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U N ID A D E II – PR IN CÍPIO D A R ED UÇÃ O D E D A D O S U m p esq uisad o r u sa asinfo rm açõ es em u m a am o stra X 1 , . . . ,X n p ara fazerinferên cia sob re u m p arâm etro d esco nh ecid o θ . S e o tam anh o d a am o stra n é g rand e , a am o stra ob serv ad a x 1 , . . . , x n será u m a lista lo ng ad e nú m ero s e não será u m trab alh o fácilinterp retá -la . P o rtanto , o p esq uisad o r g o staria d e sintetizar as info rm açõ es n a am o stra d eterm in and o alg u m as características -ch av e d o s v alo res am o strais . N o rm alm ente , isso é feito através d o cálculo d e estatísticas ,p o r ex em plo : m édia am o stral , v ariân cia am o stral , m aio r v alo r am o stral , m en o r v alo r am o stral , m edian a , d entre o utras . E ssas q u antid ad es ajud am a estab elecer asp ecto sim p o rtantes n a p op ulação e n a distrib uição d o sd ad o s .L em b rand o q u e ~ X d en ota u m v eto r aleató rio X 1 , . . . , X n e ~ x d en ota a am o stra x 1 , . . . , x n . Q u alq u er estatística , ()~ X T ,d efin e u m a red ução d e d ad o s o u u m a fo rm a d e sintetizar o s d ad o s .Q u alq u er p esq uisad o r q u e u sar ap en as o v alo r ob serv ad o d e ()~ X T , ao in vés d a am o stra ,tratará d e fo rm a ig u ald u as am o stras ~ x e ~ y ,q u e satisfazem ()~ xT = ~ y T .N ote q u e as am o stras ~ x e ~ y não são ig u ais! A lg u n s v alo res p od em diferir , enq u anto o utro s não . V ejam o s u m ex em plo p ara ilu strar o co n ceito .S up o nh a q u e tem o sd u as am o strasd e tam anh o n = 3 d e u m a d eterm in ad a v .a . , { }5 41 , , ~ = x e { }7 21 , , ~ = y . S up o nh a tam bém , q u e estam o s interessad o s n a so m a d o s v alo res am o strais , isto é , () ∑ = = 31 i i x T ~ x . A ssim , n esse ex em plo p articular , tem o s q u e ( ) 10 = = ~ ~ y x T T , m esm o q u e ~ x ≠ ~ y . A red ução d e d ad o s , em fu nção d e u m a estatística , p od e ser p en sad a co m o u m a p artição d o esp aço am o stral X .V am o s d efinir a seg uir alg u n s co nju nto s p ara entend erm o s m elh o r co m o é essa p artição .S eja T = () { ~ x T t t = : p ara alg u m }X∈ ~ x a im ag em d e X através d e ()~ xT . D essa fo rm a , ()x T p articio n a o esp aço am o stral em co nju nto s A t = 26 () { }T∈ = t t T , : ~ ~ x x .Isso sig nifica q u e através ()~ xT não trab alh am o s co m tod o s o s ∈ s' ~ x X , m as sim co m o s t ~ A s' ∈ x .A s v antag en s e co n seqüên cias d esse tip o d e red ução d o s d ad o s são o s tópico s d esta u nid ad e .V ejam o s a seg uir u m ex em plo p ara ilu strar o co n ceito d e p artição . Im agin e q u e tenh am o s u m a p op ulação d e tam anh o cin co , { }7 54 21 , , , , , e q u e farem o s u m a am o stra aleató ria sim ples sem rep o sição (A A SSR) d e tam anh o três .S up o nh a q u e o n o sso interesse seja estim arm o s a m édia p op ulacio n al , 5 19 5 7 5 4 2 1 = + + + + = 3 ,8 (evid ente q u e n u m a situ ação real não co nh eceríam o s o v alo r p op ulacio n al) . P ara estim arm o s a m édia p op ulacio n al u sarem o s a m édia am o stral , ∑ = = 31 3 1 i i X X . N a T ab ela 2 .1 estão tod as as am o stras p o ssív eis sem rep o sição d e tam anh o três co m su as resp ectiv as m édias am o strais . T ab ela 2 .1 : P o ssív eis A A SSR co m su as resp ectiv as m édias am o strais O rd em A m o stra M édia A m o stral 1 { }4 21 , , 2 ,33 2 { }5 21 , , 2 ,66 3 { }7 21 , , 3 ,33 4 { }54 1 , , 3 ,33 5 { }7 41 , , 4 ,00 6 { }7 51 , , 4 ,33 7 { }54 2 , , 3 ,66 8 { }7 4 2 , , 4 ,33 9 { }7 52 , , 4 ,66 10 { }7 54 , , 5 ,33 R ep arem n a T ab ela 2 .1 q u e p od em o s ter a m esm a m édia am o stralp ara diferentes am o stras .A s am o stras d e o rd em 3 e 4 o u as am o stras d e o rd em 6 e 8 fo rn ecem a m esm a m édia . N a Fig u ra 2 .1 ob serv am o s as p artiçõ es p ara o ex em plo acim a . 27 Fig u ra 2 .1 : Ilu stração d a p artição ind u zid a p o r X C o m isso , red u zim o sd e d ez p o nto s am o strais diferentes n o d o m ínio d a fu nção p ara oito p o nto s diferentes n a im ag em .Q u and o falarm o s d e estatística suficiente m inim al ,S eção 2 .1 .3 , o co n ceito d e p artição será m uito im p o rtante . E x em plo 2 .1 :S up o nh a q u e v o cêd eseja p articip ard ojog o d a m o ed a , só q u e o seu ad v ersário é q u em fo rn ecerá a m o ed a .O objetiv o d ojog o é adivinh ar o resultad o d o lançam ento d a m o ed a . Q u em acertar m ais v ezes g anh a ojog o .A ntes d ojog o , v o cê resolv e fazer u m exp erim ento p ara av erig u ar se a m o ed a é h o n esta ,lançand o a m o ed a n v ezes .V o cê então an ota o totald e caras n o s n lançam ento s . A m o stra � ( ) n n x x 2 1 ⇒ , ,L resultad o s p o ssíveis () = = = ∑ = t x T ni i 1 ~ x nú m ero total d e caras n a am o stra Q u erem o s sab er se p = 0 ,5 . U sand o a estatística () ∑ = = ni i x T 1 ~ x não p recisarem o s m ais olh ar o resultad o d e cad a u m d o s n lançam ento s , m as sim , o totald e caras n a am o stra .E ssa estatística p rop o rcio n ará u m a p artição n o esp aço am o stral X (q u e p o ssui n 2 resultad o s p o ssív eis) . 2 .1 - PR IN CÍPIO D A SU FIC IÊN C IA U m a estatística suficiente p ara θ é u m a estatística q u e , n u m certo sentid o , captu ra tod a a info rm ação a resp eito d o p arâm etro θ co ntid a n a am o stra .Q u alq u er info rm ação adicio n al n a am o stra , além d o v alo rd a estatística suficiente , não co nterá info rm ação adicio n al sob re θ . 28 {1 ,2 ,4} {1 ,2 ,5} {1 ,4 ,5} {1 ,4 ,7} {1 ,5 ,7} {2 ,4 ,7} {2 ,4 ,5} {2 ,5 ,7} {4 ,5 ,7} X {1 ,2 ,4} {1 ,2 ,5} {1 ,4 ,5} {1 ,4 ,7} {1 ,5 ,7}{2 ,4 ,7} {2 ,4 ,5} {2 ,5 ,7} {4 ,5 ,7} {1 ,2 ,7} {1 ,2 ,7} D efiniçã o : P rin cípio d a suficiên cia – S e ()~ X T é u m a estatística suficiente p ara θ , então q u alq u erinferên cia a resp eito d e θ d ev erá d ep end erd a am o stra ~ X so m ente atravésd e ()~ X T . E m o utras p alav ras , se ~ x e ~ y são d u as am o stras tais q u e ()~ xT = ~ y T , então a inferên cia sob re θ d ev erá ser a m esm a ind ep end entem ente se ~ ~ x X = o u ~ ~ y X = . 2 .1 .1 - ESTA TÍSTIC A SU FIC IEN TE A d efinição fo rm al d e u m a estatística suficiente é d ad a d a seg uinte fo rm a . E statística S uficiente(d efinição):U m a estatística ()~ X T é suficiente p ara θ se a distrib uição co ndicio n al d a am o stra ~ X d ad o o v alo r d e ()~ X T não d ep end e d e θ . ( ) ( )t X X T x X x X P n n n = = = , , , , L L 1 1 1 não d ep end e d e θ . E x em plo s 2 .2 (i) S ejam X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X n -1 , X n u m a AAS d e u m a v .a . X ~B ern o ulli(p) , co m ( ) ( )0 1 1 = − = = = i i X P p X P . M o stre q u e ∑ = = ni i X T 1 é suficiente p ara p . = = = = = ≠ = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = t X , t X P t X , x X, , x X P t X , t X x X, , x X P ni i ni i ni i n n ni i ni i n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 se se 0 L L P ara t X ni i ≠ ∑ =1 não há o q u e p ro v ar . D esen v olv erem o s a exp ressão acim a p ara q u and o t X ni i = ∑ =1 . P ara t X ni i = ∑ =1 , t X x X, , x X ni i n n = ⇒ = = ∑ =1 1 1 L . A ssim , 29 ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) = − ∑ − ∑ = = − − − = = = = = = = = = − − − − − = = = = ∑ ∑ t n t x n x t n t x x x x n i i n n n i i n n p p t n p p p p t n p p p p t X P x X, , x X P t X x X, , x X n i i n i i n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 L L L ( ) ( ) , t n p p t n p p P t n t t n t = − − = − − 1 1 1 q u e não d ep end e d e p ⇒ a estatística ∑ = = ni i X T 1 é suficiente p ara p . (ii) C o n sid ere a am o stra d o ex em plo(i) , m as co m n = 3 e X 1 = 1 ,X 2 = 0 e X 3 = 1 .M o stre q u e 3 2 1 2 X X X T + + = não é suficiente . ( ) ( ) ( ) = = + + = = = = = + + = = = 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 X X X P X, X, X P X X X X, X, X P ( ) ( ) ( ) = = = = + = = = − = , X, X X P X, X, X P p p 1 0 1 0 1 1 2 3 1 3 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , p p p p p p p p p p = − + = − + − − = 1 1 1 1 2 2 2 q u e d ep end e d e p ⇒ a estatística 3 2 1 2 X X X T + + = não é suficiente p ara p . O b serv açã o : S e ()~ X T tem u m a distrib uição co ntín u a , a d efinição acim a não se aplica .O teo rem a a seg uir n o s dá u m resultad o m ais g eral q u e p od e ser u sad o em tal situ ação . T eo rem a 2 .1 :S e ( )θ~ x p é a fu nção d e v ero ssim ilh ança d a am o stra ~ X , e ( )θ t q é afdp o u30 fm p d e ()~ X T .E ntão ()~ X T é suficiente p ara θ se e so m ente se ,p ara tod o o ~ x n o esp aço am o stral a razão ( )( )θ θ ) ( ~ x x~ T q p não d ep end e d e θ . E xem plo 2 .3 :S ejam X 1 , . . . ,X n u m a AAS d e u m a v .a .X ~ ( ) 2σ µ , N , em q u e 2 σ é co nh ecid o . M o strarem o s q u e () X T = ~ X é u m a estatística suficiente p ara µ . A fu nção d e v ero ssim ilh ança d a am o stra ~ X é d ad a p o r: ( ) ( ) ( )( ) [ ] = − − =∏ = − n i i x exp f 1 2 2 2 1 2 2 2 σ µ piσ µ ~ x ( ) ( )( ) = − − = ∑ = − n i i n x exp 1 2 2 2 2 2 2 σ µ piσ ( ) ( )( ) = − + − − = ∑ = − ni i n x x x exp 1 2 2 2 2 2 2 σ µ piσ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − − + − − = ∑ ∑ = = − 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 σ µ µ piσ x n x x x x x exp ni i ni i n ( ) ( ) ( ) ( ) . x n x x exp ni i n − + − − = ∑ = − 2 2 1 2 2 2 2 2 σ µ piσ A distrib uição d e () X T = ~ X é ( )n , N 2 σ µ . P o rtanto , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 ~ 2 2 2 2 ) ( σ µ piσ σ µ piσ θ θ − − − + − − = − = − ∑ x n exp n x n x x exp T q p ni i n x x~ ( ) ( ) ( ) ( ) , x x exp n ni i n − − = ∑ = − − − 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 σ piσ o q u e não d ep end e d e µ ⇒ () X T = ~ X é u m a estatística suficiente p ara µ , q u and o σ é co nh ecid o . O b serv açã o :U sar a d efinição p ara en co ntrar u m a estatística suficiente não é p rático .A lém d e term o s q u e ter u m “ch ute ” inicial ()~ X T ,tem o s q u e en co ntrar afdp o ufm p d e ()~ X T .P o rfim , 31 0 av erig u ar se a razão ( )( )θ θ ) ( ~ x x~ T q p não d ep end e d e θ .A p rim eira p arte req u er u m a b o a d o se d e intuição e/o u exp eriên cia . A seg u nd a p arte , m uitas v ezes , n ecessita d e cálculo s b astante co m plicad o s . F elizm ente o teo rem a q u e v am o s v er n o s p erm ite en co ntrar u m a estatística suficiente p ela sim ples in sp eção d a fdp o u fm p d a am o stra . 2 .1 .2 - C R ITÉR IO D A FA TO R AÇÃ O T eo rem a 2 .2 : (T eo rem a d a F ato ração) – S eja ()x fθ u m a fu nção d en sid ad e o u d e p rob abilid ad e co nju nta d a am o stra ~ X .U m a estatística ()~ X T é suficiente p araθ se e so m ente se existir fu nçõ es ()t g θ e ()x h tais q u e θ∀ e x ∀ , () ()()~ ~ x x h T g f θ θ = . P ara u sarm o s o teo rem a d a F ato ração p ara en co ntrarm o s u m a estatística suficiente nó sd eco m p o m o s a v ero ssim ilh ança em d u asp artes .U m a p arte q u e não d ep end e d eθ , ()x h , e o utra p arte q u e d ep end e d e θ , ()t g θ . E ssa últim a p arte q u e d ep end e d e θ e d ep end e d a am o stra so m ente através d e ( ) t T = ~ x . N essa situ ação , ()~ X T será u m a estatística suficiente p ara θ . P ro v a (caso discreto ap en as) C o m eçarem o s a d em o n stração p ro v and o a v olta d o teo rem a , o u seja , p artind o d o fato q u e ( ) ()( )~ ~ x x h T g f θ θ = , e co n cluirem o s q u e ()~ X T é suficiente p ara θ . () ( ) () () ( ) () [ ] () = = = = = ≠ = = = = t T , t T P t T, x X, , x X P t T , t T x X, , x X P n n n n ~ ~ ~ ~ ~ X X X X X se se 0 1 1 1 1 θ θ L L P ara t X ni i ≠ ∑ =1 a p rob abilid ad e não d ep end e d e θ e a co ndição está satisfeita . D esen v olv erem o s a exp ressão acim a p ara q u and o t X ni i = ∑ =1 . A ssim , () ( ) () ( ) () [ ] = = = = = = = = = t T P t T, x X, , x X P t T x X, , x X P n n n n ~ ~ ~ X X X θ θ L L 1 1 1 1 32 ( ) () [ ] ( ) () () () () { } ()() , h h t g h t g h t T P x X, , x X P t T, t T, n n ∑ ∑ = = = = = = = = = ~ x x ~ ~ x x ~ ~ ~ x x x x X 1 1 θ θ θ θ L o q u e não d ep end e d e θ ⇒ ()~ X T é suficiente p ara θ . D em o n strarem o s ag o ra a id a d o teo rem a , o u seja , p artind o d o fato d e q u e ()~ X T é suficiente p ara θ , e co n cluirem o s q u e ( ) ()( )~ ~ x x h T g f θ θ = . E starem o s co n sid erand o a situ ação em q u e () t T = ~ X . ( ) () ( ) () ( ) ( ) () [ ]() () . suficiente é p ois , d e d ep nd e N ão 1 1 1 1 1 1 t g h t T Pt T x X, , x X P t T, x X, , x X P x X, , x X P T n n n n n n θ θ θ θ θ ~~ X ~ ~ x X X X = = = = = = = = = = = = = 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 L L L C o m isso , a d em o n stração está co n cluíd a . E x em plo s 2 .4 (i)C o n sid erand o o m od elo n o rm al , visto n o últim o ex em plo , co m d esvio p ad rão co nh ecid o . V im o s q u e a v ero ssim ilh ança p od e ser escrita co m o , ( )( ) ( ) ( ) ( ) . x n x x exp f ni i n − + − − = ∑ = − 2 2 1 2 2 2 2 2 σ µ piσ µ ~ x (2 .1) O q u e im plica q u e (2 .1) p od e ser d eco m p o sta em , ( )( ) ( ) ( ) () ( )( ) [ ] () . x n xp e x x exp f t g h ni i n 4 4 4 3 4 4 4 2 1 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 2 1 µ σ µ σ piσ µ 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 − − × − − = ∑ = − x ~ x (2 .2) C o n clu sã o :D e aco rd o co m o T eo rem a d a F ato ração , () X T = ~ X é u m a estatística suficiente p ara µ , d ad o q u e σ é co nh ecid o . 33 (ii)S ejam X 1 , . . . ,X n u m a AAS d e u m a v .a .X ~ ( ) 2σ µ , N , co m µ e 2 σ d esco nh ecid o s .V am o s en co ntrar estatísticas co nju ntam ente suficientes p ara µ e 2 σ . ( ) ( ) ( )( ) [ ] = − − =∏ = − ni i x exp f 1 2 2 2 1 2 2σ µ piσ µ ~ x ( )() ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1 43 4 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 σ µ σ µ σ pi , g ni i n h n x n x x exp − + − − = ∑ = − − x ⇒ ( ) ∑ = − ni i X X 1 2 e X são co nju ntam ente suficientes p ara µ e 2 σ . O utra m an eira d e fazer a fato ração . ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) + − − = = − − = = − − = ∑ ∑ ∏ = − = − = − n i i i n n i i n n i i x x exp x exp x exp f 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 σ µ µ piσ σ µ piσ σ µ piσ µ ~ x ( ) ( ) = + − − = ∑ ∑ = = − 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 σ µ µ piσ n x x exp n i i n i i n ( )() ( ) ( ) () . n x x exp t g ni i ni i n h n , 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1 43 4 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 σ µ σ µ µ σ pi + − − = ∑ ∑ = = − − x A ssim , () ( ) 2 S uficiente nte C o nju ntam e 1 2 1 σ µ , X , X T ni i ni i → = ∑ ∑ = = ~ X . (iii) S ejam X 1 , . . . , X n u m a AAS d e u m a v .a . X ~ ( )θ, U 0 , 0 < θ < ∞ . () = < < = c .c . 0 1 0 1, n, , i, x , f i n L θ θ ~ x O b serv açã o : Q u and o a região d e v ariação d a v .a . d ep end e d o p arâm etro a estatística suficiente é u m a fu nção d a estatística d e o rd em ! 34 () [ ] ( )n n, , i, x n x, , x I x f i L L 1 1 0 1 = < < = θ θ . ( ) () θ θ < = ⇔ = ∀ < n n i x x, , x m a x n, , i , x L L 1 1 . E ntão , [ ] ( ) ( ) () ( ) () ( ] () ( )1 0 0 1 1 0 x I x I x, , x I n i x, n , n n, , i, x θ θ = = < < L L . () ( ) () ( ) () () ( ] () ( ) () 4 3 4 2 1 4 4 3 44 2 1 x h x , t g n , n x I x I x f n 1 0 0 1 θ θ θ = . A ssim , () ( ) ()n n X X , X m a x T = = L 1 ~ X é suficiente p ara θ . C o m o vim o s n o ex em plo d a distrib uição n o rm al , co m am b o s o s p arâm etro s d esco nh ecid o s , a estatística suficiente não é ú nica .U m a fu nção in v ertív eld e u m a estatística suficiente tam bém é suficiente . P ro v a :S eja ()~ xT u m a estatística suficiente p ara θ , e seja []• r u m a fu nção in v ertív el .S eja () ()[] () [ ]~ ~ ~ ~ x x x x ' T r T Tr ' T 1− = ⇒ = . ( )[]( ) = = ~ ~ ~ x x x h T g f θ () [ ] { }()~ ~ x x h ' T r g 1 − = θ ⇒ ()~ x' T é u m a estatística suficiente p ara θ . 2 .1 .3 - ESTA TÍSTIC A SU FIC IEN TE M IN IM A L N a seção anterio r vim o s q u e existem várias estatísticas suficientes .U m a p erg u nta n atu ral q u e su rg e seria: existe u m a estatística suficiente m elh o r q u e as o utras estatísticas suficientes? L em b ram o s q u e o p ropó sito d e u m a estatística suficiente é atingir red ução n o s d ad o s sem p erd erinfo rm ação sob re o p arâm etro d e interesse θ .E ntão , a estatística q u e atingir a m aio r red ução d o s d ad o s , m antend o tod a a info rm ação a resp eito d e θ d ev erá ser a p referív el . E statística suficiente m inim al(d efinição) – U m a estatística suficiente ()~ xT é m inim al se , 35 p ara q u alq u er o utra estatística suficiente ()~ x' T , ()~ xT é u m a fu nção d e ()~ x' T . Q u and o ()~ xTé u m a fu nção d e ( )~ x' T sig nificadizerq u e se ( )~ x' T = ~ y ' T ⇒ ()~ xT = ~ y T .S e p en sarm o s n as p artiçõ es d efinid as n o início d esta u nid ad e p od em o s relacio n ar as p artiçõ es d ad as p ela estatísticasuficiente m inim al e p elas estatísticas suficientes .V ejam o s ag o ra co m o elas se relacio n am .S ejam o s co nju nto s { }T' ∈' t B ' t : as p artiçõ es p ara ( )~ x' T , e sejam { }T ∈ t A ' t : as p artiçõ es p ara ()~ xT .E ntão ,d e aco rd o co m a d efinição d e estatística suficiente m inim al , cad a ' t B é u m sub co nju nto d e alg u m t A .O q u e eq uiv ale a dizer q u e a p artição asso ciad a à estatística suficiente m inim alé a m en o s refin ad a d e tod as , o u seja , a q u e p articio n a m en o s o esp aço am o stral X . E x em plo 2 .5 :S ejam X 1 , . . . ,X n u m a AAS d e u m a v .a .X ~ ( ) 2σ µ , N , o nd e 2 σ é co nh ecid o . S eja ( )o, r • u m a fu nção q u e d escarta o seg u nd o arg u m ento . () ∑ = = ni i X T 1 ~ X é suficiente p ara µ . () = ∑ ∑ = = ni i ni i X , X ' T 1 2 1 ~ X tam bém é suficiente p ara µ . () () [ ]~ ~ X X ' Tr X , X r X T ni i ni i ni i = = = ∑ ∑ ∑ = = = 1 2 1 1 ⇒ ()~ X T é u m a fu nção d e ()~ X' T . V ejam o s u m resultad o q u e n o s ajud ará a en co ntrar u m a estatística suficiente m inim al . T eo rem a 2 .3 :S eja ( )θ x f u m afdp o u u m afm p d e ~ X .S up o nh a q u e existe ()~ xT talq u e ,p ara d u as realizaçõ esd e ~ X ( ~ x e ~ y) , a razão ( ) ~ ~ y x θ θ f f é co n stante co m o fu nção d eθ ⇔ ()~ xT = ~ y T . E ntão ()~ X T é u m a estatística suficiente m inim al p ara θ . 36 E x em plo s 2 .6 (i) S ejam X 1 , . . . , X n u m a AAS d e u m a v .a . X ~ ( ) 2σ µ , N . () ( ) ( ) . y y exp x x exp n y y exp n x x exp f f ni ni i i ni ni i i ni ni i i n ni ni i i n , , − − − − = + − − + − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = − = = − 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 σ µ σ µ σ µ µ piσ σ µ µ piσ σ µ σ µ ~ ~y x A razão () ~ ~y x2 2 σ µ σ µ , , f f é u m a co n stante co m o fu nção d e µ e 2 σ ⇔ ∑ ∑ = = = ni i ni i y x 1 1 e ∑ ∑ = = = ni i ni i y x 1 2 1 2 . E ntão , () = ∑ ∑ = = ni i ni i X , X T 1 2 1 ~ X é u m a estatística suficiente m inim al p ara ( ) 2σ µ θ , = . (ii) S ejam X 1 , . . . , X n u m a AAS d e u m a v .a . X ~ ( ) ∞ < < − ∞ + θ θ θ , , U 1 . () = + < < = c .c . 0 1 1 1 , n, , i, x , f i L θ θ θ ~ x () ( ) θ θ θ < − ⇒ + < ⇒ = ∀ + < 1 1 1 1 i i i i i x m a x x m a x n, , i , x L (cota inferio r p ara θ ) . ( ) ( ) θ θ θ > ⇒ > ⇒ = ∀ > i i i i i x m in x m in n, , i , x L 1 (cota sup erio r p ara θ ) . P o rtanto , tem o s q u e a v ariação d e θ está d efinid a n o interv alo , () () () ( ) ( ) < < − = ⇒ < < − c .c . 0 1 1 1 , x m in x m a x , f x m in x m a x i i i i i i i i θ θ θ x E ntão ,p ara d u as realizaçõ es am o strais ~ x e ~ y , a razão () ~ y x θ θf f ~ será p o sitiv a p ara o s m esm o s v alo res d e θ ⇔ () ( ) () ( )i i i i i i i i y m in x m in y m a x x m a x = = e . E se as estatísticas são ig u ais , a razão é u m a co n stante e ig u al a 1 .D essa fo rm a , () ( ) ( ) [ ]i i i i X m in X m a x T , = ~ X é u m a37 estatística suficiente m inim al p ara θ . O b serv açõ es (1)N o ex em plo(ii) acim a existem d u as estatísticas suficientesp ara u m p arâm etro .E sse é u m ex em plo em q u e a dim en são d a estatística suficiente m inim al não coin cid e co m a d o p arâm etro d e interesse . (2)D a m esm a fo rm a q u e n a estatística suficiente , a estatística suficiente m inim al não é ú nica . Q u alq u er fu nção in v ertív el d e u m a estatística suficiente m inim al tam bém será suficiente m inim al . N o ex em plo (i) acim a ()( ) 2S , X T = ~ X tam bém é u m a estatística suficiente m inim al p ara ( ) 2σ µ , , e n o ex em plo(ii) acim a () ( ) ( ) ( ) ( ) + = 2 - i i i i i i i i X m in X m a x , X m in X m a x T ~ X tam bém é u m a estatística suficiente m inim al p ara θ . (iii) S ejam X 1 e X 2 ob serv açõ es iid ’s d e u m a distrib uição discreta satisfazend o ( ) ( ) ( ) Z , X P X P X P ∈ = + = = + = = = θ θ θ θ θ θ θ 3 1 2 1 . S ejam () ()2 1 X X < as estatísticas d e o rd em p ara a am o stra . P o rtanto , tem o s q u e a v ariação d e θ está d efinid a n o interv alo , () () θ θ θ < − ⇒ + < ⇒ = + < 2 2 21 2 2 2 x x , i, x i (cota inferio r p ara θ ) . () () θ θ θ > ⇒ > ⇒ = > 1 1 21 x x , i, x i (cota sup erio r p ara θ ) . () () ( ) () () < < − = = ⇒ < < − c .c . 0 2 3 1 2 1 2 1 2 , x x, P x x ~ ~ θ θ θ x X E ntão ,p ara d u as realizaçõ es am o strais ~ x e ~ y , a razão ( ) = = ~ ~ ~ ~ P P y Y x X θ θ será p o sitiv a p ara o s m esm o s v alo resd eθ ⇔ () () () ()1 1 2 2 e y x y x = = .E se as estatísticas são ig u ais , a razão é u m a co n stante e ig u al a 1 .D essa fo rm a , () () () [ ]2 1 ,X X T = ~ X é u m a estatística suficiente m inim al p ara θ . P elo m esm o arg u m ento exp o sto n a ob serv ação (2) acim a , 38 () () () () () + = 2 - 1 2 1 2 X X, X X ' T ~ X tam bém é u m a estatística suficiente m inim al p ara θ . 2 .1 .4 - FA M ÍLIA EX PO N EN C IA L A lg u m as distrib uiçõ es d e p rob abilid ad e p erten cem a u m a fam ília d e distrib uiçõ es b astante p articular , co nh ecid a co m o fam ília exp o n en cial . O trab alh o d e en co ntrarm o s estatísticas q u e sejam suficiente e co m pleta p ara essa fam ília d e distrib uição é b astante sim plificad o . T eo rem a 2 .4 :S ejam X 1 , . . . ,X n iid ’s co m fdp ()x fθ .S up o nh a q u e ()x fθ p o ssa ser escrita co m o , () ()() ()() () 4 4 4 4 3 44 4 4 2 1 t g ki i i x t w exp c x h x f θ θ θ θ = ∑ =1 , então ()x fθ p erten ce à fam ília exp o n en cial . O b serv açã o Im p o rta nte:P elo critério d a fato ração tem o s q u e se ()x fθ p erten ce à fam ília exp o n en cial , então () ∑ = ni i x t1 é u m a estatística suficiente . E x ercício : V erificar se as distrib uiçõ es ab aix o p erten cem à fam ília exp o n en cial . (i) N o rm al ( ) 2σ µ , () ( ) () ( ) { () ( ) ( ) () { ( ) { () { . x x exp exp x x exp x x exp x exp x f x t , w x t , w , c x h , c x h + − − = = − + − = = + − − = − − = 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ σ µ σ pi σ µ σ µ σ σ pi σ µ µ σ pi σ µ piσ 3 2 1 4 4 3 4 4 2 1 3 2 1 3 2 1 39 A distrib uição n o rm al p erten ce à fam ília exp o n en cial ⇒ () = ∑ ∑ = = ni i ni i X , X T 1 2 1 ~ X é suficiente p ara ( ) 2σ µ , . (ii) G am a ( )β α , () () ( ) ( ) () () ( ) ( ) () = − Γ = − Γ = ∞ − ∞ − x I x exp x x x I x exp x x f , , 0 1 0 1 1 1 β β α β β α α α α α () ( ) ( ) ( ) () = − Γ = ∞ − x I x exp x ln exp x , 0 1 1 β β α α α () ( ) ( ) ( ) () = − Γ = ∞ − x I x exp x ln exp x , 0 1 1 β α β α α ( ) () () ()() ( ) { () { () { ( ) { . x x ln exp x I x , w x t x t , w , c x h , − Γ = ∞ − β α β α β α α β α β α 2 2 1 1 1 1 0 1 43 4 2 1 4 3 4 2 1 A distrib uição g am a p erten ce à fam ília exp o n en cial ⇒ ()~ X T = = ∏ ∑ ∑ = = = ni i ni i ni i X ln X ln , X 1 1 1 é suficiente p ara ( )β α , . (iii) Bin o m ial ( )p, n , seja { }n, , , A L 10 = . () ( ) () () [ ] ( ) [ ] = − = − = − − x n x A A x n x p ln exp p ln exp x I x n x I p p x n x p 1 1 () [ ] ( ) ( ) [ ] () ( )( ) [ ] = − − + = − − = p ln x n p ln x exp x I x n p ln x n exp p ln x exp x I x n A A 1 1 () ( ) ( ) [ ] () ( ) [ ] ( ) { } = − + − − = = − − − + = p ln n p ln p ln x exp x I x n p ln x p ln n p ln x exp x I x n A A 1 1 1 1 40 () () ( ) [ ] () () { ( ) [ ] () . p ln p ln x exp p ln n exp x I x n p w x t p c x h A − − − = 4 4 3 4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 1 43 4 2 1 1 1 1 1 A distrib uição bin o m ial p erten ce à fam ília exp o n en cial ⇒ () = ∑ = ni i X T 1 ~ X é suficiente p ara p . (iv) P oisso n ()λ () ( ) () () ( ) ( ) ()() ( ) () () { () { . ln x exp exp !x x I exp ln exp !x x I x I !x exp x p w x t c x h N x N N x − = − = − = λ λ λ λ λ λ λ λ 1 1 43 4 2 1 3 2 1 A distrib uição P oisso n p erten ce à fam ília exp o n en cial ⇒ () = ∑ = ni i X T 1 ~ X é suficiente p ara λ . (v) U nifo rm e co ntín u a ( )θ, 0 () ( ) () ( ) () [ ] { } . x I ln exp x I x f , , θ θ θ θ 0 0 1 1 = = S e escrev erm o s a indicad o ra n a fo rm a ( ) () [ ] { }x I ln exp ,θ0 , a fu nção não estará d efinid a p ara q u and o ( ) ()x I ,θ0 = 0 ⇒ a distrib uição u nifo rm e nã o p erten ce à fam ília exp o n en cial . 2 .1 .5 – ESTA TÍSTIC A A N C ILA R N a seção anterio r ap rend em o s o q u e é u m a estatística suficiente e co m o en co ntrar tais estatísticas . Já sab em o s q u e u m a estatística suficiente , n u m certo sentid o , co ntém tod a a info rm ação sob re θ disp o nív el n a am o stra . N esta seção ap rend erem o s u m n o v o tip o d e estatística , q u e tem u m p ropó sito co m plem entar . E statística a n cila r(d efinição) – U m a estatística ()~ XS cuja distrib uição não d ep end e d e θ é ch am ad a d e u m a estatística an cilar . S e co n sid erarm o s ap en as u m a estatística an cilar , não terem o s info rm ação alg u m a sob reθ .E ntretanto ,p o r m aisp arad o x alq u e p areça , u m a estatística an cilar u sad a em co nju nto co m u m o utro tip o d e estatística (este resultad o será visto m ais adiante) p od erá co nter info rm açõ es b astante úteis p ara fazerm o s inferên cia a resp eito d e θ . 41 A ntesd e v erm o s alg u n s ex em plo sd e estatísticas an cilares , v am o sd efinird u asfam ílias d e distrib uiçõ es m uito co m u n s em estatística .A fam ília d e distrib uição co m p arâm etro d e lo cação e a fam ília d e distrib uição co m p arâm etro d e escala . F a m ília d e distrib uiçã o co m p a râ m etro d e lo caçã o(d efinição) – S eja ()x f u m a fu nção d e d en sid ad e d e p rob abilid ad e . S e ( ) ∞ < < − ∞ − µ µ , x f , ind ex ad a p o r µ tam bém fo r u m a d en sid ad e ⇒ ( )µ − x f ∈ à fam ília d e distrib uição co m p arâm etro d e lo cação µ e co m fu nção d e d en sid ad e p ad rão ig u al a ()x f .O p arâm etro µ n a d efinição acim a não faz n ecessariam ente o p ap el d a m édia p op ulacio n al . E x em plo s 2 .7 (i) A distrib uição n o rm al é u m ex em plo d e u m a distrib uição co m p arâm etro d e lo cação .A m édia p op ulacio n alµ é o p arâm etro d e lo cação .A d en sid ad e p ad rão , n esse caso , teria µ = 0 . ( ) 2 0 σ, N ~ Z . J d x dz X Z Z X = = ⇒ − = ⇒ + = 1 µ µ , () − = 2 2 2 2 1 σ σ pi z EXP z fZ . () ( ) ( ) − − = − = 2 2 2 2 1 σ µ σ pi µ x EXP J x f x f Z X . (ii) A distrib uição u nifo rm e tam bém é u m ex em plo d e u m a distrib uição co m p arâm etro(s)d e lo cação .S e ( )θ θ − − b, a U ~ X , co m a < b nú m ero s reais; θ seria o p arâm etro d e lo cação e a d en sid ad e p ad rão teria θ = 0 . ( )b, a U ~ Z . J d x dz X Z Z X = = ⇒ − = ⇒ + = 1 θ θ , () a b z fZ − = 1 . () ( ) a b J x f x f Z X − = − = 1 θ . F a m ília d e distrib uiçã o co m p a râ m etro d e escala(d efinição) – S eja ()x f u m a fu nção d e d en sid ad e d e p rob abilid ad e .S e 0 1 > σ σ σ , x f ,ind ex ad a p o r σ tam bém fo r u m a d en sid ad e42 ⇒ σ σ x f 1 ∈ à fam ília d e distrib uição co m p arâm etro d e escala σ e co m fu nção d e d en sid ad e p ad rão ig u al a ()x f .O p arâm etro σ n a d efinição acim a não faz n ecessariam ente o p ap el d o d esvio p ad rão p op ulacio n al . E x em plo s 2 .8 (i) A distrib uição n o rm alé u m ex em plo d e u m a distrib uição co m p arâm etro d e escala . O d esvio p ad rão p op ulacio n al σ é o p arâm etro d e escala . A d en sid ad e p ad rão , n esse caso , teria σ = 1 . ( )1, N ~ Z µ . J d x dz X Z Z X = = ⇒ = ⇒ = σ σ σ 1 , () ( ) − − = 2 2 1 2 µ pi z EXP z fZ . () ( ) ( ) − − = = 2 2 2 2 1 σ µ σ σ pi σ x EXP J x f x f Z X . (ii) A distrib uição exp o n en cial , ()λ E xp , é u m ex em plo d e u m a distrib uição co m p arâm etro d e escala . O in v erso d a m édia p op ulacio n al λ é o p arâm etro d e escala . ()1 E xp ~ Z . J d x dz X Z Z X = = ⇒ = ⇒ = σ σ σ 1 , () ( )z EXP z fZ − = . () ( ) − = = σ σ σ x EXP J x f x f Z X 1 . O b serv açã o : A distrib uição n o rm al p erten ce à fam ília d e distrib uiçõ es co m p arâm etro d e lo cação e escala! V oltem o s ao estud o d e u m a estatística an cilar . V ejam o s ag o ra d ois ex em plo s . (i) S ejam X 1 , . . . ,X n iid ’s co m fdp p erten cente a u m a fam ília d e distrib uição co m p arâm etro d e lo cação θ .V erem o sq u e () ()1 X X A n − = , a am plitud e am o stral ,é u m a estatística an cilar . S ejam Z 1 , . . . , Z n iid ’s co m d en sid ad e p ad rão ⇒ n, , i, Z X i i L 1= + = θ . A fu nção d e distrib uição d a am plitud e A é d ad a p o r: ( ) ( ) ( ) = ≤ − = ≤ = a X m in X m a x P a A P a F i i i i A θ θ θ 43 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) . a Z m in Z m a x P a Z m in Z m a x P a Z m in Z m a x P i i i i i i i i i i i i ≤ − = ≤ − − + = = ≤ + − + = θ θ θ θ θ θ A últim a p rob abilid ad e não d ep end e d e θ , u m a v ez q u e a distrib uição d o s Z ’s não d ep end e d e θ . (ii) S ejam X 1 , . . . ,X n iid ’s co m fdp p erten cente a u m a fam ília d e distrib uição co m p arâm etro d e escalaθ .V erem o sq u e u m a razão am o stral , j i X X R j i ≠ = , ,é u m a estatística an cilar . S ejam Z 1 , . . . , Z n iid ’s co m d en sid ad e p ad rão ⇒ n, , i Z X i i L 1 , = =θ . A fu nção d e distrib uição d a razão R é d ad a p o r: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . r Z Z P r Z Z P r X X P r R P r F j i j i j i R ≤ = ≤ = = ≤ = ≤ = θ θ θ θ θ θ A últim a p rob abilid ad e não d ep end e d e θ , u m a v ez q u e a distrib uição do s Z ’s não d ep end e d e θ . N ota :N o caso em q u e X i e X j são u m a AAS d e u m a v .a . ( ) 2 0 σ, N ~ X , então j i X X tem u m a distrib uição ind ep end ente d e σ . E ntretanto ,já vim o s , n u m ex ercício em sala d e aula , q u e j i X X tem distrib uição C a u chy(0 ,1) .P o rtanto ,p ara q u alq u er σ > 0 e i ≠j a distrib uição d e j i X X é a m esm a , o u seja , j i X X ~ C a u chy (0 ,1) . U m a estatística suficiente m inim al ating e o m áxim o d e red ução p o ssív el , co ntend o aind a tod a a info rm ação sob re θ disp o nív el n a am o stra . Intuitiv am ente , u m a estatística suficiente m inim al elim in a asinfo rm açõ esd esn ecessárias n a am o stra , retend o ap en as a p o rção co m info rm ação a resp eito d e θ .C o m o a distrib uição d e u m a estatística an cilar não d ep end e d e θ ,p od eríam o s su sp eitar q u e u m a estatística suficiente m inim alé ind ep end ente d e u m a estatística an cilar . T od avia ,isso não é n ecessariam ente v erd ad eiro . V ejam o s a seg uir d ois caso s .O p rim eiro caso , em q u e as estatísticas não são ind ep end entes .E o seg u nd o caso , em q u e u m a estatística an cilarp od e aind a fo rn ecer alg u m a info rm ação p ara ajud ar n a inferên cia sob re θ , d esd e q u e u sad a em co nju nto co m o utro tip o d e estatística . 44 C a so 1 : V im o s n a seção d e estatística suficiente m inim al q u e p ara u m a v .a . u nifo rm e ( )1+ θ θ , a estatística () ( ) ( ) ( ) ( ) + = 2 - i i i i i i i i X m in X m a x , X m in X m a x T ~ X é suficiente m inim al p ara θ . V im o s tam bém q u e a am plitud e am o stral ( ) ( )i i i i X m in X m a x A - = em fam ílias d e distrib uição d e lo cação , n o q u al a u nifo rm e faz p arte ,é u m a estatística an cilar .É evid ente , n esse caso ,q u e ()~ X T e A não são ind ep end entes; u m a v ez q u e A é u m a p arte im p o rtante d e ()~ X T . C a so 2 :V erem o s ag o ra co m o u m a estatística an cilar u sad a em co nju nto co m u m a estatística suficiente m inim al ajud a a obter info rm ação im p o rtante sob re o p arâm etro d e interesse . S ejam X 1 e X 2 ob serv açõ es iid ’s d e u m a distrib uição discreta co m fu nção d e p rob abilid ad e d ad a p o r , ( ) ( ) ( ) 3 1 2 1 = + = = + = = = θ θ θ θ θ θ X P X P X P , em q u e θ ∈ Z ,é u m p arâm etro d esco nh ecid o .Já sab em o sq u e tanto () () () [ ]2 1 ,X X T = ~ X ,q u anto () () () () () + = = = 2 - 1 2 1 2 X X M, X X A ' T ~ X são estatísticas suficientes m inim aisp araθ .C o m o a distrib uição acim a tam bém p erten ce à fam ília d e distrib uição co m p arâm etro d e lo cação θ , tem o s q u e a am plitud e am o stral , () ()1 2 -X X A = , é u m a estatística an cilar . V ejam o s ag o ra co m o A , m esm o send o u m a estatística an cilar , aind a p od e fo rn ecerinfo rm ação sob reθ .C o n sid ere u m a am o stra q u e fo rn eceu as seg uintes estim ativ as , ( )m, r , em q u e m é u m nú m ero inteiro .C o n sid erand o ,p rim eiram ente , ap en as m há ap en as três p o ssibilid ad es p ara q u e a p rob abilid ad e d e u m a ob serv ação am o stral seja diferente d e zero , isto é , m = θ o u 1− = m θ o u 2 − = m θ .S o m ente co m a info rm ação d e q u e M = m , tod o s o s três v alo res( m = θ o u 1− = m θ o u 2 − = m θ ) são v alo resplau síviesp araθ .S up o nh a ag o ra q u e saib am o s q u e A = 2 . A ssim , sab em o s q u e () 1 1 − = m x e q u e () 1 2 + = m x . () () () () () () () () () () () () () + = ∴ − + = − = ∴ − − = ∴ + = ⇒ = − − = ⇒ = + 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 m x m x m x x m x x x x x x m x m x x . 45 C o m essa info rm ação adicio n al , o ú nico v alo r p o ssív el p ara θ é 1 − = m θ . P o rtanto , o co nh ecim ento d o v alo rd a estatística an cilar R fez au m entar o n o sso co nh ecim ento a resp eito d e θ .É im p o rtante ch am ar a atenção q u e a estatística R não foi u sad a so zinh a , m as sim , em co nju nto co m M .S e R fo sse u sad a so zinh a não obteríam o sinfo rm ação alg u m a sob reθ ,p ois R é an cilar . 2 .1 .6 - ESTA TÍSTIC A C O M PLETA V im o s n a seção anterio rq u e u m a estatística suficiente m inim al não é n ecessariam ente ind ep end ente d e u m a estatística an cilar .N esta seção v erem o s u m a co ndição p ara q u e u m a estatística suficiente m inim al seja ind ep end ente d e estatísticas an cilares . E statística C o m pleta(d efinição) – U m a estatística ()~ X T édita co m pleta em relação à fam ília ( )θ x f ,θ ∈ Θ , se a ú nica fu nção real g ,d efinid a n o d o m ínio d e T , tal q u e () , T g E 0 = θ () [ ] 1 0 = = ⇒ Θ ∈ ∀ T g Pθ θ . E m o utras p alav ras , () 0 = T g E θ é a fu nção n ula co m p rob abilid ad e 1 . E x em plo s 2 .9 (i) C aso em q u e a fam ília d e distrib uiçõ es é co m pleta– S eja T u m a estatística co m distrib uição ( )p, n Bin , 0 < p < 1 . S eja g u m a fu nção tal q u e () [ ] 0 = T g E . E ntão , () () ( ) ∑ = − − = = n t t n t p p p t n t g t g E 0 1 0 . () ( ) () ( )10 1 1 0 , p , p p t n t g p t g E n t t r n p ∈ ∀ − − = ∑ = 43 4 2 1 . (2 .3) O fato r( ) n p − 1 não é zero ⇒ p ara () [ ] 0 = T g E , o so m ató rio em (2 .3) tem q u e ser zero .P od em o s v er o so m ató rio(2 .3) co m o u m p olinô m io em r d o g rau n .Isto é , ( ) () ∑ = − n t t n r t n t g p 0 1 . (2 .4) 46 O co eficiente d e t r é () t n t g .P ara(2 .4) ser zero p ara tod o o r , cad a co eficiente d o p olinô m io tem q u e ser zero . C o m o n enh u m a d as t n é zero ⇒ () n, , , t , t g L 10 0 = ∀ = .C o m o T to m a v alo res em 0 , . . . , n co m p rob abilid ad e 1 ⇒ () [ ] 1 0 = = T g P . (ii) C aso em q u e a fam ília d e distrib uiçõ es NÃ O é co m pleta – S ejam X 1 e X 2 u m a am o stra aleató ria d a v ariáv el ()p B ern o ulli ~ X . S eja 2 1 X X T − = . T em o s q u e () ( ) 0 2 1 = − = X X E T E ,log o existe a fu nção () T T g = tal q u e () [ ] 0 = T g E , m as () 0 ≠ T g co m p rob abilid ad e 1 ⇒ 2 1 X X T − = não é co m pleta . (iii) S e ( )10, N ~ X e ( ) ( ) [ ] ( ) 0 = = ⇒ = X E X g E X X g , m as ( ) [ ] ( )0 0 = = = X P X g P = 0 e não 1 . T od avia ,isto é u m a distrib uição p articular e não u m a fam ília d e distrib uiçõ es .S e ( ) ∞ < < − ∞ θ θ , , N ~ X 1 ,tem o s q u e n enh u m a fu nção d e X , ex ceto a fu nção n ula , satisfaz ( ) [ ] 0 = X g E co m p rob abilid ad e 1 . T eo rem a 2 .5 :S ejam X 1 , . . . ,X n iid ’s co m fdp ()x fθ .S up o nh a q u e ()x fθ p o ssa ser escrita co m o , () ()() ()() () 4 4 4 4 3 44 4 4 2 1 t g ki i i x t w exp c x h x f θ θ θ θ = ∑ =1 , então () ( ) ( ) = ∑ ∑ = = n1 i n1 i ~ X i k i X t , , X t T L 1 são estáticas suficientes e co m pletas p ara θ ,d esd e d e q u e o d o m ínio d e v ariação d e () () [ ]θ θ n w, , w L 1 co ntenh a u m retâng ulo k -dim en sio n al . O b serv açã o : N o caso u nip aram étrico , o d o m ínio d e v ariação d e ()θ w d ev erá co nter u m interv alo d e reta .N o caso bidim en sio n al , u m q u ad rad o .N o caso tridim en sio n al , u m cub o e assim p o rdiante .S e h o u v er m ais d e u m p arâm etro , eles têm q u e serind ep end entes u n s d o s o utro s p ara q u e o so m ató rio seja u m a estatística co m pleta . 47 T eo rem a 2 .6 :(T eo rem a d e B asu)S e ()~ X T é u m a estatística co m pleta e suficiente m inim al , então ()~ X T é ind ep end ente d e q u alq u er estatística an cilar . E x em plo d a aplicação d o teo rem a d e B asu – S ejam X 1 , . . . , X n iid ’s exp o n en cial co m p arâm etro θ . C o n sid ere () n n X X X g + + = L 1 ~ X , calcule () [ ]~ X g E . C o m entário :A distrib uição exp o n en cialp erten ce à fam ília d e distrib uição d e escala .P o rtanto , () n n X X X g + + = L 1 ~ X é an cilar . A distrib uição exp o n en cial tam bém p erten ce à fam ília exp o n en cial ⇒ () ∑ = = ni i X T 1 ~ X é suficiente e co m pleta . F alta aind a m o strar q u e é ()~ X T suficiente m inim al (ex ercício) . P o r B asu , ()~ X T e ()~ Xg são ind ep end entes . E ntão , ( ) ()() [ ] () [ ]() [ ] () [ ] () [ ] n g E g E n g E T E g T E X E n 1 1 = ⇒ = = = = ~ ~ ~ ~ ~ ~ X X X X X X θ θ . 2 .2 - SU FIC IÊN C IA E NÃ O -TEN D EN C IO SID A D E A té ag o ra o co n ceito d e suficiên cia não foi u sad o n a p ro cu ra p o r u m estim ad o r não - tend en cio so .V am o s v er ag o ra q u e a suficiên cia é n a v erd ad e u m a ferram enta p od ero sa p ara en co ntrar tais estim ad o res . T eo rem a 2 .7 :(R ao -Black w ell) S eja W u m estim ad o r não -tend en cio so p ara θ , e seja T u m a estatística suficiente p araθ .S eja () ( )T W E T = φ .E ntão , () [ ] θ φ = T E e () [ ] ( )∀ ≤ , W V a r T V a rφ θ .Isto q u er dizer q u e ()T φ é u m estim ad o r não -tend en cio so u nifo rm em ente m elh o r p ara θ q u e W . P ro v a R esultad o s : ( ) ( ) [ ]Y X E E X E = e ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]Y X V a r E Y X E V a r X V a r + = P asso 1 – V am o s m o strarq u e () ( )T W E T = φ é u m estim ad o r ,isto é ,q u e ()T φ não d ep end e d e θ . Isto seg u e d a d efinição d a suficiên cia e d o fato d e q u e W é u m a fu nção ap en as d a48 am o stra . P asso 2 – V am o s m o strar q u e ()T φ é u m estim ad o r não -tend en cio so . ( ) ( ) [ ] () [ ]T E T W E E W E φ θ = = = ⇒ ()T φ é não -tend en cio so. P asso 3 – V am o s m o strar q u e () [ ] ( ) θ φ ∀ ≤ , W V a r T V a r . ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] () [ ] ( ) () [ ]T V a r T W V a r E T V a r T W V a r E T W E V a r W V a r φ φ ≥ + = + = ≥ ≥ 4 4 3 4 4 2 1 4 8 4 7 6 0 0 . O b serv açã o :Q u and o u sam o s o teo rem a d e R ao -Black w ellp recisam o sd e u m estim ad o r não - tend en cio so .E m m uitas situ açõ es u m estim ad o r não -tend en cio so p ara o p arâm etro p od e não serób vio .D essa fo rm a , u m trab alh o d e b u sca d e tais estim ad o res será n ecessário .À s v ezes , u m “ch ute ” inicial p od e n o s ajud ar a en co ntrar u m candid ato . V ejam o s a seg uir alg u n s ex em plo s . D icas p ara estim ad o res não -tend en cio so s P arâm etro E stim ad o r não -tend en cio so µ (m édia p op ulacio n al) 2 σ(v ariân cia p op ulacio n al) ( )A X P = X 2 S ( )X I A ⇒ ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] = = + = = 1 1 0 0 X I P X I P X I E A A A ( ) [ ] ( )A X P X I P A = = = = 1 E x em plo 2 .10 : E stim ar 2 λ , send o ()λ P oisso n ~ X U m p o ssív el candid ato( “ch ute inicial ”)p ara estim ar 2 λ d e m an eira não -tend en cio sa seria 2 X . ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 λ λ + = + = X E X V a r X E ⇒ ( ) 2 2 λ= − X X E ⇒ X X − 2 é u m estim ad o r não tend en cio so p ara 2 λ . ∑ = ni i X T é suficiente p ara λ . P elo teo rem a d e R ao -Black w ell ( )T X X E W 1 21 − = é u m estim ad o r não -tend en cio so p ara 2 λ e é m elh o r q u e 1 21 X X − , p ois tem m en o r v ariân cia . 49 C alculand o ( )T X X E W 1 21 − = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = − = + = = = = = = = = t T P x t X X, x X P t T P t T, x X P t T/ x X P n 1 2 1 1 1 1 1 1 L ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = − − = − − = − − − − − − t x t t n x t n x n n x t x t t n e x t n e x e 1 1 1 1 ! ! ! ! ! 1 ! 1 1 1 1 1 λ λ λ λ λ λ . n n x t n n n x t x t x x x t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − = − = ⇒ = n , t Bin ~ t T X 1 1 . ( ) n t t T X E = = 1 e ( ) 2 2 1 1 1 1 1 n t n t n n t n n t t T X V a r − = − = − = = ⇒ ( ) 2 2 2 21 n t n t n t t T X E + − = = ⇒ ( ) 2 2 2 2 2 1 21 n t t n t n t n t n t t T X X E − = − + − = = − ⇒ ( ) n X X n X X n T T T X X E W ni i ni i − = − = − = − = ∑ ∑ = = 2 2 1 2 1 2 2 1 21 é u m estim ad o r não - tend en cio so p ara 2 λ . O b serv açã o :O T eo rem a d e R ao -Black w ell n o sdiz q u e se u m estim ad o rW não fo rfu nção d e u m a estatística suficiente , então p od em o s “m elh o rar ” o estim ad o r p elo p ro cedim ento acim a . 2 .3 - ESTA TÍSTIC A C O M PLETA E NÃ O -TEN D EN C IO SID A D E D a m esm a fo rm a q u e p od em o s obter u m estim ad o r não -tend en cio so u sand o u m a estatística suficiente ,p od em o s tam bém u sar u m a estatística suficiente e co m pleta p ara obter u m estim ad o r não -tend en cio so . T eo rem a 2 .8 :(L eh m an n -S ch effé) N as co ndiçõ es d o teo rem a d e R ao -Black w ell , se T é tam bém co m pleta , então o estim ad o r ()T φ é o m elh o r estim ad o r não -tend en cio so d e v ariân cia u nifo rm em ente m ínim a ( u nifo rm e m inim u m va ria n ce u nbia sed estim ato r – U M VU E) . 50 E x em plo 2 .11 : ()λ P oisso n ~ X , d eterm in e o U M VU E ( ) λ− e . ( ) ( ) λ λλ − − = = ⇒ = = e X P x e x X P x 0 ! . P o rtanto , u m estim ad o r não -tend en cio so p ara λ− e é {} ( )X I 0 . U m a estatística suficiente e co m pleta p ara λ é ∑ = = ni i X T 1 . P o rtanto , o ( ) {} ( ) = = ∑ = − ni i X T X I E e U M VU E 1 1 0 λ . C alculand o o {} ( ) = ∑ = ni i X T X I E 1 1 0 . {} ( ) = = ≠ + = = = = ∑ ∑ ∑ = = = ni i ni i ni i t X X P t X X P t X X I E 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 = = = = = = = = ∑ ∑ ∑ = = = ni i ni i ni i t X P t X , X P t X X P 1 1 1 1 1 0 0 ( )( ) [ ] ( ) = − = = = = = = − − − − = = ∑ ∑ ! ! 1 0 1 1 2 1 t n e t n e e t X P t X , X P t n t n ni i n i i λ λ λ λ λ ( ) . n e U M VU E n n T t − = ⇒ − = − 1 1 1
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