
R2
Reposta: D = 0,34 m
 É uma equação largamente aplicada devida à sua simplicidade.
 Possui aplicação dentro de certas condições:
• Escoamento turbulento
• Líquido é água a 20 graus
• Diâmetro superior a 4”
𝐽 =
10,64
𝐶1,85
𝑄1,85
𝐷4,87
 ‘C’ é um coeficiente de perda de carga que depende da natureza e das condições
do material empregado.
 Equação bastante utilizada em redes de distribuição de água, adutoras e sistemas de
recalque.
EQUAÇÃO DE HAZEN-WILLIAMS
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
Valores de C da equação de Hazen-Williams:
C não é adimensional. Qual é a dimensão de C? m0,367/s
Material C
Aço corrugado (chapa ondulada) 60
Aço galvanizado 125
Aço rebitado novo 110
Aço rebitado em uso 85
Aço soldado novo 130
Aço soldado em uso 90
Aço soldado com revestimento especial 130
Chumbo 130
Cimento amianto 140
Cobre 130
Material C
Concreto com acabamento comum 120
Ferro fundido novo 130
Ferro fundido de 15 a 20 anos de uso 100
Ferro fundido usado 90
Ferro fundido revestido de cimento 130
Latão 130
Manilha cerâmica vidrada 110
Plástico 140
Tijolos bem executados 100
Vidro 140
EQUAÇÃO DE HAZEN-WILLIAMS
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
 Estudos mostram que o coeficiente ‘C’ é dependente do diâmetro do tubo e do grau
de turbulência do escoamento.
 Portanto, diferentemente do que pregam as tabelas que acompanham a formulação
de Hazen-Williams, o coeficiente C não é caracterizado apenas pelo tipo de material e
tempo de uso do tubo.
 Estudos mostram também que a equação de Hazen-Williams fornece resultados
parecidos com a equação universal para uma faixa limitada de diâmetros,
rugosidades e Reynolds.
 Portanto a equação de Hazen-Williams, a despeito de até os dias de hoje ser bastante
popular devido à sua fácil utilização, deve ser vista com reservas, pois pode acarretar
em diferenças importantes nos cálculos de perda de carga.
 A sugestão é, sempre quando possível, utilizar a fórmula Universal.
ATENÇÃO!! Nos exercícios, se não estiver indicado qual equação utilizar, sempre deve ser
utilizada a equação UNIVERSAL
COMPARAÇÃO EQUAÇÃO DE HAZEN-WILLIAMS E EQUAÇÃO UNIVERSAL
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
FÓRMULA DE FLAMANT 𝐽 = 0,000824
𝑄1,75
𝐷4,75
FÓRMULA DE SCOBEY 𝐽 =
𝐾𝑠 . 𝑄
1,9
245. 𝐷4,9
FÓRMULA DE FAIR-WHIPPLE-HSIAO (usualmente utilizadas para instalações prediais)
𝐽 = 0,002021
𝑄1,88
𝐷4,88
𝐽 = 0,000859
𝑄1,75
𝐷4,75
𝐽 = 0,000692
𝑄1,75
𝐷4,75
Tubos de aço galvanizado e ferro fundido, conduzindo água fria
Tubos de cobre ou plástico, conduzindo água fria
Tubos de cobre ou latão, conduzindo água quente
OUTRAS EQUAÇÕES.....
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
 Como o próprio nome diz, as perdas de carga localizadas, diferentemente das
perdas de carga contínuas, ocorrem em pontos específicos da tubulação.
 São perdas de energia provocadas por perturbações locais no escoamento, tais
como: mudança de seção, mudança de direção, alargamentos, estreitamentos,
curvas, válvulas, entrada e saída de reservatórios, etc.
 Os elementos causam alteração na uniformidade do escoamento, e as perdas
localizadas se dão por variações na região do elemento de velocidades e pressões,
que causam perda por atrito e/ou formação de turbilhonamento, no caso de
variações mais bruscas.
 As perdas não ocorrem apenas
pontualmente na região do
acessório, mas a montante e jusante
deste, ao longo de sua região de
influência.
PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
EXEMPLOS DE ELEMENTOS CAUSADORES DE PERDA DE CARGA LOCALIZADA
PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
 Experiências mostram que a perda de carga localizada para uma determinada
peça pode ser calculada pela seguinte equação geral:
∆ℎ 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎= 𝐾.
𝑈2
2𝑔
 Onde U é a velocidade média da seção e K é um coeficiente que varia conforme as
características do elemento causador da perda de carga;
 Para alguns casos práticos (alargamentos bruscos, estreitamentos bruscos), o valor de
K pode ser calculado. Para outros casos, o valor de K pode ser encontrado em
ábacos e tabelas, onde foram obtidos de forma experimental;
 O valor de K podedepender do valor de Re para o escoamento, onde os efeitos
viscosos são importantes (número de Reynolds baixo). Nos casos práticos, esse efeito
é desconsiderado.
PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
 A perda de carga TOTAL ao longo de um escoamento será SEMPRE portanto a soma
das perdas de carga CONTÍNUA e LOCALIZADA:
Δℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=Δℎ𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 + ∆ℎ 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎
PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS
PERDA DE ENERGIA CONTÍNUA 
NOS TRECHOS DE 
ESCOAMENTO UNIFORME
PERDA DE ENERGIA LOCAL 
DEVIDO À PRESENÇA DE 
OBSTÁCULOS, ELEMENTOS OU 
ACESSÓRIAS
 Para efeitos práticos, considera-se a zona de influência da perda de carga local com
comprimento zero (A Linha de Energia “desce” na vertical no local da perda de
carga localizada).
Quando for para considerar as perdas de carga a questão deixará claro, 
geralmente indicando os valores de K a serem utilizados
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
PERDAS DE CARGA LOCALIZADA
ALARGAMENTO BRUSCO
Δℎ𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 =
𝑈1
2
2𝑔
K=1
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
PERDAS DE CARGA LOCALIZADA
ESTREITAMENTO BRUSCO
A2/A1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
KL (aprox.) 0,50 0,46 0,41 0,36 0,30 0,24 0,16 0,12 0,06 0,02 0,00
TOMADAS EM RESERVATÓRIO
K=0,5
K=0,1
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
PERDAS DE CARGA LOCALIZADA
Escoamento em Condutos para Fluidos Reais
Exemplo de Aplicação 5 
Calcular a cota do reservatório superior (Z) de modo que chegue uma vazão de 10 l/s ao
reservatório inferior. O comprimento é de 500 m, sua rugosidade equivalente é de 1,2.10-3
m e seu diâmetro de 10 cm. No tubo escoa água (d=1,0 ; n=10-6 m²/s)
Resposta: Q=126,82 l/s
Exemplo de Aplicação 6 
Calcular a vazão que chega ao reservatório R2 através de um tubo de aço (k = 5 x 10
-3 m)
com 1000 m de comprimento e 20 cm de diâmetro. O fluido que escoa é água (δ = 1,0; n
= 10-6 m²/s).
Resposta: Q=60 l/s