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Aula Bernoulli

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HIDRÁULICA
HIDRODINÂMICA 
Equação de Bernoulli
Prof Rogério Marques
Equação de Bernoulli para fluidos ideais
y1 = h1, y2 = h2
No interior da massa fluida, em escoamento permanente consideramos dois 
pontos quaisquer: 
Massa fluida no ponto 1 Massa fluida no ponto 2
Principio da conservação da energia
𝜏𝐹1 − 𝜏𝐹2 = ∆𝐸𝑝 + ∆𝐸𝑐
 𝜏 = 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜
 𝐹 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎
 𝐸𝑝 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
 𝐸𝑐 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎
 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 = 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜
 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 = 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎
Desenvolvimento da equação de Bernoulli
𝝉𝑭₁ − 𝝉𝑭₂ = ∆𝑬𝒑 + ∆𝑬𝒄
𝐹₁. ∆𝑥₁ − 𝐹₂. ∆𝑥₂ = 𝑚. 𝑔 ℎ₂ − ℎ₁ +
𝑚 𝑣₂2 − 𝑣₁2
2
𝑃₁. 𝐴₁. ∆𝑥₁ − 𝑃₂. 𝐴₂. ∆𝑥₂ = 𝜌. 𝑉. 𝑔 ℎ₂ − ℎ₁ + 𝜌.
𝑉 𝑣₂2 − 𝑣₁2
2
𝑃₁. 𝑉 − 𝑃₂. 𝑉 = 𝜌. 𝑉. 𝑔 ℎ₂ − ℎ₁ + 𝜌.
𝑉 𝑣₂2 − 𝑣₁2
2
𝑃₁ − 𝑃₂ = 𝜌. 𝑔. ℎ₂ − 𝜌. 𝑔. ℎ₁ = 𝜌.
𝑣₂2
2
− 𝜌.
𝑣₁2
2
𝑃₁ + 𝜌. 𝑔. ℎ₁ + 𝜌.
𝑣₁2
2
= 𝑃₂ + 𝜌. 𝑔. ℎ₂ + 𝜌.
𝑣₂2
2
Ou 𝑧₁ +
𝑃₁
𝛾
+
𝑣₁2
2𝑔
= 𝑧₂ +
𝑃₂
𝛾
+
𝑣₂2
2𝑔
= 𝐶𝑡𝑒
Equação de Bernoulli
 𝑃 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
 𝜌. 𝑔. ℎ = 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
 𝜌.
𝑣2
2
= 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 − 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎
 𝑃 + 𝜌. 𝑔. ℎ = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑜𝑢 ℎ𝑖𝑑𝑟𝑜𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝑆𝑡𝑒𝑣𝑖𝑛)
 𝑧 = ℎ = carga potencial.
 𝛾 = 𝜌. 𝑔 ; ℎ =
𝑃
𝛾
= carga de pressão. 

𝑣2
2𝑔
= 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎.
Orifícios
 DEFINIÇÃO e FINALIDADE
 Orifícios são aberturas ou perfurações, geralmente de forma 
geométrica, feita abaixo da superfície livre do líquido, em paredes de 
reservatórios, tanques, canais ou canalizações. A finalidade principal 
dos orifícios é medir, controlar vazões e o esvaziamento do recipiente.
 CLASSIFICAÇÃO
Quanto à forma geométrica
 Retangulares;
 Triangulares;
 Circulares.
Orifícios
Quanto às dimensões relativas
Pequenas (d ≤ 1/3 h)
São aqueles que cuja dimensão na vertical é inferior ou igual a 
1/3 da profundidade, em relação à superfície livre
Grandes (d > 1/3 h)
Quando temos d > 1/3h dizemos que o orifício é grande ou de 
grandes dimensões.S.L
h
d
Orifícios
Quanto a natureza das paredes
a) parede delgada (fina) (e< d)
b) parede espessa (e ≥ d)
 Orifício em parede delgada
 Seja “e” a espessura da parede onde está situado o orifício. Temos o orifício em parede 
delgada ou de borda viva quando e<d. Neste caso, o líquido escoa tocando apenas a abertura, 
seguindo uma linha de ( perímetro do orifício ). Para verificar se isto vem a ocorrer na prática 
é usual biselar a parede no contorno do orifício.
Orifícios
 Orifício em Parede Espessa
 É aquele que e ≥ d. Neste caso o líquido escoa tocando quase toda a 
superfície da abertura.
 Trataremos deste tipo quando estudarmos os bocais.
CARACTERÍSTICAS DO ESCOAMENTO NOS ORIFÍCIOS PEQUENOS EM PAREDE DELGADA
 Obs: Para orifícios pequenos de área inferior a 1/10 da superfície do recipiente, pode-se 
desprezar a velocidade v1 do líquido. (Quando A₁≥10*A₂ -> v1≈ 0 ).
 Partindo da equação de Bernoulli, para fluídos ideais:
𝑧1 +
𝑃1
𝛾
+
𝑣12
2𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝛾
+
𝑣22
2𝑔
= 𝐶𝑡𝑒
Fórmula de Torricelli (válida para fluidos ideais).
 Traçando o plano de referência no centro do orifício temos:
 ℎ + 0 + 0 = 0 + 0 +
𝑣2
2𝑔
 𝑣 = 2𝑔ℎ
p1 = patm = 0
z1 = h
z2 = 0
p2 = patm = 0
v2 = v
Exercícios
 1. Um fluido de densidade 1000kg/m³ se desloca por uma tubulação que está 
a 2m de um nível de referência, tendo na sua seção inicial uma pressão de 
5000N/m² e velocidade de 10m/s. Em uma 2ª seção que está à 4m de altura, 
a velocidade cai para 2m/s. Considere a aceleração da gravidade 10m/s², 
calcule a pressão nesta 2ª seção.
Exercícios
 2. Em certo ponto de uma tubulação a pressão manométrica é de 0,5x10⁵ Pa e, em outro ponto, 
10m acima do primeiro, medido em relação a um plano horizontal de referência, é de 
0,3x10⁵Pa. SE as áreas do tubo forem de 10cm² e de 20cm², respectivamente, calcular o número 
de litros de água que escoarão através de qualquer seção transversal do tubo, por minuto. 
Desprezar todas as perdas de carga. Dado g=9,81m/s² e ρ=1g/cm³.
Exercícios
 3. Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se 
o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m?
Exercícios
 4. Calcule a vazão de gasolina(ρgas =0,82g/cm³)através da tubulação da figura 
de duas formas, considerando d1=150mm e d2=100mm.
a) Primeiramente utilizando as leituras manométricas(pressões relativas)
b) Pelas leituras dos manômetros diferenciais(fig.2)
Exercícios
 5. A água se move com uma velocidade de 5m/s em um cano com uma seção 
reta de 4cm². A água desce gradualmente 10m enquanto a seção reta 
aumenta para 8cm². Pede-se:
a) Qual a velocidade da água depois da descida?
b) Se a pressão antes da descida é de 1,5x105Pa, qual a pressão depois da 
descida?

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